高中數(shù)學 第五章 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 5.2 復數(shù)的四則運算 5.2.2 復數(shù)的乘法與除法教材基礎素材 北師大版選修2-2（通用）

2.2 復數(shù)的乘法與除法高手支招1細品教材一、復數(shù)的乘法1.復數(shù)乘法的運算法則:設z1=a+bi,z2=c+di是任意兩個復數(shù),那么它們的積(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(bc+ad)i.顯然,兩個復數(shù)的積仍然是一個復數(shù).【示例1】 計算(-2-i)(3-2i)(-1+3i).解:先將(-2-i)(3-2i)(-1+3i)前面兩式相乘,得(-8+i)(-1+3i),再將所得積與最后一式相乘,得5-25i.狀元筆記復數(shù)的乘法與多項式的乘法是類似的,只是在運算過程中要把i2換成-1,然后把實部與虛部分別合并.【示例2】 計算(a+bi)(a-bi).思路分析:利用復數(shù)乘法法則直接得出結果.解:(a+bi)(a-bi)=a2-abi+abi-b2i2=a2-b2i2=a2+b2.2.復數(shù)乘法的運算律復數(shù)的乘法滿足交換律、結合律以及乘法對加法的分配律:即對任何z1,z2,z3C,有:(1)交換律:z1z2=z2z1證明:設z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,則z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=a1a2+a1b2i+a2b1i+b1b2i2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i,z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=a2a1+a2b1i+a1b2i+b2b1i2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i,z1z2=z2z1.(2)結合律:(z1z2)z3=z1(z2z3)證明:設z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i,則(z1z2)z3=(a1+b1i)(a2+b2i)(a3+b3i)=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i(a3+b3i)=(a1a2-b1b2)a3-(a1b2+a2b1)b3+(a1a2-b1b2)b3+(a1b2+a2b1)a3i=（a1a2a3-a1b2b3-a2b1b3-a3b1b2)-（b1b2b3-b1a2a3-b2a1a3-b3a1a2)i;z1(z2z3)=(a1+b1i)(a2+b2i)(a3+b3i)=(a1+b1i)(a2a3-b2b3)+(a3b2+a2b3)i=(a2a3-b2b3)a1-(a3b2+a2b3)b1+(a2a3-b2b3)b1+(a3b2+a2b3)a1i=(a1a2a3-a1b2b3-a2b1b3-a3b1b2)-(b1b2b3-b1a2a3-b2a1a3-b3a1a2)i.(3)乘法對加法的分配律:z1(z2+z3)=z1z2+z1z3證明:設z1=a1+b1i,z2=a2b2i,z3=a3+b3i，則z1(z2+z3)=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a3+b3i)=(a1+b1i)(a2+a3)+(b2+b3)i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(a1b2+a2b1+a1b3+a3b1)iz1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i)=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(a1b2+a2b1+a1b3+a3b1)i3.負數(shù)的平方根由于(-i)2=i2=-1,這表明,i和-i是-1的兩個平方根,或者說,方程x2+1=0有兩個根i和-i,這樣,負數(shù)就可以開平方了.4.共軛復數(shù)(1)我們把實部相等,虛部互為相反數(shù)的兩個復數(shù)叫做互為共軛復數(shù).復數(shù) z=a+bi的共軛復數(shù)記作,即=a-bi.【示例】 (2020北京春季高考,理1)i-2的共軛復數(shù)是( )A.2+i B.2-i C.-2+i D.-2-i思路分析:本題考查復數(shù)及共軛復數(shù)的概念,應首先分清誰為虛部,誰為實部;其次,互為共軛的復數(shù)實部相等,虛部互為相反數(shù).答案:D(2)當復數(shù)z=a+bi的虛部b=0時,z=a,也就是說,實數(shù)的共軛復數(shù)仍是它本身.反過來也成立,即如果復數(shù)z的共軛復數(shù)仍是它本身,那么zR.(3)共軛復數(shù)的性質(zhì):兩個共軛復數(shù)z,的積是一個實數(shù),這個實數(shù)等于每一個復數(shù)的模的平方,即z=|z|2=|2=a2+b2;=z1+z2;=;（）=（z20).5.復數(shù)的乘方(1)復數(shù)的乘方是相同復數(shù)的積.根據(jù)復數(shù)乘法的運算律,實數(shù)范圍內(nèi)正整數(shù)指數(shù)冪的運算律在復數(shù)范圍內(nèi)仍然成立,即對任何z1，z2，z3C及m,nN*,有zmzn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)n=z1nz2n.【示例】 設=+i,求證:(1)1+2=0;(2)3=1.思路分析:要證明1+2=0和3=1,須先求出2,再由2求出3.證明：(1)因為2=（+i)2=-i-=-i,所以,1+2=1+（+i）+（-i）=0.(2)32=(-i)(+i)=( )2-(i)2=+=1.(2)在計算復數(shù)的乘方時,要用到虛數(shù)單位i的乘方,對于i的正整數(shù)指數(shù)冪,易知:i1=i,i2=-1,i3=i2i=-i,i4=(i2)2=1.一般地,如果nN*,我們有i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i.【示例】 復數(shù)z=1+i+i2+i3+i2020的值為( )A.0 B.1 C.i D.1+i思路分析:本題初看起來是一個等比數(shù)列的求和,故按等比數(shù)列求和公式可解之;然而,本題除此法外,還有一種簡捷解法,即利用i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0,將其中的連續(xù)的4倍數(shù)項去掉,然后化簡.由于z=1+i+i2+i3+i2 006共有2 007項,故將后面的2 004項去掉,余下前三項,即z=1+i+i2+0=i.答案:C二、復數(shù)的除法1.復數(shù)除法的定義我們把滿足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di0)的復數(shù)x+yi(x,yR)叫做復數(shù)a+bi除以復數(shù)c+di的商,記作或(a+bi)(c+di).狀元筆記復數(shù)除法運算是乘法運算的逆運算;復數(shù)集合對乘法、除法(除數(shù)不為零)運算封閉,即兩復數(shù)乘、除運算的結果仍為復數(shù).進行復數(shù)除法運算時,通常進行分母實數(shù)化,即先將兩個復數(shù)相除寫成分數(shù)形式,然后將分子與分母同時乘以分母的共軛復數(shù),再把結果化簡,這樣可使運算簡化.2.復數(shù)除法的運算一般地,我們有=.由于c+di0,所以