數(shù)學(xué)必修二第二章知識(shí)點(diǎn)和試題

高中數(shù)學(xué)必修2知識(shí)點(diǎn)總結(jié)第二章 直線與平面的位置關(guān)系2.1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系1 平面含義：平面是無限延展的2 三個(gè)公理：（1）公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).符號(hào)表示為LAALBL = L AB公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi).CBA（2）公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。符號(hào)表示為：A、B、C三點(diǎn)不共線 = 有且只有一個(gè)平面，使A、B、C。公理2作用：確定一個(gè)平面的依據(jù)。PL（3）公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線。符號(hào)表示為：P =L，且PL公理3作用：判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù).2.1.2 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系1 空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：共面直線 相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；異面直線： 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)。2 公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號(hào)表示為：設(shè)a、b、c是三條直線=acabcb強(qiáng)調(diào)：公理4實(shí)質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適用。公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。3 等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).4 注意點(diǎn)： a與b所成的角的大小只由a、b的相互位置來確定，與O的選擇無關(guān)，為了簡便，點(diǎn)O一般取在兩直線中的一條上； 兩條異面直線所成的角(0， )； 當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時(shí)，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作ab； 兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形； 計(jì)算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。2.1.3 2.1.4 空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系1、直線與平面有三種位置關(guān)系：（1）直線在平面內(nèi) 有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)（2）直線與平面相交 有且只有一個(gè)公共點(diǎn)（3）直線在平面平行 沒有公共點(diǎn)指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用a 來表示a a=A a2.2.直線、平面平行的判定及其性質(zhì)2.2.1 直線與平面平行的判定1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。簡記為：線線平行，則線面平行。符號(hào)表示：a b = aab2.2.2 平面與平面平行的判定1、兩個(gè)平面平行的判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。符號(hào)表示：a b ab = P ab2、判斷兩平面平行的方法有三種：（1）用定義；（2）判定定理；（3）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。2.2.3 2.2.4直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)1、直線與平面平行的性質(zhì)定理：一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。簡記為：線面平行則線線平行。符號(hào)表示：a a ab= b作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。2、兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行的平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。符號(hào)表示：= a ab = b作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)2.3.1直線與平面垂直的判定1、定義：如果直線L與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線L與平面互相垂直，記作L，直線L叫做平面的垂線，平面叫做直線L的垂面。如圖，直線與平面垂直時(shí),它們唯一公共點(diǎn)P叫做垂足。 P a L2、直線與平面垂直的判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。注意點(diǎn)： a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視； b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。2.3.2平面與平面垂直的判定1、二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形A 梭 l B2、 二面角的記法：二面角-l-或-AB-3、兩個(gè)平面互相垂直的判定定理：一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直。2.3.3 2.3.4直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)1、直線與平面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。2、兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理： 兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系一、選擇題1設(shè) a，b為兩個(gè)不同的平面，l，m為兩條不同的直線，且la，m，有如下的兩個(gè)命題：若 ab，則lm；若lm，則 ab那么( )A是真命題，是假命題 B是假命題，是真命題 C都是真命題D都是假命題2如圖，ABCDA1B1C1D1為正方體，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是( )(第2題)ABD平面CB1D1BAC1BDCAC1平面CB1D1D異面直線AD與CB1角為603關(guān)于直線m，n與平面 a，b，有下列四個(gè)命題：ma，nb 且 ab，則mn；ma，nb 且 ab，則mn；ma，nb 且 ab，則mn；ma，nb 且 ab，則mn其中真命題的序號(hào)是( ) AB CD4給出下列四個(gè)命題：垂直于同一直線的兩條直線互相平行 垂直于同一平面的兩個(gè)平面互相平行若直線l1，l2與同一平面所成的角相等，則l1，l2互相平行若直線l1，l2是異面直線，則與l1，l2都相交的兩條直線是異面直線其中假命題的個(gè)數(shù)是( )A1B2C3D45下列命題中正確的個(gè)數(shù)是( )若直線l上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面 a 內(nèi)，則la 若直線l與平面 a 平行，則l與平面 a 內(nèi)的任意一條直線都平行 如果兩條平行直線中的一條直線與一個(gè)平面平行，那么另一條直線也與這個(gè)平面平行若直線l與平面 a 平行，則l與平面 a 內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點(diǎn) A0個(gè)B1個(gè)C2個(gè)D3個(gè) 6 兩直線l1與l2異面，過l1作平面與l2平行，這樣的平面( )A不存在B有唯一的一個(gè)C有無數(shù)個(gè)D只有兩個(gè)7把正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，當(dāng)以A，B，C，D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時(shí)，直線BD和平面ABC所成的角的大小為( )A90B60C45D30 8下列說法中不正確的是( )A空間中，一組對(duì)邊平行且相等的四邊形一定是平行四邊形B同一平面的兩條垂線一定共面C過直線上一點(diǎn)可以作無數(shù)條直線與這條直線垂直，且這些直線都在同一個(gè)平面內(nèi)D過一條直線有且只有一個(gè)平面與已知平面垂直9給出以下四個(gè)命題：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的一個(gè)平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面如果兩條直線都平行于一個(gè)平面，那么這兩條直線互相平行如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么些兩個(gè)平面互相垂直其中真命題的個(gè)數(shù)是( ) A4 B3 C2 D110異面直線a，b所成的角60，直線ac，則直線b與c所成的角的范圍為( )A30，90 B60，90 C30，60D30，120二、填空題11已知三棱錐PABC的三條側(cè)棱PA，PB，PC兩兩相互垂直，且三個(gè)側(cè)面的面積分別為S1，S2，S3，則這個(gè)三棱錐的體積為 12P是ABC 所在平面 a 外一點(diǎn)，過P作PO平面 a，垂足是O，連PA，PB，PC(1)若PAPBPC，則O為ABC 的 心；(2)PAPB，PAPC，PCPB，則O是ABC 的 心；(3)若點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等，則O是ABC 的 心；(4)若PAPBPC，C90，則O是AB邊的 點(diǎn)；J(第13題)(5)若PAPBPC，ABAC，則點(diǎn)O在ABC的 線上13如圖，在正三角形ABC中，D，E，F(xiàn)分別為各邊的中點(diǎn)，G，H，I，J分別為AF，AD，BE，DE的中點(diǎn)，將ABC沿DE，EF，DF折成三棱錐以后，GH與IJ所成角的度數(shù)為 14直線l與平面 a 所成角為30，laA，直線ma，則m與l所成角的取值范圍是 15棱長為1的正四面體內(nèi)有一點(diǎn)P，由點(diǎn)P向各面引垂線，垂線段長度分別為d1，d2，d3，d4，則d1d2d3d4的值為 16直二面角 alb 的棱上有一點(diǎn)A，在平面 a，b 內(nèi)各有一條射線AB，AC與l成45，ABa，ACb，則BAC 三、解答題17在四面體ABCD中，ABC與DBC都是邊長為4的正三角形(1)求證：BCAD；(第17題)(2)若點(diǎn)D到平面ABC的距離等于3，求二面角ABCD的正弦值；(3)設(shè)二面角ABCD的大小為 q，猜想 q 為何值時(shí)，四面體ABCD的體積最大(不要求證明)18 如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，BB1BC1，E為D1C1的中點(diǎn)，連結(jié)ED，EC，EB和DB(1)求證：平面EDB平面EBC；(2)求二面角EDBC的正切值.(第18題)19*如圖，在底面是直角梯形的四棱錐ABCD中，ADBC，ABC90，SA面ABCD，SAABBC，AD(1)求四棱錐SABCD的體積；(2)求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值(提示：延長 BA，CD 相交于點(diǎn) E，則直線 SE 是所求二面角的棱.)20*斜三棱柱的一個(gè)側(cè)面的面積為10，這個(gè)側(cè)面與它所對(duì)棱的距離等于6，求這個(gè)棱柱的體積(提示：在 AA1 上取一點(diǎn) P，過 P 作棱柱的截面，使 AA1 垂直于這個(gè)截面.) (第20題) 第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系參考答案一、選擇題1D 2D解析：異面直線AD與CB1角為453D解析：在、的條件下，m，n的位置關(guān)系不確定4D解析：利用特殊圖形正方體我們不難發(fā)現(xiàn)均不正確，故選擇答案D5B解析：學(xué)會(huì)用長方體模型分析問題，A1A有無數(shù)點(diǎn)在平面ABCD外，但AA1與平面ABCD相交，不正確；A1B1平面ABCD，顯然A1B1不平行于BD，不正確；A1B1AB，A1B1平面ABCD，但AB平面ABCD內(nèi)，不正確；l與平面平行，則l與 a 無公共點(diǎn)，l與平面 a 內(nèi)的所有直線都沒有公共點(diǎn)，正確，應(yīng)選B (第5題)6B解析：設(shè)平面 a 過l1，且 l2a，則 l1上一定點(diǎn) P 與 l2 確定一平面 b ，b 與 a 的交線l3l2，且 l3 過點(diǎn) P. 又過點(diǎn) P 與 l2 平行的直線只有一條，即 l3 有唯一性，所以經(jīng)過 l1 和 l3 的平面是唯一的，即過 l1 且平行于 l2 的平面是唯一的.7C解析：當(dāng)三棱錐DABC體積最大時(shí)，平面DACABC，取AC的中點(diǎn)O，則DBO是等腰直角三角形，即DBO458D解析：A一組對(duì)邊平行就決定了共面；B同一平面的兩條垂線互相平行，因而共面；C這些直線都在同一個(gè)平面內(nèi)即直線的垂面；D把書本的書脊垂直放在桌上就明確了9B解析：因?yàn)檎_，故選B10A解析：異面直線，所成的角為60，直線，過空間任一點(diǎn) P，作直線 aa， bb， cc. 若a，b，c 共面則 b 與 c 成 30 角，否則 與 所成的角的范圍為(30，90，所以直線b與c所成角的范圍為30，90 二、填空題11解析：設(shè)三條側(cè)棱長為 a，b，c則 abS1，bcS2，caS3 三式相乘： a2 b2 c2S1S2S3， abc2 三側(cè)棱兩兩垂直， Vabc12外，垂，內(nèi)，中，BC邊的垂直平分解析：(1)由三角形全等可證得 O 為ABC 的外心；(2)由直線和平面垂直的判定定理可證得，O 為ABC 的垂心；(3)由直線和平面垂直的判定定理可證得，O 為ABC 的內(nèi)心；(4)由三角形全等可證得，O 為 AB 邊的中點(diǎn)；(5)由(1)知，O 在 BC 邊的垂直平分線上，或說 O 在BAC 的平分線上1360解析：將ABC沿DE，EF，DF折成三棱錐以后，GH與IJ所成角的度數(shù)為601430，90解析：直線l與平面 a 所成的30的角為m與l所成角的最小值，當(dāng)m在 a 內(nèi)適當(dāng)旋轉(zhuǎn)就可以得到lm，即m與l所成角的的最大值為9015解析：作等積變換：(d1d2d3d4)h，而h1660或120解析：不妨固定AB，則AC有兩種可能 三、解答題17證明：(1)取BC中點(diǎn)O，連結(jié)AO，DOABC，BCD都是邊長為4的正三角形，AOBC，DOBC，且AODOO，BC平面AOD又AD平面AOD，BCAD (第17題)解：(2)由(1)知AOD為二面角ABCD的平面角，設(shè)AODq，則過點(diǎn)D作DEAD，垂足為EBC平面ADO，且BC平面ABC，平面ADO平面ABC又平面ADO平面ABCAO，DE平面ABC線段DE的長為點(diǎn)D到平面ABC的距離，即DE3又DOBD2，在RtDEO中，sinq，故二面角ABCD的正弦值為 (3)當(dāng) q90時(shí)，四面體ABCD的體積最大18證明：(1)在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，BB1BC1，E為D1C1的中點(diǎn)DD1E為等腰直角三角形，D1ED45同理C1EC45，即DEEC在長方體ABCD中，BC平面，又DE平面，BCDE又，DE平面EBC平面DEB過DE，平面DEB平面EBC (2)解：如圖，過E在平面中作EODC于O在長方體ABCD中，面ABCD面，EO面ABCD過O在平面DBC中作OFDB于F，連結(jié)EF，EFBDEFO為二面角EDBC的平面角利用平面幾何知識(shí)可得OF， (第18題)又OE1，所以，tanEFO19*解：(1)直角梯形ABCD的面積是M底面，四棱錐SABCD的體積是VSAM底面1(2)如圖，延長BA，CD相交于點(diǎn)E，連結(jié)SE，則SE是所求二面角的棱ADBC，BC2AD，EAABSA，