模塊強化練習十 推理與證明.doc

模塊強化練習十 推理與證明課標理數10.M1，D2，B112011福建卷 已知函數f(x)exx.對于曲線yf(x)上橫坐標成等差數列的三個點A、B、C，給出以下判斷：ABC一定是鈍角三角形；ABC可能是直角三角形；ABC可能是等腰三角形；ABC不可能是等腰三角形其中，正確的判斷是()A B C D課標理數10.M1，D2，B112011福建卷 B【解析】 解法一：(1)設A、B、C三點的橫坐標分別為x1，x2，x3(x1x20， f(x)在(，)上是增函數， f(x1)f(x2)f(x3)，且f， (x1x2，f(x1)f(x2)，(x3x2，f(x3)f(x2)， (x1x2)(x3x2)(f(x1)f(x2)(f(x3)f(x2)0， ABC為鈍角，判斷正確，錯；(2)若ABC為等腰三角形，則只需ABBC，即(x1x2)2(f(x1)f(x2)2(x3x2)2(f(x3)f(x2)2， x1，x2，x3成等差數列，即2x2x1x3，且f(x1)f(x2)f(x3)，只需 f(x2)f(x1)f(x3)f(x2)，即2f(x2)f(x1)f(x3)，即 f，這與f相矛盾，ABC不可能是等腰三角形，判斷錯誤，正確，故選B.解法二：(1)設A、B、C三點的橫坐標為x1，x2，x3(x1x20， f(x)在(，)上是增函數，畫出f(x)的圖象(大致) f(x1)f(x2)f(x3)，且f，如圖12，設直線AB、BC的傾斜角分別為和，由0kABkBC，得，故ABC()為鈍角，判斷正確，錯誤；由x1，x2，x3成等差數列，得x2x1x3x2，若ABC為等腰三角形，只需ABBC，則 f(x2)f(x1)f(x3)f(x2)，由0kAB0)，觀察： f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f4(x)f(f3(x)，根據以上事實，由歸納推理可得：當nN*且n2時，fn(x)f(fn1(x)_.課標理數15.M12011山東卷 【解析】 觀察1,3,7,15，與對應項的關系，顯然滿足2n1，觀察2,4,8,16，與對應項的關系，顯然滿足2n，故fn(x).課標理數13.M12011陜西卷 觀察下列等式11234934567254567891049照此規(guī)律，第n個等式為_課標理數13.M12011陜西卷 n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2【解析】 由每一行分析發(fā)現規(guī)律是以后每一個數都比前一個數大1，再對每一行的第一個數分析找規(guī)律為以后每一個數都比前一個數大1，對每一行的最后一個數分析找規(guī)律為1,4,7,10，(3n2)，對結果找規(guī)律為12,32,52，(2n1)2，所以第n個等式為n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2.課標文數13.M12011陜西卷 觀察下列等式11234934567254567891049照此規(guī)律，第五個等式應為_課標文數13.M12011陜西卷 567891011121381【解析】 因為11第一個式子左邊1個數，右邊1；2349第二個式子左邊2個數，從2開始加，加3個數，右邊3的平方；3456725第三個式子左邊5個數，從3開始加，加5個數，右邊5的平方；4567891049第四個左邊7個數，從4開始加，加7個數，右邊7的平方，故第五項為567891011121381.課標理數22.B9，M32011湖南卷 已知函數f(x)x3，g(x)x.(1)求函數h(x)f(x)g(x)的零點個數，并說明理由； (2)設數列an(nN*)滿足a1a(a0)，f(an1)g(an)，證明：存在常數M，使得對于任意的nN*，都有anM.課標理數22.B9，M32011湖南卷 【解答】 (1)由h(x)x3x知，x0，)，而h(0)0，且h(1)10，則x0為h(x)的一個零點，且h(x)在(1,2)內有零點因此，h(x)至少有兩個零點解法一：h(x)3x21x，記(x)3x21x，則(x)6xx.當x(0，)時，(x)0，因此(x)在(0，)上單調遞增，則(x)在(0，)內至多只有一個零點又因為(1)0，0，則(x)在內有零點，所以(x)在(0，)內有且只有一個零點記此零點為x1，則當x(0，x1)時，(x)(x1)0.所以，當x(0，x1)時，h(x)單調遞減而h(0)0，則h(x)在(0，x1內無零點；當x(x1，)時，h(x)單調遞增，則h(x)在(x1，)內至多只有一個零點，從而h(x)在(0，)內至多只有一個零點綜上所述，h(x)有且只有兩個零點解法二：由h(x)x，記(x)x21x，則(x)2xx.當x(0，)時，(x)0，從而(x)在(0，)上單調遞增，則(x)在(0，)內至多只有一個零點因此h(x)在(0，)內也至多只有一個零點綜上所述，h(x)有且只有兩個零點(2)記h(x)的正零點為x0，即xx0. (i)當ax0時，由a1a，即a1x0.而aa1x0x，因此a2x0.由此猜測：anx0.下面用數學歸納法證明當n1時，a1x0顯然成立假設當nk(k1)時，akx0成立，則當nk1時，由aakx0x知，ak1x0.因此，當nk1時，ak1x0成立故對任意的nN*，anb.(1)記An為滿足ab3的點P的個數，求An；(2)記Bn為滿足(ab)是整數的點P的個數，求Bn.課標數學23.M42011江蘇卷 【解答】 (1)點P的坐標滿足條件：1ba3n3，所以Ann3.(2)設k為正整數，記fn(k)為滿足題設條件以及ab3k的點P的個數只要討論fn(k)1的情形由1ba3kn3k知fn(k)n3k，且k.設n13mr，其中mN*，r0,1,2，則km.所以Bnfn(k) (n3k)mn.將m代入上式，化簡得Bn.所以Bn2011福州一模 否定“自然數a，b，c中恰有一個偶數”時，正確的反設為()Aa，b，c都是奇數 Ba，b，c都是偶數Ca，b，c