整式乘法例題講解

14.1整式的乘法1同底數(shù)冪的乘法(1)法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加(2)符號表示：amanamn(m，n都是正整數(shù))(3)拓展：當三個或三個以上同底數(shù)冪相乘時，也具有同樣的性質，即amanaramnr(m，n，r都是正整數(shù))法則可逆用，即amnaman(m，n都是正整數(shù))談重點 同底數(shù)冪的特征“同底數(shù)冪”是指底數(shù)相同的冪，等號左邊符合幾個同底數(shù)冪相乘，等號右邊，即結果為一個冪注意不要忽視指數(shù)為1的因式【例1】 計算：(1)103106；(2)(2)5(2)2；(3)an2an1a；(4)(xy)2(xy)3.分析：(1)中的兩個冪的底數(shù)是10；(2)中的兩個底數(shù)都是2；(3)中的三個冪的底數(shù)都是a；這三道題可以直接用同底數(shù)冪的運算性質計算(4)要把xy看作一個整體，再運用同底數(shù)冪的乘法法則解：(1)1031061036109；(2)(2)5(2)2(2)5227；(3)an2an1aan2n11a2n4；(4)(xy)2(xy)3(xy)23(xy)5.2冪的乘方(1)法則：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘(2)符號表示：(am)namn(m，n都是正整數(shù))(3)拓展：法則可推廣為(am)npamnp(m，n，p都是正整數(shù))法則可逆用：amn(am)n(an)m(m，n都是正整數(shù))警誤區(qū) 冪的乘方的理解不要把冪的乘方與同底數(shù)冪的乘法混淆冪的乘方運算是轉化為指數(shù)的乘法運算(底數(shù)不變)；同底數(shù)冪的乘法，是轉化為指數(shù)的加法運算(底數(shù)不變)【例2】 計算：(1)(102)3；(2)(am)3；(3)(x)32；(4)(yx)42.分析：解決本題的關鍵是要分清底數(shù)、指數(shù)是什么，然后再運用法則進行計算，如(2)中的底數(shù)是a，(3)中的底數(shù)是x，(4)中的底數(shù)是yx.解：(1)(102)31023106；(2)(am)3a3m；(3)(x)32(x)32x6；(4)(yx)42(yx)42(yx)8.3.積的乘方(1)法則：積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘(2)符號表示：(ab)nanbn(n為正整數(shù))(3)拓展：三個或三個以上的數(shù)的乘積，也適用這一法則，如：(abc)nanbncn.a，b，c可以是任意數(shù)，也可以是冪的形式法則可逆用：anbn(ab)n.(n為正整數(shù))警誤區(qū) 積的乘方的易錯點運用積的乘方法則易出現(xiàn)的錯誤有：(1)漏乘因式；(2)當每個因式再乘方時，應該用冪的乘方的運算性質，指數(shù)相乘，而結果算式為指數(shù)相加；(3)系數(shù)計算錯誤【例3】 計算：(1)(xy)3；(2)(x2y)2；(3)(2102)2；(4)(ab2)2.解：(1)(xy)3(1)3x3y3x3y3；(2)(x2y)2(x2)2y2x4y2；(3)(2102)222(102)24104；(4)(ab2)2()2a2(b2)2a2b4.4單項式乘以單項式法則：單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式談重點 單項式乘以單項式要注意的三點運用單項式與單項式相乘時要注意：(1)在計算時，應先確定積的符號；(2)注意按運算順序進行；(3)不要丟掉只有一個單項式里含有的字母【例4】 下列計算正確的是()A3x32x2y6x5B2a23a36a5C(2x)3(5x2y)10x5yD(2xy)(3x2y)6x3y解析：A結果漏掉了字母“y”，C結果應為40x5y，D結果應為6x3y2.答案：B5單項式與多項式相乘法則：單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加即m(abc)mambmc.單項式與多項式乘法法則的理解單項式與多項式相乘，其實質就是乘法分配律的應用，將單項式乘多項式轉化為單項式乘單項式，再轉化為同底數(shù)冪相乘所以熟練掌握同底數(shù)冪乘法和單項式乘以單項式，是學好單項式乘以單項式的基礎和關鍵單項式與多項式相乘，結果是一個多項式，其項數(shù)與因式中多項式的項數(shù)相同，運算時可以此來檢驗運算中是否漏乘【例5】 計算：(1)(3ab)(2a2bab2)；(2)x(x2)2x(x1)3x(x5)解：(1)(3ab)(2a2bab2)(3ab)(2a2b)(3ab)(ab)(3ab)26a3b23a2b26ab；(2)x(x2)2x(x1)3x(x5)xxx(2)(2x)x(2x)1(3x)x(3x)(5)4x211x.6多項式與多項式相乘法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加即(ab)(mn)amanbmbn.警誤區(qū) 多項式乘以多項式的注意點多項式乘以多項式時，應注意以下幾點：(1)相乘時，按一定的順序進行，必須做到不重不漏；(2)多項式與多項式相乘，仍得多項式，在合并同類項之前，積的項數(shù)應等于原多項式的項數(shù)之積；(3)相乘后，若有同類項應該合并【例6】 計算：(1)(5a2b)(2ab)；(2)(a2a1)(a1)解：(1)(5a2b)(2ab)5a2a5ab2b2a2bb10a25ab4ab2b210a2ab2b2；(2)(a2a1)(a1)a2aa21aaa11a1a3a2a2aa1a31.7.同底數(shù)冪的除法(1)法則同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減(2)符號表示amanamn(a0，m，n都是正整數(shù)，并且mn)(3)注意應用法則時，必須明確底數(shù)是什么，指數(shù)是什么，然后按同底數(shù)冪相除的法則計算；運算時要注意運算順序，同時還要注意指數(shù)為“1”的情況，如：m5mm51，而不是m5mm50.(4)0次冪任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1，即a01(a0)談重點 同底數(shù)冪的除法法則的理解運用同底數(shù)冪相除應注意：(1)適用范圍：兩個冪的底數(shù)相同，且是相除的關系，被除式的指數(shù)大于或等于除式的指數(shù)，且底數(shù)不能為0；(2)底數(shù)可以是數(shù)，也可以是單項式或多項式；(3)該法則對于三個或三個以上的同底數(shù)冪相除仍然成立【例7】 計算：(1)a4a2；(2)(x)5x3；(3)xn3xn；(4)(x1)4(x1)解：(1)a4a2a42a2；(2)(x)5x3x5x3x53x2；(3)xn3xnxn3nx3；(4)(x1)4(x1)(x1)41(x1)3.8單項式除以單項式(1)法則單項式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式(2)步驟系數(shù)相除；同底數(shù)冪相除；對于只在被除式里含有的字母的處理(連同指數(shù)作為商的一個因式)單項式除以單項式的結果仍為單項式【例8】 計算：(1)(0.5a2bc2)(ac2)；(2)(6108)(3105)；(3)(6x2y3)2(3xy2)2.解：(1)(0.5a2bc2)(ac2)()()a21bc22ab；(2)(6108)(3105)(63)10852103；(3)(6x2y3)2(3xy2)236x4y69x2y4(369)x42y644x2y2.9多項式除以單項式(1)法則多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加(2)注意多項式除以單項式轉化為單項式除以單項式來解決；運算時不能漏項；運算時注意符號的變化警誤區(qū) 多項式除以單項式的注意點(1)要注意商的符號，應弄清多項式中每一項的符號，相除時要帶著符號與單項式相除；(2)多項式除以單項式的結果是一個多項式，多項式除以單項式是單項式乘以多項式的逆運算，可以用其進行檢驗【例9】 計算：(1)(6c2dc3d3)(2c2d)；(2)(24m3n16m2n2mn3)(8m)解：(1)(6c2dc3d3)(2c2d)(6c2d)(2c2d)(c3d3)(2c2d)3cd2；(2)(24m3n16m2n2mn3)(8m)(24m3n)(8m)(16m2n2)(8m)(mn3)(8m)3m2n2mn2n3.10整式乘法中的化簡求值整式乘法運算中的化簡求值題的主要步驟有：(1)按照題目規(guī)定的運算順序，對原式進行化簡；(2)將對應的字母數(shù)值代入化簡后的結果進行計算；(3)注意代入時，不要代錯，在求值時，式子的運算符號和順序都不變11冪的運算法則的逆向運用冪的運算法則是以等式形式出現(xiàn)的，受思維定勢的影響，習慣于從左邊到右邊運用它，而忽視從右邊到左邊的應用，即逆向運用運算法則其實，有些問題如果逆向運用冪的運算性質，解題會更加簡捷(1)amnaman(m，n都是正整數(shù))(2)amn(am)n(m，n都是正整數(shù))(3)anbn(ab)n(n為正整數(shù))12整式的混合運算在學習了整式的加減、乘除，乘法公式以后，就可以進行整式的混合運算了整式的混合運算用到的知識點比較多，除了整式加減、乘除，乘法公式，還要用到去括號、乘法分配律等談重點 整式的混合運算的認識進行整式的混合運算首先要注意弄清運算順序，先算什么再算什么，然后注意每一步運算所用到的法則、公式等要準確無誤【例10】 當y時，求代數(shù)式y(tǒng)(y26y9)y(y28y15)2y(3y)的值解：y(y26y9)y(y28y15)2y(3y)y36y29yy38y215y6y2y230y，當y時，原式30y30()5.【例111】 計算：()2 014(3)2 014.解：()2 014(3)2 014()2 014(1)2 0141.【例112】 已知：3m6,9n2，求32m4n的值解：32m4n32m34n(3m)2(32n)2(3m)2(9n)26222364144.【例12】 先化簡，再求值：(xy)(xy)(xy)22y(xy)(2y)，其中，x，y2.解：原式x2y2(x22xyy2)2xy2y2(2y)(x2y2x22xyy22xy2y2)(2y)(4y24xy)(2y)2y2x，當x，y2時，原式2y2x222()4(1)5.13整式乘法中的開放型問題結論開放與探索：給出問題的條件，根據(jù)條件探索相應的結論，并且符合條件的結論往往呈現(xiàn)多樣性，或者相應的結論的“存在性”需要進行推斷，甚至探求條件在變化中的結論，這些問題都是結論開放性問題它要求充分利用條件進行大膽而合理的猜想，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出結論，這類題主要考查我們的發(fā)散性思維和所學基本知識的應用能力14與整式除法有關的求值問題這類與整式的除法有關的求值問題，采用傳統(tǒng)的方法很難求解，此時需根據(jù)題目的特點靈活變形采用整體代入法求解首先應認真觀察題目的特點，或者先將求值的式子化簡再求值，或者同時將已知式和求值式化簡【例13】 若a，b，k均為整數(shù)且滿足等式(xa)(xb)x2kx36，寫出兩個符合條件的k的值解：因為(xa)(xb)x2kx36，所以x2(ab)xabx2kx36，根據(jù)等式的對應項的系