上海市楊浦區(qū)2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中質(zhì)量調(diào)研試題（含解析）

上海市楊浦區(qū)2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中質(zhì)量調(diào)研試題（含解析）一、填空題1.函數(shù)的定義域是_.【答案】【解析】試題分析：要使有意義，則，即，即該函數(shù)的定義域?yàn)?；故填考點(diǎn)：函數(shù)的定義域2.方程的解為_(kāi).【答案】【解析】【分析】解對(duì)數(shù)方程，首先要注意對(duì)數(shù)真數(shù)要大于0，再解方程即可得解.【詳解】解:解方程,可得,所以, 解得,即,故答案為: .【點(diǎn)睛】本題考查了解對(duì)數(shù)方程，重點(diǎn)考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，屬基礎(chǔ)題.3.如圖，在正方體中，直線與平面所成的角等于_【答案】【解析】【詳解】正方體中，連接交于點(diǎn)m，連接，由題可得：，,所以直線平面,所以直線與平面所成的角等于,設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為，所以，所以,所以【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面角知識(shí)，關(guān)鍵是作出線面角對(duì)應(yīng)的平面角，然后再說(shuō)明該角就是對(duì)應(yīng)的線面角，根據(jù)圖形解三角形即可。4.已知角終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn) (始邊為軸正半軸)，則_.【答案】【解析】【分析】由三角函數(shù)的定義可得：，由正弦的二倍角公式可得：，再代入運(yùn)算即可.【詳解】解：因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，由三角函數(shù)的定義可得，則，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的定義及正弦的二倍角公式，屬基礎(chǔ)題.5.在的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)等于_.（結(jié)果用數(shù)值表示）【答案】【解析】分析】先求出二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，再令，求解代入運(yùn)算即可.【詳解】解：由二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，解得，即在的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)等于，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理及展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，重點(diǎn)考查了運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題.6.若，且，則的最大值為_(kāi)【答案】【解析】【詳解】根據(jù)題意，由于，且，那么可知12xy2,xy,因此答案為.考點(diǎn)：均值不等式運(yùn)用點(diǎn)評(píng)：主要是考查了一正二定三相等的均值不等式的求解最值的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題。7.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則它的反函數(shù)為_(kāi).【答案】【解析】【分析】由函數(shù)為冪函數(shù)，設(shè)，將已知條件代入可得，,再用表示，從而求得函數(shù)的反函數(shù).【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)為冪函數(shù)，設(shè)，則，則，即冪函數(shù)解析式為，,即 ，即函數(shù)的反函數(shù)為，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了冪函數(shù)及反函數(shù)的求法，屬基礎(chǔ)題.8.從1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取5個(gè)不同的數(shù)，中位數(shù)為4的取法有_種.（用數(shù)值表示）【答案】30【解析】【分析】由題意可知，任取5個(gè)不同的數(shù)，中位數(shù)為4，則等價(jià)于應(yīng)在1，2，3中取2個(gè)數(shù)，在5，6，7，8，9中取2個(gè)數(shù)，再結(jié)合組合知識(shí)求解即可.【詳解】解：從1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取5個(gè)不同的數(shù)，中位數(shù)為4，則應(yīng)在1，2，3中取2個(gè)數(shù)，在5，6，7，8，9中取2個(gè)數(shù)，即不同的取法有，故答案為：30.【點(diǎn)睛】本題考查了排列、組合的有關(guān)知識(shí)，重點(diǎn)考查了中位數(shù)的概念，屬基礎(chǔ)題.9.已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形，若此扇形的圓心角為、面積為，則該圓錐的體積為_(kāi).【答案】【解析】【分析】先由扇形的圓心角為、面積為，求出圓錐的母線長(zhǎng)及底面圓半徑，再利用勾股定理求出圓錐的高，再利用圓錐的體積公式求解即可.【詳解】解：由扇形的面積公式有：，解得 ，由弧長(zhǎng)公式有，即，即該圓錐的母線長(zhǎng)為，底面圓周長(zhǎng)為 ，即底面圓半徑為3，由勾股定理可得圓錐的高為，由圓錐的體積公式可得，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了扇形的面積公式、弧長(zhǎng)公式及圓錐的體積公式，重點(diǎn)考查了運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題.10.在中，內(nèi)角、的對(duì)邊分別為、，若，則的面積的最大值等于_.【答案】【解析】【分析】由正弦定理可得，由余弦定理及重要不等式可得，再結(jié)合三角形面積公式即可得解.【詳解】解：因?yàn)?，由正弦定理可得，所以，又，所以，由余弦定理可?可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)=2時(shí)取等號(hào)，即，又，所以，即的面積的最大值等于，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理、余弦定理及三角形面積公式，重點(diǎn)考查了重要不等式，屬中檔題.11.在高中階段，我們學(xué)習(xí)過(guò)函數(shù)的概念、性質(zhì)和圖像，以下兩個(gè)結(jié)論是正確的： 偶函數(shù)在區(qū)間（）上的取值范圍與在區(qū)間上的取值范圍是相同的； 周期函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的取值范圍也就是在定義域上的值域，由此可求函數(shù)的值域?yàn)開(kāi).【答案】【解析】【分析】先閱讀題意，再將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域，再利用輔助角公式求函數(shù)的值域即可得解.【詳解】解：因?yàn)榈闹芷跒椋覟榕己瘮?shù)，則由題意可得：的值域即為的值域，又，又因?yàn)?，所以，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值，又 ，則函數(shù)最小值為2，即函數(shù)的值域?yàn)?，即函?shù)的值域?yàn)?，故答案為?【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，考查了三角函數(shù)值域的求法，屬中檔題.12.定義在實(shí)數(shù)集上的偶函數(shù)滿足，則_.【答案】【解析】【分析】先由已知可得，再構(gòu)造，然后可得函數(shù)的周期性和奇偶性，再利用函數(shù)的性質(zhì)得，再求解即可.【詳解】解：因?yàn)?，所以，即，即，令，則，可得函數(shù)的周期為2，所以，又為偶函數(shù)，則為偶函數(shù)，又因?yàn)椋?，即，即，解得，又，即，即，故答案為?【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性及周期性，重點(diǎn)考查了函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬難度較大的題型.二、 選擇題13.已知，則“” 是“”的（ ）a. 充分不必要條件b. 必要不充分條件c. 充要條件d. 非充分非必要條件【答案】a【解析】【分析】由的平方關(guān)系：運(yùn)算即可得解.【詳解】解：由，當(dāng) “”時(shí) 可得“”，當(dāng)“”時(shí)可得“”，即“” 是“”的充分不必要條件，故選a.【點(diǎn)睛】本題考查了的平方關(guān)系，重點(diǎn)考查了充分必要條件的判定，屬基礎(chǔ)題.14.某班有20名女生和19名男生，從中選出5人組成一個(gè)垃圾分類宣傳小組，要求女生和男生均不少于2人的選法共有（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】從中選出5人組成一個(gè)垃圾分類宣傳小組，要求女生和男生均不少于2人，分選出的5人為2女3男，和3女2男兩種情況討論即可.【詳解】解：從中選出5人組成一個(gè)垃圾分類宣傳小組，要求女生和男生均不少于2人，當(dāng)選出的5人為2女3男時(shí)，共有不同選法為種，當(dāng)選出的5人為3女2男時(shí)，共有不同選法為種，即從中選出5人組成一個(gè)垃圾分類宣傳小組，要求女生和男生均不少于2人的選法共有種，故選：d.【點(diǎn)睛】本題考查了排列組合中的分類原理，重點(diǎn)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬基礎(chǔ)題.15.已知二面角是直二面角，為直線，為平面，則下列命題中真命題為（ ）a. 若，則b. 若，則c. 若，則d. 若，則【答案】d【解析】【分析】由二面角是直二面角，則，再結(jié)合空間中的線面關(guān)系，線線關(guān)系，線面垂直、平行的性質(zhì)定理，判定定理 判斷即可得解.【詳解】解：對(duì)于選項(xiàng)a，若，則與相交或或，即a錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)b，若，則或，即b錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)c，若，則與相交或或，即c錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)d，若，則，即d正確，故選：d.【點(diǎn)睛】本題考查了空間線線、線面、面面關(guān)系，重點(diǎn)考查了空間想象能力，屬基礎(chǔ)題.16.記有限集合中元素的個(gè)數(shù)為，且，對(duì)于非空有限集合、，下列結(jié)論： 若，則； 若，則； 若，則、中至少有個(gè)是空集； 若，則；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ ）a. 1b. 2c. 3d. 4【答案】b【解析】【分析】先閱讀題意，取特例 ,可得錯(cuò)誤，由集合中元素的互異性可得正確.【詳解】解：對(duì)于，取 ,滿足，但不滿足，即錯(cuò)誤；對(duì)于，因?yàn)?，由集合中元素的互異性可得，即正確；對(duì)于，取 , 滿足，但不滿足、中至少有個(gè)是空集，即錯(cuò)誤；對(duì)于，則集合中無(wú)公共元素，則，即正確；綜上可得正確，故選：b.【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)新定義的理解及集合元素的互異性，重點(diǎn)考查了集合交集、并集的運(yùn)算，屬中檔題.三、解答題17.在正三棱柱中，分別為棱，的中點(diǎn)，去掉三棱錐得到一個(gè)多面體，已知，.（1）求多面體的體積；（2）求異面直線與所成角的大小.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由，再結(jié)合棱錐與棱柱的體積公式求解；（2）由平行線的傳遞性可得（或其補(bǔ)角）為異面直線與所成角，然后在中求解即可.【詳解】解：（1）由圖可知,故多面體的體積為； （2）因?yàn)? ,所以,則（或其補(bǔ)角）為異面直線與所成角，在中， ,則 ,即，故異面直線與所成角的大小為.【點(diǎn)睛】本題考查了棱錐與棱柱的體積公式及異面直線所成角的求法，重點(diǎn)考查了異面直線所成角的作法，屬中檔題.18.上海市生活垃圾管理?xiàng)l例于2019年7月1日正式實(shí)施，某小區(qū)全面實(shí)施垃圾分類處理，已知該小區(qū)每月垃圾分類處理量不超過(guò)300噸，每月垃圾分類處理成本（元）與每月分類處理量（噸）之間的函數(shù)關(guān)系式可近似表示為，而分類處理一噸垃圾小區(qū)也可以獲得300元的收益.（1）該小區(qū)每月分類處理多少噸垃圾，才能使得每噸垃圾分類處理的平均成本最低；（2）要保證該小區(qū)每月的垃圾分類處理不虧損，每月的垃圾分類處理量應(yīng)控制在什么范圍？【答案】（1）200噸；（2）.【解析】【分析】（1）先列出每噸垃圾分類處理的平均成本關(guān)于分類處理量的函數(shù)關(guān)系，再結(jié)合重要不等式求最值即可，再運(yùn)算取等的條件；（2）先列出每月獲利元與分類處理量的函數(shù)關(guān)系，再求解即可得解.【詳解】解：（1）由題意可知，每噸垃圾分類處理的平均成本為月處理成本除以月處理量，即，又 ，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故時(shí)，才能使得每噸垃圾分類處理的平均成本最低； （2）設(shè)該小區(qū)每月獲利為元，則該小區(qū)每月獲利為月分類處理垃圾的利潤(rùn)減去月處理成本， 令，解得，又，即，故要保證該小區(qū)每月的垃圾分類處理不虧損，每月的垃圾分類處理量應(yīng)控制在.【點(diǎn)睛】本題考查了重要不等式的應(yīng)用及二次不等式的解法，重點(diǎn)考查了閱讀理解能力，屬中檔題.19.已知是實(shí)常數(shù)，函數(shù).（1）若，求證：函數(shù)是減函數(shù)；（2）討論函數(shù)的奇偶性，井說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）當(dāng)，偶函數(shù)；當(dāng)，奇函數(shù)，當(dāng)，非奇非偶函數(shù).【解析】【分析】（1）利用定義法，設(shè)，證明，即可得函數(shù)為減函數(shù)；（2）分別討論的值，觀察或是否恒成立.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)， 設(shè)， 則，又，即 ，即，即，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)；（2）由（1）可得，函數(shù)的定義域?yàn)椋?因?yàn)?，所以，則，顯然當(dāng)時(shí)，即，即函數(shù)為奇函數(shù)，則，顯然當(dāng)時(shí)，即，即函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)且時(shí)，且，即函數(shù)為非奇非偶函數(shù).故當(dāng)時(shí)，即函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)且時(shí)，函數(shù)為非奇非偶函數(shù).【點(diǎn)睛】本題考查了利用定義法判斷函數(shù)的增減性及判斷函數(shù)的奇偶性，屬中檔題.20.如圖是函數(shù)一個(gè)周期內(nèi)的圖象，將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象.（1）求函數(shù)和的解析式；（2）若，求的所有可能的值；（3）求函數(shù)（為正常數(shù)）在區(qū)間內(nèi)的所有零點(diǎn)之和.【答案】（1），；（2）或1；（3）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，171.【解析】【分析】（1）由三角函數(shù)圖象求得，再由三角函數(shù)圖象的平移可得；（2）由，解得或,再求解即可；（3）先解得，再討論與1的大小關(guān)系，再解三角方程，結(jié)合正弦函數(shù)圖象的對(duì)稱性求各零點(diǎn)之和即可.【詳解】解：（1）由圖可知,即，即，則，又，又，所以，故，將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得函數(shù)解析式為，再把所得圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則，即，；（2）當(dāng)，即，解得即或,即或或（）當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故的所有可能的值為或1；（3）令，即，即，解得，又因?yàn)?，又，所?，當(dāng)時(shí)，由函數(shù)的對(duì)稱軸方程可得在，()有兩個(gè)解，且兩解之和,則在根之和為，當(dāng) ，即時(shí)，方程無(wú)解，當(dāng) ，即時(shí)，方程的解為 ，(),則在的根之和為，當(dāng) ，即時(shí)，方程在，()有兩個(gè)解，且兩解之和,則在的根之和為，綜上可得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的所有零點(diǎn)之和為. 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的所有零點(diǎn)之和為. 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的所有零點(diǎn)之和為.【點(diǎn)睛】本題考查了利用三角函數(shù)圖象求解析式、三角函數(shù)圖象的平移及解三角方程，重點(diǎn)考查了三角函數(shù)圖象的性質(zhì)，屬難度較大的題型.21.對(duì)于定義在上的函數(shù)，如果存在兩條平行直線與，使得對(duì)于任意，都有恒成立，那么稱函數(shù)是帶狀函數(shù)，若，之間的最小距離存在，則稱為帶寬.（1）判斷函數(shù)是不是帶狀函數(shù)？如果是，指出帶寬（不用證明）；如果不是，說(shuō)明理由；（2）求證：函數(shù)（）是帶狀函數(shù)；（3）求證：函數(shù)（）為帶狀函數(shù)的充要條件是.【答案】（1）是，帶寬；（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）先理解帶狀函數(shù)的特征，再求函數(shù)的值域即可得解；（2）由函數(shù)，（）的圖像表示雙曲線 在第一象限的部分，再結(jié)合雙曲線的漸近線即可找出兩平行直線；（3）由分段函數(shù)的圖像特征，結(jié)合帶狀函數(shù)的定義，分別證明充分