高中數(shù)學(xué) 3.4函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象及三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用課件 理 新人教A版.ppt

第四節(jié)函數(shù)y asin x 的圖象及三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用 三年12考高考指數(shù) 1 圖象的變換規(guī)律 平移和伸縮變換在主 客觀題中均有考查 是高考中考查的重點和熱點 2 結(jié)合三角恒等變換考查y asin x 的性質(zhì)及簡單應(yīng)用是考查的熱點 1 用 五點法 作函數(shù)y asin x a 0 0 的圖象 五點法 作圖的五點是在一個周期內(nèi)的最高點 最低點及與x軸相交的三個交點 作圖時的一般步驟為 1 定點先確定五點 即令 x 分別等于0 2 得對應(yīng)的五點為 0 a 0 a 0 2 作圖在坐標(biāo)系中描出這五個關(guān)鍵點 用平滑的曲線順次連接得到y(tǒng) asin x 在一個周期內(nèi)的圖象 3 擴展將所得圖象 按周期向兩側(cè)擴展可得y asin x 在r上的圖象 即時應(yīng)用 用五點法作函數(shù)y sin x 在一個周期內(nèi)的圖象時 主要確定的五個點是 解析 分別令x 0 2 可求出x的值分別為又因為a 1 所以需要確定的五個點為 0 1 0 1 0 答案 0 1 0 1 0 2 三角函數(shù)圖象的變化規(guī)律 其中a 0 0 1 先平移后伸縮y sinx的圖象y sin x 的圖象y sin x 的圖象y asin x 的圖象y asin x k的圖象 2 先伸縮后平移y sinx的圖象y asinx的圖象y asin x的圖象y asin x 的圖象y asin x k的圖象 縱坐標(biāo)伸長 a 1 或縮短 0 a 1 為原來的 倍 橫坐標(biāo)不變 a 橫坐標(biāo)伸長 01 到原來的 縱坐標(biāo)不變 向左 0 或向右 0 平移個單位 向上 k 0 或向下 k 0 平移 k 個單位長度 即時應(yīng)用 1 y sin x 的圖象是由y sinx的圖象向平移個單位得到的 2 y sin x 的圖象是由y sinx的圖象向平移個單位得到的 3 y sin x 的圖象是由y sin x 的圖象向平移 個單位得到的 4 y sin 2x 的圖象是由y sin2x的圖象向平移個單位得到的 解析 1 2 3 根據(jù)圖象變化規(guī)律易求 4 y sin 2x sin 2 x 將y sin2x的圖象向左平移個單位長度就得到y(tǒng) sin 2x 的圖象 答案 1 左 2 右 3 右 4 左 3 函數(shù)y asin x 的物理意義在物理學(xué)上 當(dāng)函數(shù)y asin x a 0 0 x 0 表示簡諧運動時 則a叫做 t 叫做 f 叫做 x 叫做 x 0時的相位 叫做 振幅 周期 頻率 相位 初相 即時應(yīng)用 如圖 它表示電流i asin t a 0 0 在一個周期內(nèi)的圖象 試根據(jù)圖象寫出i asin t 的解析式 其頻率f 解析 由圖象知a t 所以t 所以 由 2k 得 2k k z 所以i sin t 即f 答案 i sin 函數(shù)y asin x a 0 0 的圖象及其圖象變換 方法點睛 函數(shù)y asin x a 0 0 的圖象的作法 1 五點法 用 五點法 作y asin x 的簡圖 主要是通過變量代換 設(shè)z x 由z取0 2 來求出相應(yīng)的x 通過列表 計算得出五點坐標(biāo) 描點后得出圖象 2 圖象變換法 由函數(shù)y sinx的圖象通過變換得到y(tǒng) asin x 的圖象 有兩種主要途徑 先平移后伸縮 與 先伸縮后平移 提醒 五點作圖取值要準(zhǔn)確 一般取一個周期之內(nèi)的 函數(shù)圖象變換要注意順序 平移時兩種平移的單位長度不同 例1 畫出函數(shù)y 3sin 2x x r的簡圖 解題指南 作函數(shù)y 3sin 2x 的圖象可用五點作圖或圖象變換法 規(guī)范解答 方法一 五點法由t 得t 列表 0 2 3 0 3 0 0 描點畫圖 將所得圖象按周期向兩側(cè)擴展可得y 3sin 2x 在r上的圖象 方法二 圖象變換法y sinxy sin x y sin 2x y 3sin 2x 將所得圖象按周期向兩側(cè)擴展可得y 3sin 2x 在r上的圖象 反思 感悟 1 五點法作圖的關(guān)鍵是正確確定五個點 而后列表 描點 連線即可 要注意在作出一個周期上的簡圖后 應(yīng)向兩側(cè)伸展 以表示整個定義域上的圖象 2 用圖象變換法作圖僅能作出簡圖 變式訓(xùn)練 試述如何由y sin 2x 的圖象得到y(tǒng) sinx的圖象 解析 方法一 y sin 2x y sin x y sinxy sinx 方法二 1 先將y sin 2x 的圖象向右平移個單位 得到y(tǒng) sin2x的圖象 2 再將y sin2x圖象上各點的橫坐標(biāo)擴大為原來的2倍 縱坐標(biāo)不變 得到y(tǒng) sinx的圖象 3 再將y sinx圖象上各點的縱坐標(biāo)擴大為原來的3倍 橫坐標(biāo)不變 即可得到y(tǒng) sinx的圖象 由圖象求解析式 方法點睛 確定y asin x b a 0 0 的步驟和方法 1 求a b 確定函數(shù)的最大值m和最小值m 則a 2 求 確定函數(shù)的周期t 則可得 3 求 常用的方法有 代入法 把圖象上的一個已知點代入 此時a b已知 或代入圖象與直線y b的交點求解 此時要注意交點在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上 五點法 確定 值時 往往以尋找 五點法 中的第一個點為突破口 具體如下 第一點 即圖象上升時與x軸的交點 時 x 0 第二點 即圖象的 峰點 時 x 第三點 即圖象下降時與x軸的交點 時 x 第四點 即圖象的 谷點 時 x 第五點 時 x 2 提醒 在求 時要注意已知中所給的 的范圍 例2 1 如圖是函數(shù)y asin x 2 a 0 0 的圖象的一部分 它的振幅 周期 初相各是 a a 3 b a 1 c a 1 d a 1 2 如圖是函數(shù)y asin x a 0 0 的圖象的一段 它的解析式為 a y sin 2x b y sin c y sin x d y sin 2x 3 如圖是f x asin x a 0 0 的一段圖象 則函數(shù)f x 的解析式為 解題指南 由圖象確定三角函數(shù)y asin x 的解析式 首先確定a的值 其次根據(jù)圖象求周期t 根據(jù)周期求 最后根據(jù)所給的數(shù)據(jù)求 規(guī)范解答 1 選c 由圖象知 所以t 由 2k 得 2k k z 當(dāng)k 1時 2 選d 由圖象知a 所以t 所以 2 又由 2 2k k z 所以當(dāng)k 1時 所以y sin 2x 3 由圖象得a 2 當(dāng)x 0時 sin 因為 所以 所以由題圖可知 3 所以y 2sin 3x 答案 y 2sin 3x 互動探究 把本例中 3 的圖象改為如圖 其他不變 如何求解 解析 由圖象知a 4 所以t 16 則 由6 2k k z 得 所以函數(shù)的表達式為 y sin x 反思 感悟 1 振幅a與最值有關(guān) 與周期t有關(guān) 初相 用待定系數(shù)法求解 2 利用待定系數(shù)法解題的過程中選擇的點要慎重 3 要善于觀察圖象 抓住圖象的特征 變式訓(xùn)練 2012 咸寧模擬 函數(shù)f x asin x a 0 0 的部分圖象如圖所示 1 求 2 求函數(shù)的圖象的對稱軸和對稱中心 解析 1 由圖象知a 1 t 2 由2 2k 得 2k k z 2 由 1 得y sin 2x 由2x k 得x k z 函數(shù)f x 的對稱軸為x k z 又由2x k 得x k z 故對稱中心為 0 k z 三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用 方法點睛 函數(shù)y asin x a 0 0 的性質(zhì) 1 奇偶性 k 時 函數(shù)y asin x 為奇函數(shù) k k z 時 函數(shù)y asin x 為偶函數(shù) 2 周期性y asin x 存在周期性 其最小正周期為 3 單調(diào)性根據(jù)y sint和t x 的單調(diào)性來研究 由 2k x 2k k z得單調(diào)增區(qū)間 由 2k x 2k k z得單調(diào)減區(qū)間 4 對稱性利用y sinx的對稱中心為 k 0 k z 求解 令 x k k z 求得x 利用y sinx的對稱軸為x k k z 求解 令 x k k z 得其對稱軸 例3 已知函數(shù)f x asin x a 0 0 的圖象與y軸的交點為 0 1 它在y軸右側(cè)的第一個最高點和第一個最低點的坐標(biāo)分別為 x0 2 和 x0 2 2 1 求f x 的解析式及x0的值 2 求f x 的增區(qū)間 3 若x 求f x 的值域 解題指南 根據(jù)已知條件結(jié)合圖象先求出解析式 再根據(jù)解析式求出單調(diào)區(qū)間和值域 規(guī)范解答 1 由圖象知a 2 由 2 得t 4 所以 f x 2sin x f 0 2sin 1 又 f x 2sin x 由f x0 2sin x0 2 x0 2k x0 4k k z 又 x0 2 是y軸右側(cè)的第一個最高點 x0 2 由 2k x 2k k z得 4k x 4k 所以f x 的增區(qū)間為 4k 4k k z 3 x x 所以 sin x 1 所以 f x 2 所以f x 的值域為 2 反思 感悟 求三角函數(shù)y asin x 的性質(zhì) 不論是周期性 單調(diào)性 對稱性還是求三角函數(shù)的最值 都要以三角函數(shù)y sinx的性質(zhì)為基礎(chǔ) 另外在求解時要注意所給的范圍和 的取值 變式訓(xùn)練 求函數(shù)y sinx cosx的周期 最大值和最小值 解析 因為y sinx cosx 2 sinx cosx 2sin x 所以 周期t 2 最大值為2 最小值為 2 變式備選 已知函數(shù)f x asin x x r 其中a 0 0 0 的圖象與x軸的交點中 相鄰兩個交點之間的距離為 且圖象上的一個最低點為m 2 1 求f x 的解析式 2 當(dāng)x 時 求f x 的值域 解析 1 由最低點為m 2 得a 2 由x軸上相鄰兩個交點之間的距離為 得 即t 2 由點m 2 在圖象上 得2sin 2 2 即sin 1 故 2k k z 2k k z 又 0 故f x 2sin 2x 2 x 2x 當(dāng)2x 即x 時 f x 取得最大值2 當(dāng)2x 即x 時 f x 取得最小值 1 故f x 的值域為 1 2 三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用 方法點睛 三角函數(shù)模型的實際應(yīng)用和解題步驟 1 三角函數(shù)模型的應(yīng)用主要有 根據(jù)圖象建立解析式或根據(jù)解析式作出圖象 將實際問題抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的簡單函數(shù)模型 利用收集到的數(shù)據(jù)作出散點圖 并根據(jù)散點圖進行函數(shù)擬合 從而得到函數(shù)模型 2 三角函數(shù)模型在實際中的應(yīng)用體現(xiàn)在兩個方面 一是已知三角函數(shù)模型 關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解自變量的意義及自變量與函數(shù)之間的對應(yīng)法則 二是把實際問題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題 建立三角函數(shù)模型 再利用三角函數(shù)的有關(guān)知識解決問題 其關(guān)鍵是合理建模 例4 估計某一天的白晝時間的小時數(shù)f t 的表達式是f t 其中t表示某一天的序號 t 0表示1月1日 依次類推 常數(shù) 與某地所處的緯度有關(guān) 取3 14 1 在波士頓 6 試畫出當(dāng)t 0 365 時函數(shù)f t 的圖象 2 在波士頓哪一天的白晝時間最長 哪一天的白晝時間最短 解題指南 由題目中的已知條件 利用五點法畫出g t 3sin t 79 的圖象 再向上平移12個單位可得f t 的圖象 再利用圖象可得白晝時間最長與最短的時間 規(guī)范解答 1 先用五點法作出y g t 3sin t 79 的簡圖 令 t 79 分別等于0 2 得到下表 若t 0 g 0 3sin 79 3sin 1 36 2 9 因為函數(shù)g t 的周期為365 所以g 365 2 9 將函數(shù)g t 在 0 365 上的圖象向上平移12個單位長度 就得到函數(shù)f t 的圖象 2 白晝時間最長的一天 即f t 取得最大值的一天 此時t 170 對應(yīng)的是6月20日 閏年除外 類似地 t 353時 f t 取得最小值 即12月20日白晝時間最短 反思 感悟 三角函數(shù)應(yīng)用模型的三種模式 1 給定呈周期變化規(guī)律的三角函數(shù)模型 根據(jù)所給模型 結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì) 解決一些實際問題 2 給定呈周期變化的圖象 利用待定系數(shù)法求出函數(shù)模型 再解決其他問題 3 搜集一個實際問題的調(diào)查數(shù)據(jù) 根據(jù)數(shù)據(jù)作出散點圖 通過擬合函數(shù)圖象 求出可以近似表示變化規(guī)律的函數(shù)模型 進一步用函數(shù)模型來解決問題 變式訓(xùn)練 以一年為一個周期調(diào)查某商品出廠價格及該商品在商店的銷售價格時發(fā)現(xiàn) 該商品的出廠價格是在6元基礎(chǔ)上按月份隨正弦曲線波動的 已知3月份出廠價格最高為8元 7月份出廠價格最低為4元 而該商品在商店的銷售價格是在8元基礎(chǔ)上按月份隨正弦曲線波動的 并且已知5月份銷售價最高為10元 9月份銷售價最低為6元 假設(shè)某商店每月購進這種商品m件 且當(dāng)月售完 請估計哪個月盈利最大 并說明理由 解析 6月份盈利最大 由條件可得 出廠價格y1與月份x的函數(shù)關(guān)系式為y1 2sin x 6 銷售價格y2與月份x的函數(shù)關(guān)系式為y2 2sin x 8 則利潤函數(shù)關(guān)系式為 y m y2 y1 m 2sin x 8 2sin x 6 m 2 2sinx 所以 當(dāng)x 6時 y 2 2 m 即6月份盈利最大 易錯誤區(qū) 有關(guān)三角函數(shù)性質(zhì)的易錯點 典例 2011 天津高考 已知函數(shù)f x 2sin x x r 其中 0 若f x 的最小正周期為6 且當(dāng)x 時 f x 取得最大值 則 a f x 在區(qū)間 2 0 上是增函數(shù) b f x 在區(qū)間 3 上是增函數(shù) c f x 在區(qū)間 3 5 上是減函數(shù) d f x 在區(qū)間 4 6 上是減函數(shù) 解題指南 求出函數(shù)f x 的解析式 再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)判斷 規(guī)范解答 選a 由題意可得 f x 2sin x 當(dāng)2k x 2k 即6k x 6k k z時函數(shù)是增函數(shù) 所以f x 在 2 0 上是增函數(shù) 故選a 閱卷人點撥 通過高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié) 我們可以得到以下誤區(qū)警示和備考建議 1 2011 山東高考 若函數(shù)f x sin x 0 在區(qū)間 0 上單調(diào)遞增 在區(qū)間 上單調(diào)遞減 則 a 3 b 2 c d 解析 選c 由f x sin x 0 知其圖象過原點 所以解得 2 2011 安徽高考 已知函數(shù)f x sin 2x 其中 為實數(shù) 若f x f 對x r恒成立 且f f 則f x