三維問題有限元分析(包括軸對稱問題)ppt課件

第六章三維問題有限元分析 講授 陳得良TelQ 416501065Email deliang chen 1 四教學(xué)基本內(nèi)容 第五章三維問題有限元分析第一節(jié)三維應(yīng)力狀態(tài)第二節(jié)4節(jié)點四面體單元第三節(jié)8節(jié)點六面體等參單元第四節(jié)20節(jié)點等參單元第五節(jié)ansys空間問題實例第六節(jié)空間軸對稱問題有限元法第七節(jié)Ansys軸對稱旋轉(zhuǎn)問題實例 2 工程實際中的很多問題難于簡化為平面問題 如受任意空間載荷作用的任意形狀幾何體 受對稱于軸線載荷作用的回轉(zhuǎn)體 這類問題經(jīng)典彈性力學(xué)往往無能為力 在FEM中 空間問題只要求0階連續(xù) 因此構(gòu)造單元方便 空間問題簡介 3 空間問題的主要困難 1 離散化不直觀 網(wǎng)格自動生成 2 分割的單元數(shù)量多 未知量的數(shù)目劇增 對某些問題簡化 軸對稱問題 空間分析的優(yōu)點精確 4 6 1三維應(yīng)力狀態(tài) 工程結(jié)構(gòu)一般都是空間的彈性體 受力作用后 其內(nèi)部各點將沿x y z坐標(biāo)軸方向產(chǎn)生位移 是三維空間問題 其應(yīng)力狀態(tài)如圖6 1所示 圖6 1空間結(jié)構(gòu)應(yīng)力狀態(tài) 各點沿x y z方向的位移以u v w表示 這些位移為各點坐標(biāo)的函數(shù) 即 u u x y z v v x y z w w x y z 5 由彈性力學(xué)知 應(yīng)變與位移間的幾何關(guān)系是 6 1 三維彈性體的應(yīng)變分量 用矩陣表示為 6 2 6 彈性體受力作用 內(nèi)部任意一點的應(yīng)力狀態(tài)也是三維的 用列向量表示為 在線彈性范圍內(nèi) 應(yīng)力與應(yīng)變間的物理關(guān)系矩陣表達式為 對于各向同性彈性體 在三維應(yīng)力狀態(tài)下 彈性矩陣的形式為 6 3 6 4 7 1 空間問題常用單元 四面體單元 長方體單元 直邊六面體單元 曲邊六面體單元 軸對稱單元 4結(jié)點四面體單元 是空間問題最簡單的單元 也是常應(yīng)變 常應(yīng)力單元 可以類似平面問題三結(jié)點三角形單元進行分析 8結(jié)點長方體單元 可以類似平面四結(jié)點矩形單元進行分析 8結(jié)點直邊六面體單元 可以類似平面四結(jié)點任意四邊形等參元分析 20結(jié)點曲邊六面體單元 等參單元 可以類似平面八結(jié)點曲邊四邊形等參元進行分析 軸對稱單元 一平面單元繞一對稱軸旋轉(zhuǎn)形成的空間問題 只需在rz平面劃分網(wǎng)格 就像平面問題xy平面中的網(wǎng)格一樣 這樣這類空間問題可以得到簡化 環(huán)向位移等于零 2 結(jié)點位移3個分量 3 基本方程比平面問題多 3個平衡方程 6個幾何方程 6個物理方程 8 6 2四節(jié)點四面體單元 圖6 2表示任一簡單四面體單元 其中四個結(jié)點編號設(shè)為i j m n 或1 2 3 4 單元變形時 各結(jié)點沿x y z方向上的位移 以列向量表示為 圖6 2四面體單元 8 單元變形時 單元內(nèi)各點也有沿x y z方向的位移u v w 一般應(yīng)為坐標(biāo)x y z的函數(shù) 對于這種簡單的四面體單元 其內(nèi)部位移可假設(shè)為坐標(biāo)的線性函數(shù) 為滿足變形協(xié)調(diào)條件 取為 6 5 式 6 5 含有12個待定系數(shù)a 可由單元的12項結(jié)點位移決定 將4個結(jié)點的坐標(biāo)值代入式 6 5 的u式中 i j m n共4個結(jié)點 分別有 6 6 1單元形函數(shù) 9 其中 式中 V為四面體的體積 且有 6 7 由式 6 6 求出 再代回式 6 5 中 整理后得 10 為使四面體的體積V不為負(fù)值 在右手坐標(biāo)系中 使右手旋轉(zhuǎn)按著由i j m的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動時 且法向n方向前進 用求位移u的同樣方法 可求得 將位移的3個線性方程形成的線性方程組用矩陣表示為 6 8 式中 6 9 11 2單元剛度矩陣 將式 6 8 代入幾何方程式 6 2 經(jīng)過微分運算 可得單元內(nèi)應(yīng)變?yōu)?6 10 式中 6 11 簡單四面體單元內(nèi) 各點的應(yīng)變都是一樣的 這是一種常應(yīng)變單元 是三維單元中精度最低的單元 這一點與平面問題的簡單三角形單元相似 由于單元內(nèi)位移都假定為線性變化的 因而由位移一階導(dǎo)數(shù)組成的應(yīng)變也為常量 12 同樣 用虛功原理建立結(jié)點力和結(jié)點位移間的關(guān)系式 從而得出簡單四面體單元的剛度矩陣 6 12 6 13 按結(jié)點分塊表示 此單元剛度矩陣可表示為 6 14 13 r i j m n S i j m n 6 15 式中 彈性體三維 空間 問題的原始平衡方程組 即 其中 其中任一子矩陣為 14 3整體結(jié)構(gòu)載荷列向量 整體結(jié)構(gòu)的結(jié)點載荷列向量 6 16 式中 單元上集中力等效結(jié)點載荷列向量 單元上表面力等效結(jié)點載荷列向量 單元上體積力等效結(jié)點載荷列向量 單元結(jié)點載荷列向量 等效結(jié)點力公式為 式中 15 6 38節(jié)點六面體等參單元 8 x5 y5 z5 7 如同二維等參單元一樣 三維等參單元的有關(guān)公式的建立也是采用局部自然坐標(biāo) 曲面坐標(biāo) 可參考的母體單元則為一正六面體 圖6 3則表示了任意六面體單元與母體單元 局部的三維自然坐標(biāo)與整體的直角坐標(biāo)系的幾何關(guān)系 母體單元 任意六面體單元 對面不全平行 圖6 38結(jié)點三維等參單元 16 用形函數(shù)表示的位移插值形式的位移模式 可以直接利用拉格朗日插值公式 得到單元位移函數(shù)為 根據(jù)等參單元的定義 自然坐標(biāo)與整體直角坐標(biāo)之間的關(guān)系可以寫為 其中形函數(shù)為 例 其中為節(jié)點坐標(biāo)值 角點 17 由節(jié)點位移求單元應(yīng)變時 他要求形函數(shù)在整體坐標(biāo)下的導(dǎo)數(shù) 但形函數(shù)是建立在局部坐標(biāo)下的 這就需要將局部坐標(biāo)中的表達式轉(zhuǎn)換到整體坐標(biāo)系中 如同平面等參單元一樣 需要通過雅克比矩陣來實現(xiàn) 由偏導(dǎo)法則 同理可得 寫成矩陣 18 求單元剛度矩陣 尚需對積分的單元體積進行積分變換 反之 有了上式很容易得到單元的應(yīng)變應(yīng)力矩陣 19 6 420結(jié)點等參元 為適應(yīng)三維結(jié)構(gòu)的曲面邊界 可以采用曲面六面體單元 正方體基本單元內(nèi)任一點與實際曲面單元內(nèi)的點一一對應(yīng) 結(jié)點也一一對應(yīng) 這里 實際單元邊界線中間的結(jié)點9 10 20 都 映射 成為正方體的棱邊中點 8結(jié)點單元是線性單元 其位移模式是三維線性的 在8結(jié)點單元的基礎(chǔ)上每邊增加一個中點作為節(jié)點就構(gòu)成了20節(jié)點單元 此時六面體單元每條邊上有3個節(jié)點 他們既可以是直線的 也可以是曲線的 因此每個面也可以是平面的 也可以是曲面的 1形狀函數(shù) 20 a 直角坐標(biāo)系與實際單元 b 自然坐標(biāo)系與基本單元 圖6 320結(jié)點三維等參單元 位移函數(shù)和幾何坐標(biāo)的變換式應(yīng)取為相同的參數(shù) 其坐標(biāo)變換關(guān)系可表示為 6 17 則單元的位移函數(shù)可寫成 21 6 18 在自然坐標(biāo)系 局部坐標(biāo)系 中 各結(jié)點的形狀函數(shù)可寫成如下形式 對于8個頂角結(jié)點 i 1 2 8 式中xi yi zi 結(jié)點i的坐標(biāo) ui vi wi 結(jié)點i沿x y z方向的位移 Ni 對應(yīng)于i結(jié)點的形狀函數(shù) 22 對于的邊上點 i 17 18 19 20 6 19 對于的邊上點 i 9 11 13 15 對于的邊上點 i 10 12 14 16 23 2單元剛度矩陣 三維變形狀態(tài)下 一點的應(yīng)變與位移的幾何關(guān)系為 6 20 24 6 22 為便于以下計算 彈性矩陣 D 可分塊寫為 6 23 令 則 為60 60的方陣 可按結(jié)點寫為子塊形式 25 式中第i行j列的子矩陣為 6 24 將 6 20 6 22 分塊式代入 6 23 其被積函數(shù)可寫為 6 25 式中 與式 5 9 相似 按坐標(biāo)變換式 6 17 應(yīng)有 26 同樣可有 6 26 三維六面體的雅可比矩陣為 6 27 同理可采用三維高斯求積公式計算單元剛度矩陣 即 27 式中 L M N為沿 方向的積分點數(shù)目 而積分點坐標(biāo)及權(quán)重可由高斯積分表查得 對于20節(jié)點的三維單元 通常可取積分點數(shù)目m 3 即3 3 3 查表可得對應(yīng)的積分點坐標(biāo)和權(quán)重為 28 參照方法 可以很方便的得到另外兩個方向的積分點坐標(biāo)值和權(quán)重 29 6 5ANSYS空間問題示例 1問題描述 如圖6 4所示 一個圓柱實體 柱高0 2m 圓柱橫截面直徑為0 1m 約束方式 底面全約束 承受載荷 A點承受Z方向集中載荷Fz 5000N和Y方向集中載荷Fy 5000N B點承受X方向集中載荷Fx 5000N C點承受Z方向集中載荷Fz 5000N D點承受X方向集中載荷Fx 5000N 彈性模量為EX 210GP 泊松比 0 3 2ANSYS求解操作過程 30 1 選擇單元類型運行Preprocessor ElementType Add Edit Delete 彈出ElementTypes對話框 如圖6 5所示 然后單擊Add 彈出LibraryofElementTypes窗口 如圖6 6所示 選擇SOLID45單元 單擊OK 圖6 5單元類型對話框 圖6 6單元類型庫對話框 31 2 設(shè)置材料屬性運行Preprocessor MaterialProps MaterialModels 彈出如圖6 7所示對話框 雙擊Isotropic 彈出LinearIsotropicPropertiesforMaterialNumber1對話框 如圖6 8所示 在EX選項欄中設(shè)置數(shù)值2 1e11 在PRXY選項欄中設(shè)置數(shù)值0 3 設(shè)置完畢單擊OK按鈕 圖6 7選擇材料屬性對話框 圖6 8設(shè)置材料屬性對話框 32 3 建立模型運行Preprocessor Modeling Create Areas Rectangle By2Corners 彈出如圖6 9所示對話框 在WPX選項欄中填寫0 在WPY選項欄中填寫0 在Width選項欄中填寫0 05 在Height選項欄中填寫0 2 點擊OK 生成如圖6 10所示圖形 圖6 9兩點建立矩形對話框 圖6 10生成的長方形面 33 將長方形旋轉(zhuǎn)成柱體 運行Preprocessor Modeling Operate Extrude Areas AboutAxis 彈出如圖6 11所示拾取框 選擇圖7中長方形后彈出單擊OK 再選擇長方形左上角和左下角結(jié)點后 單擊OK 彈出如圖6 12所示對話框 在ARC選項欄中填入旋轉(zhuǎn)角度360度 設(shè)置完畢單擊OK按鈕 生成如圖6 13所示圓柱體 圖6 11拾取對稱軸對話框 圖6 12設(shè)置繞軸旋轉(zhuǎn)參數(shù)對話框 圖6 13圓柱模型 34 運行Meshing SizeCntrls ManualSize Global Size彈出如圖6 14所示對話框 設(shè)置SIZE選項欄中的數(shù)據(jù)為0 01 運行Meshing Mesh Volumes Free自由劃分網(wǎng)格后得到如圖6 15所示圖形 圖6 14設(shè)置網(wǎng)格尺寸對話框 圖6 15圓柱有限元模型 5 施加約束運行Solution DefineLoads Apply Displacement OnAreas 拾取圓柱的底面 施加全約束 35 6 施加載荷顯示圖形的關(guān)鍵點 運行PlotCtrls Numbering彈出如圖6 16所示對話框 激活KPNumbers后面的選框 使它變成on形式 選擇菜單Solution DefineLoads Apply Structure Force MomentOnKeypoints 載荷分別如下 8點承受Z方向集中載荷Fz 5000N和Y方向集中載荷Fy 5000N 10點承受X方向集中載荷Fx 5000N 3點承受Z方向集中載荷Fz 5000N 6點承受X方向集中載荷Fx 5000N 施加載荷 圖形如圖6 17所示 圖6 16編號顯示設(shè)置對話框 36 圖6 17圓柱實體示意圖 7 求解選擇Solution Solve CurrentLS 開始計算 計算結(jié)束會彈出計算完畢對話框 單擊Close 關(guān)閉對話框計算完畢 8 后處理運行GeneralPostproc PlotResults ContourPlot NodalSolu 彈出如圖6 18所示對話框 運行DOFSolution Displacementvectorsum和Stress vonMisesstress 分別顯示圓柱體的位移和應(yīng)力云圖 37 圖6 18云圖顯示對話框 結(jié)果顯示如圖6 19和圖6 20所示 38 圖6 19位移云圖圖6 20應(yīng)力云圖 39 6 6空間軸對稱問題的有限元法 對空間軸對稱問題 常采用圓柱坐標(biāo)系 r表示徑向坐標(biāo) z表示軸向坐標(biāo) 任一對稱面為rz面 在有限元分析時 可采用軸對稱的環(huán)形單元進行 環(huán)形單元可以是任何平面單元 某一平面圖形繞平面上某一軸旋轉(zhuǎn)形成的回轉(zhuǎn)體稱為軸對稱物體 此平面稱為子午面 在動力機械 特別是葉輪機械中 有很多零件都具有軸對稱特性 比如輪盤 旋轉(zhuǎn)軸 承力環(huán)等 對于直齒圓柱齒輪 由于齒的存在 嚴(yán)格地說它并非軸對稱物體 如果忽略齒的部分 將齒用外載荷表示 則所得到的齒根以內(nèi)的旋轉(zhuǎn)體部分為軸對稱物體 軸對稱物體的變形及應(yīng)力分布不一定是軸對稱的 只有當(dāng)其約束和載荷都對稱于旋轉(zhuǎn)軸時 軸對稱物體的變形和應(yīng)力分布才是軸對稱的 軸對稱物體 軸對稱約束 軸對稱載荷 軸對稱系統(tǒng)對軸對稱系統(tǒng)的應(yīng)力分析 軸對稱物體 40 1 幾何形狀關(guān)于軸線對稱 2 作用于其上的載荷關(guān)于軸線對稱 3 約束條件關(guān)于軸線對稱 因過z軸的任一子午面都是對稱面 其上任一點p只在該平面上發(fā)生位移 即彈性體內(nèi)任一點的位移 應(yīng)力與應(yīng)變只與坐標(biāo)r z有關(guān) 與無關(guān) 從而 軸對稱問題可轉(zhuǎn)化為二維問題 但因與平面問題有區(qū)別 常稱為二維半問題 柱坐標(biāo)系 41 注意 應(yīng)變雖然與無關(guān) 但是周向應(yīng)變 周向應(yīng)力 由徑向位移引起 因為徑向位移會導(dǎo)致周長的改變 1 基本方程 位移分量 應(yīng)力分量 應(yīng)變分量 42 虛功方程 應(yīng)變分量 軸對稱問題的彈性矩陣 43 2 軸對稱問題的離散化 對于軸對稱問題 利用其軸對稱特性 在對其進行網(wǎng)格劃分時可知取任意通過Z軸的截面進行 類似平面問題的網(wǎng)格形式 本節(jié)以三角形單元為例 1 位移模式 軸對稱問題的環(huán)向位移恒等于零 徑向r位移與軸向z位移不等于零 對于圖示情形 依照平面問題的三角形單元分析 取位移模式為 代入結(jié)點位移后 可解出a1 a6 再代入上式 得 x r y z 44 其中形函數(shù) 單元中位移 根據(jù)彈性力學(xué)理論 空間軸對稱問題的幾何方程為 2 單元中應(yīng)變 45 將u w表達式代入上式 整理后 46 式中 其中 B 矩陣中含有變量r z 因此它不是常數(shù)矩陣 即軸對稱問題的三角形環(huán)形單元不是常應(yīng)變單元 47 3 單元中應(yīng)力 根據(jù)彈性力學(xué)理論 空間軸對稱問題的應(yīng)力 應(yīng)變關(guān)系為 彈性矩陣 48 單元中任意一點的應(yīng)力 4 單元剛度矩陣 由于被積函數(shù)與 無關(guān) 故在三角形截面的環(huán)單元的積分可簡化為在三角形截面上的積分 故有 49 單元剛度矩陣的積分參照圖示分區(qū) 按下式采用數(shù)值積分的方法進行 50 當(dāng)單元較小時 可把各個單元中的r z近似看作常數(shù) 并且分別等于各單元形心的坐標(biāo) 即 這樣 就可把各個單元近似地當(dāng)做常應(yīng)變單元 51 單元剛度矩陣 k 的分塊形式 其中的近似子矩陣為 52 5 等效結(jié)點荷載 類似平面問題 對于作用于三角形環(huán)單元上的體積力 表面力的等效結(jié)點力為 體力 53 面力 1 均布表面力設(shè)單元ij邊上作用均布表面力 其集度為 l 當(dāng)ri rj時 靜力等效原則 54 2 三角形分布表面力沿單元ij邊作用了三角形分布的表面力 表面力在i點集度為 當(dāng)ri rj時 靜力等效原則 2 3集中在i點 1 3集中在j點 55 56 圓筒直徑0 4m 高度0 6m 壁厚0 005m 材料Q235 彈性模量E 2 1e11Pa 泊松比 0 3 約束 圓筒的下部在軸線方向固定 其它方向自由 載荷 頂部環(huán)線上承受軸向線壓力P 200000N m 圖6 4圓筒示意圖 圖6 5單元類型對話框 1問題描述 6 7ANSYS軸對稱旋轉(zhuǎn)單元計算示例 57 1 選擇單元類型運行Preprocessor ElementType Add Edit Delete 彈出ElementTypes對話框單擊Add 彈出LibraryofElementTypes對話框 如圖7 6所示 選擇SHELL51單元 2ANSYS求解操作過程 圖7 6單元類型庫對話框 圖7 7選擇材料屬性對話框 58 2 設(shè)置材料屬性運行Preprocessor MaterialProps MaterialModels 彈出DefineMaterialModelBehavior對話框 如圖7 7所示 雙擊Isotropic選項 彈出LinearIsotropicPropertiesforMaterialNumber1對話框 如圖7 8所示 圖7 8設(shè)置材料屬性對話框 59 3 定義單元實常數(shù)選擇MainMenu Preprocessor RealConstants Add Edit Delete 彈出如圖7 9所示對話框 單擊Add按鈕彈出ElementTypeforRealConstants對話框 如圖7 10所示 選擇Type1SHELL51 單擊OK 彈出RealConstantSetNumber1 forSHELL51對話框 如圖7 11所示 在TK I 項輸入0 005 單擊OK 圖7 9實常數(shù)對話框圖7 10選擇要設(shè)置實常數(shù)的單元類型 60 圖7 11設(shè)置SHELL51實常數(shù)對話框 4 建立模型首先生成關(guān)鍵點 運行主菜單Preprocessor Modeling Create Keypoints InActiveCS 彈出如圖7 12所示對話框 創(chuàng)建關(guān)鍵點1 0 2 0 0 2 0 2 0 6 0 生成圓筒母線 運行MainMenu Preprocessor Modeling Create Lines Lines StraightLine 彈出拾取關(guān)鍵點對話框 拾取關(guān)鍵點1 2 單擊OK 61 圖7 12創(chuàng)建關(guān)鍵點對話框 5 設(shè)置單元屬性運行MainMenu Preprocessor Meshing MeshTool 彈出MeshTool對話框 在ElementAttributes下拉列表中選擇Lines 然后單擊其后的Set按鈕彈出拾取線對話框 單擊PickAll 彈出分配線單元屬性對話框 將MAT TEAL TYPE依次設(shè)置為1 1 1 單擊OK 6 劃分網(wǎng)格 62 單擊MeshTool中Lines后的Set按鈕 彈出拾取線對話框 單擊PickAll彈出控制線單元尺寸對話框 將NDIV設(shè)置為10 單擊OK 在MeshTool對話框中的Mesh下拉列表中選擇Lines單擊Mesh 彈出拾取線對話框 單擊PickAll 劃分網(wǎng)格完畢 運行PlotCtrls Style Si