第一輪復習數學：8.4直線與圓錐曲線的位置關系

8.4直線和圓錐曲線之間的位置關系知識梳理本節(jié)的主要內容是直線和圓錐曲線的公共點問題、相交弦問題及其綜合應用。解決這些問題通常轉化為由相應的方程形成的方程是否有解或有多少解的問題。對于交點弦長問題和中點弦長問題，應正確使用“不求集合”。對于涉及焦點弦的問題，我們也可以用圓錐曲線的焦點半徑公式。點擊雙基1.交叉點(2，4)是一條直線，拋物線Y2=8x只有一個公共點。這種直線是a1 b . 2 c . 3d . 4分析：結合數字和形狀，同時注意曲線上的點?；卮穑篵2.如果雙曲線C: X2-=1是已知的，并且交點P (1，1)被視為直線L，使得L和C具有并且只有一個公共點，那么滿足上述條件的直線L是公共的。a1 b . 2 c . 3d . 4分析：數字和形狀的組合，與漸近線平行和相切?；卮穑篸3.如果雙曲線x2-y2=1的左焦點是f，點p是左支下半支上的任何一點(不同于頂點)，直線PF斜率的變化范圍是A.(-，0)B.(1，+)C.(-，0)(1，)D.(-，-1)(1，+)分析：數字和形狀的組合，比較漸近線的梯度。答：c4.穿過拋物線y2=4x焦點的直線在點A和點B處與拋物線相交。如果|AB|=8已知且O為坐標原點，則OAB重心的橫坐標為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _。分析：拋物線焦點f (1，0)是從問題的意義上知道的。穿過焦點f (1，0)的直線是y=k (x-1) (k 0)，a (x1，y1)，b (x2，y2)。代入拋物方程消去y，得到k2x2-2(k2 2)x k2=0) x k2=0。k20,x1 x2=，x1x2=1。| AB |=8，k2=1.OAB重心的橫坐標是x=2。回答：25.如果已知(4，2)是橢圓截出的線段的中點=1，那么L的方程是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _。分析：讓直線L和橢圓相交P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，將P1和P2的坐標代入橢圓方程，減去斜率k=-=-=-=-。由點斜公式得到的l方程為x2y-8=0。答案：x2y-8=0典型案例分析例1眾所周知，直線L: y=tan (x 2)與橢圓x2 9y2=9相交于點A和B。如果是L的傾角，并且|AB|的長度不小于短軸的長度，則可以找到的取值范圍。分析：為了確定某個變量的取值范圍，我們應該試著建立一個關于這個變量的不等式。給定弦長2b已在問題中明確定義。最后，可以歸結為通過計算弦長來求解不等式的問題。解：將l方程與橢圓方程結合，消去y，得到(19 tan 2 ) x236 tan 2 x 72 tan 2 -9=0。|AB|=|x2-x1|=。從|AB|2，tan2起，-tan. 的取值范圍是0， 。備注：弦長公式必須掌握并靈活運用。在本主題中，由于L的方程由tan給出，因此 可以確定。否則，當涉及弦長計算時，也應討論=的情況。深化擴張如果條件|AB|的長度不小于短軸的長度，則改變主題以找到|AB|長度的值范圍。讀者可能希望嘗試一下。提示：|AB|=，設|AB|=y，即y=，9ytan2 y=6tan2 6，(9y-6)tan2 y-6=0。當y從 0小于y 6。當y=l垂直于x軸時，因此，|AB|的范圍是，6。已知拋物線y2=-x和直線y=k(x 1)在點a和b相交。(1)驗證：OAob；(2)當OAB的面積等于時，計算k值。分析：這證明OAOB可以有兩個想法(如下圖所示):(1)證書KOA kob=-1；(2)取AB的中點m來證明|OM|=|AB|。要求K的值，關鍵是用面積來建立關于K的方程。還有兩種方法來求AOB的面積：(1)用SOAB=|AB|h(h為o到AB的距離)；(2)設定A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線與x軸的交點為n，并使用s oab=| ab | | y1-y2 |。請選擇一種思維方式給出答案。當解一個方程組時，是否消除x或y應根據解問題的思路來決定。當然，在這里消除x是最簡單的。(1)證明：下圖由方程式組成x之后A和b在拋物線y2=-x上，y12=-x1,y22=-x2,y12y22=x1x2.* KoAkob=-1，OAOB.(2)求解：讓直線在N處與X軸相交，顯然k0。如果y=0，那么x=-1，即n (-1，0)。SOAB=SOAN SOBN=|開| | y1 | |開|y2|=|開|y1-y2|，SOAB=1=。SOAB=， k=。注釋：本主題研究兩條直線垂直的充要條件、三角形的面積公式、函數和方程的思想以及分析和解決問題的能力。例3在拋物線y2=4x上，總是有兩個關于直線y=kx 3對稱的點。求k的取值范圍分析：讓B和C關于直線y=kx 3對稱，直線BC: X=-KyM可以很容易地得到。從B和C關于直線y=kx 3的對稱性，可以得到M和K之間的關系。雖然直線BC和拋物線有兩個交點， 0時，可以得到k的范圍。解：讓B和C關于直線y=kx 3對稱，直線BC方程是X=-金莎，代入Y2=4x得到Y2 4Ky-4m=0。設B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC中點M(x0，y0)，那么y0=-2k，x0=2k2m。點M(x0，y0)在直線l上，-2k=k(2k2+m) 3。m=-.此外，公元前和拋物線相交于兩個不同的點。=16k2+16m0.將m代入歸約至0，即0，解-1 k 0”。思考和討論將直線BC設為x=-ky m。好的！如果直線BC的等式被設置為y=-x m，則該問題的計算量將增加。學生們不妨試一試。入職培訓堅實的基礎1.如果從雙曲線x2-y2=1的右分支上的點P(a，b)到直線y=x的距離為，則b的值為A.-不列顛哥倫比亞省D.2分析：如果點P(a，b)在雙曲線上，那么a2-B2=1，也就是，(ab) (a-b)=1。d=，|a-b|=2.p點在右邊的分支，有一個ab，a-b=2.|a b|2=1，a b=1?；卮穑篵2.如果已知kR、直線y-kx-1=0和橢圓=1之間有一個公共點，則實數m的取值范圍為A.(0，1) B.(0，5)C.1，5)(5，)1，5)分析：直線y-kx-1=0有一個恒定的交點(0，1)。只有當點(0，1)在橢圓上或橢圓內時，直線才與橢圓有一個公共點。因此，如果1且m 0，則m1。因此，c應該被選擇用于這個主題。答：c3.假設雙曲線x2-=1，如果雙曲線在點a和點b處作為直線與點p (2，1)相交，且p是直線的中點，則直線AB的斜率為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。分析：將A(x1，y1)和B(x2，y2)代入雙曲線方程3X2-Y2=1，減去直線AB的斜率kAB=6?；卮穑?4.AB是拋物線y2=2px的焦點弦(p 0)。如果|AB|=1，AB中點的橫坐標是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；如果AB的傾角為，則| AB |=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _。分析：將通過f(，0)的直線設為y=k (x-)，k0，代入拋物方程，由條件得到結果?；卮穑?.求通過橢圓X2 2Y2=2切點(0，2)的直線中點的軌跡方程。解：讓線性方程為y=kx 2。放入x2 2y2=2，成品(2k2 1) x28kx6=0。如果直線和橢圓有兩個不同的交點， 0，即k 。如果直線和橢圓的交點是A(x1，y1)，B(x2，y2)，中點坐標是C(x，y)，那么x=，y=2=。(k )，從參數方程x=，y=k的消去產生x2 2 (y-1) 2=2。和| x | =，0 y b 0)，e=， a2=4b2，即a=2b。橢圓方程是=1。將直線方程代入簡化得到5x2-8x4-4b2=0。如果設置了M(x1，y1)和N(x2，y2)，則x1+x2=，x1x2=(4-4b2)。y1y2=(1-x1)(1-x2)=1-(x1+x2)+x1x2=(1-4b2)。因為OMON， x1x2 y1y2=0。獲取b2=，a2=。橢圓方程是x2 y2=1。培養(yǎng)能力7.嘗試證明從雙曲線上的任何一點到它的兩條漸近線的距離的乘積是常數。證明了如果P(x0，y0)是已知雙曲線上的任意一點，且雙曲線的漸近線為bxay=0，則P點到兩條漸近線的距離的乘積為d1d2=常數。8.已知直線y=(a1) x-1和曲線y2=ax正好有一個公共點，并且獲得了實際數a的值。讓它只有一套解決方案。分析：聯立方程y=(a 1)x-1，y2=ax，(1)當a=0時，方程正好有一組解x=1，y=0。(2)當a0時，方程簡化為y2-y-1=0。如果=0，也就是說，a=-1，這些方程只有一個解。x=-1，y=-1。解決方案如果0，也就是說，a 1，讓=0，得到1 4=0，得到a=-，那么方程就有x=-5，y=-2?？偠灾?，可以看出當a=0，-1，-直線和曲線正好有一個公共點。探索和創(chuàng)新9.(北京，2003)如下圖所示，橢圓的長軸A1A2平行于x軸，短軸B1B2在y軸上，中心為M(0，r) (b r 0)。(1)寫出橢圓方程，求出橢圓的焦點坐標和偏心率。(2)直線y=k1x的相交橢圓位于兩點C(x1，y1)，D(x2，y2)(y2 0)；直線y=k2x在兩點G(x3，y3)、H(x4，y4)處與橢圓相交(y4 0)。驗證：=。(3)對于(2)中的c、d、g和h，在p點設置CH x軸，在q點設置GD x軸驗證：|OP|=|OQ|。(驗證過程不考慮CH或GD垂直于X軸的情況)(1)解：橢圓方程=1。焦點坐標是F1 (-，R)，F2(，R)，離心機e=。(2)證明：將直線CD的方程y=k1x代入橢圓方程，得到B2X2 A2 (K1x-R) 2=A2B2，(B2 A2 K12)X2-2K1 A2 RX(A2R 2-A2B 2)=0。根據維塔定理x1 x2=，x1x2=，So=.1將直線GH的方程y=k2x代入橢圓方程，我們可以用同樣的方法得到=2。從到=。所以結論成立。(3)證明：點P(p，0)，點Q(q，0)。從c，p，h三個點共線，得到=，P=。Q=。From=變形-=，那是-=。所以|p|=|q|，也就是|OP|=|OQ|。思考和理解總結1.在解決直線與圓錐曲線的位置關系問題時，一元二次方程消去后，必須討論二次項系數和判別式。有時使用圖形的幾何性質更方便。2.當涉及到字符串的中點時，除了vieta定理之外，還可以使用平方偏差法。但是，除非直線與圓錐相交，否則不適合使用此方法。3.當求圓錐曲線的弦長時，可以用弦長公式d=。結合維塔定理的解，焦距弦長也可以直接由焦距公式處理，這樣可以簡化運算。教師下載中心教學亮點1.一條直線和一條圓錐曲線是否有公共點或幾個公共點的問題可以轉化為由它們對應的方程形成的方程是否有解或解的個數的問題，這通常最后歸結為討論二次方程的根的情況。應該注意，當直線平行于拋物線的對稱軸或雙曲線的漸近線時，直線和拋物線或雙曲線只有一個交點。2.直線與圓錐曲線相交弦的問題主要包括以下幾個方面：相交弦的長度，以及弦長公式| ab |=| x2-x1 |；弦所在的直線方程(如中點弦、相交弦等)。)，弦中點的軌跡等?？梢酝ㄟ^“以點代點，以設代求”的方法來解決(設置交點坐標，將交點坐標代入曲線方程，不是專門尋找坐標，而是利用坐標應滿足的關系直接解決問題)。3.談到二次曲線的焦點弦問題，我們也可以用二次曲線的焦點半徑公式(即二次曲線的第二種定義)。我們應該掌握求焦點半徑的方法和用焦點半徑解決問題的方法。展開主題示例例1(福州模擬題2003)已知拋物線C: Y2=4 (X-1)，橢圓C1的左焦點和左準線分別與拋物線C的焦點F和準線L重合。(1)設B為橢圓C1短軸