初二數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座07二次根式的運(yùn)算解答提示解讀.doc

第七講 二次根式的運(yùn)算 式子 (0)叫二次根式，二次根式的運(yùn)算是以下列運(yùn)算法則為基礎(chǔ) (1) (0)； (2) ()； (3) ()； (4)(0) 同類二次根式，有理化是二次根式中重要概念，它們貫穿于二次根式運(yùn)算的始終，因?yàn)槎胃降募訙p實(shí)質(zhì)就是合并同類二次根式，二次根式除法、混合運(yùn)算常用到有理化概念二次根式的運(yùn)算是在有理式(整式、分式)運(yùn)算的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，常常用到有理式運(yùn)算的方法與技巧，如換元、字母化、拆項(xiàng)相消、分解相約等例題求解【例1】 已知，則= (重慶市競(jìng)賽題) 思路點(diǎn)撥 因一個(gè)等式中含兩個(gè)未知量，初看似乎條件不足，不妨從二次根式的定義入手 注： 二次根式有如下重要性質(zhì)： (1)，說(shuō)明了與、一樣都是非負(fù)數(shù)； (2) (0)，解二次根式問(wèn)題的途徑通過(guò)平方，去掉根號(hào)有理化； (3) ，揭示了與絕對(duì)值的內(nèi)在一致性著名數(shù)學(xué)教育家玻利亞曾說(shuō)，“回到定義中去”，當(dāng)我們面對(duì)條件較少的問(wèn)題時(shí)，記住玻利亞的忠告，充分運(yùn)用概念解題 提示：【例2】 化簡(jiǎn)，所得的結(jié)果為（ ）(武漢市選拔賽試題) A B CD思路點(diǎn)拔 待選項(xiàng)不再含根號(hào)，從而可預(yù)見(jiàn)被開(kāi)方數(shù)通過(guò)配方運(yùn)算后必為完全平方式形式提示：原式= （C） 【例3】計(jì)算： （1）； （2）； （3）；（4） 思路點(diǎn)撥 若一開(kāi)始就把分母有理化，則使計(jì)算復(fù)雜化，觀察每題中分子與分母的數(shù)字特點(diǎn)，通過(guò)分拆、分解、一般化、配方等方法尋找它們的聯(lián)系，以此為解題的突破口（1）原式= （2）原式=（3）考慮一般情形原式（4）【例4】 (1)化簡(jiǎn)； (北京市競(jìng)賽題)(2)計(jì)算 (“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)(3) 計(jì)算 (湖北省孝感市“英才杯”競(jìng)賽題)思路點(diǎn)撥 （1）把4+2萬(wàn)與42分別化成一個(gè)平方數(shù)化簡(jiǎn)，原式此外，由于4+2與42是互為有理化因式，因此原式平方后是一個(gè)正整數(shù)，我們還可以運(yùn)用這一特點(diǎn)求解；原式(2) 原式(3)通過(guò)配方可以簡(jiǎn)化一重根號(hào)，本題的關(guān)鍵是就的取值情況討論，解決含根號(hào)、絕對(duì)值符號(hào)的綜合問(wèn)題原式 【例5】 已知，求的值(山東省競(jìng)賽題)思路點(diǎn)撥 已知條件是一個(gè)含三個(gè)未知量的等式，三個(gè)未知量，一個(gè)等式怎樣才能確定未知量的值呢?考慮從配方的角度試一試原式可化為：即，因此有，得；，得；，得。故。學(xué)歷訓(xùn)練1如果，那么= 2已知，那么的值為 (成都市中考題)提示：原式3計(jì)算= (天津市選拔賽試題)原式4若 ab0，則等式成立的條件是 (淄博市中考題)，即故，因此， ，5如果式子 化簡(jiǎn)的結(jié)果為，則x的取值范圍是( B ) Ax1 Bx2 C1x2 Dx 0 (徐州市中考題)6如果式子 根號(hào)外的因式移入根號(hào)內(nèi)，化簡(jiǎn)的結(jié)果為（ C ） A B C D7已知，則的值為( D ) A B C D8已知，那么的值等于（ ）A B C D3 9計(jì)算： (1)； （2）； （3）；（4） (“希望杯”邀請(qǐng)賽試題) 10(1)已知與的小數(shù)部分分別是a和b，求ab3a+4b+8的值； (2)設(shè)，n為自然數(shù)，如果成立，求n11如圖，某貨船以20海里時(shí)的速度將一批重要物資由A處運(yùn)往正西方向的B處，經(jīng)16小時(shí)的航行到達(dá)，到達(dá)后必須立即卸貨此時(shí)，接到氣象部門(mén)通知，一臺(tái)風(fēng)中心正以40海里時(shí)的速度由A向北偏西60方向移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心200海里的圓形區(qū)域(包括邊界)均會(huì)受到影響 （1）問(wèn)：B處是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響?請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)為避免受到臺(tái)風(fēng)的影響，該船應(yīng)在多少小時(shí)內(nèi)卸完貨物? (供選用數(shù)據(jù)：，) (貴陽(yáng)市中考題)12已知，那么= (杯全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)13若有理數(shù)x、y、z滿足，則= (北京市競(jìng)賽題)14設(shè)，其中a為正整數(shù)，b在0，1之間，則= 15正數(shù)m、n滿足，則= (北京市競(jìng)賽題)16化簡(jiǎn)等于( ) A54 B4一1 C 5 D1 (全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)17若，則等于( ) (2004年武漢市選拔賽試題) A B C1 D118若都是有理數(shù)，那么和 ( ) (“希望杯”邀請(qǐng)賽試題) A都是有理數(shù) B一個(gè)是有理數(shù)，另一個(gè)是無(wú)理數(shù) C都是無(wú)理數(shù) D有理數(shù)還是無(wú)理數(shù)不能確定19下列三個(gè)命題： 若，是互不相等的無(wú)理數(shù)，則+是無(wú)理數(shù)； 若，是互不相等的無(wú)理數(shù)，則是無(wú)理數(shù)； 若，是互不相等的無(wú)理數(shù)，則是無(wú)理數(shù)其中正確命題的個(gè)數(shù)是( ) A 0 B1 C2 D3 (全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)提示：是有理數(shù)；答案A是有理數(shù)； 是有理數(shù)。20計(jì)算：（1）； （2）； （3）；(4) ； (5) 提示：（1）原式；（2）原式； （3）先看通項(xiàng)故原式（4）原式； （5）原式21(1)求證；(2)計(jì)算（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）提示：（1）因?yàn)椋栽阶筮?右邊（2）設(shè)，則原式22(1)，求的值；(2)設(shè)x、y都是正整數(shù)，且使，求y的最大值 (上海市競(jìng)賽題)提示：(1)注意到，原可化為： 故=（2）設(shè)，23試將實(shí)數(shù)改寫(xiě)成三個(gè)正整數(shù)的算術(shù)根之和(200