離散傅里葉變換及其快速計算方法(DFT、FFT)ppt課件

DFS和DFT的導(dǎo)出DFS和DFT的性質(zhì)Z變換與DFS的關(guān)系FFTIDFT頻譜分析,第三章DFT離散付氏變換,2,連續(xù)信號xa(t)，其傅里葉變換為：xa(t)為時域連續(xù)信號Xa()為頻域連續(xù)信號,3.1問題的提出：連續(xù)信號的傅里葉變換,3,離散信號在兩種變換域中的表示方法（1）離散時間傅里葉變換DTFT-提供了絕對可加的離散時間序列在頻域（）中的表示方法。（2）Z變換-提供任意序列的z域表示。,這兩種變換有兩個共同特征：（1）變換適合于無限長序列（2）它們是連續(xù)變量或z的函數(shù),3.1問題的提出：離散信號的變換,4,問題：X(z)，X(ejw)都是連續(xù)的，利用計算機(jī)處理有困難，例如使用Matlab，因此提出了在頻域內(nèi)取樣，使頻譜離散化的問題；必須截斷序列，得到有限個點的序列。目標(biāo)：我們需要得到一個可進(jìn)行數(shù)值計算的變換方法：（1）DTFT-頻域中原始信號頻譜的周期拓展（2）對DTFT在頻域中采樣-DFS（3）將DFS推廣到有限持續(xù)時間序列DFT（DFT避免了前面提到的那兩個問題，并且它是計算機(jī)可實現(xiàn)的變換方式。）DFT已成為DSP算法中的核心變換，原因：（1）有限長序列傅里葉變換的重要方法（2）有快速算法,3.1問題的提出：可計算性,5,3.1問題的提出：傅里葉變換的四種形式（1）,非周期連續(xù)時間傅里葉變換(FT)連續(xù)頻率周期連續(xù)時間傅里葉級數(shù)(FS)離散頻率非周期離散時間離散時間傅里葉變換(DTFT)連續(xù)頻率周期離散時間離散傅里葉級數(shù)(DFS)離散頻率,6,3.1問題的提出：傅里葉變換的四種形式（2）,1.連續(xù)信號（非周期）的付氏變換,時域連續(xù)函數(shù)造成頻域是非周期的譜時域的非周期造成頻域是連續(xù)的譜,7,2.周期連續(xù)時間信號：傅里葉級數(shù)FS,時域連續(xù)函數(shù)造成頻域是非周期的譜。頻域的離散對應(yīng)時域是周期函數(shù)。,3.1問題的提出：傅里葉變換的四種形式（3）,時域周期頻域離散,8,3.非周期離散信號：離散時間傅里葉變換DTFT,時域的離散化造成頻域的周期延拓時域的非周期對應(yīng)于頻域的連續(xù),3.1問題的提出：傅里葉變換的四種形式（4）,時域離散頻域周期,取樣定理,9,4.周期離散時間信號：離散傅里葉級數(shù)DFS,一個域的離散造成另一個域的周期延拓離散傅里葉級數(shù)的時域和頻域都是離散的和周期的,3.1問題的提出：傅里葉變換的四種形式(5),時域周期、離散頻域周期、離散,10,四種傅里葉變換形式的歸納總結(jié)：,離散時間函數(shù)的取樣間隔：T1，取樣頻率：,離散頻率函數(shù)的取樣間隔：F0，時間周期：,3.1問題的提出：傅里葉變換的四種形式（6）,結(jié)論：時域中函數(shù)取樣(離散)（映射）頻域中函數(shù)周期重復(fù)；頻域中函數(shù)取樣（映射）時域中函數(shù)周期重復(fù)；取樣間隔（映射）周期（2/間隔）,0,時域中函數(shù)的取樣和頻域中函數(shù)的取樣,3.1問題的提出：傅里葉變換的四種形式(7),12,由以上討論可以清楚地看到，時域取樣將引起頻域的周期延拓，頻域取樣也將引起時域的周期延拓。因此可以設(shè)想，如果同時對頻域和時域取樣，其結(jié)果是時域和頻域的波形都變成離散、周期性的波形，從而我們可以利用付氏級數(shù)這一工具，得到它們之間的離散付氏級數(shù)DFS關(guān)系。,3.2DFS及其性質(zhì),13,基本關(guān)系式若r，m都是整數(shù),則:,其中:,DFS定義：預(yù)備知識,證明:對于r=m：不論k取何值，顯然等式成立。對于rm：,14,為了推導(dǎo)的關(guān)系，作下列變量代換：時域：頻域：則得：,?,DFS定義：正變換,15,周期離散序列的Z變換存在（收斂）的問題因為周期離散序列，而對于周期信號，嚴(yán)格數(shù)學(xué)意義上講，其Z變換不收斂，因為：而對于找不到衰減因子使它絕對可和（收斂）。為此，定義新函數(shù)，其Z變換：,DFS定義：正變換,16,其頻譜：（是連續(xù)變量，需要對其離散化）,DFS定義：正變換,（取的一個主周期進(jìn)行Z變換）,17,頻域取樣X(ej)是連續(xù)變量的周期函數(shù)，周期為2。把離散化，即在02區(qū)間內(nèi)等間隔取N個點，取樣間隔為2/N。另一個角度看，X(ej)是Z平面單位圓上的Z變換。連續(xù)變量的離散化也可以認(rèn)為是把單位圓分N等分，每分為2/N。其中：稱為頻域中的取樣間隔，也稱為頻率分辨率。,DFS定義：正變換,18,DFS定義：正變換,19,DFS：,DFS定義：正變換,也僅有0，1，N-1個獨立值,周期為N。,因為,所以,20,反變換IDFS正變換兩端乘以，m=0,1,N-1然后令k=0，1，N-1求和，得：,DFS定義：反變換,用正交條件：,21,DFS定義：反變換,即,（只有m=n時，才有值，而m不等于n時，為零，因此，x(n)只取x(m)）,變量m替換為n，得,22,DFS變換對：時域周期序列與頻域周期序列間的關(guān)系,DFS定義：反變換,其中,23,在什么條件下不產(chǎn)生混迭失真？頻率取樣頻率取樣：若時間信號有限長，當(dāng)滿足下列條件時，X(ej)的樣本值X(k)能不失真的恢復(fù)成原信號。為了避免時間上的混迭：（1）必須是時間限制（有限時寬）（2）取樣頻率間隔小于,DFS定義：幾點說明,24,頻率分量如果變量DFS可表示為：因此，時域n及頻域k都是有物理意義的。,DFS定義：幾點說明,（指數(shù)項kn不變）,25,更具體地，傅里葉系數(shù)的標(biāo)號k和頻率f的關(guān)系為：所以：對應(yīng)關(guān)系：傅里葉系數(shù)標(biāo)號k：0N數(shù)字頻率：02模擬頻率f：0fs,DFS定義：幾點說明,26,DFS定義：幾點說明,頻率成份直流分量：當(dāng)k=0時，此時得到的傅里葉級數(shù)的系數(shù)稱為信號的直流分量（DCComponent），是信號的平均值；交流分量：其它頻率（k0）稱為周期信號的諧波，此時的傅里葉級數(shù)系數(shù)稱為信號的交流分量。k=1時的頻率為信號的一次諧波，或基頻，頻率大小為fs/N，時間為NTs，等于完成一個周期所需要的時間。其它諧波為基頻的整數(shù)倍。離散傅里葉級數(shù)包含了0到(N-1)fs/N的頻率，因而N個傅里葉級數(shù)的系數(shù)位于從0直到接近取樣頻率的頻率上。,時域,27,DFS定義：幾點說明,周期信號的頻譜由傅里葉系數(shù)可得到的幅度頻譜和相位頻譜，不難證明，如果是實序列，那么幅度頻譜是周期性偶函數(shù)，相位頻譜是周期性奇函數(shù)。周期信號由離散傅里葉級數(shù)DFS得到的頻譜，和非周期信號由離散時間傅里葉變換DTFT得到的頻譜之間有重要區(qū)別。DTFT產(chǎn)生連續(xù)頻譜，這意味著頻譜在所有的頻率處都有值，因而非周期信號的幅度和相位頻譜是光滑無間斷的曲線。與之相反，DFS僅有N點的頻譜，僅包含有限個頻率，因而周期信號的幅度和相位頻譜是線譜，即相等間隔的豎線，當(dāng)頻譜的橫坐標(biāo)變量用實際頻率f代替k時，譜線間隔為fs/N。并不是所有的周期信號都含有全部諧波，例如有些頻譜只有奇次諧波，比如三角波，偶次諧波為0，而有些頻譜僅在一些諧波處的值為0。,28,DFS的Matlab的實現(xiàn),由DFS的定義可以看出它是一種可進(jìn)行數(shù)值計算表示式，它可由多種方式實現(xiàn)。（1）利用循環(huán)語句for.end實現(xiàn)為了計算每個樣本，可用for.end語句實現(xiàn)求和。為了計算所有的DFS系數(shù)，需要另外一個for.end循環(huán)，這將導(dǎo)致運(yùn)行嵌套的兩個for.end循環(huán)。顯然，這種方法的效率較低。,29,設(shè)和代表序列x(n)和X(k)主周期的列向量，則DFS的正反變換表達(dá)式由下式給出：其中矩陣WN由下式給出：,矩陣WN為方陣，叫做DFS矩陣.,（2）利用矩陣矢量乘法,30,functionXk=dfs(xn,N)n=0:1:N-1;%rowvectorfornk=0:1:N-1;%rowvecorforkWN=exp(-j*2*pi/N);%Wnfactornk=n*k;%createsaNbyNmatrixofnkvaluesWNnk=WN.nk;%DFSmatrixXk=xn*WNnk;%rowvectorforDFScoefficientsfunctionxn=idfs(Xk,N)n=0:1:N-1;%rowvectorfornk=0:1:N-1;%rowvecorforkWN=exp(-j*2*pi/N);%Wnfactornk=n*k;%createsaNbyNmatrixofnkvaluesWNnk=WN.(-nk);%IDFSmatrixxn=(Xk*WNnk)/N;%rowvectorforIDFSvalues,DFS的Matlab的實現(xiàn),例：求出下面周期序列的DFS表示式,解：上述序列的基本周期為N=4，因而W4=e-j2/4=-j，,例:下面給出一周期“方波”序列：其中，m=0,1,2,，N是基本周期，L/N是占空比。(a)確定一種用L與N描述的的表達(dá)式。(b)分別畫出當(dāng)L=5,N=20；L=5，N=40；L=5，N=60；L=7，N=60時表達(dá)式。(c)對所得結(jié)果進(jìn)行討論。,解：(a)由DFS定義可得,而：,的幅值可表示為：,b.Matlab程序如下：%Chapter3:Example3.03L=5;N=20;(改變參數(shù)）x=ones(1,L),zeros(1,N-L);xn=x*ones(1,3);xn=(xn(:);n=-N:1:2*N-1;subplot(1,1,1);subplot(2,1,2);stem(n,xn);xlabel(n);ylabel(xtilde(n)title(Threeperiodsofxtilde(n)axis(-N,2*N-1,-0.5,1.5),%Part(b)L=5;N=20;(改變參數(shù)）xn=ones(1,L),zeros(1,N-L);Xk=dfs(xn,N);magXk=abs(Xk(N/2+1:N)Xk(1:N/2+1);k=-N/2:N/2;subplot(2,2,1);stem(k,magXk);axis(-N/2,N/2,-0.5,5.5)xlabel(k);ylabel(Xtilde(k)title(DFSofSQ.wave:L=5,N=20),注意：是周期信號，圖中只畫出了從N/2到N/2的部分。c.從圖中可以看到，方波的DFS系數(shù)的包絡(luò)像“Sinc”函數(shù)，K=0時的幅度等于L；同時函數(shù)的零點位于N/L（占空比的倒數(shù)）的整數(shù)倍處；L=5不變，N變大（即填0，但有效信息沒有增加），則形狀不變，只是更平滑，即獲得了一個高密度譜；N=60不變，L變大（即增加了原始數(shù)據(jù)長度），則變換后得形狀發(fā)生了變化，獲得了更多的信息，即高分辨率譜。,例：設(shè)當(dāng)N=5、10、20、50時，分別對其Z變換在單位圓上取樣，研究不同的N對時域的影響。,%Frequency-domainsampling%x(n)=(0.7)n*u(n)%X(z)=z/(z-0.7);|z|0.7subplot(1,1,1)N=5;(改變參數(shù)）k=0:1:N-1;wk=2*pi*k/N;zk=exp(j*wk);Xk=(zk)./(zk-0.7);xn=real(idfs(Xk,N);%只取實部，去掉產(chǎn)生的虛部誤差xtilde=xn*ones(1,8);%畫出8個周期xtilde=(xtilde(:);subplot(2,2,1);stem(0:39,xtilde);axis(0,40,-0.1,1.5);xlabel(n);ylabel(xtilde(n);title(N=5),從圖中清楚地表明在時域中出現(xiàn)的混疊，尤其是當(dāng)N=5與N=10時。對于大的N值，其x(n)的尾部足夠小，實際上不會導(dǎo)致明顯的混迭。這對于變換前，有效截取無限序列，是非常有效的。,1.2020,1.0291,1.0008,1.0000,42,線性,且：,則,a,b為任意常數(shù),DFS的性質(zhì)：線性,43,序列的周期移位（時域）若是周期序列，其周期為N，移位后仍為周期序列，且：,DFS的性質(zhì)：序列的周期移位,證明：,44,調(diào)制特性（頻域周期移位）,DFS的性質(zhì)：調(diào)制特性,證明：,45,周期卷積（時域）,若,則,頻域相乘時域卷積周期卷積：兩個周期序列在一個周期上的線性卷積，是一種特殊的卷積計算形式。,DFS的性質(zhì)：周期卷積（1）,46,DFS的性質(zhì)：周期卷積（2）,證明：,47,DFS的性質(zhì)：周期卷積（3）,（1）x1(n)和x2(n)是周期的。（2）求和范圍為一個周期（3）周期序列周期卷積后，序列的長度仍然是周期的；,位置保持不變,48,序列的線性卷積與周期卷積的幾點區(qū)別：線性卷積的求和對參與卷積的兩個序列無任何要求，而周期卷積要求兩個序列是周期相同的周期序列。線性卷積的求和范圍由兩個序列的長度和所在的區(qū)間決定，而周期卷積的求和范圍是一個周期N。線性卷積所得序列的長度(M+N-1)由參與卷積的兩個序列的長度確定，而周期卷積的結(jié)果仍是周期序列，且周期與原來的兩個序列周期相同。周期卷積等同于兩個周期序列在一個周期上的線性卷積計算。,DFS的性質(zhì)：周期卷積（4）,解：,例：已知序列x1(n)=R4(n)，x2(n)=(n+1)R5(n)，分別將序列以周期為N=6拓展成周期序列，求兩個周期序列的周期卷積和。,1,5,4,5,1,2,51,頻域周期卷積利用DFS的對偶性有：,若,則,時域相乘頻域卷積,DFS的性質(zhì)：周期卷積(5),注意頻域卷積的求和號前面有1/N。,52,DFS的性質(zhì)：共軛對稱性,由任一周期性序列，定義如下兩個序列：共軛偶對稱周期性序列共軛奇對稱周期性序列,且具有如下關(guān)系：,其它對稱性質(zhì)見教科書,53,DFS定義和性質(zhì)：小結(jié),時域周期序列與頻域周期序列的關(guān)系DFSDFS的性質(zhì)重點：周期移位調(diào)制特性周期卷積,54,對于一段有限長信號（連續(xù)），分析頻譜問題是付氏積分問題，進(jìn)行時域周期重復(fù)和取樣兩過程，就可把廣義積分問題變成有限項求和，即由CTFTDFS。DFS變換：周期離散時間函數(shù)與一周期離散頻率函數(shù)的組合，它們是有限求和（而不是積分），常用DFS來逼近連續(xù)時間過程的傅氏變換。也即要用數(shù)字運(yùn)算能完全計算出付氏積分，必須對時間函數(shù)和頻率函數(shù)取樣（即DFS），選擇時間有限和頻率有限的信號。時間取樣：取樣頻率大于信號最高頻率兩倍；頻率取樣：取樣間隔足夠小，使時間函數(shù)的周期（單位圓上等分（取樣）的點數(shù)）大于信號的時域長度。結(jié)果：頻域和時域中均不出現(xiàn)混迭現(xiàn)象。,3.3有限離散傅里葉變換及其性質(zhì)(1),55,離散傅氏級數(shù)提供了一種對離散時間傅氏變換作數(shù)值計算的技巧，它在時域和頻域都是周期的，但在實際中大多數(shù)信號不具有周期性，它們很可能具有有限持續(xù)時間。對這些信號，怎樣探討一種可數(shù)值計算的傅氏表達(dá)式？理論上，可通過構(gòu)造一周期信號，其基本形狀為有限持續(xù)時間信號，然后計算此周期信號的DFS。實際上，這也就是定義了一種新的變換，稱為離散傅氏變換（DFT），它是DFS的主周期。DFT是對任意有限持續(xù)時間序列可數(shù)值計算的傅氏變換。,3.3有限離散傅里葉變換及其性質(zhì)(2),56,同樣：X(k)也是一個N點的有限長序列,關(guān)系?,其中:,DFT定義：表達(dá)式(1),周期序列的表示,57,DFT定義：表達(dá)式(2),若n=n1+n2N成立，且n1滿足0n1N-1，則把n1稱做n對N的模數(shù)，用符號(n)N表示，即：n模N=(n)N=n1，也就是n對N取余數(shù)。例:是周期為N=6的序列，求n=19及n=-2兩數(shù)對N的余數(shù)。解：n=19=1+36，(19)6=1n=-2=(-1)6+4，(-2)6=4即：,58,在無混迭的情況下，我們看如何把DFS變成DFT?,DFS:,DFT定義：表達(dá)式(3),因無混迭，則時域中一個周期長的主值序列對應(yīng)于頻域中一個周期長的主值序列。從DFS的時域和頻域中各取出一個周期，即得到有限長度離散序列的時域和頻域傅氏變換。,59,有限長序列的DFT正變換和反變換：,其中：,DFT,DFT定義：表達(dá)式(4),或,注意：從工程角度看，DFS和DFT的表達(dá)式?jīng)]有本質(zhì)區(qū)別。,60,DFT的矩陣表示形式,若令：,則：,DFT定義：表達(dá)式(5),61,DFT定義：表達(dá)式(6),DFT圖形解釋,62,不僅濃縮了的全部內(nèi)容，同時也濃縮了的全部內(nèi)容。能夠如實、全面地表示的頻域特征，所以DFT具備明確的物理含義。,DFT定義：表達(dá)式（7）,DFT意義,63,由上面的討論可知，在0nN-1上，DFS和DFT相同。因此，可用類似的方法實現(xiàn)DFT。把原先名為dfs和idfs的Matlab函數(shù)改名為dft和idft函數(shù)，即可實現(xiàn)離散傅氏變換DFT。實際中，我們用的更多的是DFT的快速算法FFT，見后續(xù)內(nèi)容。,DFT定義：Matlab實現(xiàn),64,例：x(n)是一個4點序列：（1）計算離散時間傅氏變換X(ejw)，并畫出它的幅度和相位。（2）計算x(n)的4點DFT。,DFT定義：舉例,65,解：（1）離散時間傅氏變換為：,因而,DFT定義：舉例,66,DFT定義：舉例,67,(2)用X4(k)表示4點DFT:,DFT定義：舉例,%b)4-pointDFTN=4;w1=2*pi/N;k=0:N-1;X=dft(x,N);magX=abs(X),phaX=angle(X)*180/pisubplot(2,1,1);plot(w*N/(2*pi),magH,-);axis(-0.1,4.1,-1,5);holdonstem(k,magX);,68,k,DFT定義：舉例,69,例:怎樣得到DTFTX(ejw)的其他樣本？解：顯然，我們的采樣頻率應(yīng)更小一些，也就是說，應(yīng)增加N的長度。有兩種方法，一種是采樣時就采樣更多的樣本；另一種是在序列后面添加一定長度的零，叫做填零運(yùn)算，在實際中，為了得到一個較密的頻譜，這種運(yùn)算是必要的。,3.3.1DFT定義：舉例,70,（a）給x(n)后附加4個零得到一個8點序列。x(n)=1,1,1,1,0,0,0,0設(shè)X8(k)為一8點DFT，則在這種情況下，頻率分辨率為w1=2/8=/4。,DFT定義：舉例,71,%b)8-pointDFTN=8;w1=2*pi/N;k=0:N-1;x=x,zeros(1,4);X=dft(x,N);magX=abs(X),phaX=angle(X)*180/pi結(jié)果如下：magX=4.00002.61310.00001.08240.00001.08240.00002.6131phaX=0-67.5000-153.4349-22.5000-90.000022.5000-53.130167.5000,DFT定義：舉例,72,DFT定義：舉例,73,（b)更進(jìn)一步，給x(n)填充12個零，變成一個16點序列，即：x(n)=1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0在這種情況下，頻率分辨率為w1=2/16=/8。,DFT定義：舉例,74,%c)16-pointDFTsubplot(1,1,1)N=16;w1=2*pi/N;k=0:N-1;x=x,zeros(1,8);X=dft(x,N);magX=abs(X),phaX=angle(X)*180/pisubplot(2,1,1);plot(w*N/(2*pi),magH,-);axis(-0.1,16.1,-1,5);holdonstem(k,magX);xlabel(k);ylabel(|X(k)|);title(MagnitudeoftheDFT:N=16)holdoffsubplot(2,1,2);plot(w*N/(2*pi),phaH*180/pi,-);axis(-0.1,16.1,-200,200);holdonstem(k,phaX);xlabel(k);ylabel(Degrees);title(AngleoftheDFT:N=16),DFT定義：舉例,75,DFT定義：舉例,76,結(jié)論：基于以上兩個例子，可以得到以下結(jié)論。填零是給原始序列填零的運(yùn)算。這導(dǎo)致較長的DFT，它會給原始序列的離散時間傅氏變換提供間隔更密的樣本。在Matlab中，用zeros函數(shù)實現(xiàn)填零運(yùn)算。為精確地畫出離散時間傅氏變換X(ejw)，只需要4點DFTX4(k)。這是因為x(n)僅有4個非零樣本，因此，可通過填零得到X8(k)、X16(k)等等，用它們來填充X(ejw)的值。填零運(yùn)算提供了一個較密的頻譜和較好的圖示形式，但因為在信號中只是附加了零，而沒有增加任何新的信息，因此，它不能提供更高分辨率的頻譜。為了得到更高分辨率的頻譜，需要獲得更多的數(shù)據(jù)。其他的先進(jìn)方法則是利用邊緣信息和非線性技術(shù)。,DFT定義：舉例,77,例：為了說明高密度頻譜和高分辨率頻譜之間的區(qū)別，考察序列求出它基于有限個樣本的頻譜。（a）當(dāng)0n10時，確定并畫出x(n)的離散傅氏變換。（b）當(dāng)0n100時，確定并畫出x(n)的離散傅氏變換。,DFT定義：舉例,78,(a)首先確定x(n)的10點DFT，得到其離散時間傅氏變換的估計%Highresolutionspectrumbasedon100samplesofthesignalx(n)subplot(1,1,1);n=0:1:99;x=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n);%Spectrumbasedonthefirst10samplesofx(n)n1=0:1:9;y1=x(1:1:10);subplot(2,1,1);stem(n1,y1);title(signalx(n),0=n=9);xlabel(n)axis(0,10,-2.5,2.5);Y1=dft(y1,10);magY1=abs(Y1(1:1:6);k1=0:1:5;w1=2*pi/10*k1;subplot(2,1,2);stem(w1/pi,magY1);%(只畫了一半的點，原因是鏡像對稱的點）title(SamplesofDTFTMagnitude);xlabel(frequencyinpiunits);axis(0,1,0,10);disp(PressRETURNtocontinue);pause;,DFT定義：舉例,79,DFT定義：舉例,80,填充90個零以得到較密的頻譜%Highdensityspectrum(100samples)basedonthefirst10samplesofx(n)n2=0:1:99;y2=x(1:1:10)zeros(1,90);subplot(2,1,1);stem(n2,y2);title(signalx(n),0=n=9+90zeros);xlabel(n)axis(0,100,-2.5,2.5)Y2=dft(y2,100);magY2=abs(Y2(1:1:51);k2=0:1:50;w2=2*pi/100*k2;subplot(2,1,2);plot(w2/pi,magY2);Holdon;stem(w2/pi,magY2);title(DTFTMagnitude);xlabel(frequencyinpiunits)axis(0,1,0,10)disp(PressRETURNtocontinue);holdoff;pause;,DFT定義：舉例,81,DFT定義：舉例,從結(jié)果圖中可以看到，此序列在w=0.5處有一主頻率，原始序列則沒有說明這一點。填零運(yùn)算提供了更加平滑,高密度的頻譜曲線,82,（b）為得到更多的頻譜信息，采集更多的樣本，用x(n)的100個樣本來確定它的DFT。%Highresolutionspectrumbasedon100samplesofthesignalx(n)subplot(2,1,1);stem(n,x);title(signalx(n),0=n=99);xlabel(n)axis(0,100,-2.5,2.5)X=dft(x,100);magX=abs(X(1:1:51);k=0:1:50;w=2*pi/100*k;subplot(2,1,2);plot(w/pi,magX);title(DTFTMagnitude);xlabel(frequencyinpiunits)axis(0,1,0,60)disp(PressRETURNtocontinue);,DFT定義：舉例,83,DFT清楚地表明了兩個靠得很緊的頻率，這是x(n)的高分辨率的頻譜,采樣更多的數(shù)據(jù)提供了更多的信息,DFT定義：舉例,84,DFT從整體上可看成是由窄帶相鄰濾波器組成的濾波器組DFT的每個分量X(k)可看成是窄帶濾波器的輸出，此窄帶濾波器的中心位于數(shù)字頻率2k/N弧度，帶寬為2/N。此概念的一個典型應(yīng)用是數(shù)字音頻壓縮中的分析濾波器，例如AC3和MPEGAudio都是如此。分辨率（子帶帶寬）N點DFT覆蓋了0到fs（取樣頻率）的頻率范圍。因此，頻率取樣點以fs/N為間隔。該頻率間隔稱為DFT的頻率分辨率，它描述了DFT分辨相鄰信號頻率的程度。頻率間隔越小，分辨率越好；間隔越大，DFT分辨率越差。假定取樣頻率保持不變，當(dāng)取樣點越大時，DFT分辨率就會越好，這樣頻率間隔小，可獲得頻譜的許多細(xì)節(jié)。從濾波器組的角度看，分辨率好的DFT是由大量非常窄的帶通濾波器構(gòu)成的。,DFT定義：DFT頻譜,85,DFT定義：DFT頻譜,濾波器的中心頻率DFT分量X(k)位于以下頻率處：如果畫出對頻率f（Hz）而不是對k的頻譜，則更容易從實際角度解釋DFT頻譜。當(dāng)k=N/2時，f到達(dá)了fs/2奈奎斯特頻率。因而，k=0到k=N/2的DFT點攜帶了DFT全部必要的幅度和相位信息。其余點只是基帶重要信號頻率的鏡像副本，是取樣的人為結(jié)果。即幅度頻譜是周期性的偶對稱。,86,例:為了體會DFT的濾波器組解釋，x(t)由兩個余弦信號和隨機(jī)噪聲構(gòu)成：取樣頻率fs=6.4Hz。請分析其頻譜。解：x(t)包含兩個頻率1/16Hz和3/8Hz，以6.4Hz取樣后，相應(yīng)的數(shù)字頻率由=T=2f/fs，分別為1=2/102.4和2=6/51.2弧度。則在40秒內(nèi)以6.4Hz進(jìn)行取樣，共得406.4=256個取樣點。,DFT定義：DFT頻譜,87,3.3.1DFT定義：DFT頻譜,15,88,在上圖中隨機(jī)噪聲采用的是正態(tài)分布的高斯白噪聲（randn函數(shù)），由于白噪聲信號中所有頻率的貢獻(xiàn)均相等，所以白噪聲頻譜近似平坦。對于N=256點DFT，每個標(biāo)號k對應(yīng)于數(shù)字頻率2k/256弧度。由于DFT可以看作一組相鄰窄帶濾波器構(gòu)成，每個濾波器以數(shù)字頻率2k/256弧度為中心。因而頻譜峰值應(yīng)位于2k/256=2/102.4和2k/256=6/51.2，即k=2.5（非整數(shù)）和k=15（整數(shù)）處。由于k必須是整數(shù)，k=2.5處的峰值又分成k=2和k=3處的兩個小峰。當(dāng)DFT變換的長度N是多個數(shù)字頻率公倍數(shù)的整數(shù)倍時，即數(shù)字頻率正好位于子帶濾波器的中心頻率上時，則得到理想的譜線。DFT是在頻譜中對連續(xù)頻譜進(jìn)行取樣，因此DFT不能超過DFT頻率分辨率所允許的范圍而去準(zhǔn)確定位頻率。即當(dāng)信號譜線所在位置與DFT頻率分辨率位置保持一致時，則能準(zhǔn)確定位此譜線；當(dāng)DFT中沒有頻率與所分析信號的重要頻率相符時，DFT就將導(dǎo)致真實頻譜的模糊。,DFT定義：DFT頻譜,89,例:以256Hz取樣頻率對信號取樣，得到離散信號x(n)，計算其頻譜。解：數(shù)字頻率：數(shù)字信號：數(shù)字周期：數(shù)字周期為64，覆蓋了15個模擬信號周期。,DFT定義：DFT頻譜,90,對上述離散信號進(jìn)行N=128和N=130點DFT，因為128是64的整數(shù)倍（2倍），從圖中看，128點DFT的幅度頻譜中有兩個理想尖鋒，第二個尖鋒是第一個的鏡像，頻譜中的理想尖鋒就標(biāo)志著正弦的頻率。而當(dāng)N=130不是該數(shù)字信號的數(shù)字周期64的整數(shù)倍，尖鋒變寬并變小了，這就是頻譜模糊現(xiàn)象。,3.3.1DFT定義：DFT頻譜,30,91,序列x(n)的Z變換在單位圓上進(jìn)行N等分，即2/N，就是序列的DFT變換。(取樣）Z變換和DFT的關(guān)系是取樣和內(nèi)插的關(guān)系，這在實際應(yīng)用中很重要。,DFT與DTFT和Z變換的關(guān)系,92,取樣Z變換設(shè)x(n)為一個長度為N的有限長序列，則有：,DFT與Z變換的關(guān)系：取樣Z變換,93,從DTFT的角度看：有限長序列的DFT結(jié)果包含了N個離散頻率點處的DTFT結(jié)果，這個離散頻率點等間隔地分布在區(qū)間0，2)內(nèi)；,從Z變換的角度看：DFT結(jié)果包含了z平面上N個離散點處的Z變換結(jié)果，這N個離散點均勻地分布在單位圓上，由此也稱DFT為單位圓上的取樣Z變換。,DFT與Z變換的關(guān)系：取樣Z變換,94,頻域取樣定理：若序列長度為M，則只有當(dāng)頻域采樣點數(shù)N滿足NM時，才有:即可由頻域取樣X(k)不失真地恢復(fù)原信號x(n)，否則產(chǎn)生時域混疊現(xiàn)象。此時可由N個取樣值X(k)內(nèi)插恢復(fù)出X(z)或X(ejw)。,DFT與Z變換的關(guān)系：z域內(nèi)插,時域取樣定理：在滿足奈奎斯特定理條件下，時域取樣信號可以不失真地還原原連續(xù)信號。頻域取樣情況如何？取樣條件？內(nèi)插公式？,95,Z域內(nèi)插公式：由DFTX(k)可以確定z平面上任一點處的X(z),DFT與Z變換的關(guān)系：z域內(nèi)插,z平面內(nèi)插公式,內(nèi)插函數(shù),96,內(nèi)插函數(shù)的零極點分布極點：(N-1)階極點z=0；一階極點z=1；零點：N個一階零點:抵消：z=1處的一階極點和一階零點互相抵消，一階零點數(shù)量變?yōu)椋∟-1）個。,3.3.2DFT與Z變換的關(guān)系：z域內(nèi)插,(z)的零、極點分布,97,3.3.2DFT與Z變換的關(guān)系：F域內(nèi)插,F域內(nèi)插公式：由頻域取樣DFTX(k)表示DTFTX(ejw),98,即:,其中:,頻域內(nèi)插函數(shù),頻域內(nèi)插公式,3.3.2DFT與Z變換的關(guān)系：F域內(nèi)插,99,F內(nèi)插函數(shù)的零極點分布根據(jù)(z)的零極點分布規(guī)律可知：(零極點對系統(tǒng)頻率響應(yīng)的影響)極點：ej到極點z=0的距離恒為1，對幅頻特性沒有影響零點：在區(qū)間0,2內(nèi)，|()|存在(N-1)個零值點存在(N-1)個極值點，分別為：,(z)的零、極點分布,3.3.2DFT與Z變換的關(guān)系：F域內(nèi)插,100,插值函數(shù)的幅度特性與相位特性（N=5),DFT與Z變換的關(guān)系：F域內(nèi)插,101,頻域內(nèi)插的物理含義,只有當(dāng)頻域取樣點數(shù)N大于序列長度M時，中不會出現(xiàn)混迭現(xiàn)象，這時能夠從中如實恢復(fù)x(n)，即能夠由X(k)準(zhǔn)確重建X(z)和X(ejw)。對序列作DFT變換點數(shù)不應(yīng)低于序列的長度。X(k)濃縮了x(n)在變換域中的全部特性。,DFT與Z變換的關(guān)系：F域內(nèi)插,102,這里，序列長度及DFT點數(shù)均為N若不等，分別為N1、N2，則需補(bǔ)零使兩序列長度相等，均為N，且,若兩序列x1(n)和x2(n)的長度均為N，且其N點DFT分別為：,則：,DFT的性質(zhì)：線性,a,b為任意常數(shù),103,對于周期序列，有：其中：周期共軛偶對稱分量周期共軛奇對稱分量又定義：又由于則：即有限長序列由共軛偶對稱和共軛奇對稱兩部分組成。,DFT的性質(zhì)：對稱性,共軛奇對稱分量,共軛偶對稱分量,104,DFT的性質(zhì)：對稱性,105,若存在有限長序列x(n)，長度為N，其N點DFT的結(jié)果為X(k)，則有，,證明：,DFT的性質(zhì)：帕斯瓦爾定理,該定理表明:可利用序列的DFT結(jié)果表示信號的能量，序列在時域計算的能量與在頻域計算的能量相等，即變換前后的能量保持不變。這進(jìn)一步說明，雖然DFT有別于DTFT，但其仍然具有明確的物理含義。,106,DFT的性質(zhì)：反轉(zhuǎn)定理,循環(huán)反轉(zhuǎn)的定義如果x(n)是長度為N的序列，則稱x(-n)NRN(n)為x(n)的循環(huán)反轉(zhuǎn)運(yùn)算。,循環(huán)反轉(zhuǎn)運(yùn)算是有限長序列所特有的一種運(yùn)算，其結(jié)果仍然是集合0,1,.,(N-1)上的有限長序列，特別注意n=0時情況。計算過程：（1）補(bǔ)零為N；（2）周期延拓；（3）縱軸鏡像；（4）取主值序列。,107,DFT的性質(zhì)：反轉(zhuǎn)定理,循環(huán)反轉(zhuǎn)的DFT,若,則,證明：,108,DFT的性質(zhì)：序列的循環(huán)移位(圓周移位),循環(huán)移位的定義：,稱其為循環(huán)移位的原因在于，當(dāng)序列從一端移出范圍時，移出的部分又會從另一端移入該范圍。線性移位：若N點序列沿一方向線性移位，它將不再位于區(qū)間0nN-1上。,109,DFT的性質(zhì)：序列的循環(huán)移位(圓周移位),有的書上稱為圓周移位。把x(n)看作排列在N等分的圓周上，循環(huán)移位就相當(dāng)于序列x(n)在圓周上移動，故稱為圓周移位。實際上重復(fù)觀察幾周時，看到的就是周期序列。,110,例：設(shè)x(n)=10(0.8)n，0n10為11點序列(a)畫出x(n+4)11R11(n)，也就是向左循環(huán)移位4個樣本的序列；(b)畫出x(n-3)15R15(n)，也就是假定x(n)為15點序列，向右循環(huán)移位3個樣本。,DFT的性質(zhì)：序列的循環(huán)移位(圓周移位),111,(b)在這種情況下，給x(n)后填充4個零，將其看作一個15點序列。此時的循環(huán)移位與N=11時不同，看起來像線性移位x(n-3)。因此，序列的周期長度是非常重要的一個參數(shù)。,DFT的性質(zhì)：序列的循環(huán)移位(圓周移位),112,結(jié)論：有限長序列的循環(huán)移位，在離散頻域中只引入了一個和頻率成正比的線性相移，對幅頻特性沒有影響。,DFT的性質(zhì)：序列循環(huán)移位后的DFT,若,，則,證明：,113,時域序列的調(diào)制等效于頻域的循環(huán)移位,DFT的性質(zhì)：頻域循環(huán)移位后的IDFT,頻域循環(huán)移位后的IDFT（調(diào)制特性）由DFT所具有的對偶特性不難看出，在頻域內(nèi)循環(huán)移位時，將有類似的結(jié)果，即：,證明：,114,DFT的性質(zhì)：頻域循環(huán)移位后的IDFT,證明：,115,DFT的性質(zhì)：循環(huán)卷積(圓周卷積),循環(huán)卷積定義：設(shè)x1(n)和x2(n)都是長度為N的有限長序列，把它們分別拓展為周期序列和，定義循環(huán)卷積為：,周期序列卷積后取主值,116,因為上式的求和范圍是m由0到N-1，因此第一個序列x1(m)可以不作周期拓展，即注意兩個N點序列的線性卷積將導(dǎo)致一個更長的序列。而循環(huán)卷積將區(qū)間限制在0nN-1，結(jié)果仍為N點序列，它與線性卷積的結(jié)構(gòu)類似。不同點在于求和范圍和N點循環(huán)移位。它與N有關(guān)，也叫做N點循環(huán)卷積。,DFT的性質(zhì)：循環(huán)卷積(圓周卷積),N,窗函數(shù)限定了循環(huán)卷積的范圍,117,循環(huán)卷積過程：（1）補(bǔ)零（2）周期延拓（3）反轉(zhuǎn)，取主值序列（循環(huán)反轉(zhuǎn)）（4）對應(yīng)位相乘，然后求和，得到n=0時的卷積結(jié)果。（5）向右循環(huán)移位（圓周移位）（6）重復(fù)，n=1(N-1),DFT的性質(zhì)：循環(huán)卷積(圓周卷積),注意n=0時的循環(huán)反轉(zhuǎn),118,循環(huán)卷積的時頻映射關(guān)系由DTFT的性質(zhì)可知，兩個序列時域上的線性卷積運(yùn)算在頻域上表現(xiàn)為兩個序列DTFT結(jié)果的乘積。同樣的，若則即當(dāng)在頻域中進(jìn)行兩個N點DFT相乘時，在時域中映射為循環(huán)卷積（而不是通常的線性卷級?。?。,DFT的性質(zhì)：循環(huán)卷積(圓周卷積),119,證明：將X1(k)和X2(k)作周期延拓，分別得到X1(k)N和X2(k)N。,則,再設(shè),于是,DFT的性質(zhì)：循環(huán)卷積(圓周卷積),令,120,因為,所以,此時上式最后一個求和號中，已不對r求和，故此求和號可以去掉，因此，,因而，,即,DFT的性質(zhì)：循環(huán)卷積(圓周卷積),121,利用時域、頻域的對偶性可得頻域循環(huán)卷積:,若,則,時域循環(huán)卷積可在頻域中完成:,DFT的性質(zhì)：循環(huán)卷積(圓周卷積),122,（1)同心圓法（2)利用求周期卷積的作圖法（3)解析式法（4)Matlab方法,DFT的性質(zhì)：循環(huán)卷積計算方法,123,同心圓法可用兩個同心圓來表示：x1(n)：內(nèi)圓順時針方向排列x2(n)：外圓逆時針方向排列x1(0)與x2(0)對齊。,DFT的性質(zhì)：循環(huán)卷積計算方法,124,兩圓上對應(yīng)數(shù)兩兩相乘后求和，得x3(0);將x2(n-m)移位一位，即外圓順時針轉(zhuǎn)動一位，重復(fù)（1）步驟，得x3(1)；依次下去，求得,DFT的性質(zhì)：循環(huán)卷積計算方法,125,作圖法(1)x1(m)和x2(m)在m軸上周期延拓，成為(2)將反轉(zhuǎn)；(3)計算周期卷積(4)取一個周期，得到,DFT的性質(zhì)：循環(huán)卷積計算方法,上述過程：只需將x1(n)和x2(n)分別做周期延拓，得到和，再按照計算周期卷積的作圖法，計算出n由0到N-1的周期卷積，即為循環(huán)卷積。,127,DFT的性質(zhì)：循環(huán)卷積計算方法,例:設(shè)x1(n)=1,2,2，x2(n)=1,2,3,4，計算4點循環(huán)卷積解：注意x1(n)為3點序列，進(jìn)行循環(huán)卷積之前在其尾部填一個零，使其成為4點序列，分別在時域和頻域中求解這個問題。,128,（1）時域方法4點循環(huán)卷積由下式給出對每個n產(chǎn)生一個循環(huán)移位序列，將它的樣本逐個與x1(m)相乘，然后求和，得此n值的循環(huán)卷值，在0n3上重復(fù)此過程?？紤]x1(m)=1,2,2,0和x2(m)=1,2,3,4。n=0時,DFT的性質(zhì)：循環(huán)卷積計算方法,注意此為x2(0)，而不是4,3,2,1,129,n=2時，,DFT的性質(zhì)：循環(huán)卷積計算方法,n=3時，,因此，,130,(2)頻域方法：首先計算x1(n)和x2(n)的4點DFT，逐個樣本相乘，取IDFT，得到循環(huán)卷積。,DFT的性質(zhì)：循環(huán)卷積計算方法,則（注意：X1(k)和X2(k)對應(yīng)位相乘）,IDFT后，得,表面看來，這樣做反而更復(fù)雜，且涉及復(fù)數(shù)運(yùn)算。但后面我們會看到，DFT有快速算法FFT，特別是當(dāng)N很大時，效率會顯著提高。,131,利用DFT求離散線性卷積條件：NN1+N2-1方法：時域轉(zhuǎn)換到頻域，處理后再轉(zhuǎn)換回時域用DFT進(jìn)行信號頻譜分析參數(shù)選擇頻譜泄漏柵欄效應(yīng),DFT的應(yīng)用,132,DFT的應(yīng)用：線性卷積求解,133,線性卷積：,N點循環(huán)卷積：,DFT的應(yīng)用：線性卷積求解,循環(huán)卷積和線性卷積的關(guān)系,134,討論線性卷積y(n)=x(n)*h(n)的長度從x(m)看，非零值區(qū)為：0mN-1從h(n-m)看，非零值區(qū)為：0n-mM-1將二不等式相加，得到y(tǒng)(n)的非零區(qū)：0nM+N-2在此區(qū)間之外，不是x(m)=0，就是h(n-m)=0，即y(n)=0，因此，y(n)的長度為M+N-1,DFT的應(yīng)用：線性卷積求解,135,討論循環(huán)卷積的長度循環(huán)卷積是周期卷積的主值序列。為了研究長度不等的兩個序列的周期卷積，構(gòu)造周期序列，使它們的長度相等，且均為L。,表示為,DFT的應(yīng)用：線性卷積求解,136,周期卷積如下：,周期卷積是線性卷積的周期延拓，周期為L。當(dāng)周期為LN+M-1時，不會發(fā)生混迭，線性卷積正好是周期卷積的一個周期。循環(huán)卷積又是周期卷積的主值序列。,DFT的應(yīng)用：線性卷積求解,因為，即0mL-1范圍內(nèi)x(m+qL)只有一個周期。,137,由于循環(huán)卷積是周期卷積的主值序列。因此，此時循環(huán)卷積與線性卷積完全相同。即：,因此，循環(huán)卷積等于線性卷積的條件是：即對于N長度的x(n)，M長度的h(n)，在它們后面補(bǔ)零，使其長度均變?yōu)長M+N-1。,DFT的應(yīng)用：線性卷積求解,139,討論,若序列的長度為，序列的長度為，且有大于，那么，和的點循環(huán)卷積結(jié)果為：,其中，,此時，兩序列的線性卷積結(jié)果的長度，對其在時域作周期為的延拓相加得到序列,主值序列的前個點存在混迭。因此，在中也就是說，序列中最后個點與兩序列的線性卷積結(jié)果相同。,答：（1）719點（2）27點,142,即時域循環(huán)卷積頻域相乘,DFT的應(yīng)用：線性卷積求解,設(shè),若,則,用DFT求解線性卷積,143,如果循環(huán)卷積的長度N滿足NN1+N2-1，則此循環(huán)卷積Y(k)就等于x(n)和h(n)的線性卷積。用流程圖表示法求y(n)=x(n)*h(n)的過程如下：因為DFT、IDFT都有快速算法，因此，線性卷積可以實現(xiàn)快速算法。,DFT的應(yīng)用：線性卷積求解,144,DFT的應(yīng)用：線性卷積求解,乘法次數(shù)循環(huán)卷積：在上述DFT求解線性卷積過程中，需要3次DFT（FFT）運(yùn)算，后面我們會講到N點FFT所需要的乘法次數(shù)為，因此，用DFT求線性卷積所需要的總的乘法次數(shù)：,線性卷積：每一個輸入值x(n)都必須和全部的h(n)值乘一次，因此，總共需要N1N2次乘法運(yùn)算，ML=N1N2。,設(shè),若N1=N2時，則,145,DFT的應(yīng)用：線性卷積求解,結(jié)論：N1=N2越長，循環(huán)卷積的優(yōu)越性越大。但當(dāng)其中一個序列很長時，例如x(n)當(dāng)很長時，即：,這時,Cm下降，循環(huán)卷積快速算法的優(yōu)點不能發(fā)揮出來。,克服的辦法：分段卷積將長序列分段，每一段分別與短序列進(jìn)行循環(huán)卷積（即用FFT運(yùn)算）分為重疊相加法，重疊保留法。,146,線性卷積求解小結(jié)時域直接求解,z變換法,DFT法,DFT的應(yīng)用：線性卷積求解,147,上面介紹的是兩個有限長序列x1(n)、x2(n)的線性卷積。但有時其中某個序列會很長或無限長，若等長序列存儲或輸入完后再做卷積運(yùn)算，將產(chǎn)生問題：(1)存儲量過大，運(yùn)算量也太大；(2)等待輸入的時間很長，引起不能忍受的延遲；(3)采用DFT/FFT快速算法的效率降低,具體方法：重疊保留法、重疊相加法,解決此問題的思路：把長序列分段，每一分段分別與短序列進(jìn)行卷積分段卷積。,DFT的應(yīng)用：分段卷積,148,誤差分析在分析分段卷積之前，我們首先分析兩個有限長度序列的循環(huán)卷積的誤差情況。設(shè)x(n)為N1點序列，h(n)為N2點序列，由前面分析知道，線性卷積y(n)和循環(huán)卷積yC(n)關(guān)系為：,DFT的應(yīng)用：分段卷積,一般地講，循環(huán)卷積是線性卷積的一種混疊形式。但當(dāng)NN1+N2-1，沒有混迭產(chǎn)生，此時線性卷積y(n)和循環(huán)卷積yN(n)相等。,149,為了用DFT計算線性卷積，必須選擇適當(dāng)?shù)腘，但實際中卻可能做不到這一點，尤其是當(dāng)一個序列的長度很大而存儲空間有限時。當(dāng)選擇比所需要的小的N值進(jìn)行循環(huán)卷積時，會引入誤差。下面我們計算此誤差的大小。,DFT的應(yīng)用：分段卷積,首先Nmax(N1,N2)，假設(shè)此時，循環(huán)卷積yc(n)的取值范圍為而線性卷積y(n)的非零范圍為,150,有上式可知，誤差為：,DFT的應(yīng)用：分段卷積,151,因為max(N1,N2)N（N1N21），上面的求和式中只剩下對應(yīng)于r=1的項，其它的r值超出了max(N1,N2)N（N1N21）。因此，,一般來講，如果x(n)和h(n)為因果序列，則y(n)也為因果序列，即：因此,DFT的應(yīng)用：分段卷積,152,它說明當(dāng)時，樣本n處的誤差與線性卷積中第n+N個樣本相等。（N1+N21）個樣本后，線性卷積結(jié)果為零。這說明循環(huán)卷積中的頭M個樣本存在誤差，M等于線性卷積長度和循環(huán)卷積長度之差，而剩下的則為正確的線性卷積樣本。,DFT的應(yīng)用：分段卷積,0,循環(huán)卷積長度N,N1+N2-1-N,y(n),線性卷積長度N1+N2-1,循環(huán)卷積的錯誤樣本,153,此結(jié)論在用分段處理法實現(xiàn)長卷積時是非常有用的。,DFT的應(yīng)用：分段卷積,錯誤樣本數(shù)=線性卷積長度循環(huán)卷積長度,154,例：設(shè)x1(n)和x2(n)是兩個四點序列：x1(n)=1,2,2,1，x2(n)=1,-1,-1,1計算當(dāng)N=6，5，4時的循環(huán)卷積，并在每種情況下，驗證它們的誤差。,DFT的應(yīng)用：分段卷積,155,當(dāng)N=5時，得到5點序列的循環(huán)卷