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河北省唐山市第一中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)10月調(diào)研考試試題 理（含解析）一、選擇題（本大題共12小題）1. i是虛數(shù)單位，A. B. C. D. 2. 設(shè)，則“”是“”的A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件3. 圓截直線所得弦長為2，則實(shí)數(shù)A. 2B. C. 4D. 4. 已知，那么等于 A. B. 8C. 18D. 5. 求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為A. 1B. 2C. 3D. 46. 若直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則k的取值范圍是A. B. C. D. 7. 已知函數(shù)，則A. 在單調(diào)遞增B. 的最小值為4C. 的圖象關(guān)于直線對稱D. 的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱8. 己知橢圓的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作圓的切線，若兩條切線互相垂直，則橢圓C的離心率為A. B. C. D. 9. 已知P是邊長為2的正三角形ABC邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，則的值A(chǔ). 是定值6B. 最大值為8C. 最小值為2D. 與P點(diǎn)位置有關(guān)10. 已知函數(shù)，若方程有五個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是A. B. C. D. 11. 若點(diǎn)A的坐標(biāo)為，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線上移動(dòng)時(shí)，使取得最小值的M的坐標(biāo)為A. B. C. D. 12. 已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，則下列結(jié)論正確的是A. 在單調(diào)遞減B. 在單調(diào)遞增C. 在上有極小值D. 在上有極大值二、填空題（本大題共4小題）13. 已知向量，且，則_14. 函數(shù)是常數(shù)，的部分圖象如圖所示，則_15. 數(shù)列滿足，且，則等于_ 16. 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為_三、解答題（本大題共6小題）17. 已知函數(shù)求的定義域與最小正周期；討論在區(qū)間上的單調(diào)性18. 已知等差數(shù)列中，順次成等比數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng)公式；記，的前n項(xiàng)和，求19. 已知a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對邊，若，求cosB；設(shè)，且，求的面積20. 已知數(shù)列滿足證明：是等比數(shù)列；求21. 已知函數(shù)若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求a的值及函數(shù)的極值；討論函數(shù)的單調(diào)性22. 已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線為求a，b的值；若對任意的，恒成立，求正整數(shù)m的最大值答案和解析1.【答案】C【解析】解：，故選：C兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法，兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，分子和分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，運(yùn)算求得結(jié)果本題主要考查兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法，兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，分子和分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題2.【答案】A【解析】解：，則，可得“”是“”的充分不必要條件故選：A運(yùn)用絕對值不等式的解法和正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，化簡兩已知不等式，結(jié)合充分必要條件的定義，即可得到結(jié)論本題考查充分必要條件的判斷，同時(shí)考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，運(yùn)用定義法和正確解不等式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題3.【答案】D【解析】解：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，可得圓心坐標(biāo)為，半徑滿足，則圓心到直線的距離為，由，得，故選：D由已知圓的方程求出圓心和半徑，再求出圓心到直線的距離，利用垂徑定理列式求解本題考查直線和圓相交以及弦長公式的應(yīng)用，求出圓心和半徑是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題4.【答案】D【解析】【分析】本題考查函數(shù)的含義，是基礎(chǔ)題；本題也可以先求函數(shù)的解析式，代入求值即可考查的形式，把化為的形式，即可【解答】解：，故選D5.【答案】C【解析】解：，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取到極大值，所以當(dāng)時(shí)，取到極小值，所以函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3 故選C 通過求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值與0的大小即可得到答案本題考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，注意利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、極值在判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)中的應(yīng)用6.【答案】C【解析】解：直線，當(dāng)時(shí)，可得此直線恒過，曲線為圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2的半圓，根據(jù)題意作出相應(yīng)的圖形，如圖所示： 當(dāng)直線與半圓相切切點(diǎn)在第二象限時(shí)，圓心到直線的距離，即，解得：，當(dāng)直線過點(diǎn)C時(shí)，將，代入直線方程得：，解得：，則直線與曲線有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)k的范圍為故選C由直線方程的特點(diǎn)得到此直線恒過，由曲線方程的特點(diǎn)得到曲線為一個(gè)半圓，在平面直角坐標(biāo)系中畫出相應(yīng)的圖形，根據(jù)直線與半圓有2個(gè)交點(diǎn)，取兩個(gè)特殊情況：當(dāng)直線與半圓相切，且切點(diǎn)在第二象限時(shí)，可得出圓心到直線的距離等于圓的半徑，即，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到此時(shí)k的值；當(dāng)直線過點(diǎn)C時(shí)，將C的坐標(biāo)代入直線方程，得到關(guān)于k的方程，求出方程的解得到此時(shí)k的值，由圖象可得出滿足題意k的取值范圍此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，利用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，直線與圓的位置關(guān)系由d與r的大小來判斷為圓心到直線的距離，r為圓的半徑，當(dāng)時(shí)，直線與圓相離；當(dāng)時(shí)，直線與圓相切；當(dāng)時(shí)，直線與圓相交7.【答案】D【解析】解：；在單調(diào)遞減，關(guān)于對稱；在上單調(diào)遞減，關(guān)于點(diǎn)對稱；故選：D可將原函數(shù)變成，從而看出是由沿x軸向右平移1個(gè)單位，沿y軸向上平移2個(gè)單位得出，顯然，關(guān)于原點(diǎn)對稱，從而得出關(guān)于對稱，從而選D考查圖象的平移，奇函數(shù)的對稱性，以及的奇偶性和單調(diào)性8.【答案】D【解析】【分析】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬于基礎(chǔ)題由題意畫出圖形，可得，兩邊平方后結(jié)合a，b，c之間的關(guān)系得答案【解答】解：如圖，由題意可得，則，即，則，即故選：D9.【答案】A【解析】解：設(shè)則，故選：A先設(shè)，然后用和表示出，再由將、代入可用和表示出，最后根據(jù)向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算可求得的值，從而可得到答案本題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算和向量的線性運(yùn)算高考對向量的考查一般不會(huì)太難，以基礎(chǔ)題為主，而且經(jīng)常和三角函數(shù)練習(xí)起來考查綜合題，平時(shí)要多注意這方面的練習(xí)10.【答案】B【解析】【分析】本題考查了方程的解與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題及利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，屬中檔題由方程的解與函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題得：方程有五個(gè)不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于的圖象與的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，作圖可知，只需與曲線在第一象限由兩個(gè)交點(diǎn)即可，利用導(dǎo)數(shù)求切線方程得：設(shè)過原點(diǎn)的直線與切于點(diǎn)，得，即，即過原點(diǎn)的直線與相切的直線方程為，即所求a的取值范圍為，得解【解答】解：設(shè)，則的圖象與的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，方程有五個(gè)不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于函數(shù)的圖象與的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，由圖可知，只需與曲線在第一象限有兩個(gè)交點(diǎn)即可，設(shè)過原點(diǎn)的直線與切于點(diǎn)，由，則切線方程為，又此直線過點(diǎn)，所以，所以，即，即過原點(diǎn)的直線與相切的直線方程為，即所求a的取值范圍為故選B11.【答案】D【解析】解：由題意得，準(zhǔn)線方程為，設(shè)點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為，則由拋物線的定義得，故當(dāng)P、A、M三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值為把代入拋物線得，故點(diǎn)M的坐標(biāo)是，故選：D求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，把轉(zhuǎn)化為，利用當(dāng)P、A、M三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，把代入拋物線解得x值，即得M的坐標(biāo)本題考查拋物線的定義和性質(zhì)得應(yīng)用，解答的關(guān)鍵利用是拋物線定義，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想12.【答案】D【解析】解：，設(shè)，則，由，解得：，解得：，時(shí)，函數(shù)取得最大值，故選：D設(shè)，得到，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到函數(shù)的極大值，從而求出答案本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵，本題是一道中檔題13.【答案】【解析】解：且，解得，故答案為：由向量共線可得m值，進(jìn)而可得的坐標(biāo)，由模長公式可得答案本題考查向量的模，涉及向量的共線的條件，屬基礎(chǔ)題14.【答案】【解析】【分析】本題主要考查由函數(shù)的部分圖象求解析式，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題由函數(shù)的最值求出A，由周期求出，由點(diǎn)在函數(shù)圖象上可得，結(jié)合范圍，可得：，得函數(shù)的解析式，即可計(jì)算得解的值【解答】解：由函數(shù)的部分圖象，可得，解得：，解得：由點(diǎn)在函數(shù)圖象上，可得：，可得，又可得：，可得函數(shù)解析式為，可得故答案為15.【答案】【解析】解：，即數(shù)列為等差數(shù)列，又，首項(xiàng)，公差，故答案為：通過可知數(shù)列為等差數(shù)列，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題16.【答案】【解析】解：等差數(shù)列的公差設(shè)為d，前n項(xiàng)和為，可得，解得，即，則，前n項(xiàng)和，相減可得，化簡可得故答案為：等差數(shù)列的公差設(shè)為d，運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式，解方程可得首項(xiàng)和公差，進(jìn)而得到通項(xiàng)公式，以及，運(yùn)用數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，可得所求和本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，以及等比數(shù)列的求和公式，考查數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，考查化簡運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題17.【答案】解：，即函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t，則函數(shù)的周期；由，得，即函數(shù)的增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，增區(qū)間為，此時(shí)，由，得，即函數(shù)的減區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，減區(qū)間為，此時(shí)，即在區(qū)間上，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為【解析】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，兩角和差的余弦公式以及輔助角公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式以及兩角和差的余弦公式，結(jié)合三角函數(shù)的輔助角公式進(jìn)行化簡求解即可利用三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可18.【答案】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)椋槾纬傻缺葦?shù)列，所以，所以，化簡得，解得所以，所以由得，所以【解析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程求出數(shù)列的公差，然后求解通項(xiàng)公式化簡通項(xiàng)公式，利用并項(xiàng)求和求解數(shù)列的和即可本題考查等差數(shù)列以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列求和的方法，考查計(jì)算能力19.【答案】解：，由正弦定理可得：，代入可得，由余弦定理可得：由可得：，且，解得【解析】，由正弦定理可得：，再利用余弦定理即可得出利用及勾股定理可得c，再利用三角形面積計(jì)算公式即可得出本題考查了正弦定理余弦定理、勾股定理、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題20.【答案】解：證明：由得：，因?yàn)?，所以，從而由，得，所以是?為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；由得，所以【解析】運(yùn)用數(shù)列的遞推式和等比數(shù)列的定義，即可得證；由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式，以及數(shù)列的分組求和，計(jì)算可得所求和本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，注意運(yùn)用數(shù)列的遞推式，考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，以及數(shù)列的分組求和，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題21.【答案】解：，由已知，此時(shí)，當(dāng)和時(shí)， 0/，是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，所以函數(shù)在和處分別取得極大值和極小值故函數(shù)的極大值為，極小值為，當(dāng)，即時(shí)，時(shí)，時(shí)， 0/，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，和時(shí)， 0/，時(shí)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間和上單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，和時(shí)， 0/，時(shí)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間和上單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，所以在定義域上單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間和上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在定義域上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間和上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增【解析】本題考查函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)性的判斷，考查分類討論思想的應(yīng)用，是難題求出導(dǎo)函數(shù)，通過時(shí)導(dǎo)函數(shù)為0，求出a，然后求解極值點(diǎn)判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，求解函數(shù)的極值求出導(dǎo)函數(shù)，通