微積分高等數(shù)學(xué)完整版ppt課件

一 基本概念 1 集合 具有某種特定性質(zhì)的事物的總體 組成這個(gè)集合的事物稱為該集合的元素 有限集 無(wú)限集 數(shù)集分類 N 自然數(shù)集 Z 整數(shù)集 Q 有理數(shù)集 R 實(shí)數(shù)集 數(shù)集間的關(guān)系 例如 不含任何元素的集合稱為空集 例如 規(guī)定 空集為任何集合的子集 2 區(qū)間 是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù) 這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn) 稱為開區(qū)間 稱為閉區(qū)間 稱為半開區(qū)間 稱為半開區(qū)間 有限區(qū)間 無(wú)限區(qū)間 區(qū)間長(zhǎng)度的定義 兩端點(diǎn)間的距離 線段的長(zhǎng)度 稱為區(qū)間的長(zhǎng)度 3 鄰域 4 常量與變量 在某過程中數(shù)值保持不變的量稱為常量 注意 常量與變量是相對(duì) 過程 而言的 通常用字母a b c等表示常量 而數(shù)值變化的量稱為變量 常量與變量的表示方法 用字母x y t等表示變量 5 絕對(duì)值 運(yùn)算性質(zhì) 絕對(duì)值不等式 因變量 自變量 數(shù)集D叫做這個(gè)函數(shù)的定義域 二 函數(shù)概念 自變量 因變量 對(duì)應(yīng)法則f 函數(shù)的兩要素 定義域與對(duì)應(yīng)法則 約定 定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值 定義 如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值時(shí) 對(duì)應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個(gè) 這種函數(shù)叫做單值函數(shù) 否則叫與多值函數(shù) 1 符號(hào)函數(shù) 幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例 2 取整函數(shù)y x x 表示不超過的最大整數(shù) 階梯曲線 3 狄利克雷函數(shù) 4 取最值函數(shù) 例1 脈沖發(fā)生器產(chǎn)生一個(gè)單三角脈沖 其波形如圖所示 寫出電壓U與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式 解 單三角脈沖信號(hào)的電壓 例2 解 故 三 函數(shù)的特性 有界 無(wú)界 1 函數(shù)的有界性 2 函數(shù)的單調(diào)性 3 函數(shù)的奇偶性 偶函數(shù) 奇函數(shù) 4 函數(shù)的周期性 通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期 直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對(duì)稱 四 反函數(shù) 五 小結(jié) 基本概念集合 區(qū)間 鄰域 常量與變量 絕對(duì)值 函數(shù)的概念 函數(shù)的特性有界性 單調(diào)性 奇偶性 周期性 反函數(shù) 思考題 思考題解答 設(shè) 則 故 練習(xí)題 練習(xí)題答案 一 基本初等函數(shù) 1 冪函數(shù) 2 指數(shù)函數(shù) 3 對(duì)數(shù)函數(shù) 4 三角函數(shù) 正弦函數(shù) 余弦函數(shù) 正切函數(shù) 余切函數(shù) 正割函數(shù) 余割函數(shù) 5 反三角函數(shù) 冪函數(shù) 指數(shù)函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù) 三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù) 二 復(fù)合函數(shù)初等函數(shù) 1 復(fù)合函數(shù) 定義 注意 1 不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)的 2 復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)合構(gòu)成 2 初等函數(shù) 由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù) 稱為初等函數(shù) 例1 解 綜上所述 三 雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù) 奇函數(shù) 偶函數(shù) 1 雙曲函數(shù) 奇函數(shù) 有界函數(shù) 雙曲函數(shù)常用公式 2 反雙曲函數(shù) 奇函數(shù) 奇函數(shù) 四 小結(jié) 函數(shù)的分類 函數(shù) 初等函數(shù) 非初等函數(shù) 分段函數(shù) 有無(wú)窮多項(xiàng)等函數(shù) 代數(shù)函數(shù) 超越函數(shù) 有理函數(shù) 無(wú)理函數(shù) 有理整函數(shù) 多項(xiàng)式函數(shù) 有理分函數(shù) 分式函數(shù) 思考題 思考題解答 不能 一 填空題 練習(xí)題 練習(xí)題答案 割之彌細(xì) 所失彌少 割之又割 以至于不可割 則與圓周合體而無(wú)所失矣 1 割圓術(shù) 播放 劉徽 一 概念的引入 正六邊形的面積 正十二邊形的面積 正形的面積 2 截丈問題 一尺之棰 日截其半 萬(wàn)世不竭 二 數(shù)列的定義 例如 注意 1 數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列 可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取 2 數(shù)列是整標(biāo)函數(shù) 播放 三 數(shù)列的極限 問題 當(dāng)無(wú)限增大時(shí) 是否無(wú)限接近于某一確定的數(shù)值 如果是 如何確定 問題 無(wú)限接近 意味著什么 如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃它 通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察 如果數(shù)列沒有極限 就說數(shù)列是發(fā)散的 注意 幾何解釋 其中 數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法 例1 證 所以 注意 例2 證 所以 說明 常數(shù)列的極限等于同一常數(shù) 小結(jié) 用定義證數(shù)列極限存在時(shí) 關(guān)鍵是任意給定尋找N 但不必要求最小的N 例3 證 例4 證 四 數(shù)列極限的性質(zhì) 1 有界性 例如 有界 無(wú)界 定理1收斂的數(shù)列必定有界 證 由定義 注意 有界性是數(shù)列收斂的必要條件 推論無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散 2 唯一性 定理2每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限 證 由定義 故收斂數(shù)列極限唯一 例5 證 由定義 區(qū)間長(zhǎng)度為1 不可能同時(shí)位于長(zhǎng)度為1的區(qū)間內(nèi) 3 收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系 如果數(shù)列收斂于a 那么它的任一子數(shù)列也收斂 且極限也是a 五 小結(jié) 數(shù)列 研究其變化規(guī)律 數(shù)列極限 極限思想 精確定義 幾何意義 收斂數(shù)列的性質(zhì) 有界性唯一性 思考題 證明 要使 只要使 從而由 得 取 當(dāng)時(shí) 必有成立 思考題解答 等價(jià) 證明中所采用的 實(shí)際上就是不等式 即證明中沒有采用 適當(dāng)放大 的值 從而時(shí) 僅有成立 但不是的充分條件 反而縮小為 練習(xí)題 割之彌細(xì) 所失彌少 割之又割 以至于不可割 則與圓周合體而無(wú)所失矣 1 割圓術(shù) 劉徽 一 概念的引入 三 數(shù)列的極限 三 數(shù)列的極限 三 數(shù)列的極限 三 數(shù)列的極限 三 數(shù)列的極限 三 數(shù)列的極限 三 數(shù)列的極限 三 數(shù)列的極限 三 數(shù)列的極限 三 數(shù)列的極限 三 數(shù)列的極限 三 數(shù)列的極限 三 數(shù)列的極限 播放 一 自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限 通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察 問題 如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃函數(shù) 無(wú)限接近 2 另兩種情形 3 幾何解釋 例1 證 二 自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限 2 幾何解釋 注意 例2 證 例3 證 例4 證 函數(shù)在點(diǎn)x 1處沒有定義 例5 證 3 單側(cè)極限 例如 左極限 右極限 左右極限存在但不相等 例6 證 三 函數(shù)極限的性質(zhì) 1 有界性 2 唯一性 推論 3 不等式性質(zhì) 定理 保序性 定理 保號(hào)性 推論 4 子列收斂性 函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系 定義 定理 證 例如 函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系 函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在 且相等 例7 證 二者不相等 四 小結(jié) 函數(shù)極限的統(tǒng)一定義 見下表 思考題 思考題解答 左極限存在 右極限存在 不存在 一 填空題 練習(xí)題 練習(xí)題答案 一 自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限 一 自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限 一 自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限 一 自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限 一 自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限 一 自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限 一 自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限 一 自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限 一 自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限 一 無(wú)窮小 1 定義 極限為零的變量稱為無(wú)窮小 例如 注意 1 無(wú)窮小是變量 不能與很小的數(shù)混淆 2 零是可以作為無(wú)窮小的唯一的數(shù) 2 無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系 證 必要性 充分性 意義 1 將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題 無(wú)窮小 3 無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì) 定理2在同一過程中 有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍是無(wú)窮小 證 注意無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和未必是無(wú)窮小 定理3有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小 證 推論1在同一過程中 有極限的變量與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小 推論2常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小 推論3有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小 都是無(wú)窮小 二 無(wú)窮大 絕對(duì)值無(wú)限增大的變量稱為無(wú)窮大 特殊情形 正無(wú)窮大 負(fù)無(wú)窮大 注意 1 無(wú)窮大是變量 不能與很大的數(shù)混淆 3 無(wú)窮大是一種特殊的無(wú)界變量 但是無(wú)界變量未必是無(wú)窮大 不是無(wú)窮大 無(wú)界 證 三 無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系 定理4在同一過程中 無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小 恒不為零的無(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大 證 意義關(guān)于無(wú)窮大的討論 都可歸結(jié)為關(guān)于無(wú)窮小的討論 四 小結(jié) 1 主要內(nèi)容 兩個(gè)定義 四個(gè)定理 三個(gè)推論 2 幾點(diǎn)注意 無(wú)窮小與無(wú)窮大是相對(duì)于過程而言的 1 無(wú)窮小 大 是變量 不能與很小 大 的數(shù)混淆 零是唯一的無(wú)窮小的數(shù) 2 無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和 乘積 未必是無(wú)窮小 3 無(wú)界變量未必是無(wú)窮大 思考題 思考題解答 不能保證 例 有 一 填空題 練習(xí)題 練習(xí)題答案 一 極限運(yùn)算法則 定理 證 由無(wú)窮小運(yùn)算法則 得 推論1 常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面 推論2 有界 二 求極限方法舉例 例1 解 小結(jié) 解 商的法則不能用 由無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系 得 例2 解 例3 消去零因子法 例4 解 無(wú)窮小因子分出法 小結(jié) 無(wú)窮小分出法 以分母中自變量的最高次冪除分子 分母 以分出無(wú)窮小 然后再求極限 例5 解 先變形再求極限 例6 解 例7 解 左右極限存在且相等 三 小結(jié) 1 極限的四則運(yùn)算法則及其推論 2 極限求法 a 多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限 b 消去零因子法求極限 c 無(wú)窮小因子分出法求極限 d 利用無(wú)窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限 e 利用左右極限求分段函數(shù)極限 思考題 在某個(gè)過程中 若有極限 無(wú)極限 那么是否有極限 為什么 思考題解答 沒有極限 假設(shè)有極限 有極限 由極限運(yùn)算法則可知 必有極限 與已知矛盾 故假設(shè)錯(cuò)誤 一 填空題 練習(xí)題 二 求下列各極限 練習(xí)題答案 一 無(wú)窮小的比較 例如 極限不同 反映了趨向于零的 快慢 程度不同 不可比 觀察各極限 定義 例1 解 例2 解 常用等價(jià)無(wú)窮小 用等價(jià)無(wú)窮小可給出函數(shù)的近似表達(dá)式 例如 二 等價(jià)無(wú)窮小替換 定理 等價(jià)無(wú)窮小替換定理 證 例3 解 不能濫用等價(jià)無(wú)窮小代換 對(duì)于代數(shù)和中各無(wú)窮小不能分別替換 注意 例4 解 解 錯(cuò) 例5 解 三 小結(jié) 1 無(wú)窮小的比較 反映了同一過程中 兩無(wú)窮小趨于零的速度快慢 但并不是所有的無(wú)窮小都可進(jìn)行比較 2 等價(jià)無(wú)窮小的替換 求極限的又一種方法 注意適用條件 高 低 階無(wú)窮小 等價(jià)無(wú)窮小 無(wú)窮小的階 思考題 任何兩個(gè)無(wú)窮小量都可以比較嗎 思考題解答 不能 例當(dāng)時(shí) 都是無(wú)窮小量 但 不存在且不為無(wú)窮大 故當(dāng)時(shí) 練習(xí)題 練習(xí)題答案 一 函數(shù)的連續(xù)性 1 函數(shù)的增量 2 連續(xù)的定義 例1 證 由定義2知 3 單側(cè)連續(xù) 定理 例2 解 右連續(xù)但不左連續(xù) 4 連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間 在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù) 叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) 或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù) 連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線 例如 例3 證 二 函數(shù)的間斷點(diǎn) 1 跳躍間斷點(diǎn) 例4 解 2 可去間斷點(diǎn) 例5 解 注意可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn) 如例5中 跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn) 特點(diǎn) 3 第二類間斷點(diǎn) 例6 解 例7 解 注意不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只是個(gè)別的幾個(gè)點(diǎn) 狄利克雷函數(shù) 在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷 且都是第二類間斷點(diǎn) 僅在x 0處連續(xù) 其余各點(diǎn)處處間斷 在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷 但其絕對(duì)值處處連續(xù) 判斷下列間斷點(diǎn)類型 例8 解 三 小結(jié) 1 函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件 3 間斷點(diǎn)的分類與判別 2 區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) 第一類間斷點(diǎn) 可去型 跳躍型 第二類間斷點(diǎn) 無(wú)窮型 振蕩型 間斷點(diǎn) 見下圖 可去型 第一類間斷點(diǎn) 跳躍型 無(wú)窮型 振蕩型 第二類間斷點(diǎn) 思考題 思考題解答 且 但反之不成立 例 但 練習(xí)題 練習(xí)題答案 一 四則運(yùn)算的連續(xù)性 定理1 例如 二 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性 定理2嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù) 例如 反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù) 定理3 證 將上兩步合起來(lái) 意義 1 極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)互換 例1 解 例2 解 同理可得 定理4 注意定理4是定理3的特殊情況 例如 三 初等函數(shù)的連續(xù)性 三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的 定理5基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的 均在其定義域內(nèi)連續(xù) 定理6一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的 定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間 1 初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù) 在其定義域內(nèi)不一定連續(xù) 例如 這些孤立點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒有定義 在0點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒有定義 注意 注意2 初等函數(shù)求極限的方法代入法 例3 例4 解 解 四 小結(jié) 連續(xù)函數(shù)的和差積商的連續(xù)性 復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性 初等函數(shù)的連續(xù)性 定義區(qū)間與定義域的區(qū)別 求極限的又一種方法 兩個(gè)定理 兩點(diǎn)意義 反函數(shù)的連續(xù)性 思考題 思考題解答 是它的可去間斷點(diǎn) 練習(xí)題 練習(xí)題答案 一 最大值和最小值定理 定義 例如 定理1 最大值和最小值定理 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值 注意 1 若區(qū)間是開區(qū)間 定理不一定成立 2 若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn) 定理不一定成立