貴州貴陽(yáng)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)統(tǒng)計(jì)7

統(tǒng) 計(jì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本思想是用樣本估計(jì)總體，它主要研究?jī)蓚€(gè)基本問(wèn)題：一是如何從總體中抽取樣本，二是如何通過(guò)對(duì)所抽取的樣本進(jìn)行計(jì)算和分析，從而對(duì)總體的相應(yīng)情況作出推斷。本章是在初中“統(tǒng)計(jì)和概率初步”的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的，其內(nèi)容可看成是以上內(nèi)容的深入和擴(kuò)展，但總的來(lái)說(shuō)，所介紹的仍屬于統(tǒng)計(jì)中一些極其初步的知識(shí)。基礎(chǔ)知識(shí)隨機(jī)抽樣 用樣本估計(jì)總體 變量間的相關(guān)關(guān)系隨機(jī)抽樣從總體中抽取樣本的方法叫抽樣方法，統(tǒng)計(jì)中涉及的抽樣方法很多，如果按照抽取時(shí)總體中的每個(gè)個(gè)體被抽取的概率是否相等來(lái)進(jìn)行分類，可分為等概率抽樣和不等概率抽樣，等概率抽樣又可分為不放回抽樣和放回抽樣。在抽樣中，如果每次抽出個(gè)體后不再將它放回總體，稱這樣的抽樣為不放回抽樣；如果每次抽出個(gè)體后再將它放回總體，稱這樣的抽樣為放回抽樣常見(jiàn)的抽樣方法主要有簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣三種，它們的共同特點(diǎn)是在抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽取的概率相等，這體現(xiàn)了這些抽樣方法的客觀性和公平性。1簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣若一個(gè)總體的個(gè)體數(shù)有限，如果通過(guò)逐個(gè)抽取的方法從中不放回地抽取一個(gè)樣本，且每次抽取時(shí)，各個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，就稱這樣的抽樣為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。（1）根據(jù)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的定義，可以看到它有以下特點(diǎn)：它要求被抽取樣本的個(gè)體數(shù)有限，以便于對(duì)其中各個(gè)個(gè)體被抽取的概率進(jìn)行分析。它是從總體中逐個(gè)地進(jìn)行抽取，這樣便于在抽樣實(shí)踐中進(jìn)行操作。它是一種不放回抽樣，因而具有較廣泛的實(shí)用性，也便于相關(guān)的分析和計(jì)算。它是一種等概率抽樣，不論是每次從總體中抽取一個(gè)個(gè)體，還是在整個(gè)抽樣過(guò)程當(dāng)中，每個(gè)個(gè)體被抽取的概率相等，從而保證了這種抽樣方法的公平性。值得注意的是，進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣時(shí)，“每次抽到一個(gè)個(gè)體時(shí)任一個(gè)體被抽到的概率”與“在整個(gè)抽樣過(guò)程中某個(gè)體被抽到的概率”是不同的，關(guān)于這一點(diǎn)，我們可結(jié)合實(shí)例，利用初中學(xué)過(guò)的概率初步知識(shí)加以體會(huì)。（2）實(shí)施簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，主要有兩種方法：抽簽法(抓鬮法)和隨機(jī)數(shù)表法。抽簽法(抓鬮法)就是在總體中個(gè)體數(shù)不多時(shí)，將總體中的個(gè)個(gè)體編號(hào)，把號(hào)碼寫在號(hào)簽上，再將號(hào)簽放在一個(gè)容器中攪拌均勻后，每次從中抽取一個(gè)號(hào)簽，連續(xù)抽取次，就得到一個(gè)容量為的樣本。隨機(jī)數(shù)表中的十個(gè)數(shù)字是用計(jì)算機(jī)生成的隨機(jī)數(shù)，它們?cè)诿總€(gè)位置上等概率地出現(xiàn)。用隨機(jī)數(shù)表進(jìn)行抽樣的步驟是：將總體中的個(gè)體編號(hào)；選定開(kāi)始的數(shù)字；獲取樣本號(hào)碼。2系統(tǒng)抽樣當(dāng)總體中的個(gè)體數(shù)目較多時(shí)，可將總體分成均衡的幾個(gè)部分，然后按照事先定出的規(guī)則，從每一部分抽取一定數(shù)目的個(gè)體，得到所需要的樣本，這種抽樣叫做系統(tǒng)抽樣。（1）系統(tǒng)抽樣的操作步驟為： 將個(gè)體編號(hào)；分段；確定起始的個(gè)體號(hào)；抽取樣本。 （2）關(guān)于系統(tǒng)抽樣,我們指出以幾點(diǎn):系統(tǒng)抽樣適用于總體中的個(gè)體數(shù)較多的情況，因?yàn)檫@時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣就顯得不很方便；將總體中的個(gè)體均分后的每一段進(jìn)行抽樣時(shí)，采用的是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣；與簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣一樣，系統(tǒng)抽樣也屬于等概率抽樣。特別提示當(dāng)總體中的個(gè)體數(shù)不能被樣本容量整除時(shí)，可先用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從總體中剔除幾個(gè)個(gè)體，使剩下的個(gè)體數(shù)能被樣本容量整除，然后再按系統(tǒng)抽樣進(jìn)行，這時(shí)在整個(gè)抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽取的概率仍然是相等的。3分層抽樣當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)，為了使樣本更充分地反映總體的這種情況，常將總體分成幾部分，然后按照各部分所占的比進(jìn)行抽樣，這種抽樣方法叫做分層抽樣，其中所分成的各部分叫做層。(1)分層抽樣的步驟是：分層；按比例確定各層抽取對(duì)象；各層抽樣；綜合各層，組成樣本。(2) 分層抽樣的特點(diǎn)是：分層抽樣適用于總體由差異明顯的幾個(gè)部分組成的情況；在每一層進(jìn)行抽樣時(shí)，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣；分層抽樣也是等概率抽樣。特別提示簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣這三種抽樣方法的聯(lián)系與適用范圍見(jiàn)下表：類別共同點(diǎn)各自特點(diǎn)相互聯(lián)系適用范圍簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣都是不放回抽樣，抽樣過(guò)程中,每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)(概率)相等從總體中逐個(gè)抽取總體中的個(gè)體數(shù)較少系統(tǒng)抽樣將總體均分成幾部分，按事先確定的規(guī)則，在各部分抽取在起始部分抽樣時(shí)，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣總體中的個(gè)體數(shù)較多分層抽樣將總體分成幾層，分層進(jìn)行抽取各層抽樣時(shí)，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣總體由差異明顯的幾部分組成用樣本估計(jì)總體總體取值的概率分布規(guī)律通常稱為總體分布。為了考察一個(gè)總體的情況，在統(tǒng)計(jì)中通常是從總體中抽取一個(gè)樣本，用樣本的有關(guān)情況去估計(jì)總體的相應(yīng)情況。這種估計(jì)大體分為兩類：1用樣本的頻率分布去估計(jì)總體分布樣本頻率是指樣本在某一范圍內(nèi)的個(gè)數(shù)（頻數(shù)）與樣本總體的比值，樣本的頻率分布常用頻率分布表、頻率分布直方圖、頻率分布折線圖、總體密度曲線、莖葉圖等來(lái)表示。（1）頻率分布表、頻率分布直方圖：是指在用樣本估計(jì)總體時(shí)，通過(guò)各個(gè)小組數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例大小的角度來(lái)表示頻率分布的規(guī)律，它可以使我們看到整個(gè)樣本數(shù)據(jù)的頻率分布。其具體操作步驟是： 求極差，即求出一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差； 決定組距與組數(shù)，組數(shù)應(yīng)力求合適，一般分成10組左右； 將數(shù)據(jù)分組； 列頻率分布表，將上述分組、頻數(shù)累計(jì)、頻數(shù)、頻率列成表格； 畫頻率分布直方圖，圖中各小長(zhǎng)方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率，這個(gè)圖形的面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個(gè)小組的頻率的大小，且圖中各小矩形的面積的和等于1需要指出的是：在反映樣本的頻率分布方面，頻率分布表在數(shù)量表示上比較確切，而頻率分布直方圖及初中學(xué)過(guò)的頻率分布條形圖則比較直觀，兩者相互補(bǔ)充，使我們對(duì)數(shù)據(jù)的頻率分布情況了解得更加清楚 當(dāng)總體中的個(gè)體取不同數(shù)值很少時(shí)，其頻率分布表由所取樣本不同數(shù)值及其相應(yīng)的頻率來(lái)表示，其幾何表示就是相應(yīng)的條形圖；當(dāng)總體中的個(gè)體取不同數(shù)值較多甚至無(wú)限時(shí)，對(duì)其頻率分布的研究要用到初中學(xué)過(guò)的整理樣本數(shù)據(jù)的知識(shí)，將樣本數(shù)據(jù)恰當(dāng)?shù)胤纸M，用各組的頻率來(lái)描繪總體的分布，其幾何表示就是相應(yīng)的直方圖。頻率分布條形圖和直方圖的不同之處在于：前者用其高度來(lái)表示取各個(gè)值的頻率，而后者是用圖形面積的大小來(lái)表示在各個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的頻率。（2）頻率分布折線圖：順次連接頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形上端的中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖。（3）總體密度曲線：樣本容量越大，所分組數(shù)越多，各組的頻率就越接近于總體在相應(yīng)各組取值的概率設(shè)想樣本容量無(wú)限增大，分組的組距無(wú)限縮小，那么頻率分布直方圖和頻率分布折線圖就會(huì)無(wú)限接近于一條光滑曲線,這條曲線叫做總體密度曲線（5）莖葉圖：與前面提到的圖、表類似，莖葉圖也可以用來(lái)表示樣本數(shù)據(jù)的分布情況，“莖”是指中間的一列數(shù)，“葉”就是從“莖”的旁邊生長(zhǎng)出來(lái)的數(shù)。用莖葉圖表示有兩個(gè)突出的優(yōu)點(diǎn)，其一，從統(tǒng)計(jì)圖上沒(méi)有信息的損失，所有的信息都可以從莖葉圖中得到；其二，莖葉圖可以隨時(shí)記錄與表示。但莖葉圖一般只能表示兩位的整數(shù)。2用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征樣本的數(shù)字特征有平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、方差等。平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都是描述數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的重要特征數(shù)，它們既有聯(lián)系又有區(qū)別，應(yīng)用時(shí)可根據(jù)具體情況進(jìn)行選擇。（1）平均數(shù)：就是一組數(shù)據(jù)的平均值。（2）眾數(shù)：就是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)。（3）中位數(shù)：就是一組數(shù)據(jù)按從小到大(或從大到小)的次序排列后，位于中間的那個(gè)數(shù)據(jù)(當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè))，或者是位于中間的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)(當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)個(gè))。特別提示平均數(shù)雖然?？蓭椭覀兞私庖唤M數(shù)據(jù)的平均水平，但有時(shí)因受到該組數(shù)據(jù)中特別大或特別小數(shù)據(jù)的影響，不容易把數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)與特征表示出來(lái)，所以有時(shí)我們用中位數(shù)或眾數(shù)來(lái)代替平均數(shù)比較合理。（4）總體方差與總體標(biāo)準(zhǔn)差是描述一個(gè)總體的波動(dòng)大小的特征量，可以通過(guò)計(jì)算樣本方差與標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)總體方差與標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行估計(jì)。樣本方差公式是；樣本標(biāo)準(zhǔn)差公式是；其中,分別是樣本中個(gè)體的取值，是樣本的平均數(shù)。特別提示(1)由于方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算量一般較大，所以通常需要借助科學(xué)計(jì)算器；(2)方差和標(biāo)準(zhǔn)差的大小反映了總體或者樣本的波動(dòng)程度，可以對(duì)諸如均衡性、穩(wěn)定性、差異性等作出描述；(3)在分別利用方差和標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)不同總體和樣本進(jìn)行比較時(shí)，其效果是等價(jià)的。 變量間的相關(guān)關(guān)系變量之間存在著兩類關(guān)系：一類是函數(shù)關(guān)系，這是一種確定的關(guān)系，另一類是相關(guān)關(guān)系，這是一種非確定關(guān)系，這兩類關(guān)系在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。1變量間的相關(guān)關(guān)系當(dāng)自變量一定時(shí)，因變量的取值帶有一定的隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系。（1）相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量之間的關(guān)系，函數(shù)關(guān)系是兩個(gè)非隨機(jī)變量之間的關(guān)系，是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，所以相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系不同，其變量具有隨機(jī)性，因此相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，既有因果關(guān)系，也有伴隨關(guān)系。（2）相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的異同點(diǎn)是：相同點(diǎn)：均是指兩個(gè)變量的關(guān)系；不同點(diǎn)：函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是一種非確定關(guān)系；函數(shù)關(guān)系是自變量與因變量之間的關(guān)系，這種關(guān)系是兩個(gè)非隨機(jī)變量的關(guān)系；而相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量的關(guān)系2兩個(gè)變量的線性相關(guān)（1）回歸分析：兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系有正相關(guān)、負(fù)相關(guān)，對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法叫做回歸分析。通俗地講，回歸分析是尋找相關(guān)關(guān)系中非確定性關(guān)系的某種確定性。（2）一元線性回歸分析：如果因變量?jī)H與一個(gè)自變量有關(guān)，且因變量與自變量的關(guān)系是線性的，這樣的回歸分析叫一元線性回歸分析，它是回歸分析中最基本的一種類型。（3）散點(diǎn)圖：表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)的圖形叫做散點(diǎn)圖，散點(diǎn)圖形象地反映了各對(duì)數(shù)據(jù)的密切程度。（4）線性相關(guān)與回歸直線：如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線。（5）回歸直線方程：設(shè)與是具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量，且相應(yīng)于組觀測(cè)值的個(gè)點(diǎn)大致分布在一條直線附近，則由，,所得到的直線方程叫做回歸直線方程，是回歸方程的斜率，是截距，相應(yīng)的直線叫做回歸直線，而對(duì)這兩個(gè)變量所進(jìn)行的統(tǒng)計(jì)分析就是線性回歸分析。利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)的軟件，可以方便地求出回歸直線方程。（6）最小二乘法：在求回歸直線時(shí)，上述公式中選取的使得誤差的平方和最小，也就是使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到它的距離的平方和最小，這一方法稱為最小二乘法。值得指出的是，討論變量是否線性相關(guān)，應(yīng)先進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，在確認(rèn)線性相關(guān)后，再求回歸直線。相關(guān)性檢驗(yàn)的有關(guān)概念、方法和步驟，本章不作學(xué)習(xí)要求。基本技能隨機(jī)抽樣的基本技能 變用樣本估計(jì)總體的基本技能 變量間相關(guān)關(guān)系的基本技能現(xiàn)代社會(huì)是信息化的社會(huì)，人們常常需要收集數(shù)據(jù)，根據(jù)所獲得的數(shù)據(jù)提取有價(jià)值的信息，作出合理的決策。統(tǒng)計(jì)是研究如何合理收集、整理、分析數(shù)據(jù)的學(xué)科，它可以為人們制定決策提供依據(jù)。隨機(jī)現(xiàn)象在日常生活中隨處可見(jiàn)，下一章即將學(xué)習(xí)的概率則是研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律的學(xué)科，它為人們認(rèn)識(shí)客觀世界提供了重要的思維模式和解決問(wèn)題的方法，同時(shí)為統(tǒng)計(jì)學(xué)的發(fā)展提供了理論基礎(chǔ)。因此，統(tǒng)計(jì)與概率的基本技能已經(jīng)成為一個(gè)未來(lái)公民的必備常識(shí)。隨機(jī)抽樣的基本技能隨機(jī)抽樣是運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法解決問(wèn)題的第一步，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是隨機(jī)抽樣中最簡(jiǎn)單的一種模型，它是分層抽樣、系統(tǒng)抽樣以及其它更復(fù)雜抽樣方法的基礎(chǔ)，“隨機(jī)抽樣”與“簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣”是兩個(gè)不同的概念。這一內(nèi)容的基本技能主要表現(xiàn)在對(duì)三種常用抽樣方法的理解、選擇并正確運(yùn)用，體會(huì)統(tǒng)計(jì)的作用和基本思想，用統(tǒng)計(jì)的思想去分析、解決實(shí)際問(wèn)題。1能從現(xiàn)實(shí)生活或其他學(xué)科中提出具有一定價(jià)值的統(tǒng)計(jì)問(wèn)題。2結(jié)合具體的實(shí)際問(wèn)題情境，理解隨機(jī)抽樣的必要性和重要性。3會(huì)對(duì)三種抽樣方法進(jìn)行比較和判斷。在參與解決統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)會(huì)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法（抽簽法、隨機(jī)數(shù)表法）從總體中抽取樣本；通過(guò)對(duì)實(shí)例的分析，了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法。4能通過(guò)試驗(yàn)、查閱資料、設(shè)計(jì)調(diào)查問(wèn)卷等方法收集數(shù)據(jù)。用樣本估計(jì)總體的基本技能用樣本估計(jì)總體涉及兩方面的問(wèn)題。一是如何用樣本的頻率分布去估計(jì)總體分布，二是如何用樣本的某種數(shù)字特征去估計(jì)總體的相應(yīng)特征數(shù)。這一內(nèi)容的基本技能主要表現(xiàn)在能結(jié)合具體問(wèn)題對(duì)統(tǒng)計(jì)中的概念進(jìn)行描述性說(shuō)明，學(xué)會(huì)從數(shù)據(jù)中提取信息，深入體會(huì)統(tǒng)計(jì)結(jié)果的隨機(jī)性，培養(yǎng)基本計(jì)算、抽象概括、綜合分析問(wèn)題的能力，而不是簡(jiǎn)單地把統(tǒng)計(jì)處理成數(shù)字運(yùn)算和畫圖表。1通過(guò)實(shí)例體會(huì)分布的意義和作用。在表示樣本數(shù)據(jù)的過(guò)程中，能用多種方法繪制統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖，學(xué)會(huì)列頻率分布表、畫頻率分布直方圖、頻率分布折線圖、莖葉圖，體會(huì)它們各自的特點(diǎn)。2通過(guò)實(shí)例理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用。會(huì)利用計(jì)算器計(jì)算平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、方差，會(huì)判斷眾數(shù)、中位數(shù)。3能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需求合理地選取樣本。從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差），并作出合理的解釋。4在解決統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的過(guò)程中，進(jìn)一步體會(huì)用樣本估計(jì)總體的思想。會(huì)用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征；體會(huì)樣本頻率分布和數(shù)字特征的隨機(jī)性。5會(huì)用隨機(jī)抽樣的基本方法和樣本估計(jì)總體的思想，解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。能通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的分析為合理的決策提供一些依據(jù)，認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)的作用。6體會(huì)統(tǒng)計(jì)思維與確定性思維的差異。通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題，較為系統(tǒng)地經(jīng)歷數(shù)據(jù)收集與處理的全過(guò)程，形成對(duì)數(shù)據(jù)處理過(guò)程進(jìn)行初步評(píng)價(jià)的意識(shí)。變量間相關(guān)關(guān)系的基本技能兩個(gè)變量間的關(guān)系，除了函數(shù)關(guān)系這種確定性關(guān)系以外，還大量存在因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的相關(guān)關(guān)系，一元