不定積分求解方法及技巧小匯總

不定積分求解方法及技巧小匯總摘要：總結(jié)不定積分基本定義，性質(zhì)和公式，求不定積分的幾種基本方法和技巧，列舉個(gè)別典型例子，運(yùn)用技巧解題。一 不定積分的概念與性質(zhì)定義1 如果F（x）是區(qū)間I上的可導(dǎo)函數(shù)，并且對(duì)任意的xI，有F(x)=f(x)dx則稱F（x）是f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)。定理1（原函數(shù)存在定理）如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，那么f(x)在區(qū)間I上一定有原函數(shù)，即存在可導(dǎo)函數(shù)F（x），使得F（x）=f(x)（xI）簡(jiǎn)單的說就是，連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)定理2 設(shè)F（x）是f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)，則（1） F（x）+C也是f(x)在區(qū)間I上的原函數(shù)，其中C是任意函數(shù)；（2） f(x)在I上的任意兩個(gè)原函數(shù)之間只相差一個(gè)常數(shù)。定義2 設(shè)F（x）是f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)，那么f(x)的全體原函數(shù)F（x）+C稱為f(x)在區(qū)間I上的不定積分，記為f(x)d(x),即f(x)d(x)=F(x)+C其中記號(hào)稱為積分號(hào)，f(x)稱為被積函數(shù)，f(x)d(x)稱為被積表達(dá)式，x稱為積分變量，C稱為積分常數(shù)。性質(zhì)1 設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)存在原函數(shù)，則f(x)g(x)dx=f(x)dxg(x)dx.性質(zhì)2 設(shè)函數(shù)f(x)存在原函數(shù)，k為非零常數(shù)，則kf(x)dx=kf(x)dx.二 換元積分法的定理如果不定積分g(x)dx不容易直接求出，但被積函數(shù)可分解為g(x)=f(x) (x).做變量代換u=(x),并注意到（x）dx=d(x),則可將變量x的積分轉(zhuǎn)化成變量u的積分，于是有g(shù)(x)dx=f(x) (x)dx=f(u)du.如果f(u)du可以積出，則不定積分g(x)dx的計(jì)算問題就解決了，這就是第一類換元法。第一類換元法就是將復(fù)合函數(shù)的微分法反過來用來求不定積分。定理1 設(shè)F(u)是f(u)的一個(gè)原函數(shù)，u=(x)可導(dǎo)，則有換元公式f(x) (x)dx=f(u)du=F(u)+C=F(x)+C.第一類換元法是通過變量代換u=(x),將積分f(x) (x)dx化為f(u)du.但有些積分需要用到形如x=(t)的變量代換，將積分f(x)dx化為f(t) (t).在求出后一積分之后，再以x=(t)的反函數(shù)t=(X)帶回去，這就是第二類換元法。即 f(x)dx=f(t) (t)dt.為了保證上式成立，除被積函數(shù)應(yīng)存在原函數(shù)之外，還應(yīng)有原函數(shù)t=（x）存在的條件，給出下面的定理。定理2 設(shè)x=(t)是單調(diào)，可導(dǎo)的函數(shù)，并且（t）0.又設(shè)f(t) (t)具有原函數(shù)F（t）,則f(x)dx=f(t) (t)dt=F(t)+C=F(x)+C 其中（x）是x=（t）的反函數(shù)。三 常用積分公式1 基本積分公式（1）kdx=kx+C(k是常數(shù))； （2）xdx=+C(u-1);（3）=ln+C； （4）=arctanx+C; (5) =arcsinx+C; (6) cosxdx=sinx+C; (7) sinxdx=-cosx+C ; (8) =secxdx=tanx+C; (9) =cscxdx=-cotx+C; (10) secxtanxdx=secx+C; (11) cscxcotxdx=-cscx+C; (12) edx= e+C; (13) adx= e+C; (14) shxdx=chx+C; (15) chxdx=shx+C. (16) tanxdx=-ln+C; (17) cotxdx=ln+C; (18) secxdx=ln+C; (19)cscxdx=ln+C; (20) =+C; (21) =arcsin+C; (22) =ln(x+C; (23) =ln+C.2.湊微分基本類型四 解不定積分的基本方法四求不定積分的方法及技巧小匯總1. 利用基本公式。（這就不多說了）2. 第一類換元法。（湊微分）設(shè)f()具有原函數(shù)F()。則其中可微。用湊微分法求解不定積分時(shí)，首先要認(rèn)真觀察被積函數(shù)，尋找導(dǎo)數(shù)項(xiàng)內(nèi)容，同時(shí)為下一步積分做準(zhǔn)備。當(dāng)實(shí)在看不清楚被積函數(shù)特點(diǎn)時(shí)，不妨從被積函數(shù)中拿出部分算式求導(dǎo)、嘗試，或許從中可以得到某種啟迪。如例1、例2：例1：【解】例2：【解】3. 第二類換元法：設(shè)是單調(diào)、可導(dǎo)的函數(shù)，并且具有原函數(shù)，則有換元公式第二類換元法主要是針對(duì)多種形式的無理根式。常見的變換形式需要熟記會(huì)用。主要有以下幾種：4. 分部積分法.公式：分部積分法采用迂回的技巧，規(guī)避難點(diǎn)，挑容易積分的部分先做，最終完成不定積分。具體選取時(shí)，通?；谝韵聝牲c(diǎn)考慮：（1） 降低多項(xiàng)式部分的系數(shù)（2） 簡(jiǎn)化被積函數(shù)的類型舉兩個(gè)例子吧！例3：【解】觀察被積函數(shù)，選取變換,則例4：【解】上面的例3，降低了多項(xiàng)式系數(shù)；例4，簡(jiǎn)化了被積函數(shù)的類型。有時(shí)，分部積分會(huì)產(chǎn)生循環(huán)，最終也可求得不定積分。在中，的選取有下面簡(jiǎn)單的規(guī)律：將以上規(guī)律化成一個(gè)圖就是：（axarcsinx）（lnxPm(x)sinx)但是，當(dāng)時(shí)，是無法求解的。對(duì)于（3）情況，有兩個(gè)通用公式：5. 幾種特殊類型函數(shù)的積分。（1） 有理函數(shù)的積分有理函數(shù)先化為多項(xiàng)式和真分式之和，再把分解為若干個(gè)部分分式之和。（對(duì)各部分分式的處理可能會(huì)比較復(fù)雜。出現(xiàn)時(shí)，記得用遞推公式：）例5：【解】故不定積分求得。（2）三角函數(shù)有理式的積分萬能公式：的積分，但由于計(jì)算較煩，應(yīng)盡量避免。對(duì)于只含有tanx（或cotx）的分式，必化成。再用待定系數(shù) 來做。（3） 簡(jiǎn)單無理函數(shù)的積分一般用第二類換元法中的那些變換形式。像一些簡(jiǎn)單的，應(yīng)靈活運(yùn)用。如：同時(shí)出現(xiàn)時(shí)，可令；同時(shí)出現(xiàn)時(shí)，可令；同時(shí)出現(xiàn)時(shí)，可令x=s