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第13章 動能定理13-1 圓盤的半徑r = 0.5 m，可繞水平軸O轉(zhuǎn)動。在繞過圓盤的繩上吊有兩物塊A、B，質(zhì)量分別為mA = 3 kg，mB = 2 kg。繩與盤之間無相對滑動。在圓盤上作用一力偶，力偶矩按的規(guī)律變化（M以計(jì)，以rad計(jì)）。試求由時，力偶M與物塊A、B重力所作的功之總和。解：作功力M，mAg，mBg13-3 圖示坦克的履帶質(zhì)量為m，兩個車輪的質(zhì)量均為m1。車輪被看成均質(zhì)圓盤，半徑為R，兩車輪間的距離為。設(shè)坦克前進(jìn)速度為v，試計(jì)算此質(zhì)點(diǎn)系的動能。解：系統(tǒng)的動能為履帶動能和車輪動能之和。將履帶分為四部分，如圖所示。 履帶動能： 由于，且由于每部分履帶長度均為，因此II、III段可合并看作一滾環(huán)，其質(zhì)量為，轉(zhuǎn)動慣量為，質(zhì)心速度為v，角速度為則 輪動能 則系統(tǒng)動能 13-5 自動彈射器如圖放置，彈簧在未受力時的長度為200 mm，恰好等于筒長。欲使彈簧改變10 mm，需力2 N。如彈簧被壓縮到100 mm，然后讓質(zhì)量為30 g的小球自彈射器中射出。求小球離開彈射器筒口時的速度。解：由題意得彈簧的剛度系數(shù)為 彈射過程中彈性力功重力功 動能 由動能定理知 將有關(guān)量代入v = 8.1m/s13-7 平面機(jī)構(gòu)由兩勻質(zhì)桿AB、BO組成，兩桿的質(zhì)量均為m，長度均為l在鉛垂平面內(nèi)運(yùn)動。在桿AB上作用一不變的力偶矩M，從圖示位置由靜止開始運(yùn)動。不計(jì)摩擦，試求當(dāng)滾A即將碰到鉸支座O時A端的速度。解：OB桿定軸轉(zhuǎn)動；AB桿平面運(yùn)動。（轉(zhuǎn)向如圖a）如圖b、c所示。 以B為基點(diǎn) 當(dāng)A碰O時， 由動能定理： 由得13-9 在圖示滑輪組中懸掛兩個重物，其中M1的質(zhì)量為m1，M2的質(zhì)量為m2。定滑輪O1的半徑為r1，質(zhì)量為m3；動滑輪O2的半徑為r2，質(zhì)量為m4。兩輪都視為均質(zhì)圓盤。如繩重和摩擦略去不計(jì)，并設(shè)。求重物m2由靜止下降距離h時的速度。解：以整個系統(tǒng)為對象，由題意知，M2由靜止向下運(yùn)動，可應(yīng)用動能定理確定M2的速度。 設(shè)M2下降h距離時的速度為v，則動滑輪O2的角速度 定滑輪O1的角速度 根據(jù)動能定理W12=T2-T1即故13-11 均質(zhì)連桿AB質(zhì)量為4 kg，長l = 600 mm。均質(zhì)圓盤質(zhì)量為6 kg，半徑r = 100 mm。彈簧剛度為k = 2 N/mm，不計(jì)套筒A及彈簧的質(zhì)量。如連桿在圖示位置被無初速釋放后，A端沿光滑桿滑下，圓盤做純滾動。求：（1）當(dāng)AB達(dá)水平位置而接觸彈簧時，圓盤與連桿的角速度；（2）彈簧的最大壓縮量。解：（1）桿AB處于水平位置時：，B為AB桿瞬心 （2）彈簧壓縮最大時為 此時 彈性力作功 重力作功舍去負(fù)根，得13-13 周轉(zhuǎn)齒輪傳動機(jī)構(gòu)放在水平面內(nèi)，如圖所示。已知動齒輪半徑為r，質(zhì)量為m1，可看成為均質(zhì)圓盤；曲柄OA，質(zhì)量為m2，可看成為均質(zhì)桿；定齒輪半徑為R。在曲柄上作用一不變的力偶，其矩為M，使此機(jī)構(gòu)由靜止開始運(yùn)動。求曲柄轉(zhuǎn)過角后的角速度和角加速度。解：整個系統(tǒng)在運(yùn)動過程中只有力偶矩M作功。 設(shè)曲柄OA的轉(zhuǎn)動角速度為，動齒輪的轉(zhuǎn)動角速度為。 動齒輪中心A點(diǎn)的速度 （1） 因兩齒輪嚙合點(diǎn)為動齒輪的速度瞬心，故 （2） 由式（1）、（2）得 曲柄OA的質(zhì)心C點(diǎn)的速度由動能定理得故得（與M同向）兩邊對t求導(dǎo)，消去，整理得13-15 水平均質(zhì)細(xì)桿質(zhì)量為，長為，C為桿的質(zhì)心。桿A處為光滑鉸支座，B端為一掛鉤，如圖所示。如B端突然脫落，桿轉(zhuǎn)到鉛垂位置時。問值多大能使桿有最大角速度？解：（1）上式兩邊對b求導(dǎo)，得，代入（1），得，13-17 在圖示車床上車削直徑D = 48 mm的工件，主切削力F = 7.84 kN。若主軸轉(zhuǎn)速n = 240 r/min，電動機(jī)轉(zhuǎn)速為1 420