第五課時(shí)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和一

算術(shù)級(jí)數(shù)在第五課(1)中的前N名總結(jié)教學(xué)目標(biāo)：為了掌握算術(shù)級(jí)數(shù)的前N個(gè)項(xiàng)和公式及其獲取思路，我們將使用算術(shù)級(jí)數(shù)的前N個(gè)項(xiàng)和公式來(lái)解決一些與前N個(gè)項(xiàng)和公式相關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題。提高學(xué)生的推理能力和應(yīng)用意識(shí)。教學(xué)重點(diǎn)：算術(shù)級(jí)數(shù)的前N項(xiàng)和公式的推導(dǎo)、理解和應(yīng)用。教學(xué)中的困難：靈活應(yīng)用算術(shù)級(jí)數(shù)的前N個(gè)公式解決一些簡(jiǎn)單的相關(guān)問(wèn)題。教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)和復(fù)習(xí)經(jīng)過(guò)之前的研究，我們知道在算術(shù)級(jí)數(shù)中：(1) an-an-1=d (n 1)，d為常數(shù)。(2)如果A、A和B是算術(shù)級(jí)數(shù)，A=1。(3)如果m n=p q，則am an=AP AQ。(其中m，n，p，q是正整數(shù))二。新課程教學(xué)隨著學(xué)習(xí)系列的深入，我們經(jīng)常會(huì)遇到這樣的問(wèn)題。例如，如圖所示，將一支鉛筆放在用于堆疊鉛筆的V形架子的底層上，在底層之上的每層上再放置一支鉛筆，并且在頂層上放置120支鉛筆。這個(gè)V形架子上放了多少支鉛筆？這是一個(gè)V形的鉛筆堆放架，類似于之前接觸的鋼管堆放示意圖?？吹竭@個(gè)圖表，每個(gè)人都會(huì)很快找到每層鉛筆的數(shù)量和層數(shù)之間的關(guān)系，這個(gè)關(guān)系可以用一個(gè)等式來(lái)表示，這個(gè)等式可以用來(lái)計(jì)算每層鉛筆的數(shù)量。那么，這個(gè)V形架子上放了多少支鉛筆？如何解決這個(gè)問(wèn)題？經(jīng)過(guò)分析，我們不難看出這是一個(gè)算術(shù)和問(wèn)題？首先，讓我們看看這個(gè)問(wèn)題：1 2 3 100=？對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，著名的數(shù)學(xué)家高斯在他10歲的時(shí)候就很快得出了它的結(jié)果。你知道他是怎么算出來(lái)的嗎？高斯算法是：第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)之和：1 100=101。第2項(xiàng)和倒數(shù)第二項(xiàng)之和：2 99=101。第3項(xiàng)和倒數(shù)第3項(xiàng)之和：3 98=101。第50項(xiàng)和倒數(shù)第二項(xiàng)的總和：50 51=101，所以總和是101=5050。這個(gè)問(wèn)題也和我們剛才遇到的問(wèn)題相似。它可以被看作是算術(shù)級(jí)數(shù)1，2，3，n，在上面的解中，我們發(fā)現(xiàn)和可以用第一項(xiàng)、最后一項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)n來(lái)表示，并且任何k項(xiàng)和倒數(shù)k項(xiàng)的和等于第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)的和，這啟發(fā)我們?nèi)绾吻笠话闼阈g(shù)級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)的和。如果我們能總結(jié)出一個(gè)計(jì)算公式，上述問(wèn)題就能很容易地解決。讓算術(shù)級(jí)數(shù)an的前n項(xiàng)之和為Sn，即sn=a1 a2 an 項(xiàng)目的順序是相反的，序號(hào)可以寫為序號(hào)=an-1a1(2)+2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(an+a1)同樣a2 an-1=a3 an-2=a4 an-3=a12Sn=n(a1+an)即：sn=根據(jù)算術(shù)級(jí)數(shù)an的通項(xiàng)公式，Sn可以寫成：Sn=a1 (a1 d).a1 (n-1) d ，項(xiàng)的順序顛倒，sn可以寫成：sn=an (an-d).an-(n-1) d )，分別加和的兩邊得到2Sn=n(a1+an)也就是說(shuō)，sn=。由此，可以獲得公式sn=，它是算術(shù)級(jí)數(shù)an的前n項(xiàng)的和。換句話說(shuō)，算術(shù)級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)之和等于前兩項(xiàng)和后兩項(xiàng)之和與項(xiàng)數(shù)的乘積的一半。用這個(gè)公式計(jì)算1 2 3 100=？我們有S100=5050。此外，an=a1 (n-1) d，Sn=na1+d sn=或sn=na1 d有了這個(gè)公式，我們就不難解決開始時(shí)遇到的問(wèn)題。讓我們看看如何解決它們。根據(jù)分析，這個(gè)V形框架上有120層鉛筆，每層鉛筆從上到下形成一個(gè)算術(shù)級(jí)數(shù)，可以記錄為an，其中A1=1，a120=120，N=120。解決方案：鉛筆從上到下被設(shè)置為算術(shù)級(jí)數(shù)an，其中n=120，a1=1，a120=120。然后：s120=7260答：這個(gè)v型架上有7260支鉛筆。讓我們看另一個(gè)例子：算術(shù)級(jí)數(shù)-10，-6，-2，2，前54項(xiàng)的總和是多少？分析：首先，根據(jù)等差數(shù)列給出的項(xiàng)計(jì)算該數(shù)列的第一項(xiàng)和容差，然后根據(jù)等差數(shù)列的求和公式求解。解決方法：讓問(wèn)題中的算術(shù)級(jí)數(shù)為an，前n項(xiàng)為Sn。根據(jù)問(wèn)題的含義，A1=-10，D=(-6)-(10)=4，SN=54根據(jù)算術(shù)程序前N項(xiàng)的求和公式解決方案：n1=9，N2=-3(略)答：算術(shù)級(jí)數(shù)的前9項(xiàng)之和-10，-6，-2，2，是54歲。示例1在算術(shù)級(jí)數(shù)an中，(1)假設(shè)A2 A5 A12 A15=36，計(jì)算S16(2)假設(shè)A6=20，搜索S11。分析：(1)由于本課題只給出了一個(gè)方程，a1，a16，D不能用條件直接得到，但a1，A16的和可以根據(jù)算術(shù)級(jí)數(shù)的性質(zhì)用條件直接得到，所以問(wèn)題就解決了。(2)要求S11只知道a1 a11，a1和a11之間相等差的中值是a6，因此解決了該問(wèn)題。解決方案：(1)A2 A15=A5 A12=A1 A16=18S16=818=144.(2 )* a1+a11=2 a6S11=11a6=1120=220.例2有一個(gè)算術(shù)級(jí)數(shù)，它的項(xiàng)數(shù)是2n 1。找出奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)和的比值。分析1:使用sn=na1 d解決問(wèn)題。解決方案1:讓序列的第一項(xiàng)為a1，公差為D，奇數(shù)項(xiàng)為a1，A1 2D，它的總和是S1，共N 1項(xiàng)；偶數(shù)項(xiàng)是a1 d，a1 3d，a1 5d，他們的總和是S2，總共n項(xiàng)。=.分析2:使用序號(hào)=解決問(wèn)題。解決方案2:從解決方案中了解：S1=，S2=* a1+a2n 1=a2+a2n =例3如果兩個(gè)等差數(shù)列的前N項(xiàng)之和的比值是(7N 1): (4N 27)，試著找出它們的第11項(xiàng)的比值。分析1:利用AQ的性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題。解決方案1:讓序列an的前n項(xiàng)之和為Sn，序列bn的前n項(xiàng)之和為t n。然后：a11=，b11=，=分析2:使用算術(shù)級(jí)數(shù)的前N項(xiàng)和SN=AN2BN來(lái)解決問(wèn)題。解決方案2:讓序列號(hào)=(7N 1)自然殺傷人員地雷和TN=(4N 27)自然殺傷人員地雷由問(wèn)題設(shè)定從an=sn-sn-1=k (14n-6)，a11=148k，n2Bn=TN-TN-1=k (8n-23)，結(jié)果b11=111k，n2。=.備注：對(duì)于本例，一般結(jié)論是：給定算術(shù)級(jí)數(shù)an和bn的前N項(xiàng)之和分別為Sn和t N，則：(1)=；(2)=。示例4如果算術(shù)級(jí)數(shù)an的前m項(xiàng)之和為30，前2m項(xiàng)之和為100，則前3m項(xiàng)之和為答：公元前170年到公元210年分析1:專門化問(wèn)題，即，命令m=1來(lái)解決它。解決方案1:如果m=1，a1=S1=30，a2=S2-S1=70d=a2-a1=40,a3=a2+d=70+40=110,s3=a1+a2+a3=210分析2:使用算術(shù)級(jí)數(shù)的前N項(xiàng)和公式SN=NA1 D來(lái)求解。解決方案2:從已知中獲取A1=，d=S2m=3ma1+d=210.分析3:借助算術(shù)級(jí)數(shù)的前N項(xiàng)和公式SN=和性質(zhì)M N=P QAM An=AP AQ來(lái)求解。解決方案3:從已知從-和-結(jié)合，S3m=210。分析4:根據(jù)性質(zhì)：“如果an已知為算術(shù)級(jí)數(shù)，Sn，S2N-SN，S3n-S2n，SKN-南(K-1)北，(K 2)變成算術(shù)級(jí)數(shù)”。解決方案4:根據(jù)上述性質(zhì)，Sm，S2M-SM，S3m-S2m稱為算術(shù)級(jí)數(shù)。所以sm (s3m-s2m)=2 (s2m-sm)，S3m=3(S2m-Sm)=210.分析5:根據(jù)sn=an2 bn。解答5:安是算術(shù)級(jí)數(shù)。讓sn=20億，Sm=am2+bm=30,S2m=4m2a+2mb=100A=，b=S3m=9m2a+3mb=210.分析6:利用算術(shù)數(shù)列的求和公式，用SN=NA1 D來(lái)解決問(wèn)題。解決方案6:從sn=na1 d，即=a1 d由此我們可以看到序列也變成了算術(shù)級(jí)數(shù)，即算術(shù)級(jí)數(shù)。By=，sm=30，S2m=100S3m=210.備注：一般來(lái)說(shuō)，算術(shù)級(jí)數(shù)am有=(P Q)。示例5在A和B之間插入10個(gè)數(shù)字，用這兩個(gè)數(shù)字做算術(shù)級(jí)數(shù)，找出這10個(gè)數(shù)字的和。分析：解決問(wèn)題有兩個(gè)關(guān)鍵：一是求和公式的選擇；第二是充分利用算術(shù)級(jí)數(shù)的性質(zhì)。解決方案1:如果插入的10個(gè)數(shù)是x1，x2，x3，x10，然后是A，x1，x2，x10和b是算術(shù)級(jí)數(shù)。假設(shè)s=x1 x2 x3 x10，第一項(xiàng)x1和公差d是必需的。* b=a12=a1+11dd=,x1=a+=S=10x1+d=10+=5(a+b)解決方案2:嘗試與上面相同的方法，但是不要問(wèn)d。根據(jù)X1 X10=A BS=5(a+b)解決方案3:試著和上面一樣。如果你面臨困難，你將不得不面對(duì)它們。S=S12-(a+b)=-(a+b)=5(a+b)備注：求和的問(wèn)題是靈活多