新課標復習例談與導數(shù)有關的熱點問題

新課標專題復習 例談與導數(shù)有關的熱點問題導數(shù)進入中學教材以后.引起了中學數(shù)學教學的多方位思考.首先是對導數(shù)地位的認識的思考.其次是高考如何考的問題.首先,極限和導數(shù)在初等數(shù)學與高等數(shù)學之間起著重要的銜接作用,同時也引起了數(shù)學思維方式的質的飛躍.它與數(shù)學歸納法和極限共同把握著“有限與無限”這一對矛盾的統(tǒng)一體.正是由于導數(shù)進入了中學課本,才使得原本復雜的問題(函數(shù)的性質,曲線的切線問題)有了一個更可靠的一般性的工具.其次,在高考中每年都對導數(shù)的內(nèi)容的考查力度有逐年加大的趨勢.考點涉及到了導數(shù)的所有內(nèi)容(定義、幾何意義、物理意義，用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的最（極）值等).考查的題型有客觀題（選擇題、填空題）、主觀題（解答題），考查的形式具有綜合性和多樣性的特點，常常與函數(shù)方程、三角函數(shù)、不等式、甚至與解析幾何等內(nèi)容綜合考查，成為新的高考熱點.試題特點如下:1.背景新穎,設問靈活.2.多方聯(lián)系,綜合性強.3.極具思維的深刻性和廣闊性.4.含蓋多種數(shù)學思想方法.總之把導數(shù)作為考查的熱點是挖掘學生潛能,培養(yǎng)學生創(chuàng)新意意識和探究精神的極好素材.下面就導數(shù)的熱點談以下方面。一、與導數(shù)概念有關的問題例1：函數(shù)在處的導數(shù)值是（ ）A、0 B、1002 C、200 D、100！解法一：所以選D。解法二：設，而所以選D。評析：解法一是應用導數(shù)的定義直接求解，函數(shù)在某點的導數(shù)就是函數(shù)在這點平均變化率的極限。解法二是根據(jù)導數(shù)的四則運算求導法則解決問題。例2：如果圓的半徑以2cm/s的等速度增加，則圓半徑R=10cm時，圓面積增加的速度是多少.解：評析：本題考查導數(shù)的物理意義及復合函數(shù)求導法則，須注意導數(shù)的物理意義是距離對時間的變化率，它是表示瞬時速度.因速度是向量，故變化率可以為負值。二、與曲線的切線有關的熱點問題例3：以正弦曲線上一點P為切點的切線為直線，則直線的傾斜角的范圍是（ ）A、 B、 C、 D、解：設過曲線上點P的切線傾斜角是，由題意知故選A。評析：函數(shù)在點處的導數(shù)表示曲線在點處切線的斜率，即，也即導數(shù)的幾何意義。例4：曲線的切線通過點（0，1），且過點（0，1）的切線有兩條，求實數(shù)的值。解：因為點（0，1）不在曲線上，所以可以設切點是， 則切線方程是，因為切線過（0，1）， （*）構造，由過點（0，1）點的切線有2條，可知有兩個實數(shù)解，其等價于“有極值，且極大值乘以極小值等于0，a” 由所以評析：本題解答關鍵是把“切線有2條”的“形”轉化為“方程有2個不同實數(shù)根”的“數(shù)”，即數(shù)形結合，然后把三次方程有兩個不同實根的問題得以轉化，三次方程有三個不同實數(shù)根等價于“極大值大于0，極小值小于0”。值得注意的是，對于求過某點的曲線的切線問題，應先判斷此點是否在曲線上。三、與函數(shù)的單調(diào)性、最（極）值有關的熱點問題例5：求證：上是減函數(shù)，在上增函數(shù)。證明：，所以當，函數(shù)是減函數(shù)；當，函數(shù)是減函數(shù)，故得證。評析：導數(shù)方法在應對復雜的初等數(shù)學問題具有入手容易，思路清晰和過程簡便優(yōu)勢，雖然掌握導數(shù)方法需要花費一定的時間和精力，但“磨刀不誤砍柴功”。例6：設函數(shù)與數(shù)列滿足關系：其中是方程的實數(shù)根；的導數(shù)。（1）證明：；（2）判斷的大小，并證明你的結論。（1）證明：（數(shù)學歸納法）當n=1時，由題知，成立；假設，成立。是單調(diào)增函數(shù)，即當時，原式成立，故對于任意自然數(shù)，都成立。（2）解：所以是單調(diào)增函數(shù)，而即又由（1）知，評析：本題是函數(shù)、方程、數(shù)列、導數(shù)等知識的自然鏈接，其中將導數(shù)知識融入數(shù)學歸納法，令人耳目一新。四、與不等式有關的熱點問題例7、設，比較的大小。解：令所以上的增函數(shù)，令所以上是增函數(shù)，因此，.評析：運用導數(shù)比較兩式大小或證明不等式，常用設輔助函數(shù)利用導數(shù)這一工具先研究其單調(diào)性,然后證明不等式就變得極其容易。五、與實際應用問題有關的熱點問題例8：某汽車廠有一條價值為萬元的汽車生產(chǎn)線，現(xiàn)要通過技術改造來提高該生產(chǎn)線的生產(chǎn)能力，提高產(chǎn)品的增加值，經(jīng)過市場調(diào)查，產(chǎn)品的增加值萬元與技術改造投入萬元之間滿足：的乘積成正比；當（1）求的解析式及定義域；（2）求出產(chǎn)品的增加值的最大值及相應的的值。解：（1）由已知，設，.（2）當當所以當當綜上，當萬元，最大增加值是；當萬元，最大增加值是。評析：，只是函數(shù)在處有極值的必要條件，求實際問題的最值應先建立一個目標函數(shù)，并根據(jù)實際意義確定其定義域，然后根據(jù)問題的性質可以斷定所建立的目標函數(shù)確有最大或最小值，并且一定在定義區(qū)間內(nèi)取得，這時在定義區(qū)間內(nèi)部又只有一使的點，那么不必判斷是否為極值點，取什么極值，可斷定就是所求的最大值或最小值。六新穎別致的解題方法導數(shù)法例1.求解：兩邊求導得：即為所求。評析：本題的常規(guī)解法是“錯位相減法”，這里構造函數(shù)用導數(shù)來解顯得很簡潔，新穎別致。例2 .求 解： 兩邊求導得：令得：故評析：本題的常規(guī)解