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課時作業(yè)51直線與圓錐曲線 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1過橢圓1內(nèi)一點p(3,1),求被這點平分的弦所在直線方程解析:設(shè)直線與橢圓交于a(x1,y1),b(x2,y2)兩點,由于a、b兩點均在橢圓上,故1,1,兩式相減得0.又p是a、b的中點,x1x26,y1y22,kab.直線ab的方程為y1(x3)即3x4y130.22020鄭州測試已知橢圓c:1(ab0)的離心率為,以橢圓的四個頂點為頂點的四邊形的面積為8.(1)求橢圓c的方程;(2)如圖,斜率為的直線l與橢圓c交于a,b兩點,點p(2,1)在直線l的左上方若apb90,且直線pa,pb分別與y軸交于點m,n,求線段mn的長度解析:(1)由題意知解得所以橢圓c的方程為1.(2)設(shè)直線l:yxm,a(x1,y1),b(x2,y2),聯(lián)立,得消去y,化簡整理,得x22mx2m240.則由(2m)24(2m24)0,得2m2.由根與系數(shù)的關(guān)系得,x1x22m,x1x22m24,因為kpa,kpb,所以kpakpb,上式中,分子(x22)(x12)x1x2(m2)(x1x2)4(m1)2m24(m2)(2m)4(m1)0.所以kpakpb0.因為apb90,所以kpakpb1,則kpa1,kpb1.所以pmn是等腰直角三角形,所以|mn|2xp4.3設(shè)f1,f2分別是橢圓e:x21(0b1)的左、右焦點,過f1的直線l與e相交于a,b兩點,且|af2|,|ab|,|bf2|成等差數(shù)列(1)求|ab|;(2)若直線l的斜率為1,求b的值解析:(1)由橢圓定義知|af2|ab|bf2|4,又2|ab|af2|bf2|,得|ab|.(2)設(shè)直線l的方程為yxc,其中c.設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),則a,b兩點坐標(biāo)滿足方程組化簡得(1b2)x22cx12b20.則x1x2,x1x2,因為直線ab的斜率為1,所以|ab|x2x1|,即|x2x1|.則(x1x2)24x1x2,因為0bb0),右焦點為f2(c,0)因為ab1b2是直角三角形,且|ab1|ab2|,所以b1ab290,因此|oa|ob2|,得b.由c2a2b2得4b2a2b2,故a25b2,c24b2,所以離心率e.在rtab1b2中,oab1b2,故sab1b2|b1b2|oa|ob2|oa|bb2.由題設(shè)條件sab1b24得b24,所以a25b220.因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)由(1)知b1(2,0),b2(2,0)由題意知直線l的斜率存在且不為0,故可設(shè)直線l的方程為xmy2,代入橢圓方程并整理得(m25)y24my160.設(shè)p(x1,y1),q(x2,y2),則y1y2,y1y2,又(x12,y1),(x22,y2),所以(x12)(x22)y1y2(my14)(my24)y1y2(m21)y1y24m(y1y2)1616,由pb2qb2,得0,即16m2640,解得m2.所以滿足條件的直線l有兩條,其方程分別為x2y20和x2y20.52020唐山五校聯(lián)考在直角坐標(biāo)系xoy中,長為1的線段的兩端點c,d分別在x軸、y軸上滑動, .記點p的軌跡為曲線e.(1)求曲線e的方程;(2)經(jīng)過點(0,1)作直線與曲線e相交于a,b兩點,當(dāng)點m在曲線e上時,求四邊形aobm的面積解析:(1)設(shè)c(m,0),d(0,n),p(x,y)由 ,得(xm,y)(x,ny),所以得由|1,得m2n2(1)2,所以(1)2x2y2(1)2,整理,得曲線e的方程為x21.(2)設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),由,知點m坐標(biāo)為(x1x2,y1y2)由題意知,直線ab的斜率存在設(shè)直線ab的方程為ykx1,代入曲線e的方程,得(k22)x22kx10,則x1x2,x1x2.y1y2k(x1x2)2.由點m在曲線e上,知(x1x2)21,即1,解得k22.這時|ab|x1x2|,原點到直線ab的距離d,所以平行四邊形oamb的面積s|ab|d.62018天津卷設(shè)橢圓1(ab0)的左焦點為f,上頂點為b.已知橢圓的離心率為,點a的坐標(biāo)為(b,0),且|fb|ab|6.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)直線l:ykx(k0)與橢圓在第一象限的交點為p,且l與直線ab交于點q.若sinaoq(o為原點),求k的值解析:(1)設(shè)橢圓的焦距為2c,由已知有,又由a2b2c2,可得2a3b.由已知可得|fb|a,|ab|b,由|fb|ab|6,可得ab6,從而a3,b2.所以,橢圓的方程為1.(2)設(shè)點p的坐標(biāo)為(x1,y1),點q的坐標(biāo)為(x2,y2)由已知有y1y20,故|pq|sinaoqy1y2.又因為|aq|,而oab,所以|aq|y2.由sinaoq,可得5y19y2.由方程組消去x,可得y1.易知直線ab的方程為xy20,由方程組消去x,可得y2.由5y19y2,可得5(k1)3,兩邊平方,整理得56k250k110,解得k或k.所以k的值為或.能力挑戰(zhàn)72020貴州貴陽測試已知橢圓c:1(ab0)的左、右焦點分別為f1,f2,點m為短軸的上端點,0,過f2且垂直于x軸的直線交橢圓c于a,b兩點,|ab|.(1)求橢圓c的方程;(2)設(shè)經(jīng)過點(2,1)且不經(jīng)過點m的直線l與橢圓c相交于g,h兩點,若k1,k2分別是直線mg,mh的斜率,求k1k2的值解析:(1)由0,得bc,將xc代入1中,得y,因為|ab|,所以,又a2b2c2,所以a,b1,故橢圓c的方程為y21.(2)根據(jù)題意設(shè)直線l的方程為y1k(x2)(k1),即ykx2k
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