四川高三數(shù)學(xué)下學(xué)期“聯(lián)測促改”活動(dòng)文

四川省2019屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期（4月）“聯(lián)測促改”活動(dòng)試題 文（含解析）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，則集合（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】對集合中的不等式進(jìn)行求解，得到解集后再與集合取交集.【詳解】因?yàn)榧?，所?故選C項(xiàng)【點(diǎn)睛】本小題考查集合的基本運(yùn)算，不等式解法、交集等基礎(chǔ)知識：考查運(yùn)算求解能力.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)是，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由題得z=-1+2i,再求復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)-1-2i.【詳解】由題得z=-1+2i,所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)-1-2i. 故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，考查共軛復(fù)數(shù)的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.3.函數(shù)的最小正周期為，則的圖象的一條對稱軸方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的最小正周期為求出，再令=,即得函數(shù)的對稱軸方程.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，所以.所以，令=,所以，當(dāng)k=0時(shí)，.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的周期性和對稱軸方程的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.4.下列說法中錯(cuò)誤的是（ ）A. 從某社區(qū)65戶高收入家庭，28戶中等收入家庭，105戶低收入家庭中選出100戶調(diào)查社會(huì)購買力的某一項(xiàng)指標(biāo)，應(yīng)采用的最佳抽樣為分層抽樣.B. 線性回歸直線一定過樣本中心點(diǎn)C. 若兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的值越接近于D. 若一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是【答案】C【解析】【分析】分別對四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，得到選項(xiàng)為正確，選項(xiàng)錯(cuò)誤.【詳解】對于，由于各個(gè)家庭收入差距明顯適于用分層抽樣，正確；對于，線性回歸直線一定過樣本中心點(diǎn)，正確；對于，兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的值越接近于，錯(cuò)誤；對于，一組數(shù)據(jù)、的眾數(shù)是，；所以該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，正確.故選D項(xiàng).【點(diǎn)睛】本小題考查分層抽樣，線性回歸，線性相關(guān)，中位數(shù)與眾數(shù)等基礎(chǔ)知識，意在考查學(xué)生分析問題，及解決問題的能力和運(yùn)算求解能力.5.若變量，滿足約束條件，則的最小值為（ ）A. B. -1C. 0D. 1【答案】A【解析】【分析】先作出不等式組對應(yīng)的可行域，再利用斜率求的最小值得解.【詳解】由題得不等式組對應(yīng)的可行域如圖所示，表示可行域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)（4,0）之間的線段的斜率，聯(lián)立得A(2,3),如圖所示，當(dāng)點(diǎn)位于可行域內(nèi)的點(diǎn)A(2,3)時(shí)，直線的斜率最小，所以的最小值為.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃求最值，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和數(shù)形結(jié)合分析推理能力.6.設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】由題得，再利用求a的值.【詳解】由題得.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.7.幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積為（ ）A. 729B. 428C. 356D. 243【答案】D【解析】【分析】先找到三視圖對應(yīng)的幾何體，再利用棱錐的體積公式得解.【詳解】由題得幾何體原圖是如圖所示的四棱錐P-ABCD，底面是邊長為9的正方形，高PA=9,所以幾何體的體積為.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)三視圖找原圖，考查幾何體體積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值為（ ）A. -1B. 0C. D. 1【答案】A【解析】【分析】直接模擬程序框圖運(yùn)行得解.【詳解】由題得13，S=2,i=2;23，S=2+4,i=3;33，S=2+4+8,i=4;.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.9.在數(shù)列中，已知，且對于任意的，都有，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】令m=1得，再利用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】令m=1,得，所以.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查累加法求數(shù)列的通項(xiàng)，考查等差數(shù)列求和，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.10.已知四棱錐的底面四邊形的外接圓半徑為3，且此外接圓圓心到點(diǎn)距離為2，則此四棱錐體積的最大值為（ ）A. 12B. 6C. 32D. 24【答案】A【解析】【分析】先求出，再求出底面四邊形ABCD的面積的最大值，即得錐體體積的最大值.【詳解】由錐體的體積公式v=，可知，當(dāng)s和h都最大時(shí)，體積最大.由題得頂點(diǎn)P到底面ABCD的距離h2.當(dāng)點(diǎn)P在底面上的射影恰好為圓心O時(shí)，即PO底面ABCD時(shí)，PO最大=2，即 ,此時(shí),即四邊形ABCD為圓內(nèi)接正方形時(shí)，四邊形ABCD的面積最大，所以此時(shí)四邊形ABCD的面積的最大值=,所以.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查錐體的體積的計(jì)算和最值的求法，考查三角形面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.11.，是：上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，到直線：的距離分別為，則的最大值是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】分析】由題設(shè),其中，先利用兩點(diǎn)間的距離公式求出，再利用三角恒等變換知識化簡，再利用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)求最值得解.【詳解】由題設(shè),其中.可以由題得 5，此時(shí).故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的方程，考查三角恒等變換和三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理計(jì)算能力.12.已知函數(shù)，對任意的，恒有成立，則的范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先利用導(dǎo)數(shù)求出，再解不等式即得解.【詳解】由題得在1，3上單調(diào)遞增，所以由題得，所以函數(shù)g（x）在1,3上單調(diào)遞減，所以，由題得所以.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立問題，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，且，則的值為_【答案】-1【解析】【分析】由，得到和的坐標(biāo)關(guān)系，得到的方程，得到【詳解】因?yàn)?，所以，解?【點(diǎn)睛】本小題考查向量平行的定義，同角三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識；考查運(yùn)算求解能力.14.已知等比數(shù)列中，則_【答案】【解析】【分析】設(shè)數(shù)列的公比為，由，解得， ，可得數(shù)列的首項(xiàng)，公比，進(jìn)而可求和得解.【詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，則，所以， ，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比的等比數(shù)列，所以 .【點(diǎn)睛】本小題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和的公式及其應(yīng)用等基礎(chǔ)知識；考查推理論證能力，運(yùn)算求解能力，應(yīng)用意識.15.已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且，則的值為_【答案】-2【解析】【分析】先分析得到函數(shù)f(x)的周期為4，再求f(5)和f(2)的值，即得解.【詳解】由題得-f(x), 所以，所以函數(shù)的周期為4，所以因?yàn)槎x在上的奇函數(shù)滿足，所以所以=-2+0=-2.故答案為：-2【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的周期和函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.16.中心在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸的雙曲線與圓有公共點(diǎn)，且圓在點(diǎn)處的切線與雙曲線的一條漸近線平行，則該雙曲線的實(shí)軸長為_【答案】【解析】【分析】由得，由題意可知雙曲線的漸近線斜率等于，從而可以設(shè)出雙曲線的方程，代入點(diǎn)得到雙曲線的方程，求出實(shí)軸長.【詳解】由的斜率為，則圓在點(diǎn)處的切線斜率為，所以雙曲線的一條漸近線方程為，所以設(shè)雙曲線方程為，因點(diǎn)在雙曲線上，所以，所以雙曲線方程為，即，即，所以實(shí)軸長.【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的方程，漸近線方程，圓的切線，斜率等基礎(chǔ)知識；考查邏輯思維與推證能力、分析與解決問題的能力、運(yùn)算求解能力.屬于簡單題.三、解答題 :共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答. （一）必考題：共60分17.檳榔原產(chǎn)于馬來西亞，中國主要分布在云南、海南及臺(tái)灣等熱帶地區(qū)，在亞洲熱帶地區(qū)廣泛栽培.檳榔是重要的中藥材，在南方一些少數(shù)民族還有將果實(shí)作為一種咀嚼嗜好品，但其被世界衛(wèi)生組織國際癌癥研究機(jī)構(gòu)列為致癌物清單類致癌物.云南某民族中學(xué)為了解，兩個(gè)少數(shù)民族班學(xué)生咀嚼檳榔的情況，分別從這兩個(gè)班中隨機(jī)抽取5名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，將他們平均每周咀嚼檳榔的顆數(shù)作為樣本繪制成莖葉圖如圖所示（圖中的莖表示十位數(shù)字，葉表示個(gè)位數(shù)字）.（1）你能否估計(jì)哪個(gè)班級學(xué)生平均每周咀嚼檳榔的顆數(shù)較多？（2）從班的樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取一個(gè)不超過19的數(shù)據(jù)記為，從班的樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取一個(gè)不超過21的數(shù)據(jù)記為，求的概率；【答案】（1）班學(xué)生（2）【解析】【分析】（1）班學(xué)生每周平均咀嚼檳榔的顆數(shù)為17顆，班學(xué)生每周平均咀嚼檳榔的顆數(shù)為19顆.故估計(jì)班學(xué)生平均每周咀嚼檳榔的顆數(shù)較多.（2）利用古典概型的概率計(jì)算的概率.【詳解】解：（1）班樣本數(shù)據(jù)的平均值為.由此估計(jì)班學(xué)生每周平均咀嚼檳榔的顆數(shù)為17顆；班樣本數(shù)據(jù)的平均值為，由此估計(jì)班學(xué)生每周平均咀嚼檳榔的顆數(shù)為19顆.故估計(jì)班學(xué)生平均每周咀嚼檳榔的顆數(shù)較多.（2）班樣本數(shù)據(jù)中不超過19的數(shù)據(jù)有3個(gè)，分別為9，11，14，班的樣本數(shù)據(jù)中不超過21的數(shù)據(jù)也有3個(gè)，分別為11，12，21.從班和班的樣本數(shù)據(jù)中各隨機(jī)抽取一個(gè)共有9種不同情況，分別為，.其中的情況有，三種，故的概率.【點(diǎn)睛】本題主要考查平均數(shù)的計(jì)算，考查古典概型的概率的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.18.如圖，在中，已知點(diǎn)在邊上，且，.（1）求的長；（2）求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)先計(jì)算得到 ，再利用余弦定理求出的長(2)先利用余弦定理求得, 即得.在中，易得.再求得的面積為.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所?.在中，由余弦定理得：，所以.（2）在中，由（1）知， ，所以.則.在中，易得. .所以的面積為.【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理解三角形，考查三角形面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理計(jì)算能力.19.如圖，在三棱柱中，已知點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)在線段上，且，且，.求證：（1）平面平面；（2）平面.【答案】（1）見證明；（2）見證明【解析】分析】（1）先證明平面.因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）取中點(diǎn)，連結(jié)，先證明四邊形是平行四邊形，再證明和平面.【詳解】解:（1）因?yàn)?，又，平面，平面，所以平?因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）取中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)?，所以為線段的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，所以，且.在三棱柱中，且.又，所以為線段的中點(diǎn)，故，且.所以，且，于是四邊形是平行四邊形，從而.又平面，平面，故平面.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間幾何元素的位置關(guān)系的證明，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和空間想象轉(zhuǎn)化能力.20.橢圓：的長軸長為4，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）若直線：交橢圓于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且不與、兩點(diǎn)重合，直線，的斜率分別為，.求證：，之積為定值.【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】（1）由題意，解方程即得橢圓方程為.（2）（2）把代入，有，設(shè)，則：，.再計(jì)算化簡得證.【詳解】解：（1）由題意，即橢圓方程為.（2）把代入，有，設(shè)，則：，.，.故，之積為定值.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線和橢圓的位置關(guān)系和定值問題，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理計(jì)算能力.21.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.（2）【解析】試題分析：（）函數(shù)求導(dǎo)，定義域?yàn)?，由，可得或進(jìn)而討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得函數(shù)單調(diào)性即可；（）若恒成立，只需即可，討論函數(shù)單調(diào)性求最值即可.試題解析：（）函數(shù)的定義域?yàn)椋?由，可得或，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，沒有單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的變化情況如下表：所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.當(dāng)時(shí)，的變化情況如下表：所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是. （）由（）知，當(dāng)時(shí)，符合題意.當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，所以恒成立等價(jià)于，即，所以，所以.當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，所以恒成立等價(jià)于，即.所以，所以.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)問題經(jīng)常會(huì)遇見恒成立的問題：（1）根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；（2）若就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為 ，若恒成立；（3）若 恒成立，可轉(zhuǎn)化為（需在同一處取得最值） .（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線，過點(diǎn)的直線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)），直線與曲線分別交于、兩點(diǎn).（1）寫出曲線直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程；（2）求線段的長和的積.【答案】（1）曲線的直角坐標(biāo)方程為：.直線的普通方程為.（2）8； 14【解析】【分析】（1）由，也即，即得曲線的直角坐標(biāo)方程為.由消去參數(shù)得直線的普通方程為.（2）將直線的參數(shù)方程代入中得，再利用直線參數(shù)方程t的幾何意義求線段的長和的積.【詳解】（1）由，也即，曲線的直角坐標(biāo)方程為：.由消去參數(shù)得直線的普通方程為.（2）將直線的參數(shù)方程代入中，得：，則有，.不妨設(shè)，兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為、，則， .【點(diǎn)睛】本題主要考查參數(shù)方程、普通方程和極坐標(biāo)方