山西省山西大學(xué)附屬中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期9月模塊診斷試題（含解析）

山西大學(xué)附屬中學(xué)2020屆高三9月模塊診斷數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：分鐘滿分：150分考察范圍：函數(shù)導(dǎo)數(shù)三角函數(shù)一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合 ，則 （ ）A. B. C. 或 D. 【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)不等式的性質(zhì)，化簡集合A、B，再根據(jù)交集的定義求出AB【詳解】A=x|x240=x|x2或x2B=x|=x|x2AB=x|x2故選：B【點(diǎn)睛】本題考查二次不等式的解法、指數(shù)不等式的解法及兩個(gè)交集的求法：借助數(shù)軸1判斷兩集合的關(guān)系常用兩種方法：一是化簡集合，從表達(dá)式中尋找兩集合間的關(guān)系；二是用列舉法表示各集合，從元素中尋找關(guān)系2已知兩集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將兩集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系，解決這類問題常常運(yùn)用數(shù)軸、Venn圖幫助分析2.下列函數(shù)中，滿足“對任意的，當(dāng)時(shí)，總有”的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題目所給條件，說明函數(shù)f（x）在（，0）上應(yīng)為減函數(shù)，其中選項(xiàng)A是二次函數(shù)，C是反比例函數(shù)，D是指數(shù)函數(shù)，圖象情況易于判斷，B是對數(shù)型的，從定義域上就可以排除【詳解】函數(shù)滿足“對任意的x1，x2（，0），當(dāng)x1x2時(shí)，總有f（x1）f（x2）”，說明函數(shù)在（，1）上為減函數(shù)f（x）=（x+1）2是二次函數(shù)，其圖象是開口向上的拋物線，對稱軸方程為x=1，所以函數(shù)在（，1）單調(diào)遞減，在（1，+）單調(diào)遞增，不滿足題意函數(shù)f（x）=ln（x1）的定義域?yàn)椋?，+），所以函數(shù)在（，0）無意義對于函數(shù)f（x）=，設(shè)x1x20，則f（x1）f（x2）=，因?yàn)閤1，x2（，0），且x1x20，x2x10，則，所以f（x1）f（x2），故函數(shù)f（x）=在（，0）上為減函數(shù)函數(shù)f（x）=ex在（，+）上為增函數(shù)故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，解決此題的關(guān)鍵，是能根據(jù)題目條件斷定函數(shù)為（，0）上的減函數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法有：根據(jù)函數(shù)模型判斷，由單調(diào)性得到結(jié)論，根據(jù)函數(shù)的圖像得到單調(diào)性.3.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）A B C D 【答案】A【解析】【分析】由二次函數(shù)的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的定義域可得結(jié)論【詳解】由題可得x2-3x+20，解得x1或x2，由二次函數(shù)的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：（-，1）故選：A【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題4.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題目條件：“函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)”轉(zhuǎn)化為方程lnx=x2-2x的根的個(gè)數(shù)問題及一次函數(shù)2x+1=0的根的個(gè)數(shù)問題，分別畫出方程lnx=x2-2x左右兩式表示的函數(shù)圖象即得【詳解】對于函數(shù)f（x）=lnx-x2+2x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為方程lnx=x2-2x的根的個(gè)數(shù)問題，分別畫出左右兩式表示的函數(shù)：如圖由圖象可得兩個(gè)函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)又一次函數(shù)2x+1=0的根的個(gè)數(shù)是：1故函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3故選：D【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的藕斷在判斷方程是否有解、解的個(gè)數(shù)及一次方程根的分布問題時(shí)，我們往往構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象解題體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想5.設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】試題分析：因?yàn)?，所以，在點(diǎn)處的切線斜率，直線的斜率，與直線垂直的斜率，所以，解得考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義6.在ABC中，“A30”是“sinA”的A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】解題時(shí)注意三角形內(nèi)角和是180度，不要丟掉這個(gè)大前提【詳解】：在ABC中，A+B+C=180A3030A1800sin A1可判讀它是sinA的必要而不充分條件故選：B【點(diǎn)睛】此題要注意思維的全面性，不能因?yàn)榧?xì)節(jié)大意失分7.已知下列不等式中恒成立的是( )A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)【答案】C【解析】【分析】取a=-1，b=-2，即可判斷出；考察指數(shù)函數(shù)y=2x在R上單調(diào)性，即可判斷出；取a=1，b=-2，即可判斷出；考察冪函數(shù) 在R上單調(diào)遞增，即可判斷出；考察指數(shù)函數(shù) 在R上單調(diào)性，即可判斷出【詳解】取a=-1，b=-2，雖然滿足-1-2，但是（-1）2（-2）2不成立，因此a2b2不正確；考察指數(shù)函數(shù)y=2x在R上單調(diào)遞增，ab，2a2b，因此正確；取a=1，b=-2，雖然滿足1-2，但是不成立，因此不正確考察冪函數(shù)在R上單調(diào)遞增，ab，正確；考察指數(shù)函數(shù)在R上單調(diào)遞減，ab，正確，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性、不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題8.，則（ ）A. 1-a B. C. a-1 D. -a【答案】A【解析】本題考查對數(shù)的運(yùn)算.代數(shù)式的變形和運(yùn)算. 又，所以.故選A9.如果方程lg2x+(lg5+lg7)lgx+lg5lg7=0的兩根是、，則的值是（ ）A. lg5lg7 B. lg35 C. 35 D. 【答案】D【解析】lg2x+(lg5+lg7)lgx+lg5lg7=0 ,選D.10.已知函數(shù)f(x)=log2(x+1)且abc0, 則,的大小關(guān)系是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】把,分別看作函數(shù)f（x）=log2（x+1）圖象上的點(diǎn)（a，f（a），（b，f（b），（c，f（b）與原點(diǎn)連線的斜率，對照圖象可得答案【詳解】由題意可得，,分別看作函數(shù)f（x）=log2（x+1）圖象上的點(diǎn)（a，f（a），（b，f（b），（c，f（b）與原點(diǎn)連線的斜率，結(jié)合圖象可知當(dāng)abc0時(shí)，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了對數(shù)函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，利用單調(diào)性比較大小，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法11.已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值，則函數(shù)的圖象為（ ）【答案】B【解析】試題分析：因?yàn)?，所以，則（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號），即，即，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得最大值1；故選B考點(diǎn)：1.基本不等式；2.函數(shù)的圖象與性質(zhì)12.已知定義在R上的函數(shù)滿足且在上是增函數(shù)，不等式對任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性判斷函數(shù)的單調(diào)性，采取排除法，由四個(gè)選項(xiàng)的特征代入特值求解【詳解】，則函數(shù)關(guān)于對稱函數(shù)在上是增函數(shù)函數(shù)在是減函數(shù)，即在上是減函數(shù)當(dāng)時(shí)，不等式變?yōu)?，根?jù)函數(shù)的圖象特征可得出：，解得或，滿足不等式對任意恒成立，由此排除兩個(gè)選項(xiàng)當(dāng)時(shí)，不等式變?yōu)?，根?jù)函數(shù)的圖象特征可得出：，解得，不滿足不等式對任意恒成立，由此排除綜上所述，選項(xiàng)是正確的故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了抽象函數(shù)的性質(zhì)探究方法與應(yīng)用，解答本題直接求解較為復(fù)雜，采取排除法來求解，由四個(gè)選項(xiàng)中的特征找出切入點(diǎn)，通過驗(yàn)證特殊值來排除錯(cuò)誤答案。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.函數(shù)，的單調(diào)遞減區(qū)間為_【答案】 【解析】試題分析：，令，則，正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，由得：函數(shù)在的單調(diào)遞增區(qū)間為考點(diǎn)：正弦函數(shù)的單調(diào)性14.設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，若對任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 【答案】【解析】試題分析：利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，解不等式即可解：當(dāng)x0時(shí)，f（x）=x2，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，若對任意xa，a+2，不等式f（x+a）f（3x+1）恒成立，則x+a3x+1恒成立，即a2x+1恒成立，xa，a+2，（2x+1）max=2（a+2）+1=2a+5，即a2a+5，解得a5，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（，5；故答案為：（，5；考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)15.定義在上的函數(shù)的圖像關(guān)于對稱，且當(dāng)時(shí)，（其中是的導(dǎo)函數(shù)），若 ，則的大小關(guān)系是_【答案】【解析】【分析】由“當(dāng)x（，0）時(shí)不等式f（x）+xf（x）0成立”知xf（x）是減函數(shù)，要得到a，b，c的大小關(guān)系，只要比較的大小即可【詳解】當(dāng)x（，0）時(shí)不等式f（x）+xf（x）0成立即：（xf（x）0，xf（x）在 （，0）上是減函數(shù)又函數(shù)y=f（x1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對稱，函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，0）對稱，函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)xf（x）是定義在R上的偶函數(shù)xf（x）在 （0，+）上是增函數(shù)又,30.3f（30.3）（log3）f（log3）即30.3f（30.3）（log3）f（log3）即：cab故答案為：cab.【點(diǎn)睛】本題考查的考點(diǎn)與方法有：1）所有的基本函數(shù)的奇偶性；2）抽象問題具體化的思想方法，構(gòu)造函數(shù)的思想；3）導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則：（uv）=uv+uv；4）指對數(shù)函數(shù)的圖象；5）奇偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性：奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反本題結(jié)合已知構(gòu)造出h（x）是正確解答的關(guān)鍵所在16.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，部分對?yīng)值如下表.的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示.x10451221下列關(guān)于函數(shù)的命題：函數(shù)是周期函數(shù)；函數(shù)在上是減函數(shù)；如果當(dāng)時(shí)的最大值是2，那么的最大值為4；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn).其中真命題的序號是_.【答案】【解析】【分析】由導(dǎo)數(shù)圖象可得當(dāng)1x0，2x4時(shí)，f（x）0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)0x2，4x5時(shí)，f（x）0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和極值，最值之間的關(guān)系進(jìn)行判斷【詳解】函數(shù)是周期函數(shù)不正確，從題干中得不出此結(jié)論；函數(shù)在上是減函數(shù)，因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)在此區(qū)間上是小于0的，故正確；如果當(dāng)時(shí)的最大值是2，那么的最大值為5，故不正確；因?yàn)閤=0或x=4時(shí)，函數(shù)取得極大值，當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)取得極小值所以f（0）=2，f（4）=2，f（2）的值不確定，因?yàn)閒（1）=f（5）=1，根據(jù)函數(shù)的變化趨勢，函數(shù)y=f（x）a有4個(gè)零點(diǎn)a的范圍不確定，因?yàn)楹瘮?shù)的最低點(diǎn)不確定故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，考查學(xué)生的推理能力，利用數(shù)形結(jié)合是解決此類問題的基本方法三、解答題：本大題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟17.（1）已知,求值;（2）若，求值.【答案】（1） ； （2）.【解析】【分析】（1）原式分母看做“1”，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡，將tan的值代入計(jì)算即可求出值（2）由已知條件推導(dǎo)出，求出 由此能求出的值【詳解】（1）， （2） 而， 由此可得【點(diǎn)睛】本題考查齊次式的求法，考查對數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法則的合理運(yùn)用18.在中，角的對邊分別為且.(1)求;(2)若，求的面積.【答案】(1)；(2).【解析】試題分析：(1)利用正弦定理得到，然后化簡得到，從而求出，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式可求出；(2)由余弦定理得，結(jié)合，求出的值，利用三角形的面積計(jì)算公式得到三角形的面積.試題解析：(1)在中，由正弦定理可得又因?yàn)?，所以即又，所以，又因?yàn)?，又因?yàn)?2)由余弦定理得，將代入得又，故.考點(diǎn)：1.正弦定理；2.余弦定理；3.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式；4.三角形的面積計(jì)算公式.19.已知函數(shù)f(x)在(1，1)上有定義，當(dāng)且僅當(dāng)0x1時(shí)f(x)0,且對任意x、y(1,1)都有f(x)+f(y)=f(),試證明(1)f(x)為奇函數(shù)；(2)f(x)在(1，1)上單調(diào)遞減【答案】（1）見解析； （2）見解析.【解析】【分析】（1）令x=y=0可得f（0）=0，令y=-x，可得f（-x）=-f（x），故得證；（2）由單調(diào)性的定義，任取x1，x2（-1，1），且x1x2，由性質(zhì)可得可得f(x2)f(x1)=f(x2)+f(x1)=f(，由已知可判f()0，進(jìn)而得證【詳解】證明：(1)由f(x)+f(y)=f()可令x=y=0,得f(0)=0,令y=x,得f(x)+f(x)=f()=f(0)=0 f(x)=f(x) f(x)為奇函數(shù)(2)先證f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減令0x1x21,則f(x2)f(x1)=f(x2)+f(x1)=f()0x1x20,1x1x20，0,又(x2x1)(1x2x1)=(x21)(x1+1)0，x2x11x2x1,01,由題意知f()0， 即f(x2)f(x1)f(x)在(0，1)上為減函數(shù)，又f(x)為奇函數(shù)且f(0)=0f(x)在(1，1)上為減函數(shù)【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷與證明，給x，y賦值是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題20.已知函數(shù)(1)若的定義域?yàn)?,+)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若的值域?yàn)?,+)，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】（1）或； （2）.【解析】【分析】（1）因?yàn)閒（x）的定義域?yàn)镽，所以對數(shù)的真數(shù)一定大于0恒成立，討論二次項(xiàng)系數(shù)為0不成立，系數(shù)不為0時(shí)，得到系數(shù)大于0且根的判別式小于0求出a的范圍即可；（2）因?yàn)楹瘮?shù)值域?yàn)镽，討論二次項(xiàng)系數(shù)為0時(shí)，不成立，系數(shù)不為0時(shí)，讓系數(shù)大于0且根的判別式大于等于0求出a的范圍即可【詳解】（1）設(shè)的定義域?yàn)镽，恒成立，當(dāng)時(shí)，即或，滿足題意，（舍去）當(dāng)，解得或綜上或.（2）當(dāng)時(shí)，即或，滿足題意，得綜上.【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生理解對數(shù)函數(shù)定義域和值域的能力，以及理解函數(shù)恒成立條件的能力21.已知函數(shù) (其中)若為的極值點(diǎn)，解不等式 【答案】或.【解析】【分析】由于x=0為f（x）的極值點(diǎn)，可得f（0）=0，得到a=0當(dāng)a=0時(shí)， ,整理得令，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值即可得出【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)闉榈臉O值點(diǎn),所以由 ,解得，檢驗(yàn),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí), ,當(dāng)時(shí),.所以為的極值點(diǎn),故 當(dāng)時(shí),不等式 ,整理得,即或， 令，,，當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),，所以在單