2020屆高考數(shù)學復習 第107-110課時 第十四章 復數(shù)-復數(shù)的代數(shù)形式及其運算名師精品教案

第107-110課時：第十四章 復數(shù)復數(shù)的代數(shù)形式及其運算課題：復數(shù)的代數(shù)形式及其運算一教學目標：掌握復數(shù)的基本題型，主要是討論復數(shù)的概念，復數(shù)相等，復數(shù)的幾何表示，計算復數(shù)模，共軛復數(shù)，解復數(shù)方程等。二教學重點：復數(shù)的幾何表示，計算復數(shù)模，共軛復數(shù)，解復數(shù)方程等。三教學過程：（一）主要知識：1共軛復數(shù)規(guī)律，；2復數(shù)的代數(shù)運算規(guī)律（1）i=1，i=i，i=1，i=i；（3）iiii=1，iiii=0；3輻角的運算規(guī)律（1）Arg（zz）ArgzArgz（3）Arg=nArgz（nN），n1。或zR。要條件是|z|a|。（6）zz0，則4根的規(guī)律：復系數(shù)一元n次方程有且只有n個根，實系數(shù)一元n次方程的虛根成對共軛出現(xiàn)。5求最值時，除了代數(shù)、三角的常規(guī)方法外，還需注意幾何法及不等式|z|z|zz|z|+|z|的運用。即|zz|z|+|z|等號成立的條件是：z，z所對應的向量共線且同向。|zz|z|z|等號成立的條件是：z，z所對立的向量共線且異向。（二）范例分析.2020年高考數(shù)學題選1.（2020高考數(shù)學試題（浙江卷，6）已知復數(shù)z1=3+4i, z2=t+i, 且是實數(shù)，則實數(shù)t=( )A B C- D-2.(2020年北京春季卷，2)當時，復數(shù)在復平面上對應的點位于 （ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3.(2020年北京卷，2）滿足條件的復數(shù)在復平面上對應點的軌跡是( C )A一條直線 B兩條直線 C圓 D橢圓.主要的思想方法和典型例題分析：1化歸思想復數(shù)的代數(shù)、幾何、向量及三角表示，把復數(shù)與實數(shù)、三角、平面幾何和解析幾何有機地聯(lián)系在一起，這就保證了可將復數(shù)問題化歸為實數(shù)、三角、幾何問題。反之亦然。這種化歸的思想方法應貫穿復數(shù)的始終?！痉治觥窟@是解答題，由于出現(xiàn)了復數(shù)和，宜統(tǒng)一形式，正面求解。解法一、設zxyi（x，yR），原方程即為用復數(shù)相等的定義得：=1，=1+3i.兩邊取模，得：整理得 解得 或代入式得原方程的解是=1，=1+3i.【例2】（1993全國理）設復數(shù)z=cosisin（0【解】zcos+isin=cos4isin4即，又0，當時，或【說明】此題轉化為三角問題來研究，自然、方便?！纠?】設a，b，x，yR+，且（r0），求證：分析令=ax+byi，=bx+ayi（a，b，x，yR+），則問題化歸為證明：|+|r（a+b）。證明設=ax+byi，=bxayi（a，b，x，yR+），則=|（a+b）x+（ab）yi|=|（ab）（x+yi）|（ab）r。解如圖所示，設點Q，P，A所對應的復數(shù)為：即（x3a+yi）（i）（x3a+yi）由復數(shù)相等的定義得而點（x，y）在雙曲線上，可知點P的軌跡方程為【說明】將復數(shù)問題化歸為實數(shù)、三角、幾何問題順理成章，而將實數(shù)、三角、幾何問題化歸為復數(shù)問題，就要有較強的聯(lián)想能力和跳躍性思維能力，善于根據(jù)題設構造恰到好處的復數(shù)，可使問題迎刃而解。2分類討論思想分類討論是一種重要的解題策略和方法。在復數(shù)中它能使復雜的問題簡單化，從而化整為零，各個擊破。高考復數(shù)考題中經(jīng)常用到這種分類討論思想方法。【例5】（1990全國理）設a0，在復數(shù)集C中解方程z2|z|=a。分析一般的思路是設z=xyi（x，yR），或z=r（cosisin），若由z2|z|=a轉化為z=a2|z|，則zR。從而z為實數(shù)或為純虛數(shù)，這樣再分別求解就方便了。總之，是一個需要討論的問題?！窘狻拷夥ㄒ粃=a2|z|R，z為實數(shù)或純虛數(shù)。問題可分為兩種情況：（1）若zR，則原方程即為|z|+2|z|a=0，（2）若z為純虛數(shù)，設z=yi（yR且y0），則原方程即為|y|2|y|a=0當a=0時，|y|=2即z=2i。當0a1時，當a1時，方程無實數(shù)解，即此時原方程無純虛數(shù)解。綜上所述，原方程：當a=0時，解為z0或z=2i解法二設z=xyi，x，yR，將原方程轉化為3數(shù)形結合思想數(shù)與形是數(shù)學主要研究內容，兩者之間有著緊密的聯(lián)系和互相滲透、互相轉化的廣闊前景，復平面的有關試題正是它的具體表現(xiàn)。運用數(shù)形結合思想與方法解題是高考考查的熱點之一，應引起注意。【例6】已知|z|=1，且z+z1，求z。【解】由z+z=1聯(lián)想復數(shù)加法的幾何性質，不難發(fā)現(xiàn)z，z，1所對應的三點A，B，C及原點O構成平行四邊形的四個頂點，如圖所示，【說明】這樣巧妙地運用聯(lián)想思維，以數(shù)構形，以形思數(shù)，提煉和強化數(shù)形結合的思想方法，有利于培養(yǎng)學生思維的深刻性。【例7】復平面內點A對應復數(shù)z，點B對應復數(shù)為，O為原點，AOB是面積為的直角三角形，argz(0，)，求復數(shù)z的值xOABy圖1【分析】哪一個角為直角，不清楚，需要討論【解】因|OA|=|z|=|OB|，故A不可能是直角，因而可能AOB=90或ABO=90xOABy圖2若AOB=90，示意圖如圖1所示因z與所對應的點關于實軸對稱，故argz=45,SAOB=|OA|OB|=|z|=|z|2=于是，|z|=2，從而，z=2(cos45+isin45)=+i若ABO=90，示意圖如圖2所示因z與所對應的點關于實軸對稱，且AOB90，故argz=45令z=r(cos+isin)，則cos2=，sin2=，SAOB=|OA|OB|sin2=rr=r2=于是，r=又cos=，sin=，故z=(+i)=2+i綜上所述，z=+i或z=2+i【說明】解題關鍵點：正確地對直角的情況進行分類討論，正確地理解復數(shù)的幾何意義，作出滿足條件的示意圖解題規(guī)律：復數(shù)的幾何意義來源于復數(shù)z=a+bi(a、bR)與復平面上的點(a，b)之間的一一對應，它溝通了復數(shù)與解析幾何之間的聯(lián)系，是數(shù)形結合思想的典型表示解題技巧：復數(shù)z與它的共軛復數(shù)在復平面內對應的向量關于實軸對稱這樣巧妙地以形譯數(shù)，數(shù)形結合，不需要計算就解決了問題，充分顯示了數(shù)形結合的思想方法在解題中的作用。4集合對應思想【例8】如圖所示，在復平面內有三點P，P，P對應的復數(shù)應的復數(shù)為a，2a，3a，且它們有相同的輻角主值（如圖所示），即A，P，P，P共線。從而2sin2因此有a=2i。5整體處理思想解復數(shù)問題中，學生往往不加分析地用復數(shù)的代數(shù)形式或三角形式解題。這樣常常給解題帶來繁瑣的運算，導致解題思路受阻。因此在復數(shù)學習中，有必要提煉和強化整體處理的思想方法，居高臨下地把握問題的全局，完善認識結構，獲得解題的捷徑，從而提高解題的靈活性及變通性。【例9】已知z=2i，求z3zz+5z2的值?！痉治觥咳绻苯哟耄@然比較困難，將z用三角式表示也有一定的難度。從整體角度思考，可將條件轉化為（z2）=（i）=1，即z4z+4=1，即z4z+5=0，再將結論轉化為z3zz+5z2=（z4z5）（zz）+2，然后代入就不困難了?！窘狻縵=2i，（z2）=（i）=1即z4z+5=0z3zz+5z2=（z4z+5）（zz）+2=2?！纠?0】已知，求。【解】解由條件得【說明】把題中一些組合式子視作一個“整體”，并把這個“整體”直接代入另一個式子，可避免由局部運算帶來的麻煩。【例11】復平面上動點z的軌跡方程為：|zz|z|，z0，另一動點z滿足zz=1，求點z的軌跡。解由|zz|z|，知點z的軌跡為連結原點O和定點z的線段的垂直平分線。將此式整體代入點z1的方程，得的圓（除去原點）?！纠?2】設zc，a0，解方程z|z|azi=0。邊取模，得【說明】解復數(shù)方程，可通過整體取模，化為實數(shù)方程求解。綜上所述，解答復數(shù)問題，應注意從整體上去觀察分析題設的結構特征，挖掘問題潛在的特殊性和簡單性，充分利用復數(shù)的有關概念、共軛復數(shù)與模的性質、復數(shù)的幾何意義以及一些變形技巧，對問題進行整體化處理，可進一步提高靈活、綜合應用知識的能力。6有關最值問題的多角度思考【例13】復數(shù)z滿足條件|z|=1，求|2zz+1|的最大值和最小值。解法一|z|=1，z=cosisin|2zz+1|=|2（cosisin）（cosisin）1|=|（2cos2cos1）（2sin2sin）i|2zz+1|=|2zz+|設z的實部為a，則1a1|2zz+1|=|2az1|，|2zz+1|=4解法三：設=x+yi（x，yR），z=abi（a，br）且a+b=1，這說明對應的點是如圖所示的橢圓，問題轉化為求該橢圓上各點中與原點距離的最大值和最小值。時的圓的半徑。得8x2x89r0， 由相內切條件知=0,解法四由模不等式：|2zz+1|2|z|z|+1=4，等號成立的條件是2z，z，1所對應的向量共線且同向，可知z是負實數(shù)，在|z|=1的條件下，z=-1當z=1時|2zz+1|=4。但另一方面：|2zz+1|2|z|z|1=0，這是顯然成立的，可是這不能由此確定|2zz+1|=0，實際上等號成立的條件應為2z，z，1表示的向量共線且異向，由2z與1對應的向量共線且異向知z=i，但是當z=i時，2z與z不共線，這表明|2zz+1|的最小值不是0。以上這種求最小值的錯誤想法和解法是學生易犯的錯誤，此部分內容既為重點也為難點，應向學生強調說明，并舉例，切記取等號的條件?！纠?4】2001年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(理18)已知復數(shù)z1i(1i)3()求argz1及|z|；()當復數(shù)z滿足|z|1，求|zz1|的最大值【分析】本小題考查復數(shù)的基本性質和基本運算，以及分析問題和解決問題的能力【解】()，|z1|()設，則當時，取得最大值，從而得到的最大值為四課后作業(yè)：1、下列命題中正確的是 A方程|z+5|z5i|=8的圖形是雙曲線B方程|z+5|=8的圖形是雙曲線C方程|z+5i|z5i|=8的圖形是雙曲線的兩支D方程|z+5i|z5i|=8的圖形是雙曲線靠近焦點F(0，5)的一支2、方程的圖形是 A圓 B橢圓 C雙曲線 D直線3、在復平面上繪出下列圖形：4、已知是虛數(shù)，是實數(shù)。(1)求z對應復平面內動點A的軌跡；(2)設u=3iz+1，求u對應復平面內動點B的軌跡；（3）設，求對應復平面內動點C的軌跡。5、設A，B，C三點對應的復數(shù)分別為z，z，z滿足(1)證明：ABC是內接于單位圓的正三角形；(2)求SABC；6、若，求所對應的點A的集合表示的圖形，并求其面積7設z1，z2是兩個虛數(shù)，且z1+z2=-3，|z1|+|z2|=4若1=argz1，2=argz2，求cos(1-2)的最大值8（2020年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（上海理17）已知復數(shù)z1=cosi，z2=sin+i，求|z1z2|的最大值和最小值.四、專題訓練參考答案1、解：DA的圖形是直線，B的圖形是圓，C是圖形是雙曲線的一去故選D|z+5i|-|z-5i|=8才是雙曲線的兩支2、解：A原方程即|z(2+i)|=7故選A3、解：4、解：（1）因為z是虛數(shù)，所以，于是，即，且，因此動點A軌跡是中心在原點，半徑等于2的圓，但去掉兩個點(2，0)與(2，0)(2)由u=3iz+1得u1=3iz由(1)及題設知|z|=2，z2，所以|u1|=6，且u16i因此動點B的軌跡是圓，中心在(1，0)，半徑等于6，但去掉兩點(1，6)與(1，6)(3)設z=2(cos+isin)，(0，)則再令v=x+yi(x，yR)，則5、解：(1)由(ii)知A，B，C三點都在單位圓上再結合(i)得z=(z+z