陜西省漢中市2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第四次質(zhì)量檢測試題 理（含解析）

陜西省漢中市2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第四次質(zhì)量檢測試題 理（含解析）（全卷滿分150分，答卷時間120分鐘）第卷一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分，每題給出的四個選項中，只有一項符合題意.）1.已知集合，則（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】先求出集合,再根據(jù)交集定義求出【詳解】集合,集合,即為故選b【點睛】本題考查交集的求法,一元二次不等式的求解,屬于基礎(chǔ)題2.若復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)滿足：，則復(fù)數(shù)等于（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】由得出，利用復(fù)數(shù)的除法法則求出，利用共軛復(fù)數(shù)的概念可求出復(fù)數(shù).【詳解】，因此，故選d.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算，同時也考查了共軛復(fù)數(shù)計算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.3.若向量，則等于a. b. c. d. 【答案】d【解析】分析：設(shè)，利用兩個向量坐標(biāo)形式的運算法則，用待定系數(shù)法求出和的值，即可求得答案.詳解：因為，設(shè)，則有，即，解得，所以，故選d.點睛：該題考查的是有關(guān)平面向量基本定理的問題，在解題的過程中，先設(shè)出，之后根據(jù)向量的運算法則以及向量相等的條件，建立關(guān)于的等量關(guān)系式，求解即可得結(jié)果.4.紙是生活中最常用的紙規(guī)格.系列的紙張規(guī)格特色在于：、，所有尺寸的紙張長寬比都相同.在系列紙中，前一個序號的紙張以兩條長邊中點連線為折線對折裁剪分開后，可以得到兩張后面序號大小的紙，比如1張紙對裁后可以的到2張紙，1張紙對裁可以得到2張紙，以此類推.這是因為系列的紙張長寬比為這一特殊比例，所以具備這種特性.已知紙規(guī)格為84.1厘米118.9厘米（）.那么紙的長度為（ ）a. 14.8厘米b. 21厘米c. 25.1厘米d. 29.7厘米【答案】d【解析】【分析】設(shè)紙的長為,寬為,根據(jù)題意,整理、紙的長寬與的關(guān)系,最后將值代入即可【詳解】設(shè)紙的長為,寬為,則由題意, 1張紙以長邊為中點對裁后可以的到2張紙,此時紙相鄰兩邊長度分別為和,即前一序號紙張的寬變?yōu)楝F(xiàn)紙張的長,按照該事實,可以得到紙的長為,寬為；紙的長為,寬為；紙的長為,寬為由題,則故選d【點睛】本題考查閱讀分析能力,知識提取能力,將材料中的文字轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)關(guān)系是解題關(guān)鍵5. 如果一組數(shù)中每個數(shù)減去同一個非零常數(shù)，則這一組數(shù)（ ）a. 平均數(shù)不變，方差不變b. 平均數(shù)改變，方差改變c. 平均數(shù)不變，方差改變d. 平均數(shù)改變，方差不變【答案】d【解析】解：按照平均值的定義和方差的定義可知，如果一組數(shù)中每個數(shù)減去同一個非零常數(shù)，則這一組數(shù)的平均數(shù)改變，方差不變選d6.設(shè)，則（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】由題意利用所給的數(shù)所在的區(qū)間和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.【詳解】由題意可得：，指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減，故，綜上可得：.故選c.【點睛】對于指數(shù)冪的大小的比較，我們通常都是運用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，但很多時候，因冪的底數(shù)或指數(shù)不相同，不能直接利用函數(shù)的單調(diào)性進行比較這就必須掌握一些特殊方法在進行指數(shù)冪的大小比較時，若底數(shù)不同，則首先考慮將其轉(zhuǎn)化成同底數(shù)，然后再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行判斷對于不同底而同指數(shù)的指數(shù)冪的大小的比較，利用圖象法求解，既快捷，又準(zhǔn)確7.給出三個命題：直線上有兩點到平面的距離相等，則直線平行平面；夾在兩平行平面間的異面直線段的中點的連線平行于這個平面；過空間一點必有唯一的平面與兩異面直線平行.正確的是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】通過舉反例可判斷出命題的正誤；利用平面與平面平行的性質(zhì)定理以及直線與平面平行的性質(zhì)定理可判斷出命題的正誤；通過實例判斷出命題的正誤.【詳解】對于命題，如果這兩點在該平面的異側(cè)，則直線與該平面相交，命題錯誤；對于命題，如下圖所示，平面平面，且、分別為、的中點，過點作交平面于點，連接、.設(shè)是的中點，則，平面，平面，平面.同理可得平面，平面平面.又平面平面，平面平面，平面，平面，平面，命題正確；對于命題，如下圖所示，設(shè)是異面直線、的公垂線段，為上一點，過點作，當(dāng)點不與點或點重合時，、確定的平面即為與、都平行的平面；若點與點或點重合時，則或，命題錯誤.故選d.【點睛】本題考查線線、線面、面面平行關(guān)系的判定與性質(zhì)，解題時要注意這三種平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，考查推理能力與空間想象能力，屬于中等題.8.函數(shù)的大致圖象是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性,再求，進行排除，可得選項【詳解】由題意得，所以函數(shù)是奇函數(shù)，排除c、d選項；當(dāng)時，因此排除b，故選a【點睛】本題考查了函數(shù)圖象的識別，關(guān)鍵掌握函數(shù)的奇偶性和函數(shù)值的特點，屬于基礎(chǔ)題9.點到定點的距離和它到定直線的距離之比為，則的軌跡方程是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】求的軌跡方程,即設(shè)為,根據(jù)題意,建立等式,整理該等式即可【詳解】設(shè)點為,由題意得,即,整理得到,故選d【點睛】本題考查直接法求軌跡方程,此類方法通過“求誰設(shè)誰”,根據(jù)題意建立等式是解題關(guān)鍵10.已知函數(shù)，若方程在區(qū)間內(nèi)的解為，則（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】由題意可得，得，通過計算的范圍，利用三角恒等變化可求的值，即可得出【詳解】即函數(shù)的對稱軸為在區(qū)間內(nèi)的解為.又因為，所以，所以，所以，所以.【點睛】本題考查正弦函數(shù)的性質(zhì)以及三角恒等變換，屬于中檔題11.橢圓與雙曲線共焦點，它們的交點對兩公共焦點，張的角為.橢圓與雙曲線的離心率分別為，則（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】先將橢圓和雙曲線的、分別設(shè)出, 并設(shè),在中,根據(jù)余弦定理可得,根據(jù)幾何意義,整理為；再分別根據(jù)橢圓與雙曲線的定義,將該式分別整理為,利用,對等式兩邊同除,分別得到,建立兩式的聯(lián)系,即可得出結(jié)果【詳解】設(shè)橢圓的長半軸為,雙曲線的實半軸為,半焦距為,設(shè),橢圓與雙曲線的離心率分別為，,由余弦定理可得，,即,即 ,在橢圓中，由定義得, 化簡可得,即,等式兩邊同除,得,即 在雙曲線中，由定義得,化簡可得,即,等式兩邊同除,得,即 聯(lián)立得,即,故選b【點睛】本題考查橢圓與雙曲線共焦點,橢圓與雙曲線的定義,離心率的定義,余弦定理的使用,考查運算能力12.已知偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時，關(guān)于的不等式在區(qū)間上有且只有個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【詳解】分析：由偶函數(shù)滿足，可得函數(shù)周期為，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，畫出函數(shù)圖象，在上有個周期，且有個整數(shù)解，每個周期內(nèi)有個解， 由可得結(jié)果.由，可知函數(shù)的對稱軸為，由于函數(shù)是偶函數(shù)，,所以函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)在上遞增，在上遞減，最大值，且，由選項可知，解得或，根據(jù)單調(diào)性和周期性畫出圖象如圖所示，由圖可知，沒有整數(shù)解，根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，在上有個周期，且有個整數(shù)解，也即每個周期內(nèi)有個解，故，解得，故選d.【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于難題. 數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，.函數(shù)圖象是函數(shù)的一種表達(dá)形式，它形象地揭示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究函數(shù)的數(shù)量關(guān)系提供了“形”的直觀性歸納起來，圖象的應(yīng)用常見的命題探究角度有：1、確定方程根的個數(shù)；2、求參數(shù)的取值范圍；3、求不等式的解集；4、研究函數(shù)性質(zhì)第卷二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共12分.）13.已知某市的1路公交車每5分鐘發(fā)車一次，小明到達(dá)起點站乘車的時刻是隨機的，則他候車時間不超過2分鐘的概率是_.【答案】【解析】【分析】由幾何概型中的線段型得, 【詳解】試驗的全部結(jié)果構(gòu)成長度為5,所求事件的區(qū)域長度為2,故所求概率故答案為【點睛】本題考查幾何概型中的線段型,屬于基礎(chǔ)題14.過原點作函數(shù)的圖像的切線，則切線方程是_.【答案】【解析】【分析】先設(shè)出切點,則根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義與直線的斜率公式,建立關(guān)于斜率的等式,求出,再解出,整理方程即可【詳解】,設(shè)切點為,則切線斜率為,又由直線斜率公式得切線斜率,即,即切點為, 切線方程為 故答案為【點睛】本題考查過一點求切線方程,解題方法為：若過點作的切線,則（1）設(shè)切點為；（2）根據(jù),整理后得到關(guān)于的方程；（3）解出,得到,利用點斜式方程求得直線方程,整理后即為切線方程15.是直角斜邊上一點，則的長為_.【答案】【解析】【分析】利用、的關(guān)系,通過勾股定理解得的長,從而得到各邊長, 即可得到；再在中利用余弦定理求出即可【詳解】由題意,設(shè),則,又,根據(jù)勾股定理可得,即,即,由余弦定理得,故答案為【點睛】本題考查利用余弦定理求邊長,直角三角形中勾股定理的使用,余弦值在直角三角形中的幾何表示16.古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究了“多邊形數(shù)”，人們把多邊形數(shù)推廣到空間，研究了“四面體數(shù)”，下圖是第一至第四個四面體數(shù)，（已知）觀察上圖，由此得出第5個四面體數(shù)為_（用數(shù)字作答）；第個四面體數(shù)為_.【答案】 (1). 35 (2). 【解析】【分析】通過觀察圖形，先將圖形的規(guī)律轉(zhuǎn)化為數(shù)字規(guī)律,即為找到如1,4,10,20,的數(shù)列的第項,通過觀察發(fā)現(xiàn),相鄰的數(shù)字差分別是3,6,10,即第項應(yīng)為,那么就把問題轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的和,為1,3,6,10,根據(jù)這些數(shù)字可以發(fā)現(xiàn), , ,利用累加法可以得到,再利用題目所給已知,求出前項和,即為第個四面體數(shù),當(dāng)時,即為第5個四面體數(shù).【詳解】由題,第一個四面體數(shù)為1；第二個四面體數(shù)為；第三個四面體數(shù)為；第四個四面體數(shù)為由此可歸納,第個四面體數(shù)為即為設(shè)該式中的每個數(shù)從左至右的排列為數(shù)列,即為：1,3,6,10,得到遞推關(guān)系為,相加后得,故數(shù)列的和 當(dāng)時,故答案為35；【點睛】本題考查累加法求通項,分組法數(shù)列求和,考查圖形分析能力,邏輯推理能力,找到數(shù)字的演變規(guī)律是解題關(guān)鍵三、解答題（本大題共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或驗算步驟.）（一）必考題：共60分17.如圖，四邊形是菱形，四邊形是矩形，平面平面，為的中點，為線段上的中點.（1）求證：；（2）求二面角的大小.【答案】(1)證明見解析；(2) 【解析】【分析】（1）連接,由題意可得為等邊三角形,根據(jù)“三線合一”可知,由菱形對邊平行,可得；再利用平面平面且四邊形是矩形,可得,即得平面,進而得證；（2）利用（1）結(jié)論得到以為坐標(biāo)原點,、所在的直線分別為軸、軸、軸的空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求二面角的余弦值,進而求得該角大小【詳解】（1）證明：連接.在菱形中,，為等邊三角形.又為的中點,.又,.四邊形為矩形,.又平面平面,平面平面,平面,平面.平面,.又,平面,平面，.（2）由（1）知平面,平面,兩兩垂直.以為坐標(biāo)原點,所在的直線分別為軸、軸、軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,設(shè)平面的法向量為,則,即,令,則.由圖知,平面的一個法向量為.則.二面角為銳角,其余弦值為,大小為.【點睛】本題考查線線垂直的證明,考查向量法求二面角,考查空間中線線,線面,面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查運算能力18.某企業(yè)準(zhǔn)備招聘一批大學(xué)生到本單位就業(yè)，但在簽約前要對他們的某項專業(yè)技能進行測試在待測試的某一個小組中有男、女生共10人（其中女生人數(shù)多于男生人數(shù)），如果從中隨機選2人參加測試，其中恰為一男一女的概率為；（）求該小組中女生的人數(shù)；（）假設(shè)此項專業(yè)技能測試對該小組的學(xué)生而言，每個女生通過的概率均為，每個男生通過的概率均為；現(xiàn)對該小組中男生甲、男生乙和女生丙3個人進行測試，記這3人中通過測試的人數(shù)為隨機變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）6個女生；（2）.【解析】【詳解】（1）設(shè)該小組中有個女生，根據(jù)題意，得；解得或（舍去），該小組中有6個女生； （2）由題意，的取值為0，1，2，3； ，；的分布列為：012319.已知數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列，.（1）若，成等差數(shù)列，求值；（2）求數(shù)列前項和.【答案】(1) . (2) 【解析】【分析】（1）根據(jù)等比公式分別求出與,再根據(jù)等差中項,求得值；（2）根據(jù)（1）整理數(shù)列通項公式,利用裂項相消的方法求得前項和【詳解】（1）由題意得,，成等差數(shù)列,即,.（2）設(shè)， 由（1）,， 【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式,前項和,考查等差中項,考查裂項相消法求和20.設(shè)， .（1）若，證明： 時， 成立；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；【答案】（1）見解析;（2）詳見解析.【解析】試題分析：（1）證明不等式問題，一般轉(zhuǎn)化為求對應(yīng)函數(shù)最值問題：即的最大值小于零，利用導(dǎo)數(shù)先研究函數(shù)的單調(diào)性，再得最大值，最后證明最大值小于零.（2）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在定義域上解的情況分類討論，一般分為一次與二次，根有與無，兩根大與小，最后進行小結(jié).試題解析：（1）當(dāng)時， ，要證時成立，由于，只需證在時恒成立，令，則，設(shè)， ， ，在上單調(diào)遞增， ，即，在上單調(diào)遞增， ，當(dāng)時， 恒成立，即原命題得證.（2）的定義域為， ，當(dāng)時， 解得或； 解得，所以函數(shù)在， 上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時， 對恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時， 解得或； 解得，所以函數(shù)在， 上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時， ， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)， ， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上， ， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.， 在， 上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.， 在上單調(diào)遞增；， 在， 上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見類型及解題策略(1) 構(gòu)造差函數(shù).根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進而證明不等式.（2）根據(jù)條件，尋找目標(biāo)函數(shù).一般思路為利用條件將求和問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)項之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).21.是拋物線的焦點，是拋物線上位于第一象限內(nèi)的任意一點，過 三點的圓的圓心為，點到拋物線的準(zhǔn)線的距離為.（1）求拋物線的方程；（2）若點的橫坐標(biāo)為，直線與拋物線有兩個不同的交點與圓有兩個不同的交點，求當(dāng) 時，的最小值.【答案】(1) .(2) .【解析】【分析】（1）設(shè)，先求得，再根據(jù)拋物線的定義求得，即得拋物線的方程.(2)先求出，再利用換元和導(dǎo)數(shù)求其最小值.【詳解】（1）拋物線的焦點，設(shè)由題意可知，則點到拋物線的準(zhǔn)線的距離為解得，于是拋物線的方程為.（2）垂直平分線方程為由得，設(shè)，又到的距離