時間序列分析付PPT課件

.,1,時間序列分析,付連艷遼寧大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院Email：lianyanfu,.,2,教材:應(yīng)用計量經(jīng)濟學(xué)：時間序列分析第三版作者：沃爾特恩德斯出版社：機械工業(yè)出版社,.,3,第一章差分方程第二章平穩(wěn)時間序列模型第三章波動性建模第四章包含趨勢的模型第五章多方程時間序列模型第六章協(xié)整與誤差修正模型第七章非線性時間序列模型,.,4,第一章,差分方程,.,5,一、時間序列模型,1、時間序列及其特點時間序列按時間順序的系列觀測值特點：前后相關(guān)，過去的數(shù)值影響和決定著現(xiàn)在和未來。任務(wù)：預(yù)測、解釋和假設(shè)檢驗時序分解：趨勢性、季節(jié)性和無規(guī)則性,.,6,.,7,一、時間序列模型,2、時間序列模型差分方程Adifferenceequationexpressesthevalueofavariableasafunctionofitsownlaggedvalues,time,andothervariables.時間序列研究的是含隨即成分的差分方程的估計3、幾個例子(1)市場有效性假說randomwalkmodelyt+1=yt+t+1要檢驗市場有效性假說，可根據(jù)股票價格觀測序列，構(gòu)建模型：yt+1=0+1yt+t+1并檢驗假設(shè)：H0:0=1=0.,.,8,一、時間序列模型,(2)Samuelson乘數(shù)加速數(shù)模型-誘導(dǎo)方程和結(jié)構(gòu)方程模型的結(jié)構(gòu)方程：yt=ct+it（1-1）ct=yt-1+ct（1-2）it=(ct-ct-1)+it（1-3）模型的誘導(dǎo)方程：ct=yt-1+ctit=(yt-1-yt-2)+(ct-ct-1)+ityt=(1+)yt-1-yt-2+(1+)ct+it-ct-1,.,9,一、時間序列模型,(3)誤差修正：期價與現(xiàn)價關(guān)系theunbiasedforwardratehypothesis假說：由于投機，期貨交易的期望利潤為0。模型：st+1=ft+t+1假說檢驗方法：建立模型：st+1=0+1ft+t+1并檢驗假設(shè)：H0:0=0,1=1.誤差修正模型（ECM）：st+2=st+1-(st+1-ft)+st+2,.,10,二、差分方程及求解方法,1、差分yt+h=yt+h-yt一階差分：yt=yt-yt-1二階差分：2yt=(yt)=yt-2yt-1+yt-2n階差分：nyt=(n-1yt)差分算子：differenceoperator,.,11,二、差分方程及求解方法,2、線性差分方程yt=a0+a1yt-1+a2yt-2+anyt-n+xt或：yt=a0+(a1-1)yt-1+a2yt-2+anyt-n+xt其中：ntheorderofthedifferenceequation;xtforcingprocess如：xt=t+t-1+2t-2+,.,12,二、差分方程及求解方法,3、差分方程的解Asolutiontoadifferenceequationexpressesthevalueofytasafunctionoftheelementsofthextsequenceandt(andpossiblysomegivenvaluesoftheytsequencecalledinitialconditions).例如：差分方程：yt=yt-1+2或：yt=2其解為：yt=2t+c驗證：2t+c=2(t-1)+c+2,.,13,三、差分方程的遞歸解法,1、遞歸解法的原理Ifthevalueofyinsomespecificperiodisknown,adirectmethodofsolutionistoiterateforwardfromthatperiodtoobtainthesubsequenttimepathoftheentireysequence.Refertothisknownvalueofyastheinitialcondition.,.,14,三、差分方程的遞歸解法,2、一階差分方程的解yt=a0+a1yt-1+t向前迭代：對于給定的初值y0，向前迭代可得：y1=a0+a1y0+1y2=a0+a1y1+2=a0+a1(a0+a1y0+1)+2=a0+a1a0+a12y0+a11+2,.,15,三、差分方程的遞歸解法,2、一階差分方程的解yt=a0+a1yt-1+t向后迭代：yt=a0+a1yt-1+t=a0+a1(a0+a1yt-2+t-1)+t=a0(1+a1)+a1t-1+t+a12(a0+a1yt-3+t-2)=,.,16,三、差分方程的遞歸解法,3、無初值時的遞歸解如果沒有初值y0，則可一直持續(xù)向后迭代：,.,17,三、差分方程的遞歸解法,持續(xù)向后迭代m期，得：若|a1|0，則12，yth=A1(1)t+A2(2)t2、重根情形：若d=0，則1=2=a1/2，yth=A1(a1/2)t+A2t(a1/2)t3、復(fù)根情形：若d0，則兩特征根為共軛復(fù)數(shù)：1,2=a1i(-d)1/2/2，記r=(-a2)1/2,cos=a1/2(-a2)1/2,yth=1rtcos(t+2),.,34,.,35,六、齊次差分方程的解法,(二)二階齊次差分方程的穩(wěn)定性條件穩(wěn)定(stability)收斂(convergence)|1|0;由a1+(a12+4a2)1/2/21可得：a1+a21;由-1a1-(a12+4a2)1/2/2可得：a2-a11;因此，在兩不等實根的情形，穩(wěn)定域是(a1,a2)平面中由三條線a12+4a2=0和a1+a2=1及a2-a1=1所圍成的區(qū)域。,.,36,六、齊次差分方程的解法,(二)二階齊次差分方程的穩(wěn)定性條件2、重根情形（1=2=a1/2）d=a12+4a2=0；由|1|=|2|=|a1/2|1,可得：-2a12;因此，在重根的情形，穩(wěn)定域是(a1,a2)平面中曲線a12+4a2=0上-2a12的一段。,.,37,六、齊次差分方程的解法,(二)二階齊次差分方程的穩(wěn)定性條件3、復(fù)根情形：d=a12+4a2-1因此，在復(fù)根情形，穩(wěn)定域為(a1,a2)平面中曲線a12+4a2=0與直線a2=-1所組成的區(qū)域。,.,38,.,39,.,40,六、齊次差分方程的解法,(二)二階齊次差分方程的穩(wěn)定性條件穩(wěn)定條件的簡潔表示：所有的特征根都在單位圓內(nèi)。,.,41,六、齊次差分方程的解法,(三)高階齊次方程的解及穩(wěn)定性條件1、高階齊次差分方程的解高階齊次差分方程：yt-a1yt-1-anyt-n=0特征方程：n-a1n-1-a2n-2-an=0若n個特征根1,2,n互異，則方程解為：yth=A11t+A22t+Annt若有mn個根為重根1=m=，則齊次解為：yth=A1t+A2tt+A3t2t+Amtm-1t+Am+1tm+1+Annt,.,42,六、齊次差分方程的解法,(三)高階齊次方程的解及穩(wěn)定性條件2、穩(wěn)定性條件穩(wěn)定條件的簡明表示：Asuccinctwaytocharacterizethestabilityconditionsistostatethatcharacteristicrootsmustliewithintheunitcircle.必要條件：a1+a2+an1充分條件：|a1|+|a2|+|an|1如果a1+a2+an=1，則至少有一個單位根。,.,43,七推進過程為確定過程的特解,1、xt=0的情形若推進過程xt=0。則差分方程為：yt=a0+a1yt-1+anyt-n由于a0是一個常數(shù)，所以其特解也應(yīng)為常數(shù)，將嘗試解(trailsolution或challengesolution):ytp=c代入差分方程得：c=a0+a1c+anc，解出c得：c=a0/(1-a1-an)(1)若a1+a2+an1，則差分方程的特解為：ytp=a0/(1-a1-an),.,44,七、強制過程為確定過程的特解,(2)若a1+a2+an=1，則yt是一個單位根過程，嘗試解為：ytp=ct代入差分方程，解出c得：c=a0/(a1+2a2+3a3+nan)差分方程的特解為:ytp=a0/(a1+2a2+3a3+nan)t若解ct不合適，即(a1+2a2+3a3+nan)=0，則依次用嘗試解：ytp=ct2，ytp=ct3，,.,45,七、強制過程為確定過程的特解,2、xt為指數(shù)函數(shù)的情形以一階差分方程為例yt=a0+a1yt-1+bdrt在此差分方程中，drt的存在，表明yt以r的速度增長，所以其特解的嘗試形式為：ytp=c0+c1drt將此嘗試解代入差方方程，得：c0+c1drt=a0+a1c0+c1dr(t-1)+bdrt=(a0+a1c0)+(a1c1/dr+b)drt令等式兩邊對應(yīng)項相等，解出c0和c1代入嘗試解得：ytp=a0/(1-a1)+bdr/(dr-a1)drt若a1=1，則嘗試用c0=ct；若a1=dr，則嘗試用c1=bt。高階差分方程，解法相同。,.,46,七、強制過程為確定過程的特解,3、確定性時間趨勢的情形（xt=btd)差分方程：yt=a0+a1yt-1+anyt-n+btd由于yt依賴于td,yt-1依賴于(t-1)d,yt-2依賴于(t-2)d,，所以其特解形式為：ytp=c0+c1t+c2t2+cdtd將此嘗試解代入差分方程，在等式兩邊各項相等的條件下，解出各系數(shù)ci的值，代入嘗試解即得所求的特解。,.,47,八、待定系數(shù)解法,1、解法的原理由于線性差分方程的解必然是線性的，所以對于給定的線性差分方程，其特解的確切形式通常是已知的，但解中的系數(shù)是未知的。因此，將會出現(xiàn)在特解中的所有各項的線性函數(shù)作為嘗試解（challengesolution)，代入線性差分方程，然后令等式兩邊各同類項的系數(shù)相等，就可解出未知的各系數(shù)值。將解出的各系數(shù)值代入嘗試解，即可求得差分方程的特解。,.,48,八、待定系數(shù)解法,2、例子例1.求一階差分方程yt=a0+a1yt-1+t的特解。嘗試解：yt=b0+b1t+0t+1t-1+2t-2+將嘗試解代入差分方程，令等式兩邊同類項的系數(shù)相等，得：b0=(a0-a1b1)/(1-a1),b1(1-a1)=0,i=ai,i=0,1,2,(1)若a11，則必有b1=0，b0=a0/(1-a1)，特解為：ytp=a0/(1-a1)+t+a1t-1+a12t-2+a13t-3+(2)若a1=1，則b0為任意常數(shù)，b1=a0，特解為：ytp=b0+a0t+t+t-1+t-2+t-3+1,.,49,八、待定系數(shù)解法,3、高階差分方程的特解（1）二階差分方程的特解差分方程：yt=a0+a1yt-1+a2yt-2+t嘗試解:yt=b0+b1t+b2t2+0t+1t-1+2t-2+代入：b0+b1t+b2t2+0t+1t-1+2t-2+=a0+a1b0+b1(t-1)+b2(t-1)2+0t-1+1t-2+2t-3+a2b0+b1(t-2)+b2(t-2)2+0t-2+1t-3+2t-4+t令兩邊同類項系數(shù)相等，得：b0=a0+a1b0-a1b1+a1b2+a2b1+a2b0-2a2b1+4a2b2，b1=a1b1-2a1b2+a2b1-4a2b2，b2=a1b2+a2b20=1，1=a10，j=a1j-1+a2j-2，j2.,.,50,八、待定系數(shù)解法,（1）二階差分方程的特解解這些方程式得：b1=-2b2(a1+2a2)/(1-a1-a2)b2(1-a1-a2)=0b0=a0-a1(b1-b2)-2a2(b1-2b2)/(1-a1-a2)0=1，1=a1，2=a12+a2，3=a13+2a1a2，若a1+a21，則有b2=0,b1=0,b0=a0/(1-a1-a2)：yt=a0/(1-a1-a2)+t+1t-1+2t-2+,.,51,八、待定系數(shù)解法,（1）二階差分方程的特解若a1+a2=1，則又可分兩種情況：()若a1+2a20，則有b2=0，b1=a0/(a1+2a2)，b0為任意常數(shù)，二階差分方程的特解為：yt=b0+a0/(a1+2a2)t+t+1t-1+2t-2+()若a1+2a2=0，則b2=-a0/(a1+4a2)，b1和b0為任意常數(shù)，二階差分方程的特解為：yt=b0+b1t+-a0/(a1+4a2)t2+t+1t-1+2t-2+,.,52,八、待定系數(shù)法,(2)高階差分方程特解收斂的條件Thekeypointisthatthestabilityconditionforthehomogeneousequationispreciselytheconditionforconvergenceoftheparticularsolution.Ifanycharacteristicrootofthehomogeneousequationisequaltounity,apolynomialtimetrendwillappearintheparticularsolution.Theorderofthepolynomialisthenumberofunitarycharacteristicroots.,.,53,九、滯后算子,1、滯后算子的定義及其性質(zhì)(1)定義：Liyt=yt-i(2)性質(zhì)常數(shù)的滯后仍是其本身，Lc=c.分配律:(Li+Lj)yt=Liyt+Ljyt結(jié)合律:LiLjyt=Li+jytL的負指數(shù)為向前算子:L-iyt=yt+i若|a|1,則無窮和:1+(aL)-1+(aL)-2+(aL)-3+yt=-aLyt/(1-aL)即:yt/(1-aL)=-(aL)-11+(aL)-1+(aL)-2+(aL)-3+yt,.,54,九、滯后算子,2、滯后算子的作用(1)簡明表示差分方程例1、對于p階差分方程yt=a0+a1yt-1+a2yt-2+apyt-p+t使用滯后算子，有：(1-a1L-a2L2-apLp)yt=a0+t或更簡潔地表示為：A(L)yt=a0+t例2、對于差分方程：yt=a0+a1yt-1+a2yt-2+apyt-p+t+1t-1+qt-q使用滯后算子，得：A(L)yt=a0+B(L)t,.,55,九、滯后算子,(2)用滯后算子解差分方程例1、對于一階差分方程yt=a0+a1yt-1+t，有：(1-a1L)yt=a0+t解出yt，得：yt=(a0+t)/(1-a1L)若|a1|1，則：yt=-(a1L)-11+(a1L)-1+(a1L)-2+(a0+t)=-a0a1-1(1+a1-1+a1-2+)-(a1L)-11+(a1L)-1+(a1L)-2+t=-(a0/a1)1/(1-a1-1)-(1/a1)1+(a1L)-1+(a1L)-2+t+1=a0/(1-a1)-(1/a1)(t+1+a1-1t+2+a1-2t+3+a1-3t+4+)這種解稱為差分方程的前瞻解(forward-lookingsolution).,.,56,九、滯后算子,3、高階差分方程中滯后算子應(yīng)用使用滯后算子，不僅可以簡明地表示高階差分方程，而且也可以簡明地表示差分方程的解。如對于p階差分方程：yt=a0+a1yt-1+a2yt-2+apyt-p+t其解可以表示為：yt=(a0+t)/(1-a1L-a2L2-a3L3-apLp)其中，1-a1L-a2L2-a3L3-apLp又稱為差分方程的逆特征多項式，方程1-a1L-a2L2-a3L3-apLp=0又稱為差分方程的逆特征方程(inversecharacteristicequation)。差分方程的穩(wěn)定性條件又可表述為：逆特征方程的根都在單位圓外。,.,57,第二章,平穩(wěn)時間序列模型,.,58,一、隨機差分方程模型,1、隨機過程(stochasticprocess)(1)隨機過程的定義由隨機變量組成的一個有序序列，稱為隨機過程，記為y(s,t),sS,tT.對于每一個t，tT，y(,t)是樣本空間S中的一個隨機變量；對于每一個s，sS，y(s,)是隨機過程在序數(shù)集T中的一次實現(xiàn)。隨機過程通常簡記為yt或yt。,.,59,一、隨機差分方程模型,(2)隨機過程的分類離散時間隨機過程如果T是一個可數(shù)集，特別是整數(shù)集，t只取整數(shù)t=0,1,2,，也稱為隨機序列。連續(xù)時間隨機過程如果T是一個連續(xù)統(tǒng)。,.,60,一、隨機差分方程模型,(3)有窮維分布族隨機過程是一族隨機變量，其概率分布可以用一族分布函數(shù)來表示，這一族分布函數(shù)就稱為分布函數(shù)族。一維分布函數(shù)族：F1(ytr)=P(ytr).二維分布函數(shù)族：F2(yt1,yt2)=P(yt1r1,yt2r2).n維分布函數(shù)族：Fn(yt1,ytn)=P(yt1r1,ytnrn),.,61,一、隨機差分方程模型,(4)隨機過程的特征指標均值函數(shù)t=E(yt)=Et(yt|yt,yt-1,y1)自協(xié)方差函數(shù)(t,s)=Cov(yt,ys)=E(yt-t)(ys-s)自相關(guān)函數(shù)(t,s)=(t,s)/(t,t)(s,s)1/2,.,62,一、隨機差分方程模型,2、時間序列及其模型(1)定義：對隨機過程的順序觀測所形成的有序觀測值序列，就稱為時間序列，記為y0,y1,y2,yt。一個時間序列可看作是隨機過程的一次實現(xiàn)，即一個樣本；而產(chǎn)生時間序列的隨機過程則稱為時間序列的數(shù)據(jù)生成過程(datageneratingprocess)。(2)時間序列數(shù)據(jù)的特點：時間序列是來自隨機過程的一個樣本，其前后數(shù)值具有相關(guān)性，過去決定或影響著現(xiàn)在與未來。研究時間序列，實質(zhì)上是要了解其數(shù)據(jù)生成過程的特征和變化規(guī)律。,.,63,一、隨機差分方程模型,2、時間序列及其模型(3)時間序列模型隨機差分方程模型由于時間序列是一個隨機變量序列，變量的過去值影響或決定著現(xiàn)在，所以可以用隨機差分方程來對其進行描述。如：中央銀行的貨幣供給模型：mt=(1.03)tm0*+(1-)mt-1+t式中t通常假設(shè)為白噪聲過程，其均值為0，方差為2，且前后各期互不相關(guān)。即有：E(t)=E(t-1)=0;Var(t)=Var(t-1)=2;Cov(t,t-s)=Cov(r-j,t-j-s)=0，對于所有s與j。,.,64,二、ARMA模型,1、ARMA模型的形式一般來說，一個變量的現(xiàn)在取值，不僅受其本身過去值的影響，而且也受現(xiàn)在和過去各種隨機因素沖擊的影響，因此可建立其數(shù)據(jù)生成模型為：yt=a0+a1yt-1+a2yt-2+apyt-p+t+1t-1+qt-q如果該模型的特征根都在單位圓內(nèi)，則該模型就稱為ARMA(p,q)模型。如果q=0，則該模型退化為：yt=a0+a1yt-1+a2yt-2+apyt-p+t稱為p階自回歸模型，記作AR(p)。如果p=0，則該模型退化為：yt=a0+t+1t-1+qt-q稱為q階移動平均模型，記作MA(q)。,.,65,二、ARMA模型,2、ARIMA模型(1)差分與和分對于一個變量序列yt，若記其差分(difference)為：yt=yt-yt-1則原變量序列就可用其差分表示為：yt=yt+yt-1+yt-2+y1+y0即原變量序列yt可用其差分之和表示，因此稱為和分(integration)。,.,66,二、ARMA模型,2、ARIMA模型(2)ARIMA模型的形式如果用變量yt本身的水平值建立的ARMA模型的特征方程有單位根，則需要先將yt差分后再建立ARMA模型，即：yt=a0+a1yt-1+apyt-p+t+1t-1+qt-q該模型就稱為ARIMA(p,1,q)模型。如果變量yt的水平值A(chǔ)RMA模型的特征方程中有d個特征根，則需要先將變量序列yt差分d次，然后再建立ARMA模型，即：dyt=a0+a1dyt-1+apdyt-p+t+1t-1+qt-q則該模型稱為階數(shù)分別為(p,d,q)的自回歸和分移動平均模型，記為ARIMA(p,d,q)。,.,67,二、ARMA模型,3、ARMA模型的移動平均表示對于一階自回歸模型:yt=a0+a1yt-1+t，求特解得移動平均表達式為：yt=a0/(1-a1)+t+a1t-1+a12t-2+a13t-3+對于一般ARMA(p,q)模型：yt=a0+a1yt-1+apyt-p+t+1t-1+qt-q求特解則得移動平均表達式為：yt=(a0+t+1t-1+qt-q)/(1-a1L-a2L2-apLp),.,68,二、ARMA模型,4、穩(wěn)定性條件ARMA(p,q)模型的移動平均表示是一個無限階的移動平均過程MA()，該無窮序列是否收斂決定了原隨機差分方程是否穩(wěn)定。因此穩(wěn)定性條件可表示為：Thestabilityconditionisthattherootsofthepolynomial(1-a1L-a2L2-apLp)mustlieoutsideoftheunitcircle.即：ARMA模型的逆特征方程的根都必須在單位圓外。,.,69,三、時間序列的平穩(wěn)性,1、平穩(wěn)性的定義(1)嚴平穩(wěn)過程：如果一個隨機過程的有窮維分布函數(shù)族不隨時間的推移而改變，即對于任意正整數(shù)n和任意的t1,t1,tnT及實數(shù)，當(dāng)t1+,t2+,tn+T時，都有：Fn(yt1+,yt2+,ytn+)=Fn(yt1,yt2,ytn)則稱此隨機過程為嚴平穩(wěn)過程或狹義平穩(wěn)過程(stronglystationaryprocess)。,.,70,三、時間序列的平穩(wěn)性,1、平穩(wěn)性的定義(2)寬平穩(wěn)過程：如果隨機過程yt存在有窮的二階矩，且均值和方差為常數(shù)，自協(xié)方差函數(shù)只與兩時點的間隔長度有關(guān)，而與兩時點的位置無關(guān)，即有：E(yt)=Var(yt)=E(yt-)2=2Cov(yt,yt-s)=E(yt-)(yt-s-)=s則稱此隨機過程為寬平穩(wěn)過程或二階矩過程或廣義平穩(wěn)過程(widesensestationaryprocess)。,.,71,三、時間序列的平穩(wěn)性,1、平穩(wěn)性的定義(3)嚴平穩(wěn)過程與寬平穩(wěn)過程的關(guān)系寬平穩(wěn)要求隨機過程的前二階矩平穩(wěn)。一般來說，分布的前二階矩不能決定整個分布函數(shù)，所以廣義平穩(wěn)不能保證狹義平穩(wěn)。嚴平穩(wěn)要求整個分布函數(shù)平穩(wěn)，但并不要求前二階矩存在，所以是嚴平穩(wěn)也未必就是寬平穩(wěn)。只有前二階矩存在的嚴平穩(wěn)過程才一定是寬平穩(wěn)過程。由于正態(tài)分布的分布函數(shù)完全由前二階矩決定，所以正態(tài)隨機過程如果是寬平穩(wěn)的，那么必定也是嚴平穩(wěn)的。,.,72,三、時間序列的平穩(wěn)性,2、平穩(wěn)過程的自協(xié)方差與自相關(guān)函數(shù)(1)自協(xié)方差與自相關(guān)函數(shù)的計算自協(xié)方差：s=Cov(yt,yt-s)=E(yt-)(yt-s-)稱為s階自協(xié)方差函數(shù)。顯然，0階自協(xié)方差函數(shù)為yt的方差：0=E(yt-)2=y2自相關(guān)函數(shù)：s=s/0稱為s階自相關(guān)函數(shù)。顯然，0階自相關(guān)函數(shù)等于1，有0=1。,.,73,三、時間序列的平穩(wěn)性,2、平穩(wěn)過程的自協(xié)方差與自相關(guān)函數(shù)(2)自協(xié)方差與自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)對稱性：s=-s，s=-s；非負定性，即由自協(xié)方差或自相關(guān)函數(shù)組成的矩陣是非負定矩陣。|s|0，|s|1。,.,74,三、時間序列的平穩(wěn)性,3、平穩(wěn)性的意義平穩(wěn)過程一般都具有遍歷性(ergodicity)，即可用時間平均去估計空間平均。遍歷性：假設(shè)a為隨機過程yt的某一參數(shù)或特征指標，若由樣本函數(shù)構(gòu)成的估計量，使得當(dāng)t時，有：limE|-a|2=0即有：plim=a則稱序列yt關(guān)于a具有均方遍歷性，簡稱遍歷性。,.,75,三、時間序列的平穩(wěn)性,4、AR(1)過程平穩(wěn)性的條件對于AR(1)過程：yt=a0+a1yt-1+t假設(shè)過程從0時期開始，初值為y0，則其遞歸解為：或其通解為：取期望，得：或：這表明yt的均值隨時間變化，序列yt是非平穩(wěn)的。,.,76,三、時間序列的平穩(wěn)性,4、AR(1)過程平穩(wěn)性的條件但是，如果|a1|0，則當(dāng)t時，有：其期望和方差及協(xié)方差函數(shù)分別為：Eyt=a0/(1-a1)=E(yt-)2=E(t+a1t-1+a12t-2+)=2(1+a12+a14+)=2/(1-a12)E(yt-)(yt-s-)=E(t+a1t-1+a12t-2+)(t-s+a1t-s-1+a12t-s-2+)=2a1s/(1-a12)由此可見，在極限的情形序列yt是平穩(wěn)的。,.,77,三、時間序列的平穩(wěn)性,4、AR(1)過程平穩(wěn)性的條件綜上所述，AR(1)過程平穩(wěn)性的條件可總結(jié)為：(1)Thehomogeneoussolutionmustbezero.Eitherthesequencemusthavestartedinfinitelyfarinthepastortheprocessmustalwaysbeinequilibrium(sothatthearbitraryconstantiszero).(2)Thecharacteristicroota1mustbelessthanunityinabsolutevalue.此平穩(wěn)性條件也可簡單地概括為：AR(1)方程的齊次解必須為0。,.,78,四、ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)性,1、ARMA(2,1)的平穩(wěn)性對于ARMA(2,1),簡化掉不影響平穩(wěn)性的截距項,有：yt=a1yt-1+a2yt-2+t+1t-1使用待定系數(shù)法，得其移動平均表示或特解為：yt=0t+1t-1+2t-2+3t-3+其中：0=1，2=a10+，3=a12+a21，i=a1i-1+a2i-2，i2.由特解計算yt的均值和方差及協(xié)方差分別為：Eyt=0；Var(yt)=2(02+12+22+32+)Cov(yt,yt-s)=2(s+s+11+s+22+s+33+)可見，只有i序列收斂，yt才具有平穩(wěn)性，這就要求ARMA(2,1)模型的特征根都在單位圓內(nèi)。,.,79,四、ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)性,2、MA(q)的平穩(wěn)性先考慮無限階MA()過程，MA()過程的表達式為：xt=t+1t-1+2t-2+3t-3+4t-4+計算其均值和方差及協(xié)方差分別為：Ext=E(t+1t-1+2t-2+3t-3+)=0；Var(xt)=2(02+12+22+32+)Cov(xt,xt-s)=2(s+s+11+s+22+s+33+)由此可見，平穩(wěn)性的充分必要條件為：(1)02+12+22+32+(2)s+s+11+s+22+s+33+0.將此差分方程兩邊同除以0，得自相關(guān)函數(shù)式為：s=a1s-1+a2s-2，s0.記此差分方程的兩個特征根分別為1和2，則有：s=A11s+A22s，s0.由于1和2均小于1，所以ACF指數(shù)衰減收斂于0。,.,85,五、自相關(guān)函數(shù)(ACF),3、MA(1)過程的自相關(guān)函數(shù)對于MA(1)過程：yt=t+t-1，有：=Eyt=00=Eyt2=E(t+t-1)2=(1+2)21=Eytyt-1=E(t+t-1)(t-1+t-2)=2s=Eytyt-s=E(t+t-1)(t-s+t-s-1)=0于是有：1=/(1+2)；s=0，s1。這表明MA(1)過程的ACF只有前兩階不為0，二階及以后各階全為0，是1階截尾的。,.,86,五、自相關(guān)函數(shù)(ACF),4、ARMA(1,1)過程的自相關(guān)函數(shù)對于ARMA(1,1)過程，假設(shè)Eyt=0，則a0=0，模型為：yt=a1yt-1+t+1t-1使用Yule-Walker方法，得：Eytyt-s=a1Eytyt-s-1+Etyt-s+1Et-1yt-s,s=0,1,2,由此得：0=a11+2+1(a1+1)21=a10+12s=a1s-1,s1.由前兩式得：0=(1+12+2a11)2/(1-a12)1=(1+a11)(a1+1)2/(1-a12),.,87,五、自相關(guān)函數(shù)(ACF),4、ARMA(1,1)過程的自相關(guān)函數(shù)用0去除各i，得各階自相關(guān)函數(shù)1=(1+a11)(a1+1)/(1+12+2a11)s=a1s-1，s1。由于差分方程s=a1s-1的特征根為a1，所以其解為：s=Aa1s,s1.這表明ARMA(1,1)過程的ACF從第2階起遵循指數(shù)函數(shù)變化模式，以指數(shù)方式衰減，是拖尾的。,.,88,五、自相關(guān)函數(shù)(ACF),5、ARMA(p,q)過程的自相關(guān)函數(shù)對于ARMA(p,q)過程，假設(shè)Eyt=0，則a0=0，模型為：yt=a1yt-1+a2yt-2+apyt-p+t+1t-1+qt-q使用Yule-Walker方法，得：Eytyt-s=a1Eytyt-s-1+Eyt-pyt-s+Etyt-s+1Et-1yt-s+qEt-qyt-s,s=0,1,2,由于當(dāng)sk時，Et-kyt-s=0，所以當(dāng)sq時，有：s=a1s-1+a2s-2+aps-p,sq.這表明在q階以后，ARMA(p,q)過程的自協(xié)方差函數(shù)完全由此p階差分方程控制。,.,89,五、自相關(guān)函數(shù)(ACF),5、ARMA(p,q)過程的自相關(guān)函數(shù)用0除此方程的兩邊，得自相關(guān)函數(shù)的差分方程為：s=a1s-1+a2s-2+aps-p，sq。若記此差分方程的p個特征根為1,2,p，則其解為(假設(shè)各特征根互異）：s=A11s+A22s+Apps,sq.若將q,q-1,q-p+1作為初值代入求出待定常數(shù)A1,A2,Ap，則有：s=A11s+A22s+Apps,sq-p.這表明，若q-pp時，所有ss=0。這表明AR(p)過程的PACF是p階截尾的。,.,94,六、偏相關(guān)函數(shù)(PACF),3、ARMA過程的偏相關(guān)函數(shù)(2)MA過程的PACF對于MA(1)過程：yt=t+t-1，有：(1+L)-1yt=t即：yt=yt-1-2yt-2+3yt-3-4yt-4+t這表明MA(1)過程的PACF是指數(shù)衰減的，具有拖尾的性質(zhì)。對于MA(q)過程，也有類似的結(jié)論，即MA(q)過程的PACF也具有拖尾的性質(zhì)。,.,95,六、偏相關(guān)函數(shù)(PACF),3、ARMA過程的偏相關(guān)函數(shù)(3)ARMA過程的PACFARMA(p,q)過程的PACF在p階以后完全由MA(q)部分決定，所以其p階以后的PACF以指數(shù)方式衰減，也具有拖尾的性質(zhì)。過程ACFPACFAR(p)拖尾p階截尾MA(q)q階截尾拖尾ARMA(p,q)拖尾拖尾,.,96,七、平穩(wěn)過程的樣本自相關(guān)函數(shù),1、樣本自相關(guān)系數(shù)與偏相關(guān)系數(shù)的計算由于平穩(wěn)過程一般具有遍歷性，可用時間平均去估計空間平均，所以可以根據(jù)時間序列樣本估計其數(shù)據(jù)生成過程的均值、方差、協(xié)方差、自相關(guān)系數(shù)和偏相關(guān)系數(shù)。=yt的s階樣本自回歸方程中yt-s的系數(shù),.,97,七、平穩(wěn)過程的樣本自相關(guān)函數(shù),2、自相關(guān)系數(shù)的假設(shè)檢驗假設(shè)yt是正態(tài)平穩(wěn)過程，則樣本自相關(guān)系數(shù)的方差為：關(guān)于自相關(guān)函數(shù)，常用的假設(shè)檢驗有：(1)檢驗假設(shè)H0:s=0在此假設(shè)下，有：rsN0,Var(rs)檢驗統(tǒng)計量：z=rs/Var(rs)1/2N(0,1)若|z|z/2，則拒絕原假設(shè)，認為s階自相關(guān)系數(shù)不為0。,.,98,七、平穩(wěn)過程的樣本自相關(guān)函數(shù),2、自相關(guān)系數(shù)的假設(shè)檢驗(2)檢驗假設(shè)H0:1=2=s=0檢驗統(tǒng)計量為：Box-Pierce統(tǒng)計量Ljung-Pierce統(tǒng)計量,.,99,七、平穩(wěn)過程的樣本自相關(guān)函數(shù),3、偏相關(guān)系數(shù)的假設(shè)檢驗假設(shè)yt是正態(tài)AR(p)平穩(wěn)過程，則樣本偏相關(guān)系數(shù)的方差為：檢驗假設(shè)H0:pp=0檢驗統(tǒng)計量：,.,100,七、平穩(wěn)過程的樣本自相關(guān)函數(shù),4、模型選擇的準則(1)常用的選擇準則AIC=Tln(sumofsquaredresiduals)+2nSBC=Tln(sumofsquaredresiduals)+nln(T)選擇AIC和SBC值最小的ARMA模型。(2)選擇準則構(gòu)造的原理每增加一階滯后，雖然會減少殘差平方和，但是也會減少自由度，并使預(yù)測增加估計參數(shù)得著誤差影響。所以是否增加滯后，需要在這二者之間進行權(quán)衡。平衡點：邊際收益=邊際成本,.,101,七、平穩(wěn)過程的樣本自相關(guān)函數(shù),5、模型的估計方法(1)AR模型的估計估計AR模型可直接用OLS方法(2)ARMA模型的估計估計ARMA模型用極大似然估計方法條件極大似然估計無條件極大似然估計,.,102,八、Box-Jenkins建模方法,1、Box-Jenkins方法步驟(1)模型識別(identificationstage)作時序圖，判斷時間序列有無趨勢、異常點、缺失點和結(jié)構(gòu)變化。如存在趨勢，則需進行差分；異常點等也需處理。作樣本ACF相關(guān)圖和PACF偏相關(guān)圖，與理論ARMA模型的ACF和PACF圖進行比較，選擇可能合適的模型。使用ACF和PACF的基礎(chǔ)是序列具有平穩(wěn)性和可逆性。平穩(wěn)性寬平穩(wěn)，AR部分的特征根都在單位圓內(nèi)?？赡嫘孕蛄锌梢杂糜邢揠A或無限階收斂自回歸模型表示，條件：MA部分的特征根都在單位圓內(nèi)。,.,103,八、Box-Jenkins建模方法,1、Box-Jenkins方法步驟(2)模型估計與選擇(estimationstage)使用某種合適的方法估計所選出的各個模型。按照吝嗇原則(principleofparsimony)在所估計出的模型中選出最終使用的模型。模型選擇的準則：AIC和SBC注意：公因子問題(commonfactorproblem)模型的AR部分與MA部分不應(yīng)有共同的因子。,.,104,八、Box-Jenkins建模方法,1、Box-Jenkins方法步驟(3)模型的診斷檢驗(diagnosticchecking)殘差序列自相關(guān)性檢驗檢驗的原假設(shè)：模型殘差為白噪聲檢驗統(tǒng)計量Ljung-Pierce統(tǒng)計量結(jié)構(gòu)變動檢驗檢驗的原假設(shè)：序列無結(jié)構(gòu)變化檢驗統(tǒng)計量F統(tǒng)計量,.,105,八、Box-Jenkins建模方法,2、例子(1)AR(1)模擬序列的建模(2)ARMA(1,1)模擬序列的建模(3)AR(2)模擬序列的建模,.,106,九、預(yù)測,1、預(yù)測的方法條件期望預(yù)測若實際數(shù)據(jù)生成過程是已知的，并且序列yt和t的現(xiàn)在和過去各期的數(shù)值也已知，則就可以現(xiàn)在為原點，根據(jù)已掌握的信息，使用條件期望的方法對序列yt未來各期的數(shù)值進行預(yù)測。預(yù)測式為：Etyt+j=E(yt+j|yt,yt-1,yt-2,t,t-1,t-2,),.,107,九、預(yù)測,2、AR(1)模型的預(yù)測(1)點預(yù)測對于參數(shù)已知的AR(1)模型：yt=a0+a1yt-1+t跨前j期有：yt+j=a0+a1yt+j-1+t+j在t時已知信息的條件下，求期望，得：向前1步預(yù)測：Etyt+1=a0+a1yt向前2步預(yù)測：Etyt+2=a0+a1Eyt+1向前j步預(yù)測：Etyt+j=a0+a1Eyt+j-1,.,108,九、預(yù)測,2、AR(1)模型的預(yù)測(2)預(yù)測函數(shù)在向前j步預(yù)測式中，逐次迭代可得：Etyt+j=a0(1+a1+a12+a1j-1)+a1jyt此式是j的函數(shù)，稱為預(yù)測函數(shù)。若|a1|1，則當(dāng)j時，預(yù)測函數(shù)的極限為：Etyt+j=a0/(1-a1)平穩(wěn)ARMA模型的條件預(yù)測收斂于無條件均值。,.,109,九、預(yù)測,2、AR(1)模型的預(yù)測(3)預(yù)測誤差所謂預(yù)測誤差，就是yt+j的實際值與其預(yù)測值之間的偏差，記為et(j)，即：et(j)=yt+j-Etyt+j將向前1步、2步、預(yù)測值分別代入，得：1步預(yù)測誤差：et(1)=yt+1-Etyt+1=t+12步預(yù)測誤差：et(2)=yt+2-Etyt+2=t+2+a1t+1j步預(yù)測誤差：et(j)=yt+j-Etyt+j=t+j+a1t+j-1+a12t+j-2+a1j-1t+1,.,110,九、預(yù)測,2、AR(1)模型的預(yù)測(4)條件期望預(yù)測的性質(zhì)無偏性：Etet(j)=0方差最?。篤aret(j)=21+a12+a14+a12(j-1)當(dāng)j時，Varet(j)=2/(1-a12)即：預(yù)測誤差的方差收斂于yt的無條件方差。盡管向前1步預(yù)測誤差不相關(guān)，但向前多步預(yù)測誤差卻存在序列相關(guān)。如：由et(1)=yt+1-Etyt+1=t+1，得：Eet(1)et+1