初中數(shù)學(xué)行程問(wèn)題專(zhuān)題

初中列方程解應(yīng)用題（行程問(wèn)題）專(zhuān)題行程問(wèn)題是指與路程、速度、時(shí)間這三個(gè)量有關(guān)的問(wèn)題。我們常用的基本公式是: 路程速度時(shí)間；速度路程時(shí)間；時(shí)間路程速度.行程問(wèn)題是個(gè)非常龐大的類(lèi)型,多年來(lái)在考試中屢用不爽,所占比例居高不下。原因就是行程問(wèn)題可以融入多種練習(xí),熟悉了行程問(wèn)題的學(xué)生,在多種類(lèi)型的習(xí)題面前都會(huì)顯得得心應(yīng)手。下面我們將行程問(wèn)題歸歸類(lèi)，由易到難，逐步剖析。1. 單人單程：例1：甲，乙兩城市間的鐵路經(jīng)過(guò)技術(shù)改造后，列車(chē)在兩城市間的運(yùn)行速度從提高到,運(yùn)行時(shí)間縮短了。甲，乙兩城市間的路程是多少?【分析】如果設(shè)甲，乙兩城市間的路程為,那么列車(chē)在兩城市間提速前的運(yùn)行時(shí)間為，提速后的運(yùn)行時(shí)間為.【等量關(guān)系式】提速前的運(yùn)行時(shí)間提速后的運(yùn)行時(shí)間=縮短的時(shí)間.【列出方程】. 例2：某鐵路橋長(zhǎng)1000，現(xiàn)有一列火車(chē)從橋上通過(guò)，測(cè)得該火車(chē)從開(kāi)始上橋到完全過(guò)橋共用了1，整列火車(chē)完全在橋上的時(shí)間共。求火車(chē)的速度和長(zhǎng)度?！痉治觥咳绻O(shè)火車(chē)的速度為，火車(chē)的長(zhǎng)度為，用線段表示大橋和火車(chē)的長(zhǎng)度，根據(jù)題意可畫(huà)出如下示意圖： y 1000 60x1000y 40x【等量關(guān)系式】火車(chē)行駛的路程=橋長(zhǎng)+火車(chē)長(zhǎng)；火車(chē)行駛的路程=橋長(zhǎng)-火車(chē)長(zhǎng) 【列出方程組】 2.單人雙程（等量關(guān)系式：來(lái)時(shí)的路程=回時(shí)的路程）：例1：某校組織學(xué)生乘汽車(chē)去自然保護(hù)區(qū)野營(yíng)，先以的速度走平路，后又以的速度爬坡，共用了;返回時(shí)汽車(chē)以的速度下坡，又以的速度走平路，共用了.學(xué)校距自然保護(hù)區(qū)有多遠(yuǎn)?！痉治觥咳绻O(shè)學(xué)校距自然保護(hù)區(qū)為，由題目條件：去時(shí)用了，則有些同學(xué)會(huì)認(rèn)為總的速度為，然后用去時(shí)走平路的速度+去時(shí)爬坡的速度=總的速度，得出方程，這種解法是錯(cuò)誤的，因?yàn)樗俣仁遣荒芟嗉拥?。不妨設(shè)平路的長(zhǎng)度為，坡路的長(zhǎng)度為，則去時(shí)走平路用了，去時(shí)爬坡用了，而去時(shí)總共用了，這時(shí)，時(shí)間是可以相加的；回來(lái)時(shí)汽車(chē)下坡用了，回來(lái)時(shí)走平路用了，而回來(lái)時(shí)總共用了.則學(xué)校到自然保護(hù)區(qū)的距離為?！镜攘筷P(guān)系式】去時(shí)走平路用的時(shí)間+去時(shí)爬坡用的時(shí)間=去時(shí)用的總時(shí)間 回來(lái)時(shí)走平路用的時(shí)間+回來(lái)時(shí)爬坡用的時(shí)間=回來(lái)時(shí)用的總時(shí)間【列出方程組】 3.雙人行程:（）單塊應(yīng)用：只單個(gè)應(yīng)用同向而行或背向而行或相向而行或追擊問(wèn)題。1)同時(shí)同地同向而行：A,B兩事物同時(shí)同地沿同一個(gè)方向行駛例：甲車(chē)的速度為，乙車(chē)的速度為，兩車(chē)同時(shí)同地出發(fā)，同向而行。經(jīng)過(guò)多少時(shí)間兩車(chē)相距?！痉治觥咳绻O(shè)經(jīng)過(guò)后兩車(chē)相距，則甲走的路程為，乙走的路程為，根據(jù)題意可畫(huà)出如下示意圖： 80x km 乙 甲60x km280km【等量關(guān)系式】甲車(chē)行駛的距離+280=乙車(chē)行駛的距離【列出方程】2）同時(shí)同地背向而行：A，B兩事物同時(shí)同地沿相反方向行駛例：甲車(chē)的速度為，乙車(chē)的速度為，兩車(chē)同時(shí)同地出發(fā)，背向而行。經(jīng)過(guò)多少時(shí)間兩車(chē)相距?！痉治觥咳绻O(shè)經(jīng)過(guò)后兩車(chē)相距，則甲走的路程為，乙走的路程為，根據(jù)題意可畫(huà)出如下示意圖：甲 乙 60x km80x km280 km【等量關(guān)系式】甲車(chē)行駛的距離+乙車(chē)行駛的距離=280【列出方程】3）同時(shí)相向而行（相遇問(wèn)題）:例:甲，乙兩人在相距的A,B兩地相向而行，乙的速度是甲的速度的2倍，兩人同時(shí)處發(fā)后相遇，求甲，乙兩人的速度。【分析】如果設(shè)甲的速度為，則乙的速度為，甲走過(guò)的路程為，乙走過(guò)的路程為，根據(jù)題意可畫(huà)出如下示意圖：甲1.5x km1.52x km乙AB 10 km 280 km【等量關(guān)系式】甲車(chē)行駛的距離+乙車(chē)行駛的距離=10【列出方程】4）追及問(wèn)題：例：一對(duì)學(xué)生從學(xué)校步行去博物館，他們以的速度行進(jìn)后，一名教師騎自行車(chē)以的速度按原路追趕學(xué)生隊(duì)伍。這名教師從出發(fā)到途中與學(xué)生隊(duì)伍會(huì)合共用了多少時(shí)間？【分析】如果設(shè)這名教師從出發(fā)到途中與學(xué)生隊(duì)伍會(huì)合共用了，則教師走過(guò)的路程為，學(xué)生走過(guò)的路程為教師出發(fā)前走過(guò)的路程加上教師出發(fā)后走過(guò)的路程，而學(xué)生在教師出發(fā)前走過(guò)的路程為，學(xué)生在教師出發(fā)后走過(guò)的路程為，又由于教師走過(guò)的路程等于學(xué)生走過(guò)的路程。根據(jù)題意可畫(huà)出如下示意圖： 學(xué)生5x km 教師 15x km【等量關(guān)系式】教師走過(guò)的路程=學(xué)生在教師出發(fā)前走過(guò)的路程+學(xué)生在教師出發(fā)后走過(guò)的路程【列出方程】5）不同時(shí)同地同向而行（與追擊問(wèn)題相似）：例:甲，乙兩人都從A地出發(fā)到B地，甲出發(fā)后乙才從A地出發(fā)，乙出發(fā)后甲，乙兩人同時(shí)到達(dá)B地，已知乙的速度為，問(wèn)，甲的速度為多少？【分析】如果設(shè)甲的速度為，則乙出發(fā)前甲走過(guò)的路程為，乙出發(fā)后甲走過(guò)的路程為，甲走過(guò)的路程等于乙出發(fā)前甲走過(guò)的路程加上乙出發(fā)后甲走過(guò)的路程，而乙走過(guò)的路程為，甲走過(guò)的路程等于乙走過(guò)的路程。根據(jù)題意可畫(huà)出如下示意圖： 甲x km3x km 乙 503 km【等量關(guān)系式】乙走過(guò)的路程=乙出發(fā)前甲走過(guò)的路程加上乙出發(fā)后甲走過(guò)的路程【列出方程】6）不同時(shí)相向而行例：甲，乙兩站相距，一列慢車(chē)從甲站出發(fā)，速度為；一列快車(chē)從乙站出發(fā)，速度為。兩車(chē)相向而行，慢車(chē)先出發(fā)，快車(chē)開(kāi)出后多少時(shí)間兩車(chē)相遇？【分析】如果設(shè)快車(chē)開(kāi)出后兩車(chē)相遇，則慢車(chē)走過(guò)的路程為，快車(chē)走過(guò)的路程為100。根據(jù)題意可畫(huà)出如下示意圖： 慢車(chē)60x100x快車(chē) 448km【等量關(guān)系式】總路程=快車(chē)出發(fā)前慢車(chē)走過(guò)的路程+快車(chē)出發(fā)后慢車(chē)走過(guò)的路程+快車(chē)走過(guò)的路程【列出方程】注：涉及此類(lèi)問(wèn)題的還有同時(shí)不同地同向而行、不同時(shí)不同地背向而行、不同時(shí)不同地同向而行、不同時(shí)不同地背向而行，與上面解法類(lèi)似，只要畫(huà)出示意圖問(wèn)題就會(huì)迎刃而解，就不再一一給出解答了，此類(lèi)問(wèn)題會(huì)在后面練習(xí)中給出習(xí)題。（）結(jié)合應(yīng)用：把同向而行、背向而行、相向而行、追擊問(wèn)題兩兩結(jié)合起來(lái)應(yīng)用。1） 相向而行+背向而行例：A，B兩地相距，小明從A地騎自行車(chē)到B地，小麗從B地騎自行車(chē)到A地，兩人同時(shí)出發(fā)相向而行，經(jīng)過(guò)后兩人相遇；再過(guò)，小明余下的路程是小麗余下的路程的2倍。小明和小麗騎車(chē)的速度各是多少？ 【分析】如果設(shè)小明騎車(chē)的速度為，小麗騎車(chē)的速度為，相遇前小明走過(guò)的路程為，小麗走過(guò)的路程為；相遇后兩人背向而行，小明走過(guò)的路程為，小麗走過(guò)的路程為。根據(jù)題意可畫(huà)出如下示意圖： 小明 小麗 相遇前xyAB36kmx-0.5y0.5y0.5xy-0.5x小麗小明【等量關(guān)系式】相遇前小明走過(guò)的路程+相遇前小麗走過(guò)的路程=總路程 相遇后小明余下的路程=2相遇后小麗余下的路程【列出方程組】2)同向而行+相向而行例：一個(gè)自行車(chē)隊(duì)進(jìn)行訓(xùn)練，訓(xùn)練時(shí)所有隊(duì)員都以35千米/時(shí)的速度前進(jìn)，突然，1號(hào)隊(duì)員以45千米/時(shí)的速度獨(dú)自行進(jìn)，行進(jìn)10千米后掉轉(zhuǎn)車(chē)頭，仍以45千米/時(shí)的速度往回騎，直到與其他隊(duì)員會(huì)合。1號(hào)隊(duì)員從離隊(duì)開(kāi)始到與其他隊(duì)員重新會(huì)合，經(jīng)過(guò)了多長(zhǎng)時(shí)間？【分析】由題意“1號(hào)隊(duì)員以45千米/時(shí)的速度獨(dú)自行進(jìn)，行進(jìn)10千米后掉轉(zhuǎn)車(chē)頭”可知1號(hào)隊(duì)員從離隊(duì)到調(diào)轉(zhuǎn)車(chē)頭前的時(shí)間為，不妨設(shè)1號(hào)隊(duì)員從調(diào)轉(zhuǎn)車(chē)頭到與其他隊(duì)員重新回合的時(shí)間為。根據(jù)題意可畫(huà)出如下示意圖：所有隊(duì)員 1號(hào)隊(duì)員35x45x10km【等量關(guān)系式】1號(hào)隊(duì)員從離隊(duì)到調(diào)轉(zhuǎn)車(chē)頭這段時(shí)間所有隊(duì)員走的路程+1號(hào)隊(duì)員從調(diào)轉(zhuǎn)車(chē)頭到與其他隊(duì)員重新回合這段時(shí)間內(nèi)所有隊(duì)員走的路程+1號(hào)隊(duì)員從調(diào)轉(zhuǎn)車(chē)頭到與其他隊(duì)員重新回合這段時(shí)間內(nèi)1號(hào)隊(duì)員走的路程=10?！玖谐龇匠獭?.行程問(wèn)題中的工程問(wèn)題：乍一看，題目中就時(shí)間已知，速度、路程都未知，此類(lèi)問(wèn)題同學(xué)們做起來(lái)覺(jué)得無(wú)從下手。其實(shí)只要把路程看做單位“1”（至于為什么，結(jié)合以下例題講解），這就相當(dāng)于把行程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為工程問(wèn)題。例：甲開(kāi)汽車(chē)從A地到B地需要，乙開(kāi)汽車(chē)從A地到B地需要，如果甲，乙兩人分別從A，B兩地出發(fā)，相向而行，經(jīng)過(guò)多少小時(shí)后兩車(chē)相遇?！痉治觥款}目中就時(shí)間已知，速度、路程都未知，有些同學(xué)想如果知道A與B的距離，就可以得出A與B的速度，那么問(wèn)題就迎刃而解了，可是路程未知呀！是不是路程無(wú)論取什么值，都經(jīng)過(guò)相同的時(shí)間兩車(chē)相遇呢？為此，我們不妨設(shè)A與B的距離為,經(jīng)過(guò)后兩車(chē)相遇。我們可以立馬得出關(guān)系式：，可以把兩邊的消去，得到方程，立馬得出。說(shuō)明路程無(wú)論取什么值，都經(jīng)過(guò)相同的時(shí)間兩車(chē)相遇。遇到類(lèi)似問(wèn)題，我們往往把路程看做單位“1”。5.環(huán)形跑道問(wèn)題：環(huán)形跑道問(wèn)題也是形成問(wèn)題的一種，環(huán)形跑道問(wèn)題就是閉路線上的追擊問(wèn)題。在環(huán)形問(wèn)題中，若兩人所走同時(shí)同地出發(fā)，同向而行，當(dāng)?shù)谝淮蜗嘤鰰r(shí)，兩人所走路程差為一周長(zhǎng)；相向而行，第一次相遇時(shí)，兩人所走路程和為一周長(zhǎng)。例1：運(yùn)動(dòng)場(chǎng)跑道周長(zhǎng)，小紅跑步的速度是爺爺?shù)谋叮麄儚耐坏攸c(diǎn)沿跑道的同一方向同時(shí)出發(fā)，后小紅第一次追上了爺爺。你知道他們的跑步速度嗎？那是不是再過(guò)兩人第二次相遇呢？如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果是，用方程式表示?！痉治觥坎环猎O(shè)爺爺?shù)呐懿剿俣葹椋瑒t小紅的跑步速度為【等量關(guān)系式】小紅跑的路程爺爺跑的路程=400m【列出方程】注：再過(guò)兩人第二次相遇，用上面那個(gè)方程式就可以表示出來(lái)。例2：甲，乙兩車(chē)分別以均勻的速度在周長(zhǎng)為的圓形軌道上運(yùn)動(dòng)。甲車(chē)的速度較快，當(dāng)兩車(chē)反向運(yùn)動(dòng)時(shí)，每相遇一次;當(dāng)兩車(chē)同向運(yùn)動(dòng)時(shí)，每相遇一次，求兩車(chē)的速度。【分析】設(shè)甲，乙兩車(chē)的速度分別為和?！镜攘筷P(guān)系式】同向而行甲所走的路程-同向而行乙所走的路程=一周長(zhǎng) 反向而行甲所走的路程+同向而行乙所走的路程=一周長(zhǎng)【列出方程組】6.水流問(wèn)題一般是研究船在“流水”中航行的問(wèn)題。它是行程問(wèn)題中比較特殊的一種類(lèi)型，它的特點(diǎn)主要是考慮水速在逆行和順行中的不同作用?；靖拍詈凸接校捍伲捍陟o水中航行的速度 水速：水流動(dòng)的速度順?biāo)俣龋捍樍骱叫械乃俣饶嫠俣龋捍媪骱叫械乃俣软標(biāo)?船速水速逆速=船速水速船行速度=（順?biāo)俣? 逆流速度）2流水速度=（順流速度逆流速度）2路程=順流速度 順流航行所需時(shí)間路程=逆流速度逆流航行所需時(shí)間例1：某船在的航道上航行，順流航行需，逆流航行需。求船在靜水中航行的速度和水流的速度。【分析】設(shè)船在靜水中航行的速度和水流的速度分別為和，順流的速度為，逆流的速度為，再利用上面的公式?！镜攘筷P(guān)系式】順?biāo)?船速水速逆速=船速水速【列出方程】 例2：甲，乙兩艘貨船，甲船在前30千米處逆水而行，乙船在后