一線名師指點(diǎn)07年高考數(shù)學(xué)同步輔導(dǎo)第33講算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)VIP

一線名師指點(diǎn)07年高考數(shù)學(xué)同步輔導(dǎo)第33講算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)【考點(diǎn)回放】1常用的基本不等式和重要的不等式（1） 當(dāng)且僅當(dāng)（2）（3），則（4）2最值定理:設(shè)（1）如積（2）如積即:積定和最小，和定積最大運(yùn)用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等3 均值不等式:兩個正數(shù)的均值不等式：三個正數(shù)的均值不等是：n個正數(shù)的均值不等式：4四種均值的關(guān)系：兩個正數(shù)的調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、算術(shù)平均數(shù)、均方根之間的關(guān)系是不等式這部分知識，滲透在中學(xué)數(shù)學(xué)各個分支中，有著十分廣泛的應(yīng)用因此不等式應(yīng)用問題體現(xiàn)了一定的綜合性、靈活多樣性，這對同學(xué)們將所學(xué)數(shù)學(xué)各部分知識融會貫通，起到了很好的促進(jìn)作用在解決問題時，要依據(jù)題設(shè)、題斷的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系、選擇適當(dāng)?shù)慕鉀Q方案，最終歸結(jié)為不等式的求解或證明不等式的應(yīng)用范圍十分廣泛，它始終貫串在整個中學(xué)數(shù)學(xué)之中諸如集合問題，方程(組)的解的討論，函數(shù)單調(diào)性的研究，函數(shù)定義域的確定，三角、數(shù)列、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何中的最大值、最小值問題，無一不與不等式有著密切的聯(lián)系，許多問題，最終都可歸結(jié)為不等式的求解或證明【考點(diǎn)解析】1.設(shè)x0，y0，且xy（x+y）=1，則A.x+y2+2B.x+y2+2C.x+y（+1）2D.x+y（+1）2解析：x0，y0，xy（）2.由xy（x+y）=1得（）2（x+y）1.x+y2+2.答案：B2.已知x、yR，M=x2+y2+1，N=x+y+xy，則M與N的大小關(guān)系是A.MNB.MNC.M=ND.不能確定解析：MN=x2+y2+1（x+y+xy）=（x2+y22xy）+（x22x+1）+（y22y+1）=（xy）2+（x1）2+（y1）20.答案：A3.設(shè)a0，b0，a2+=1，則a的最大值是_.解析：a2+=1a2+=.a=a=.答案：4.若記號“”表示求兩個實(shí)數(shù)a和b的算術(shù)平均數(shù)的運(yùn)算，即ab=，則兩邊均含有運(yùn)算符號“”和“+”，且對于任意3個實(shí)數(shù)a、b、c都能成立的一個等式可以是_.解析：ab=，ba=，ab+c=ba+c.答案：ab+c=ba+c.思考：對于運(yùn)算“”分配律成立嗎?即a（b+c）=ab+ac.答案：不成立5（2020江蘇卷）設(shè)a、b、c是互不相等的正數(shù)，則下列等式中不恒成立的是（A）（B）（C）（D）【思路點(diǎn)撥】本題主要考查.不等式恒成立的條件，由于給出的是不完全提干，必須結(jié)合選擇支，才能得出正確的結(jié)論?！菊_解答】運(yùn)用排除法，C選項(xiàng)，當(dāng)a-b0，且滿足的最小值是 .5.若a、b為實(shí)數(shù), 且a+b=2, 則3a+3b的最小值為 A 18 B 6 C 2 D 26.若正數(shù)a、b滿足aba+b+3，則ab的取值范圍是_。7.設(shè)p+q=1, p0, q0, 則不等式logxpq1成立的一個充分條件是 A 0x B x C x18.設(shè)M=, 且a+b+c=1(其中a、b、cR), 則M的取值范圍是D9函數(shù)的最大值是9，最小值是1，則a，b的值是（ ）A5，5B2，2C5，2D2，5【題型講解】例1 設(shè)a0 ，b0 則下列不等式中不成立的是（）Aa+b+2 B (a+b)( +)4C a+b D 解法一：由于是選擇題，可用特值法，如取a=4,b=1, 代入各選項(xiàng)中的不等式，易判斷不成立解法二：可逐項(xiàng)使用均值不等式判斷 Aa+b+2+2=2，不等式成立 Ba+b20, +20,相乘得: (a+b)( +)4成立 C a2+b2=(a+b)22ab(a+b)22()2=()2 又a+b 成立 D a+b2,=,即不成立故選D例2 今有一臺壞天平,兩臂長不等,其余均精確,有人說要用它稱物體的重量,只需將物體放在左右托盤各稱一次,則兩次稱量結(jié)果的和的一半就是物體的真實(shí)重量,這種說法對嗎?并說明你的結(jié)論解:不對設(shè)左、右臂長分別是 ,物體放在左、右托盤稱得重量分別為真實(shí)重量為為G，則由杠桿平衡原理有： ， 得G2=, G=由于，故 ,由平均值不等式 知說法不對真實(shí)重量是兩次稱量結(jié)果的幾何平均值 點(diǎn)評:本小題平均值不等, 杠桿平衡原理知識、數(shù)學(xué)化能力及分析問題、解決問題的能力，屬跨學(xué)科（數(shù)學(xué)、物理）的創(chuàng)新問題例3設(shè)x0, y0, x2+=1,則的最大值為分析: x2+=1是常數(shù), x2與的積可能有最大值可把x放到根號里面去考慮,注意到x2與1+y2的積,應(yīng)處理成2 x2解法一: x0, y0, x2+=1 =當(dāng)且僅當(dāng)x=,y=(即x2= )時, 取得最大值解法二: 令(0) 則=cos=當(dāng)=,即=時,x=,y=時，取得最大值例4 若ab0, 求的最小值 分析: 的結(jié)構(gòu)不對稱,關(guān)鍵是的分母(ab)b,而(ab)+b=a, 故問題突破口已顯然! 也可以逐步進(jìn)行：先對b求最小值，然后在對a求最小值 解法一: =(ab)+b2 +22 +=4(ab)b+16 當(dāng)且僅當(dāng)b=(ab)且(ab)b=2,即a=2b=2時取等號,故的最小值為16 解法二: =當(dāng)且僅當(dāng)b=(ab)且,即a=2b=2時取等號,故的最小值為16點(diǎn)評:在運(yùn)用均值不等式求最值時,湊出定值是關(guān)鍵!但在定值的過程中,不一定就能湊出定值來,實(shí)際上,分幾步湊也是可以的,只要每步取等號的條件相同便可例5 若x0,y0,x+y=1, 求證:(1+)(1+)9分析: x+y常數(shù),xy可有最大值證法一: 左邊(1+)(1+)=1+=1+=1+1+=9右邊 (當(dāng)且僅當(dāng)x=y=時取“=”號)證法二： 令x= y=, 0左邊(1+)(1+)=(1+)(1+)=1+=1+=1+1+8=9右邊 020)逆用為ab()2 （a,b0）等還要注意“添拆項(xiàng)”技巧和公式等號成立的條件等3在用均值定理解決實(shí)際問題時,要理解題意,設(shè)變量時要把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù),建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式,在定義域內(nèi),求出函數(shù)的最大值或最小值【基礎(chǔ)演練】1 設(shè)a、b0,ab=1, 試比較大?。?2(填“”,“”或“=”)答案：2 比較大?。喝鬭b0, 則 (填“”,“2 若x, yR+, 且xy=s, xy=p, 則下列命題中正確的是（ ）A 當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，s有最小值2 B當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，p有最大值 C當(dāng)且僅當(dāng)p為定值時，s有最小值2 D若s為定值，則當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，p有最大值答案：D4 若x, yR+, xy4,則下列不等式中成立的是（ ） A B1 C 2 D1答案：B 提示：2215 下列說法中不正確的是（ ） A由a、bR，可得a2b22ab(a2b2) B對于命題“a、bR+”,把條件改為a、b均為非負(fù)數(shù)后依然成立 C若ab0, nZ, n1,則ab D若a、b、cR+，則答案：D提示：=6 下列不等式中恒成立的是（ ）Actgtg2 Bx12 C2 Dxyz (xyz=1)答案：B7 當(dāng)xR+ 時可得到不等式x2, x= 3, 由此可以推廣為xn1, 取值p等于（ ） Ann Bn 2 Cn Dn1答案：A 提示：xn1，p= nn8 x、y0, xy=1, 且 a恒成立, 則a的最小值為（ ） A/2 B2 C2 D答案：D 提示：2=9 在區(qū)間(0, +)上，當(dāng)x= 時，函數(shù)y=3x有最小值 答案：2；9 提示：y=3x3=9, 10 函數(shù)y=m2的值域?yàn)?答案：1, +)提示：y=m2= y=(m21)1211 已知x、y、z0,且xyz=1, 則的最大值為 ； 最小值為 答案：；112 已知：abc=1, a2b2c2=1, 且abc,則ab的取值范圍是 ；a2b2 的取值范圍是 答案：(1, )；(, 1)13 若a1, b1, c1, ab=10，求證：log aclog bc4lgc, 并指出什么時候等號成立答案：a=b=時等號成立 提示：a1, b1, c1, ab=10, log aclog bc=lgclgc=4lgc, 當(dāng)lga=lgb時,即a=b=時等號成立14 若a0, b0，且=1, 求證：(I) ab4; (II) 對于一切nN, (ab)nanbn22n2n1成立提示：(I) =1, ab=()(ab)=114, (II) 當(dāng)n=1時, 左式0，右式0，n=1時成立，假設(shè)n=k時成立，即(ab)kakbk22k2k1, 則當(dāng)n=k1時，(ab)k1ak1bk1=(ab) (ab)kak1bk1(ab)(akbk22k2k1) ak1bk1=abkbak(ab)(22k2k1)22k1422k42k1=22k22k2, n=k1時命題成立【實(shí)戰(zhàn)演練】1.設(shè)a0, b0，則以下不等式中不恒成立的是 ( ) （A）4 （B）（C） （D）2.若函數(shù)f(x)、g(x)的定義域和值域?yàn)镽, 則f(x)g(x)(xR)成立的充要條件是 ( )A 有一個xR, 使得f(x)g(x) B 有無窮多個xR, 使得f(x)g(x) C 對R中的x都有f(x)g(x)+1 D R中不存在x,使得f(x)g(x)3.已知02a1,若A=1+a2, B=, 則A與B的大小關(guān)系是 . Ab+c,5若0,已知下列不等式:a+b|b| a2,其中正確的不等式的序號為 . ,6.已知、是實(shí)數(shù), 給出四個論斷:|+|=|+|; |-|+|; |2,|2; |+|5. 以其中的兩個論斷作為條件, 其余論斷作為結(jié)論, 寫出你認(rèn)為正確的一個命題 .14. 或.7.若f(x)()x，a、bR，Af()，Gf()，Hf()，則A、G、H的大小關(guān)系為A.AGHB.AHGC.HGAD.GHA8.若0ab1，則logab，logba，logb之間的大小關(guān)系是_. logblogablogba9、 若m0，且m+n0，則下列不等式中成立的是（ ）CA、-nmn-m B、-nm-mn C、m-nn-m D、m-n-mn 10、 已知，則下列不等式中成立的是B11、 下列不等式中解集為實(shí)數(shù)集R的是（ ）D12、設(shè)則（ ）D13、設(shè)，則中最小的是（ ）C14若為正實(shí)數(shù)，則A，G，H的大小關(guān)系為（ ）AAGHBAHGCHGADGHA15設(shè),若、且，則下列不等式必定成立的是（ ） A B C D16、已知證明：17 已知a、b為正常數(shù)，且滿足+=1，試求正數(shù)x，y的和x+y何時取得最小值，并求出這個最小值. 解：當(dāng)18 在四面體ABCD中，AB=BC=CD=DA=a，AC=BD.當(dāng)AC、BD變化時，求該四面體體積的最大值.解：設(shè)E、F分別為BD、AC之中點(diǎn)，AC=BD=2x，依題設(shè)不難得到AEBD，CEBD，AE=EC.從而BD平面AEC，且EF為AEC邊AC上的高，令當(dāng)且僅當(dāng)a時，四面體有最大體積19、某單位用木料制作如圖所示的框架, 框架的下部是邊長分別為x、y(單位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架圍成的總面積8cm2. 問x、y分別為多少(精確到0.001m) 時用料最省?【解】由題意得 xy+x2=8,y=(0x4). 于定, 框架用料長度為 l=2x+2y+2()=(+)x+4. 當(dāng)(+)x=,即x=84時等號成立. 此時, x2.343,y=22.828. 故當(dāng)x為2.343m,y為2.828m時, 用料最省.20、某工廠擬建一座平面圖為矩形，且面積為200平方米的三級污水處理池（如圖），由于地形限制，長、寬都不能超過16米，如果，四周圍池壁建造單價為每米長400元，中間兩道隔墻建造單價為每米長248元，池底建造單價為每平方米80元，池壁的厚度忽略不計，試設(shè)計污水池的長和寬，使總造價最低，并求出最低造價。 解：設(shè)污水池長為x米，則寬為米 于是總造價 即 注意到 下面研究在上的單調(diào)性， 對任意，且，有 ， 即 在上是減函數(shù) 從而