湖南省長沙市開福區(qū)長沙市第一中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)9月月考試題（含解析）

湖南省長沙市開福區(qū)長沙市第一中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)9月月考試題（含解析）一、選擇題:本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】化簡為的形式，進而求得.【詳解】依題意，故，故選D.【點睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運算，考查復(fù)數(shù)的模的運算，屬于基礎(chǔ)題. 求解與復(fù)數(shù)概念相關(guān)問題的技巧：復(fù)數(shù)的分類、復(fù)數(shù)的相等、復(fù)數(shù)的模，共軛復(fù)數(shù)的概念都與復(fù)數(shù)的實部與虛部有關(guān)，所以解答與復(fù)數(shù)相關(guān)概念有關(guān)的問題時，需把所給復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，即的形式，再根據(jù)題意求解.2.已知集合A=，B=，則()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】寫出集合A中的整數(shù)，然后與集合B取交集，得到答案【詳解】A=中整數(shù)有-1，0，1，2，所以故選B項【點睛】本題考查集合的交集運算，屬于簡單題.3.通過隨機詢問100名性別不同的大學(xué)生是否愛好踢毽子，得到如下的列聯(lián)表：隨機變量經(jīng)計算，統(tǒng)計量K2的觀測值k04.762，參照附表，得到的正確結(jié)論是()A. 在犯錯誤概率不超過5%的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關(guān)”B. 在犯錯誤的概率不超過5%的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關(guān)”C. 有97.5%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關(guān)”D. 有97.5%以上把握認為“愛好該項運動與性別無關(guān)”【答案】A【解析】【分析】題目的條件中已經(jīng)給出這組數(shù)據(jù)的觀測值，只要把所給的觀測值同節(jié)選的觀測值表進行比較，發(fā)現(xiàn)它大于3.841，在犯錯誤的概率不超過5%的前提下，認為“愛好這項運動與性別有關(guān)”【詳解】解：由題意算得， 4.7623.841，參照附表，可得在犯錯誤的概率不超過5%的前提下，認為“愛好這項運動與性別有關(guān)”故選：A【點睛】本題考查獨立性檢驗的應(yīng)用，題干給出了觀測值，只要進行比較就可以得出正確選項。4.已知向量為非零向量，若,則實數(shù)的值為()A. 0B. 2C. -2D. 1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量加法的坐標運算，得到，再由的坐標表示，得到關(guān)于的方程，求出的值.【詳解】(k，-2)，(2.2)，(k+2，0)，為非零向量，即k+20，k0.故選A【點睛】本題考查向量坐標運算，由向量垂直的坐標表示求參數(shù)的值，屬于簡單題.5.美學(xué)四大構(gòu)件是:史詩、音樂、造型、建筑等，繪畫和數(shù)學(xué)素描是學(xué)習(xí)繪畫的必要一步，它包括了明暗素描和結(jié)構(gòu)素描而學(xué)習(xí)幾何體結(jié)構(gòu)素描是學(xué)習(xí)素描最重要的一步，某同學(xué)在畫“切面圓柱體”(用與圓柱底面不平行的平面去截圓柱，底面與截面之間的部分叫做切面圓柱體)的過程中，發(fā)現(xiàn)“切面”是一個橢圓，若“切面所在平面與底面成60角，則該橢圓的離心率為()A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】根據(jù)幾何關(guān)系，得到橢圓的半長軸和半短軸與圓柱底面圓的半徑之間的關(guān)系，然后算出，從而得到離心率.【詳解】設(shè)圓柱底面圓的半徑為R，與底面成60角的平面截圓柱，橢圓的半長軸長是2R，半短軸長是R，故選C【點睛】本題考查二面角轉(zhuǎn)化為平面角求線段之間的關(guān)系，求橢圓的離心率，屬于簡單題.6.若，則有()A. abcB. acbC. cabD. bca【答案】B【解析】【分析】先得到，然后再對進行整理化簡，得到與的關(guān)系，從而得到答案.【詳解】，所以acb選B【點睛】本題考查對數(shù)的值和指數(shù)的值比較大小，屬于簡單題.7.函數(shù)f(x)的圖象大致是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先研究時，的函數(shù)值的正負，再研究的正負，從而排除錯誤選項，得到答案.【詳解】由x1時f(x)0，排除B、D，又，排除A故選C【點睛】本題考查通過函數(shù)的值判斷函數(shù)的圖象，屬于簡單題.8.如圖點A為單位圓上一點，點A沿單位圓逆時針方向旋轉(zhuǎn)角到點B，則()A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由，點B得到，將所求的轉(zhuǎn)化為，按照公式展開，得到答案.【詳解】由題意因為，點B所以，所以，故選C【點睛】本題考查三角函數(shù)的化簡求值，湊角求值，屬于簡單題.9.已知函數(shù)MOD是一個求余函數(shù)，記MOD(m，n)表示m除以n的余數(shù)，例如MOD(13，3)=1，下圖是某個算法的程序框圖，當輸入m的值為27時，則輸出i的值為()A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】讀懂框圖的循環(huán)語句和判斷語句，分析出循環(huán)終止時的的值，得到答案.【詳解】根據(jù)題意，輸入滿足，判斷，即除以有沒有余數(shù)，如有余數(shù)則，如果沒有余數(shù)則然后再重新循環(huán)，直至停止循環(huán)，輸出的值當n3，9，27時27能被n整除，所以進行了3次而的初始值為0，所以最終i3.【點睛】本題考查讀懂框圖的循環(huán)語句和判斷語句，根據(jù)輸入值求輸出值，屬于中檔題.10.在平面直角坐標系xOy中，已知圓C:x2+y2+8x-m0與直線相交于A，B兩點.若ABC為等邊三角形，則實數(shù)m的值為()A. 11B. 12C. -11D. -12【答案】D【解析】【分析】求出圓心到直線的距離，然后利用弦長公式，表示出弦長，再由ABC為等邊三角形得到和之間的關(guān)系，構(gòu)造出關(guān)于的方程，求出答案.【詳解】，圓心C(-4，0)到直線的距離，所以弦長，由ABC為等邊三角形，所以，解得m-12.故選D項.【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，點到直線的距離，圓的弦長公式，屬于簡單題.11.設(shè)橢圓C:的兩個焦點分別為F1,F2，P是C上一點，若，且，則橢圓C的方程為()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由，得到，在PF1F2中，由正弦定理得到，根據(jù)和，可求出，得到答案.【詳解】由，解得，在PF1F2中，由正弦定理:，解得，則，又，可知， ，得解得， ， ，所以橢C方程【點睛】本題考查橢圓的定義，正弦定理解三角形，求橢圓的標準方程，屬于中檔題.12.已知函數(shù)，又當時，則關(guān)于的不等式的解集為()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】設(shè)g(x)f(x)-sinx，并判斷出為偶函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其單調(diào)性，將所求的式子轉(zhuǎn)化為，從而得到，解出的范圍.【詳解】由f(x)f(-x)+2sinx，知f(x)-sinxf(-x)-sin(-x)，設(shè)g(x)f(x)-sinx則g(x)g(-x)，即g(x)為R上的偶函數(shù)當x0時，g(x)f(x)-cosxf(x)-10則g(x)在區(qū)間0，+)上單調(diào)遞增等價于，即解得。故選A項.【點睛】本題考查構(gòu)造函數(shù)解不等式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的性質(zhì)的綜合運用，屬于中檔題.二、填空題本大題共4小題每小題5分共20分。把各題答案的最簡形式寫在題中的橫線上13.已知數(shù)列中,則_【答案】【解析】【分析】分別寫出和時的式子，然后兩式相除，得到答案.【詳解】由題意可知，時，時，下式比上式得a5【點睛】本題考查數(shù)列的基本概念，屬于簡單題.14.ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，則_【答案】【解析】【分析】由正弦定理將邊化成角，按照三角函數(shù)的公式進行化簡，然后得到答案.【詳解】中，由正弦定理得所以由，可得，即【點睛】本題考查正弦定理的邊角互化，同角三角函數(shù)關(guān)系，屬于簡單題.15.函數(shù)的圖象在點(0，2)處的切線方程為_【答案】y2【解析】【分析】求出時的解析式，然后求導(dǎo)，代入，得到切線斜率，然后利用切點，求出切線方程.【詳解】當x1時，則f(x)在點(0，2)處的切線方程為y2.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在某一點的切線，屬于簡單題.16.正三棱錐P-ABC(底面ABC為正三角形，頂點P在底面的射影為底面ABC的中心）中,PA丄PB，其體積為，則該三棱錐的外接球的表面積為_【答案】【解析】【分析】利用正三棱錐的對稱性，由PA丄PB，得到PA、PB、PC兩兩垂直且相等，根據(jù)體積求出側(cè)棱長，再將正三棱錐補成正方體，得到其外接球的直徑，求出其外接球的表面積.【詳解】由正三棱錐的對稱性，且PA丄PB，得到PA、PB、PC兩兩垂直且相等，設(shè)PAPBPCa，VPABCVCPAB=，得a=3，因為PA、PB、PC兩兩垂直且相等，可將該三棱錐補形為棱長是a的正方體，則三棱錐的外接球即為該正方體的外接球，故直徑，則該球的表面積為【點睛】本題考查正三棱錐的性質(zhì)，割補法求外接圓的直徑，屬于中檔題.三、解答題:本大題共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。第17-21題為必考題，每個試題考生都必須作答；第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17.記為等差數(shù)列的前項和，已知公差，且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求的值，【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）把化為基本量，然后得到關(guān)于的方程，求出的值，得到數(shù)列的通項；（2）將所求的式子轉(zhuǎn)化為：，利用公式求出前20項的和和前40項的和，得到答案.【詳解】(1)由題意可得，S30+3d，a210+d，a810+7d，即(10+d)2(30+3d)(10+7d)化簡得d2+11d+100，解得d1或d10(舍去)an=10(n-1)=11n(2)由(1)得an=11n=2S20+S40=【點睛】本題考查等差數(shù)列的基本運算，等差數(shù)列求和，屬于簡單題.18.某種零件的質(zhì)量指標值以分數(shù)(滿分100分)衡量，并根據(jù)分數(shù)的高低劃分三個等級，如下表:為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員隨機抽取了100件零件，進行質(zhì)量指標值檢查，將檢查結(jié)果進行整理得到如下的頻率分布直方圖:(1)若該生產(chǎn)線的質(zhì)量指標值要求為:第一條:生產(chǎn)線的質(zhì)量指標值合格和優(yōu)秀的零件至少要占全部零件的75，第二條:生產(chǎn)線的質(zhì)量指標值平均分不低于95分；如果同時滿足以上兩條就認定生產(chǎn)線的質(zhì)量指標值合格，否則為不合格，請根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，判斷該生產(chǎn)線的質(zhì)量指標值是否合格?(2)在樣本中，按質(zhì)量指標值的等級用分層抽樣的方法從質(zhì)量指標值不合格和優(yōu)秀的零件中抽取5件，再從這5件中隨機抽取2件，求這兩件的質(zhì)量指標值恰好一個不合格一個優(yōu)秀的概率【答案】（1）可以判斷該生產(chǎn)線的質(zhì)量指標值是不合格的，詳見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖，計算出生產(chǎn)線質(zhì)量指標值合格和優(yōu)秀的零件所占比例的估計值和生產(chǎn)線的質(zhì)量指標值平均分，然后進行判斷；（2）先利用分層抽樣的特點，得到所抽取出的5件零件中不合格和優(yōu)秀的數(shù)量，然后將5件中隨機抽取2件的情況全部列出，根據(jù)古典概型的公式，得到答案.【詳解】(1)根據(jù)抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，生產(chǎn)線的質(zhì)量指標值合格和優(yōu)秀的零件所占比例的估計值為:(0.100+0.150+0.125+0.025)2=0.80,因為0.800.75，所以滿足生產(chǎn)線質(zhì)量指標值要求的第一條;生產(chǎn)線的質(zhì)量指標值平均分約為:(890.025+910.075+930.100+950.150+970.125+990.025)2=94.4,因為94.495，所以不滿足生產(chǎn)線質(zhì)量指標值要求的第二條;綜上，可以判斷該生產(chǎn)線的質(zhì)量指標值是不合格的.(2)由頻率分布直方圖可知，不合格、優(yōu)秀的頻率分別為0.2，0.3，故在樣本中用分層抽樣方法從質(zhì)量指標值不合格和優(yōu)秀的零件中抽取5件零件，質(zhì)量指標值不合格的有2件，設(shè)為甲、乙，優(yōu)秀的有3件，設(shè)為A，B，C。從這5件零件中隨機抽取2件，有:甲乙，甲A，甲B，甲C，乙A，乙B，乙C，AB，AC，BC，共10種，其中恰好一個不合格一個優(yōu)秀的有:甲A，甲B，甲C，乙A，乙B，乙C共6種所以這兩件的質(zhì)量指標值恰好一個不合格一個優(yōu)秀的概率P【點睛】本題考查由頻率分布直方圖求平均數(shù)，分層抽樣的特點，古典概型，屬于簡單題.19.如圖，等腰梯形MNCD中，MDNC，MNMD2，CDM60，E為線段MD上一點，且ME3，以EC為折痕將四邊形MNCE折起，使MN到達AB的位置，且AEDC(1)求證:DE平面ABCE;(2)求點A到平面DBE的距離【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）等腰梯形中，MD4，CDMN2，利用余弦定理求出，由勾股定理得到CEDE，然后得到AE平面CED，所以，從而可以得到DE平面ABCE.（2）由（1）得到的CEAE，可求出的面積，由DE平面ABCE，求出三棱錐的體積，利用勾股定理得到的長，然后求出的面積，利用等體積轉(zhuǎn)化，求出點A到平面DBE的距離.【詳解】(1)等腰梯形MNCD中，MDNC，CDMD2MD4，CDMN2，CED中，CDE60，EDMD-EM1，則由余弦定理CE，CE2+ED2=CD2CEDE，CEME，CEAE又AEDC，DCCEC，AE平面CED而平面CED，又，AECFEDE平面ABCE(2)由(1)因CEAE，則因DE平面ABCE，則等腰梯形MCD中MDNC，MD4，CD=MN2，CEDE，DE1則NC=MD-2DE=2，故BC2，設(shè)點A到平面DBE的距離為h，因DE平面ABCE則，得h所以點A到平面DBE的距離為【點睛】本題考查線面垂直的性質(zhì)和判定，等體積法求點到面的距離，屬于中檔題.20.在平面直角坐標系中，已知定點A(1，0)，點M在軸上運動，點N在軸上運動，點P為坐標平面內(nèi)的動點，且滿足.(1)求動點P的軌跡C的方程；(2)點Q為圓上一點，由Q向C引切線，切點分別為S、T,記分別為切線QS，QT的斜率，當Q運動時，求的取值范圍.【答案】（1）y24x（2）【解析】【分析】（1）設(shè)N(0，b)M(a，0)，P(x，y)，將條件中的向量關(guān)系坐標化，然后進行整理，得到動點P的軌跡C的方程；（2）設(shè)切線方程為:y-y0k(x-x0)，與拋物線聯(lián)立，得到，關(guān)于的方程，得到，然后將所求的轉(zhuǎn)化到和，根據(jù)的范圍，求出其取值范圍.【詳解】(1) 設(shè)N(0，b)M(a，0)，P(x，y). 因為所以，即因為所以所以x-a，y2b，所以y24x(2)設(shè)Q(x，y)，x-3，-1由題意知:切線斜率存在，設(shè)為k切線方程為:y-y0k(x-x0)，聯(lián)立，化簡得:ky2-4y+4y0-4kx0=016-16k(y-kx0)=0將代入得，.的取值范圍是【點睛】本題考查求軌跡方程，直線與拋物線相切，屬于中檔題.21.已知函數(shù).(1)證明:在區(qū)間上存在唯一零點；(2)令，若時有最大值，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）對求導(dǎo)得到，再對求導(dǎo)，得到，根據(jù)的正負，得到的單調(diào)性，再由定義域求出的正負，從而得到的單調(diào)性，由零點存在定理，進行證明；（2）對求導(dǎo)，得到，令，根據(jù)（1）的結(jié)論，可得在上有唯一零點，再按和進行分類，分別研究的單調(diào)性，從而得到有最大值時對的要求，得到答案.【詳解】(1)易知在區(qū)間上恒成立，則在單調(diào)遞減所以0，即f(x)在單調(diào)遞增，又，則在區(qū)間必存在唯一零點(2)所以令，則由(1)知:則在單調(diào)遞增又，即在上有唯一零點當時，由得，所以在區(qū)間單調(diào)遞增;在區(qū)間單調(diào)遞減；此時h(x)存在最大值h(0)，滿足題意;當時，由有兩個不同零點x=0及，所以h(x)在區(qū)間(0，a)單調(diào)遞減；在區(qū)間，單調(diào)遞增;此時h(x)有極大值h(0)2a由h(x)有最大值，可得;，解得，即綜上所述:當時，h(x)在有最大值【點睛】本題考查利