第五課時等差數(shù)列的前n項和一

算術(shù)級數(shù)在第五課(1)中的前N名總結(jié)教學目標：為了掌握算術(shù)級數(shù)的前N個項和公式及其獲取思路，我們將使用算術(shù)級數(shù)的前N個項和公式來解決一些與前N個項和公式相關(guān)的簡單問題。提高學生的推理能力和應用意識。教學重點：算術(shù)級數(shù)的前N項和公式的推導、理解和應用。教學中的困難：靈活應用算術(shù)級數(shù)的前N個公式解決一些簡單的相關(guān)問題。教學過程：一、復習和復習經(jīng)過之前的研究，我們知道在算術(shù)級數(shù)中：(1) an-an-1=d (n 1)，d為常數(shù)。(2)如果A、A和B是算術(shù)級數(shù)，A=1。(3)如果m n=p q，則am an=AP AQ。(其中m，n，p，q是正整數(shù))二。新課程教學隨著學習系列的深入，我們經(jīng)常會遇到這樣的問題。例如，如圖所示，將一支鉛筆放在用于堆疊鉛筆的V形架子的底層上，在底層之上的每層上再放置一支鉛筆，并且在頂層上放置120支鉛筆。這個V形架子上放了多少支鉛筆？這是一個V形的鉛筆堆放架，類似于之前接觸的鋼管堆放示意圖。看到這個圖表，每個人都會很快找到每層鉛筆的數(shù)量和層數(shù)之間的關(guān)系，這個關(guān)系可以用一個等式來表示，這個等式可以用來計算每層鉛筆的數(shù)量。那么，這個V形架子上放了多少支鉛筆？如何解決這個問題？經(jīng)過分析，我們不難看出這是一個算術(shù)和問題？首先，讓我們看看這個問題：1 2 3 100=？對于這個問題，著名的數(shù)學家高斯在他10歲的時候就很快得出了它的結(jié)果。你知道他是怎么算出來的嗎？高斯算法是：第一項和最后一項之和：1 100=101。第2項和倒數(shù)第二項之和：2 99=101。第3項和倒數(shù)第3項之和：3 98=101。第50項和倒數(shù)第二項的總和：50 51=101，所以總和是101=5050。這個問題也和我們剛才遇到的問題相似。它可以被看作是算術(shù)級數(shù)1，2，3，n，在上面的解中，我們發(fā)現(xiàn)和可以用第一項、最后一項和項數(shù)n來表示，并且任何k項和倒數(shù)k項的和等于第一項和最后一項的和，這啟發(fā)我們?nèi)绾吻笠话闼阈g(shù)級數(shù)的前n項的和。如果我們能總結(jié)出一個計算公式，上述問題就能很容易地解決。讓算術(shù)級數(shù)an的前n項之和為Sn，即sn=a1 a2 an 項目的順序是相反的，序號可以寫為序號=an-1a1(2)+2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(an+a1)同樣a2 an-1=a3 an-2=a4 an-3=a12Sn=n(a1+an)即：sn=根據(jù)算術(shù)級數(shù)an的通項公式，Sn可以寫成：Sn=a1 (a1 d).a1 (n-1) d ，項的順序顛倒，sn可以寫成：sn=an (an-d).an-(n-1) d )，分別加和的兩邊得到2Sn=n(a1+an)也就是說，sn=。由此，可以獲得公式sn=，它是算術(shù)級數(shù)an的前n項的和。換句話說，算術(shù)級數(shù)的前n項之和等于前兩項和后兩項之和與項數(shù)的乘積的一半。用這個公式計算1 2 3 100=？我們有S100=5050。此外，an=a1 (n-1) d，Sn=na1+d sn=或sn=na1 d有了這個公式，我們就不難解決開始時遇到的問題。讓我們看看如何解決它們。根據(jù)分析，這個V形框架上有120層鉛筆，每層鉛筆從上到下形成一個算術(shù)級數(shù)，可以記錄為an，其中A1=1，a120=120，N=120。解決方案：鉛筆從上到下被設置為算術(shù)級數(shù)an，其中n=120，a1=1，a120=120。然后：s120=7260答：這個v型架上有7260支鉛筆。讓我們看另一個例子：算術(shù)級數(shù)-10，-6，-2，2，前54項的總和是多少？分析：首先，根據(jù)等差數(shù)列給出的項計算該數(shù)列的第一項和容差，然后根據(jù)等差數(shù)列的求和公式求解。解決方法：讓問題中的算術(shù)級數(shù)為an，前n項為Sn。根據(jù)問題的含義，A1=-10，D=(-6)-(10)=4，SN=54根據(jù)算術(shù)程序前N項的求和公式解決方案：n1=9，N2=-3(略)答：算術(shù)級數(shù)的前9項之和-10，-6，-2，2，是54歲。示例1在算術(shù)級數(shù)an中，(1)假設A2 A5 A12 A15=36，計算S16(2)假設A6=20，搜索S11。分析：(1)由于本課題只給出了一個方程，a1，a16，D不能用條件直接得到，但a1，A16的和可以根據(jù)算術(shù)級數(shù)的性質(zhì)用條件直接得到，所以問題就解決了。(2)要求S11只知道a1 a11，a1和a11之間相等差的中值是a6，因此解決了該問題。解決方案：(1)A2 A15=A5 A12=A1 A16=18S16=818=144.(2 )* a1+a11=2 a6S11=11a6=1120=220.例2有一個算術(shù)級數(shù)，它的項數(shù)是2n 1。找出奇數(shù)項和偶數(shù)項和的比值。分析1:使用sn=na1 d解決問題。解決方案1:讓序列的第一項為a1，公差為D，奇數(shù)項為a1，A1 2D，它的總和是S1，共N 1項；偶數(shù)項是a1 d，a1 3d，a1 5d，他們的總和是S2，總共n項。=.分析2:使用序號=解決問題。解決方案2:從解決方案中了解：S1=，S2=* a1+a2n 1=a2+a2n =例3如果兩個等差數(shù)列的前N項之和的比值是(7N 1): (4N 27)，試著找出它們的第11項的比值。分析1:利用AQ的性質(zhì)來解決問題。解決方案1:讓序列an的前n項之和為Sn，序列bn的前n項之和為t n。然后：a11=，b11=，=分析2:使用算術(shù)級數(shù)的前N項和SN=AN2BN來解決問題。解決方案2:讓序列號=(7N 1)自然殺傷人員地雷和TN=(4N 27)自然殺傷人員地雷由問題設定從an=sn-sn-1=k (14n-6)，a11=148k，n2Bn=TN-TN-1=k (8n-23)，結(jié)果b11=111k，n2。=.備注：對于本例，一般結(jié)論是：給定算術(shù)級數(shù)an和bn的前N項之和分別為Sn和t N，則：(1)=；(2)=。示例4如果算術(shù)級數(shù)an的前m項之和為30，前2m項之和為100，則前3m項之和為答：公元前170年到公元210年分析1:專門化問題，即，命令m=1來解決它。解決方案1:如果m=1，a1=S1=30，a2=S2-S1=70d=a2-a1=40,a3=a2+d=70+40=110,s3=a1+a2+a3=210分析2:使用算術(shù)級數(shù)的前N項和公式SN=NA1 D來求解。解決方案2:從已知中獲取A1=，d=S2m=3ma1+d=210.分析3:借助算術(shù)級數(shù)的前N項和公式SN=和性質(zhì)M N=P QAM An=AP AQ來求解。解決方案3:從已知從-和-結(jié)合，S3m=210。分析4:根據(jù)性質(zhì)：“如果an已知為算術(shù)級數(shù)，Sn，S2N-SN，S3n-S2n，SKN-南(K-1)北，(K 2)變成算術(shù)級數(shù)”。解決方案4:根據(jù)上述性質(zhì)，Sm，S2M-SM，S3m-S2m稱為算術(shù)級數(shù)。所以sm (s3m-s2m)=2 (s2m-sm)，S3m=3(S2m-Sm)=210.分析5:根據(jù)sn=an2 bn。解答5:安是算術(shù)級數(shù)。讓sn=20億，Sm=am2+bm=30,S2m=4m2a+2mb=100A=，b=S3m=9m2a+3mb=210.分析6:利用算術(shù)數(shù)列的求和公式，用SN=NA1 D來解決問題。解決方案6:從sn=na1 d，即=a1 d由此我們可以看到序列也變成了算術(shù)級數(shù)，即算術(shù)級數(shù)。By=，sm=30，S2m=100S3m=210.備注：一般來說，算術(shù)級數(shù)am有=(P Q)。示例5在A和B之間插入10個數(shù)字，用這兩個數(shù)字做算術(shù)級數(shù)，找出這10個數(shù)字的和。分析：解決問題有兩個關(guān)鍵：一是求和公式的選擇；第二是充分利用算術(shù)級數(shù)的性質(zhì)。解決方案1:如果插入的10個數(shù)是x1，x2，x3，x10，然后是A，x1，x2，x10和b是算術(shù)級數(shù)。假設s=x1 x2 x3 x10，第一項x1和公差d是必需的。* b=a12=a1+11dd=,x1=a+=S=10x1+d=10+=5(a+b)解決方案2:嘗試與上面相同的方法，但是不要問d。根據(jù)X1 X10=A BS=5(a+b)解決方案3:試著和上面一樣。如果你面臨困難，你將不得不面對它們。S=S12-(a+b)=-(a+b)=5(a+b)備注：求和的問題是靈活多