長沙理工大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)練習(xí)冊(cè).doc

院（系） 班 姓名 學(xué)號(hào) 第一章 概率論的基本概念練習(xí)1.1 樣本空間、隨機(jī)事件一、寫出以下隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間：1.從兩名男乒乓球選手和三名女乒乓球選手中選拔一對(duì)選手參加男女混合雙打，觀察選擇結(jié)果。2.10件產(chǎn)品中有4件次品，其余全是正品，從這10件產(chǎn)品中連續(xù)抽取產(chǎn)品，每次一件，直到抽到次品為止，記錄抽出的正品件數(shù)。二、有三位學(xué)生參加高考，以表示第人考?。ǎ?試用表示以下事實(shí)：1.至少有一個(gè)考??；2.至多64738291有兩人考??；3.恰好有兩人落榜。三、投擲一枚硬幣5次，問下列事件的逆事件是怎樣的事件？1. 表示至少出現(xiàn)3次正面；2. 表示至多出現(xiàn)3次正面；3. 表示至少出現(xiàn)3次反面。四、袋中有十個(gè)球，分別編有1至10共十個(gè)號(hào)碼，從其中任取一個(gè)球，設(shè)事件表示“取得的球的號(hào)碼是偶數(shù)”， 事件表示“取得的球的號(hào)碼是奇數(shù)”， 事件表示“取得的球的號(hào)碼小于5”，則分別表示什么事件？五、在某系的學(xué)生中任選一名學(xué)生，令事件A表示“被選出者是男生”；事件B表示“被選出者是三年級(jí)學(xué)生”；事件C表示“被選出者是運(yùn)動(dòng)員”。（1）說出事件的含義；（2）什么時(shí)候有恒等式;(3) 什么時(shí)候有關(guān)系式正確;（4）什么時(shí)候有等式成立。 院（系） 班 姓名 學(xué)號(hào) 練習(xí)1.2 概率、古典概型一、 填空1.已知事件，的概率,積事件的概率,則 , , , , , .2. 設(shè)為兩個(gè)事件，,則 .3. 設(shè)為兩個(gè)任意不相容事件，,則 .4. 設(shè)為兩個(gè)事件，,0.2，則 .5. 已知0，則全不發(fā)生的概率為 .二、設(shè)是兩事件，且，,求(1) 在什么條件下，取到最大值？ (2) 在什么條件下，取到最小值？三、一批產(chǎn)品20件，其中3件次品，任取10件，求(1) 其中恰有一件次品的概率；(2) 至少有一件次品的概率。四、甲、乙兩艘油輪駛向一個(gè)不能同時(shí)停泊兩艘油輪的碼頭，它們都將在某日8時(shí)至20時(shí)抵達(dá)碼頭。甲輪卸完油要一小時(shí)，乙輪要兩小時(shí)。假設(shè)每艘油輪在8時(shí)到20時(shí)的每一時(shí)刻抵達(dá)碼頭的可能性相同。1.求甲乙兩輪都不需等候空出碼頭的概率；2.設(shè)表示甲、乙同一時(shí)刻抵達(dá)碼頭，問是否是不可能事件，并求。五、某年級(jí)有10名大學(xué)生是1986年出生的，試求這10名大學(xué)生中1.至少有兩人是同一天生日的概率；2.至少有一人在十月一日過生日的概率。六、設(shè)求證：七、設(shè)為兩個(gè)事件，,求。 院（系） 班 姓名 學(xué)號(hào) 練習(xí)1.3 條件概率、全概率公式一、填空1.設(shè)為兩個(gè)事件，,且都是已知的小于1的正數(shù)，則 ， , , ， , .2.設(shè)為兩個(gè)事件，,則 .3. 設(shè)為一完備事件組，且,則 , . 4. 已知為一完備事件組，則 .5. 設(shè)為隨機(jī)事件，且,，則 ， .二、一臺(tái)電子儀器出廠時(shí)，使用壽命1000小時(shí)以上的概率為0.6，1500小時(shí)以上的概率為0.4，現(xiàn)已使用了1000小時(shí)，求還能使用500小時(shí)以上的概率。三、有十箱產(chǎn)品，已知其中三、二、五箱分別是第一、第二、第三車間生產(chǎn)的，各車間的次品率分別是0.2，0.1，0.05，現(xiàn)在任取一箱，再從中任取一件：1.求此件為次品的概率；2.如果此件為次品，問是哪個(gè)車間生產(chǎn)的可能性最大？四、人群中患肝癌的概率為0.0004.用血清甲胎蛋白法檢查時(shí)，患有此病被確診的概率為0.95，未患被誤診的概率為0.01.問普查時(shí)，任一人被此法診斷為肝癌患者的概率有多大 ？設(shè)此人被此法診斷為肝癌患者，問此人真患有肝癌的概率有多大？比未作檢查時(shí)的概率增大了多少倍？五、有兩箱同型號(hào)的零件，箱內(nèi)裝50件，其中一等品10件；箱內(nèi)裝30件，其中一等品18件.裝配工從兩箱中任選一箱，從箱子中先后隨機(jī)地取兩個(gè)零件（不放回抽樣）。求：(1)先取出的一件是一等品的概率；(2)在先取出的一件是一等品的條件下，第二次取出的零件仍是一等品的概率。六、為了防止意外，在礦內(nèi)同時(shí)裝有兩種報(bào)警系統(tǒng)（I）和（II），每種系統(tǒng)單獨(dú)使用時(shí)，系統(tǒng)（I）和系統(tǒng)（II）有效的概率分別為0.92和0.93.在系統(tǒng)（I）失靈的情況下，系統(tǒng)（II）仍有效的概率為0.85，求兩個(gè)警報(bào)系統(tǒng)至少有一個(gè)有效的概率。七、設(shè)一人群中有37.5%的人血型為A型，20.9%為B型， 33.7%為O型，7.9%為AB型，已知能允許輸血的血型配對(duì)如下表，現(xiàn)在在人群中任選一人為輸血者，再選 一人為需要輸血者，問輸血能成功的概率是多少？（V：允許輸血；X：不允許輸血）。輸血者受血者A型B型AB型O型A型B型AB型O型 院（系） 班 姓名 學(xué)號(hào) 練習(xí)1.4 獨(dú)立性一、 填空1. 將一枚骰子獨(dú)立地先后擲兩次，以和分別表示先后擲出的點(diǎn)數(shù)，設(shè)，,則（1） ; (2) ；（3） 。2.設(shè)為兩個(gè)相互獨(dú)立的事件，則 。3. ,為相互獨(dú)立的事件,則（1）至少出現(xiàn)一個(gè)的概率為 ；（2）恰好出現(xiàn)一個(gè)的概率為 ；（3）最多出現(xiàn)一個(gè)的概率為 。4.設(shè)，0.6，那么：（1）若為互不相容的事件，則 ；（2）若為相互獨(dú)立的事件，則 ；（3）若，則 .二、設(shè)5件產(chǎn)品中2件是次品3件是正品，對(duì)每件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，令表示被檢驗(yàn)到的那件產(chǎn)品是次品，則2/5, 3/5.對(duì)一件產(chǎn)品作檢驗(yàn)可看成一次試驗(yàn)，于是作了5次試驗(yàn)，據(jù)二項(xiàng)概率公式可知，事件恰好發(fā)生2次的概率為.因此這5件產(chǎn)品中恰有2件次品的概率為0.3456，另一方面這5件產(chǎn)品恰有2件次品是已有的事實(shí)，因此其概率為1，從而1=0.3456，請(qǐng)找出理由推翻此“等式”。三、甲、乙、丙三人各自去破譯一個(gè)密碼，他們能譯出的概率分別為1/5,1/3,1/4,試求：(1) 恰有一人譯出的概率；（2）密碼能破譯的概率。四、某種電阻的次品率為0.01，作有放回抽樣4次，每次一個(gè)電阻，求恰有2次取到次品的概率和至少有3次取到次的概率。五、某類燈泡使用時(shí)數(shù)在1000小時(shí)以上的概率為0.2，求三個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)以后最多只有一個(gè)壞了的概率。六、加工某一零件共需要經(jīng)過三道工序，設(shè)第一、二、三道工序的次品率分別是0.02，0.03，0.05，假設(shè)各道工序是互不影響的，問加工出來的零件是次品的概率是多少？七、甲、乙兩個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員，投籃命中率分別為0.7及0.6，每人各投了3次，求二人進(jìn)球數(shù)相等的概率。八、若事件相互獨(dú)立，證明也相互獨(dú)立 院（系） 班 姓名 學(xué)號(hào) 自測(cè)題（第一章）一、 填空（每空2分）1.幾何概率中，每個(gè)樣本點(diǎn)的發(fā)生具有 ，而樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 。2.若事件 ,則稱互斥。 若又 ,則稱互逆。3.若事件 ,則,否則 .4.設(shè)為兩事件且，則 ,當(dāng) 時(shí)，.5.事件發(fā)生，而事件和至少發(fā)生一個(gè)這一事實(shí)可表示成 。事件發(fā)生，必導(dǎo)致事件和至少發(fā)生一個(gè)這一事實(shí)可表示成 。6. 表示投擲10次錢幣時(shí)，至少出現(xiàn)4次正面，則表示 正面或 反面。7.在圖書館任取一本書，設(shè)=是數(shù)學(xué)書，=是中文版的，=90年后出版的，則當(dāng)圖書館里 時(shí)，有,當(dāng) 時(shí)，有.二、判斷正誤（每小題3分）1.若事件的概率,則. ( )2.對(duì)任兩事件，有. ( )3.若=男足球隊(duì)員，則=女足球隊(duì)員。 （ ）4.若事件有關(guān)系,則. ( )5.若事件相互獨(dú)立，則也相互獨(dú)立。 ( )6.口袋中有四個(gè)球，其中三個(gè)球分別是紅、白、黃色的，另一個(gè)球染有紅、白、黃三色?，F(xiàn)從口袋中任取一球，觀察其顏色。令=球染有紅色，=球染有白色，=球染有黃色，那么事件相互獨(dú)立。 ( ) 三、寫出以下兩個(gè)試驗(yàn)的樣本空間（每小題5分）1.10件產(chǎn)品有3件是次品，其余均是正品。每次從中任取一件（取后不放回），直到3件次品全取出為止，記錄取的次數(shù)。2.30名學(xué)生進(jìn)行一次考試，觀察平均成績（個(gè)人成績采用百分制）。四、（12分）設(shè)兩相互獨(dú)立的事件都不發(fā)生的概率為1/9，發(fā)生不發(fā)生的概率與發(fā)生不發(fā)生的概率相等，求。五、（10分）一個(gè)班組有7男3女十名工人，現(xiàn)要派4人去學(xué)習(xí)，求4名代表中至少有2名女工的概率。六、（10分）甲、乙、丙三人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼，他們能單獨(dú)譯出的概率分別為1/5,1/3,1/4， 求此密碼未被丙譯出而甲、乙至少有一個(gè)譯出的概率。七、（12分）一種產(chǎn)品的正品率為0.96，使用一種簡易方法檢驗(yàn)時(shí)，將正品判為正品的概率為0.98，將次品誤判為正品的概率為0.05?，F(xiàn)任取一件用此法檢驗(yàn)。1.求此件被判為正品的概率；2.當(dāng)判為正品時(shí)，求此件確是正品的概率。 院（系） 班 姓名 學(xué)號(hào) 第二章 隨機(jī)變量練習(xí)2.1 隨機(jī)變量及其分布函數(shù)一、填空1.隨機(jī)變量的分布函數(shù)是事件 的概率。2用隨機(jī)變量的分布函數(shù)表達(dá)下述概率： ; ; ; .3.若,，其中,則 .二、分析下列函數(shù)中，哪個(gè)是隨機(jī)變量的分布函數(shù)？(1) ; (2) ; (3) .三、設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)有如下形式：,試填上(1),(2),(3)項(xiàng)。四、設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為,求（1）與;(2) . 院（系） 班 姓名 學(xué)號(hào) 練習(xí)2.2 離散型隨機(jī)變量及其分布一、 填空(1) 設(shè)隨機(jī)變量的分布列為,則 .(2)設(shè)隨機(jī)變量的分布列為1 3 6 80.2 0.1 0.4 0.3則= .(3)在一批10個(gè)零件中有8個(gè)標(biāo)準(zhǔn)件，從中任取2個(gè)零件，這2個(gè)零件中標(biāo)準(zhǔn)件的分布列是 .(4）已知隨機(jī)變量只能取-1,0,1,2四個(gè)數(shù)值，其相應(yīng)的概率依次為,則= .(5)設(shè)隨機(jī)變量的分布律為,為常數(shù)，試確定= .二、設(shè)在15只同類型的零件中有2只是次品，在其中取3次，每次任取一只作不放回抽樣，以表示取出的次品數(shù)，求的分布列。三、某一設(shè)備由一個(gè)獨(dú)立工作的元件構(gòu)成，該設(shè)備在一次試驗(yàn)中每個(gè)元件發(fā)生故障的概率為0.1。試求出該設(shè)備在一次試驗(yàn)中發(fā)生故障的元件數(shù)的分布列。四、為自然數(shù)）是一隨機(jī)變量的概率分布嗎？為什么？五、一大樓裝有5個(gè)同類型的供水設(shè)備，調(diào)查表明，在任一時(shí)刻每個(gè)設(shè)備被使用的概率為0.1，求在同一時(shí)刻（1）恰有2個(gè)設(shè)備被使用的概率；（2）至少有一個(gè)設(shè)備被使用的概率。六、設(shè)每次射擊擊中目標(biāo)的概率為0.001。如果射擊5000次，試求擊中兩次或兩次以上的概率。七、有2500名同一年齡和同一社會(huì)階層的人參加了保險(xiǎn)了保險(xiǎn)公司的人壽保險(xiǎn)。在一年中每個(gè)人死亡的概率為0.002，每個(gè)參加保險(xiǎn)的人在1月1日須交12元保險(xiǎn)費(fèi)，而在死亡時(shí)家屬可以保險(xiǎn)公司領(lǐng)取2000元賠償金，求：（1）保險(xiǎn)公司虧本的概率；（2）保險(xiǎn)公司獲利分別不少于10000元、20000元的概率。 院（系） 班 姓名 學(xué)號(hào) 練習(xí)2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布一、 填空(1) 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，則 .(2)設(shè),且,則 。(3)設(shè)隨機(jī)變量的概率密度,則 。(4)設(shè)測(cè)量某一目標(biāo)的距離時(shí)發(fā)生的隨機(jī)誤差為（米），且，則在一次測(cè)量中誤差的絕對(duì)值不超過30米的概率為 。(5)設(shè)電阻的阻值為一個(gè)隨機(jī)變量，且均勻分布在900歐1100歐，則的概率密度函數(shù)為 ，分布函數(shù)為 。(6)若隨機(jī)變量的概率密度為則 , , , .(7) 設(shè)服從正態(tài)分布,則 , ,若,則 .(8)已知電氣元件壽命服從指數(shù)分布：假設(shè)儀器裝有5個(gè)這樣元件且其中任一個(gè)元件損壞時(shí)儀器即停止工作，則儀器無故障工作1000小時(shí)以上的概率為 .二、某學(xué)生求得一連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為試問該學(xué)生計(jì)算是否正確。三、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為試求分布函數(shù)及.四、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為.求（1）系數(shù); (2) ; (3) 的分布函數(shù)。五、設(shè)某儀器有三只獨(dú)立工作的同型號(hào)電子元件，其壽命（小時(shí)）都服從同一指數(shù)分布，概率密度為試求在儀器使用的最初200小時(shí)內(nèi)，至少有一只元件損壞的概率。六、設(shè)隨機(jī)變量在上服從均勻分布，現(xiàn)對(duì)進(jìn)行三次獨(dú)立觀測(cè)，求至少有兩次的觀測(cè)值大于3的概率。七、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為試確定常數(shù),并求其分布函數(shù) 院（系） 班 姓名 學(xué)號(hào) 練習(xí)2.4 隨機(jī)變量函數(shù)的分布一、填空1.設(shè)的分布列為 0 1 2 3 41/12 1/6 1/3 1/12 1/4 1/12 則的分布列為 。2.設(shè)可能取值為1，2，并設(shè),令，則的分布列為 。3.設(shè)的概率密度為,則的概率密度為 。4.設(shè)的概率密度為,則的概率密度為 。5.若是正態(tài)總體的一組簡單隨機(jī)樣本，則服從 。6.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為則的函數(shù)的概率密度 。二、設(shè),求證也服從正態(tài)分布。三、測(cè)量球的直徑，設(shè)其值服從上的均勻分布，求球的體積的分布密度。四、設(shè)隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，求隨機(jī)變量的分布密度。五、已知離散型隨機(jī)變量的分布列為：-2-10121/51/61/51/1511/30試求：(1) ; (2) 的分布列。六、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為求的概率密度。七、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為求的概率密度。 院（系） 班 姓名 學(xué)號(hào) 自測(cè)題（第二章）一、 填空（每小題4分）1.將一枚勻質(zhì)硬幣拋擲三次，設(shè)為三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，則 。2.設(shè)在內(nèi)服從均勻分布，則落在內(nèi)的概率為 。3.設(shè)的概率密度為則= 。4.設(shè)的分布函數(shù)為則的概率密度為 。5.若某電話交換臺(tái)每分鐘的呼喚次數(shù)服從參數(shù)為4的泊松分布，則每分鐘恰有8次呼喚的概率為 。二、判斷正誤（每小題4分）1.函數(shù)一定是某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)； （ ） 1 2 3 0.3 0.4 0.52.設(shè)則它必為某隨機(jī)變量的分布列； （ ）3.設(shè)的分布密度為，則當(dāng)時(shí)，有; ( )4.若，則也是一隨機(jī)變量，且 ( )三、（12分）設(shè)分布，其分布列為,其中,求的分布函數(shù)，并作出其圖形。四、（13分）設(shè)服從泊松分布，且,求.五、（15分）設(shè)一支步槍擊中飛機(jī)的概率為0.005，試求當(dāng)1000支步槍同時(shí)開火時(shí)，1.飛機(jī)被擊中的概率；2. 飛機(jī)恰中一彈的概率。六、（12分）隨機(jī)變量在內(nèi)的分布密度為,在外為0，求隨機(jī)變量的分布密度。七、（12分）若隨機(jī)變量在內(nèi)服從均勻分布，則方程有實(shí)根的概率為多大？ 院（系） 班 姓名 學(xué)號(hào) 第三章 隨機(jī)向量練習(xí)3.1 二維隨機(jī)向量及其分布一、 填空1.設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為,則 ;2. 設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為,則 ;3.設(shè)二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)為,則二維隨機(jī)變量的概率密度為 ;4. 設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為,則二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)為 ;5.用的聯(lián)合分布函數(shù)表示下述概率：（1） ; （2） ;（3） ; （4） .二、擲二枚硬幣，以表示第一枚硬幣出現(xiàn)正面的次數(shù)，表示第二枚硬幣出現(xiàn)正面的次數(shù)，試求二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布。三、設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度,試求。四、設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度,求:(1) 系數(shù); (2) 落在內(nèi)的概率。五、設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律如下表： 011/41/421/6試求：（1）的值；（2）的聯(lián)合分布函數(shù). 院（系） 班 姓名 學(xué)號(hào) 練習(xí)3.2-3.3 二維隨機(jī)變量的邊緣分布和條件分布一、 設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度1. 試確定常數(shù)；2. 求邊緣概率密度。二、設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量在以原點(diǎn)為中心，各邊平行于坐標(biāo)軸，邊長為和的矩形內(nèi)服從均勻分布，求：1. 的概率密度；2.關(guān)于和的邊緣分布密度。三、已知的概率密度函數(shù)為,而且在及的條件下關(guān)于的條件分布如下表：試求：1. 二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律；1231/72/74/71/21/31/6 2. 關(guān)于的邊緣分布； 3. 在的條件下關(guān)于的條件分布律。四、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度求條件概率密度. 院（系） 班 姓名 學(xué)號(hào) 練習(xí)3.4 隨機(jī)變量的獨(dú)立性一、 填空1.設(shè)的聯(lián)合分布律如下表所示，則 時(shí)，與相互獨(dú)立。 101/1511/521/53/102. 離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為：(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)1/61/91/181/3若與獨(dú)立，則 ， 。二、設(shè)的聯(lián)合分布為 0109/256/2516/254/25判斷與是否相互獨(dú)立。三、設(shè)的概率密度為：試求關(guān)于與的邊緣分布密度，且問與是否相互獨(dú)立。四、設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為 1/91/91/3若與相互獨(dú)立，求參數(shù)的值。五、設(shè)為上的均勻分布，求1.關(guān)于與的邊緣分布密度；2. 判斷與是否獨(dú)立。六、設(shè)與是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，在（0，0.2）上服從均勻分布，的概率密度是1.求與的聯(lián)合分布密度；2.求. 院（系） 班 姓名 學(xué)號(hào) 練習(xí)3.5 兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布一、 填空1.設(shè)與是相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別為,則的分布函數(shù)是 ，的分布函數(shù)是 。2.設(shè)隨機(jī)變量與是相互獨(dú)立，且，則仍具有正態(tài)分布，且有 。3.已知隨機(jī)變量，且與是相互獨(dú)立的，則 。二、設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量與的分布律分別為13 0.30.7240.60.4 求的分布律。三、兩個(gè)相互獨(dú)立的均勻分布的隨機(jī)變量與的分布密度分別為：求的概率密度。四、設(shè)與是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們分別服從參數(shù)為的泊松分布，證明服從參數(shù)為的泊松分布.五、設(shè)隨機(jī)變量的分布密度為,試求的分布函數(shù)和分布密度。六、設(shè)隨機(jī)變量的分布密度為,求的分布函數(shù)。七、設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且服從同一分布，證明：八、設(shè)某種型號(hào)的電子管的壽命（以小時(shí)計(jì)）近似地服從分布，隨機(jī)地選取4只，求其中沒有一只壽命小于180的概率。 院（系） 班 姓名 學(xué)號(hào) 自測(cè)題(第三章)一、填空（每小題4分）1.設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布律如表（1），則 .2.設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布律如表（2），則 . 0101/61/311/921/181/9 123410.100.1020.300.10.2300.200 (1) (2)3設(shè)與的分布律分別為0101,且與相互獨(dú)立，則的分布律為 .4. 設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量與均在0，1上服從均勻分布，則的概率密度為 .二、（15分）設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為：(1) 確定常數(shù); (2) 求的分布函數(shù)。三、（10分）設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為：，求關(guān)于、的邊緣分布密度。四、（15分）設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且它們的概率密度分別為：, 試求：1. 的聯(lián)合分布密度與分布函數(shù)；2. .五、（10分）設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為：求的概率密度，且問與是否相互獨(dú)立？六、（10分）設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量與的概率密度分別為：, 試求的分布密度。七、（10分）設(shè)隨機(jī)變量與的聯(lián)合分布是正方形上的均勻分布，試求隨機(jī)變量的概率密度.八、(14分)設(shè)二維隨機(jī)變量的密度函數(shù)為：（1） 確定常數(shù); （2） 求邊緣分布密度;（3） 求的聯(lián)合分布密度；（4） 討論與的獨(dú)立性；（5） 求. 院（系） 班 姓名 學(xué)號(hào) a) 隨機(jī)變量的數(shù)字特征練習(xí)4.1 數(shù)學(xué)期望一、 填空1.設(shè)隨機(jī)變量的分布律為：0120.20.10.30.4則 ; ; ; .2. 隨機(jī)變量的分布函數(shù)為則 ; ; ; .3. 設(shè)隨機(jī)變量的分布密度為：則 ; ; ; .4. 設(shè)隨機(jī)變量,則 .5. 設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為則 .6. 設(shè),則 .7. 若隨機(jī)變量的期望存在，則 .8. 設(shè)都服從0，2上的均勻分布，則 .9. 設(shè)的聯(lián)合分布律如下表所示，則 . 012-11/101/207/2023/101/101/10二、對(duì)一臺(tái)儀器進(jìn)行重復(fù)測(cè)試，直到發(fā)生故障為止，假定測(cè)試是獨(dú)立進(jìn)行的，每次測(cè)試發(fā)生故障的概率均為0.1，求試驗(yàn)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望。三、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為,試求數(shù)學(xué)期望.四、對(duì)圓的直徑作近似測(cè)量，設(shè)其值均勻分布在區(qū)間內(nèi)，求圓面積的數(shù)學(xué)期望。五、平面上點(diǎn)的坐標(biāo)為,其中,過點(diǎn)的直線與軸的夾角為，交軸于點(diǎn)，已知在上均勻分布，求的面積的數(shù)學(xué)期望。六、設(shè)與是相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量，密度函數(shù)分別為： 求. 院（系） 班 姓名 學(xué)號(hào) 練習(xí)4.2 方差一、 填空1. 設(shè)為隨機(jī)變量，且,則2. 設(shè)，則3. 已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，且,則二項(xiàng)分布的參數(shù) , 。4. 設(shè)隨機(jī)變量的期望存在，且,為常數(shù)，則 .5. 設(shè)隨機(jī)變量服從某一區(qū)間上的均勻分布，且，則的概率密度為 , , .6. 設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的泊松分布，且,則 , .7. 設(shè)為一隨機(jī)變量，若,則 .8. 設(shè)隨機(jī)變量的期望為一非負(fù)值，且,則 。9. 若隨機(jī)變量,則服從 分布。10. 若隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且服從相同的兩點(diǎn)分布，則服從 分布，且 , .二、設(shè)隨機(jī)變量的分布律為其中為常數(shù)，求。三、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，其中的常數(shù)，求。四、（1）設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且有設(shè),求.(2)設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且求的分布。五、證明事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生次數(shù)的方差不超過1/4.六、設(shè)的聯(lián)合分布律如下表所示，求 123-101/153/1502/155/154/15 院（系） 班 姓名 學(xué)號(hào) 練習(xí)4.3 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)一、 填空1. 設(shè)，則 .2. 設(shè)兩隨機(jī)變量與的方差分別為25和16，相關(guān)系數(shù)為0.4，則 ； 。3. 設(shè)與是兩相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率分布分別為：,在（，1）上服從均勻分布，則 。4.如果存在常數(shù),使,且,那么為 。5. 如果與滿足,則必有與 。二、設(shè)隨機(jī)變量具有概率密度,求。三、設(shè)隨機(jī)變量與的方差分別為25和36，相關(guān)系數(shù)為0.4，求及.四、已知三個(gè)隨機(jī)變量、中， ,設(shè),求.五、設(shè)隨機(jī)變量具有概率密度,試證與是不相關(guān)的，但是與不是相互獨(dú)立的。六、設(shè)與是兩個(gè)隨機(jī)變量，已知, , , , , 求：（1），;（2），.七、假設(shè)隨機(jī)變量在區(qū)間0,2上均勻分布，求與的相關(guān)系數(shù) 院（系） 班 姓名 學(xué)號(hào) 第五章 大數(shù)定律和中心極限定理一、設(shè)隨機(jī)變量的方差為2.5，試?yán)们斜妊┓虿坏仁焦烙?jì)概率的值。二、設(shè)某批產(chǎn)品的次品率為,現(xiàn)從這批產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取1000件，求抽得次品數(shù)在90到100件的概率。三、設(shè)某單位有200臺(tái)電話機(jī)，每臺(tái)電話大約有5%的時(shí)間要使用外線通話，若每臺(tái)電話是否使用外線是相互獨(dú)立的，問該單位總機(jī)至少需要安裝多少條外線，才能以90%以上的概率保證每臺(tái)電話機(jī)需要使用外線時(shí)不被占用。四、設(shè)一大批電子元件中，合格品占，從中任意選購6000個(gè)，試問把誤差限定為多少時(shí)，才能保證合格品的頻率與概率之差的絕對(duì)值不大于的概率為0.99？此時(shí)，合格品數(shù)在哪個(gè)范圍內(nèi)？五、如果為正的單調(diào)遞增函數(shù)，而存在，試證明.六、擲均勻硬幣4000次，求正面出現(xiàn)的頻率與概率之差的絕對(duì)值不超過0.01的概率。七、設(shè)男孩出生率為0.515，求在10000個(gè)新生嬰兒中女孩不少于男孩的概率？ 院（系） 班 姓名 學(xué)號(hào) 自測(cè)題（第四、五章）一、 填空1. 設(shè)在上服從均勻分布，其分布密度 ，2. 設(shè)服從參數(shù)為的指數(shù)分布，其分布密度 ，3. 設(shè),則 4. 當(dāng)與相互獨(dú)立時(shí)，則與 相關(guān)；當(dāng)與不相關(guān)時(shí)，則與 獨(dú)立。5. 設(shè)與的方差為相關(guān)系數(shù)，則.二、設(shè)二維隨機(jī)變量具有概率密度,求數(shù)學(xué)期望,方差，協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)。三、已知隨機(jī)變量的概率分布密度為,求及。四、設(shè)隨機(jī)變量的概率分布密度為,求及。五、設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且都服從密度為的分布，求(1) 的分布密度；（2）.六、設(shè)隨機(jī)變量服從泊松分布，且，證明.七、設(shè)為連續(xù)隨機(jī)變量，概率密度滿足：當(dāng)時(shí)，,求證：. 院（系） 班 姓名 學(xué)號(hào) 第六章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念練習(xí)6.1 隨機(jī)樣本一、 填空：1. 設(shè)為總體，若滿足條件 和 ,則稱為從總體得到的容量為的簡單隨機(jī)樣本，簡稱為樣本。2.樣本均值樣本方差二、在五塊條件基本上相同的田地上種某種家作物，畝產(chǎn)量分別為92，94，103，105，106（單位：斤），求樣本均值和樣本方差。三、設(shè)總體服從均值為的指數(shù)分布，為的一個(gè)樣本，求 ,.四、設(shè)為（01）分布的一個(gè)樣本，,求,.五、設(shè)總體,為的一個(gè)樣本, 未知，求對(duì)每個(gè)應(yīng)取多大，才能保證. 院（系） 班 姓名 學(xué)號(hào) 練習(xí)6.2 抽樣分布一、 已知總體,其中已知而未知，設(shè)為取自總體的一個(gè)樣本，試指出下面哪些是統(tǒng)計(jì)量，哪些不是統(tǒng)計(jì)量：1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. 二、從總體隨機(jī)抽取一容量為36的樣本，求樣本均值落在50.8到53.8之間的概率。三、設(shè)為的一相樣本，求.提示：令,則.四、在總體中隨機(jī)抽取容量為100的樣本，問樣本均值與總體均值的差的絕對(duì)值大于3的概率是多少？五、求總體的容量分別為10，15的兩獨(dú)立樣本均值的絕對(duì)值大于0.3的概率。六、查表求出下列諸值：,七、設(shè)是總體的一個(gè)樣本，為未知，而,求. 院（系） 班 姓名 學(xué)號(hào) 練習(xí)7.17.2 點(diǎn)估計(jì)和估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)一、 設(shè)為的一個(gè)樣本，求的極大似然估計(jì)。二、設(shè)為總體的一個(gè)樣本，的密度函數(shù)為,參數(shù)的極大似然估計(jì)與矩法估計(jì)量。三、設(shè)為總體的一個(gè)樣本的密度函數(shù)為,參數(shù)的極大似然估計(jì)與矩法估計(jì)量。四、 總體的概率分布為0123其中是未知參數(shù)，利用總體的如下樣本值 3， 1， 3， 0， 3， 1， 2， 3，求的矩估計(jì)值和極大似然估計(jì)值。五、 設(shè)為泊松分布的一個(gè)樣本，試證樣本方差是的無偏估計(jì),并且，對(duì)于任意值也是的無偏估計(jì)。提示：六、設(shè)總體的一個(gè)樣本，試適當(dāng)選擇常數(shù),使為的無偏估計(jì)。提示： 院（系） 班 姓名 學(xué)號(hào) 練習(xí)7.3 區(qū)間估計(jì)一、 填空題1. 設(shè)總體，的置信度為置信區(qū)間為 。2. 設(shè)，與均未知，則與的置信度為置信區(qū)間為 和 。二、隨機(jī)地從一批釘子中抽取16枚，測(cè)得其長度（以厘米計(jì)）為2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.11 2.14設(shè)釘子長分布為正態(tài)的，試求總體均值的90%的置信區(qū)間：1. 若已知厘米；2. 若為未知。三、隨機(jī)地抽取某種炮彈9發(fā)做實(shí)驗(yàn)，得炮口速度的樣本標(biāo)準(zhǔn)差為11（米/秒）。設(shè)炮口速度服從正態(tài)分布，求這種炮彈的炮口速度的標(biāo)準(zhǔn)差的95%的置信區(qū)間。四、測(cè)量鉛的比重16次，得,試求鉛的比重的95%的置信區(qū)間。設(shè)測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布，并知測(cè)量無系統(tǒng)誤差。五、對(duì)方差為已知的正態(tài)總體來說，問抽取容量為多大的樣本，方使總體均值的置信度為的置信區(qū)間長度不大于. 院（系） 班 姓名 學(xué)號(hào) 自測(cè)題（第七章）一、 填空題（每空5分共40分）1. 設(shè)總體的分布含有未知參數(shù)，對(duì)于給定的數(shù)依樣本確定的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量，滿足則 叫做置信度為 的置信區(qū)間。2. 設(shè)是來自泊松分布的樣本，為未知參數(shù)，則的概率分布為 ；設(shè)時(shí)，樣本的一組觀測(cè)值為（1，2，4，3，3，4，5，6，4，8），則樣本均值為 ；樣本方差為 。3. 設(shè)總體服從指數(shù)分布，,為未知參數(shù)，是來自的樣本，則未知參數(shù)的矩估計(jì)量是 ；極大似然估計(jì)量是 。4. 設(shè)總體，若均為未知參數(shù)，總體均值的置信水平為的置信區(qū)間為,則的值為 。二、（10分）設(shè)總體分布，若使的置信水平為的置信區(qū)間長度為5，試問樣本容量最小應(yīng)為多少？三、（10分）設(shè)總體的分布密度為,為的樣本，求：1. 的矩法估計(jì)量; 2. ,并判斷是否為的無偏估計(jì)量。四、（10分）設(shè)總體的樣本，試證統(tǒng)計(jì)量：; ;都是總體期望的無偏估計(jì)。五、（15分）設(shè)總體的分布函數(shù)為,其中未知參數(shù)設(shè)為來自總體的樣本。1.當(dāng)時(shí)，求的矩估計(jì)量；2.當(dāng)時(shí)，求的極大似然估計(jì)量；3.當(dāng)時(shí)，求的極大似然估計(jì)量。六、（15分）設(shè)總體的概率密度為,其中是未知參數(shù)，從總體中抽取簡單隨機(jī)樣本，記.1.求總體的分布函數(shù); 2.求統(tǒng)計(jì)量的分布函數(shù)；3.如果用作為的估計(jì)量，討論它是否具有無偏性。練習(xí) 1.1一、1. 2. 二、1. ; 2. ; 3. .三、1. =至多出現(xiàn)2次正面；2. =至少出現(xiàn)4次正面；3. =至多出現(xiàn)2次反面四、五、（1）該生是三年級(jí)男生 但不是運(yùn)動(dòng)員；（2）當(dāng)某系的運(yùn)動(dòng)員全是三年級(jí)男生時(shí)；（3）當(dāng)某系除三年級(jí)外其它年級(jí)的學(xué)生都不是運(yùn)動(dòng)員時(shí)；（4）當(dāng)某系三年級(jí)的學(xué)生都是女生，而其它年級(jí)都沒有女生時(shí)。練習(xí) 1.2一、1. 0.9， 0.3， 0.6， 0.7， 0.2， 0.9；2. 0.6；3. ; 4. 0.7; 5. 7/12.二、當(dāng)時(shí)，取到最小值為0.3；當(dāng)時(shí)，取到最大值0.6。三、; .四、1. ；2. ，但.五、.六、提示：利用.七、,而 故練習(xí) 1.3一、1. . 2. 0.54; 3. 0.2, 0; 4. 1/18; 5. 0.829, 0.988二、。三、1.0.105；2.第一車間。四、0.010376，0.0376， 90。 五、1. ；2.0.4856。 六、0.988。七、61.98%。練習(xí) 1.4一、1. 1/3, 1/15, 17/36; 2. 0.52; 3. 26/27, 4/9, 7/27; 4. 0.3, 3/7, 0.6.