2012年全國(guó)聯(lián)賽試卷

2012年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題題 號(hào)一二三總 分11011151617 1819得 分評(píng)卷人復(fù)查人一、選擇題（共5小題，每小題6分，共60分. 每道小題均給出了代號(hào)為A，B，C，D的四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的. 請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào)里，不填、多填或錯(cuò)填都得0分）1如果實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么代數(shù)式可以化簡(jiǎn)為（ ） （A）2c-a （B）2a-2b （C）-a （D）a2如果，那么的值為（ ）（A） （B） （C）2 （D）3如果正比例函數(shù)y = ax（a 0）與反比例函數(shù)y =（b 0 ）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，其中一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，2），那么另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）（A）（2，3） （B）（3，2） （C）（2，3） （D）（3，2）4 在平面直角坐標(biāo)系中，滿足不等式x2y22x2y的整數(shù)點(diǎn)坐標(biāo)（x，y）的個(gè)數(shù)為（ ） （A）10 （B）9 （C）7 （D）55如果為給定的實(shí)數(shù)，且，那么這四個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)之差的絕對(duì)值是（ ） （A）1 （B） （C） （D）6如圖，四邊形ABCD中，AC，BD是對(duì)角線，ABC是等邊三角形，AD = 3，BD = 5，則CD的長(zhǎng)為（ ）（A） （B）4 （C） （D）4.57小倩和小玲每人都有若干面值為整數(shù)元的人民幣小倩對(duì)小玲說：“你若給我2元，我的錢數(shù)將是你的n倍”；小玲對(duì)小倩說：“你若給我n元，我的錢數(shù)將是你的2倍”，其中n為正整數(shù)，則n的可能值的個(gè)數(shù)是（ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）48如果關(guān)于x的方程 是正整數(shù)）的正根小于3， 那么這樣的方程的個(gè)數(shù)是（ ）（A） 5 （B） 6 （C） 7 （D） 89一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個(gè)面上的數(shù)字分別是1，2，3，4，5，6擲兩次骰子，設(shè)其朝上的面上的兩個(gè)數(shù)字之和除以4的余數(shù)分別是0，1，2，3的概率為，則中最大的是（ ）（A） （B） （C） （D）10黑板上寫有共100個(gè)數(shù)字每次操作先從黑板上的數(shù)中選取2個(gè)數(shù)，然后刪去，并在黑板上寫上數(shù)，則經(jīng)過99次操作后，黑板上剩下的數(shù)是（ ）（A）2012 （B）101 （C）100 （D）99二、填空題（共5小題，每小題6分，共30分）11按如圖的程序進(jìn)行操作，規(guī)定：程序運(yùn)行從“輸入一個(gè)值x”到“結(jié)果是否487？”為一次操作. 如果操作進(jìn)行四次才停止，那么x的取值范圍是 .12如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，AF與DE，DB分別交于點(diǎn)M，N，則DMN的面積是 .13如果關(guān)于x的方程x2+kx+k23k+= 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，那么 的值為 142位八年級(jí)同學(xué)和m位九年級(jí)同學(xué)一起參加象棋比賽，比賽為單循環(huán)，即所有參賽者彼此恰好比賽一場(chǎng)記分規(guī)則是：每場(chǎng)比賽勝者得3分，負(fù)者得0分；平局各得1分. 比賽結(jié)束后，所有同學(xué)的得分總和為130分，而且平局?jǐn)?shù)不超過比賽局?jǐn)?shù)的一半，則m的值為 .15如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O，AB是直徑，AD = DC. 分別延長(zhǎng)BA，CD，交點(diǎn)為E. 作BFEC，并與EC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F. 若AE = AO，BC = 6，則CF的長(zhǎng)為 .三、解答題（共4題，每題15分，共60分）16已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒有；關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和小于求的取值范圍17如圖，O的直徑為，O 過點(diǎn)，且與O內(nèi)切于點(diǎn)為O上的點(diǎn)，與交于點(diǎn)，且點(diǎn)在上，且，BE的延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)，求證：BOC18已知整數(shù)a，b滿足：ab是素?cái)?shù)，且ab是完全平方數(shù). 當(dāng)a2012時(shí)，求a的最小值.19求所有正整數(shù)n，使得存在正整數(shù)，滿足，且.2012年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考答案 一、選擇題1 。C解：由實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置可知，且，所以 2B解：3D解：由題設(shè)知，所以.解方程組得 所以另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，2）.注：利用正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象及其對(duì)稱性，可知兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，2）.4B解：由題設(shè)x2y22x2y， 得02.因?yàn)榫鶠檎麛?shù)，所以有 解得 以上共計(jì)9對(duì).5D 解：由題設(shè)知，所以這四個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，中位數(shù)為 ，于是 .6B解：如圖，以CD為邊作等邊CDE，連接AE. 由于AC = BC，CD = CE，BCD=BCA+ACD=DCE+ACD =ACE，所以BCDACE， BD = AE.又因?yàn)?，所?在Rt中，于是DE=，所以CD = DE = 4. 7D解：設(shè)小倩所有的錢數(shù)為x元、小玲所有的錢數(shù)為y元，均為非負(fù)整數(shù). 由題設(shè)可得消去x得 (2y7)n = y+4， 2n =.因?yàn)闉檎麛?shù)，所以2y7的值分別為1，3，5，15，所以y的值只能為4，5，6，11從而n的值分別為8，3，2，1；x的值分別為14，7，6，78C解：由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系知，兩根的乘積為，故方程的根為一正一負(fù)由二次函數(shù)的圖象知，當(dāng)時(shí)，所以，即 . 由于都是正整數(shù)，所以，1q5；或 ，1q2，此時(shí)都有. 于是共有7組符合題意 9D解：擲兩次骰子，其朝上的面上的兩個(gè)數(shù)字構(gòu)成的有序數(shù)對(duì)共有36個(gè)，其和除以4的余數(shù)分別是0，1，2，3的有序數(shù)對(duì)有9個(gè)，8個(gè)，9個(gè)，10個(gè)，所以，因此最大10C解：因?yàn)?，所以每次操作前和操作后，黑板上的每個(gè)數(shù)加1后的乘積不變?cè)O(shè)經(jīng)過99次操作后黑板上剩下的數(shù)為，則，解得 ，二、填空題117x19解：前四次操作的結(jié)果分別為 3x2，3(3x2)2 = 9x8，3(9x8)2 = 27x26，3(27x26)2 = 81x80.由已知得 27x26487， 81x80487.解得 7x19.容易驗(yàn)證，當(dāng)7x19時(shí)，487 487，故x的取值范圍是7x19128解：連接DF，記正方形的邊長(zhǎng)為2. 由題設(shè)易知，所以 ，由此得，所以.在RtABF中，因?yàn)?，所以，于?.由題設(shè)可知ADEBAF，所以 ， .于是 ， . 又，所以. 因?yàn)?，所?13解：根據(jù)題意，關(guān)于x的方程有=k240，由此得 (k3)20 又(k3)20，所以(k3)2=0，從而k=3. 此時(shí)方程為x2+3x+=0，解得x1=x2=. 故=148解：設(shè)平局?jǐn)?shù)為，勝（負(fù)）局?jǐn)?shù)為，由題設(shè)知，由此得0b43. 又 ，所以. 于是 043，87130，由此得 ，或.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，不合題設(shè).故15解：如圖，連接AC，BD，OD. 由AB是O的直徑知BCA =BDA = 90.依題設(shè)BFC = 90，四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形，所以BCF =BAD,所以 RtBCFRtBAD ，因此 .因?yàn)镺D是O的半徑，AD = CD，所以O(shè)D垂直平分AC，ODBC， 于是 . 因此.由，知因?yàn)?，所?，BA=AD ，故.三、解答題16解： 因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒有，所以，即，所以 （3分）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即，且 ，解得 （8分）設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得因?yàn)?，所以，解得，或因?（15分）17 證明：連接BD，因?yàn)闉榈闹睆?，所以又因?yàn)?，所以CBE是等腰三角形 （5分）設(shè)與交于點(diǎn)，連接OM，則又因?yàn)?，所?（10分）又因?yàn)榉謩e是等腰，等腰的頂角，所以BOC （15分）18解：設(shè)ab = m（m是素?cái)?shù)），ab = n2（n是正整數(shù)）. 因?yàn)?(a+b)24ab = (ab)2，所以 (2am)24n2 = m2， (2am+2n)(2am2n) = m2. （5分）因?yàn)?am+2n與2am2n都是正整數(shù)，且2am+2n2am2n (m為素?cái)?shù))，所以 2am+2nm 2，2am2n1