江蘇南京、鹽城高三數(shù)學(xué)下學(xué)期第二次模擬考試

南京市、鹽城市2019屆高三年級(jí)第二次模擬考試數(shù)學(xué)一、選擇題：本大題共14個(gè)小題,每小題5分,共70分.不需寫出解答過程，請(qǐng)把答案寫在答題紙的指定位置上.1.已知集合，則=_.【答案】【解析】【分析】直接利用并集的定義求解.【詳解】由題得=故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查并集的運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解能力掌握水平.2.若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），且實(shí)部和虛部相等，則實(shí)數(shù)的值為_.【答案】【解析】【分析】由題得z=(a+2i)i=-2+ai,因?yàn)閺?fù)數(shù)的實(shí)部與虛部相等，即可求出a的值.【詳解】由題得z=(a+2i)i=-2+ai,因?yàn)閺?fù)數(shù)的實(shí)部與虛部相等，所以a=-2.故答案為：-2【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的計(jì)算，考查復(fù)數(shù)實(shí)部與虛部的概念，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解能力掌握水平.3.某藥廠選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗(yàn)，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)（單位：kPa）的分組區(qū)間為12，13），13，14），14，15），15，16），16，17），將其按從左到右的順序分別編號(hào)為第一組，第二組，第五組，如圖是根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖，已知第一組與第二組共有20人，則第三組中的人數(shù)為 _【答案】【解析】【分析】由頻率以及直方圖可得分布在區(qū)間第一組與第二組共有20人的頻率，即可求出總的人數(shù)，求出第三組的人數(shù).【詳解】由直方圖可得分布在區(qū)間第一組與第二組共有20人，分布在區(qū)間第一組與第二組的頻率分別為0.24，0.16，設(shè)總的人數(shù)為n,則所以第3小組的人數(shù)為人.故答案為：18【點(diǎn)睛】本題主要考查頻率分布直方圖中頻數(shù)、頻率等的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解能力掌握水平.4.下圖是某算法的偽代碼，輸出的結(jié)果的值為_.【答案】【解析】【分析】直接按照算法的偽代碼運(yùn)行即得結(jié)果.【詳解】16，i=3,S=4,36，i=5,S=9,56，i=7,S=16,76，輸出S=16.故答案為：16【點(diǎn)睛】本題主要考查算法，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解能力和掌握水平.5.現(xiàn)有件相同的產(chǎn)品，其中件合格，件不合格，從中隨機(jī)抽檢件，則一件合格，另一件不合格的概率為_.【答案】【解析】【分析】分別求出基本事件的總數(shù)和要求事件包含的基本事件的個(gè)數(shù)，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式即可得出【詳解】從5件產(chǎn)品中任意抽取2有種抽法，其中一件合格、另一件不合格的抽法有種根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式可得一件合格，另一件不合格的概率故答案為:【點(diǎn)睛】熟練掌握古典概型的概率計(jì)算公式和排列與組合的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵6.等差數(shù)列中，前項(xiàng)的和，則的值為_.【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)已知求出，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)求出的值.【詳解】由題得.故答案為：-4【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)、前n項(xiàng)和的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解能力掌握水平和計(jì)算能力.7.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)是拋物線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn).若拋物線的焦點(diǎn)為，且，則雙曲線的漸近線方程為_.【答案】【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)A(x,y),根據(jù)的坐標(biāo)，再把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入雙曲線的方程求出，再求雙曲線的漸近線方程.【詳解】設(shè)點(diǎn)A(x,y),因?yàn)閤-(-1)=5,所以x=4.所以點(diǎn)A(4,4)，由題得所以雙曲線的漸近線方程為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線和雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解能力掌握水平.8.若函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，且相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為，則的值為_.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為求出的值，再根據(jù)圖象經(jīng)過點(diǎn)求出，再求的值.【詳解】因?yàn)橄噜弮蓷l對(duì)稱軸間的距離為，所以所以.因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)所以.所以 ，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦型函數(shù)的圖像和性質(zhì)，考查正弦型函數(shù)的解析式的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解能力掌握水平和分析推理能力.9.已知正四凌錐的所有棱長(zhǎng)都相等，高為，則該正四棱錐的表面積為_.【答案】【解析】【分析】設(shè)正四棱錐的棱長(zhǎng)為2a,根據(jù)求得a=1,再求正四棱錐的表面積.【詳解】設(shè)正四棱錐的棱長(zhǎng)為2a,由題得.所以四棱錐的棱長(zhǎng)為2.所以正四棱錐的表面積=.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體的邊長(zhǎng)的計(jì)算和表面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解能力掌握水平和空間觀察想象能力.10.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，則不等式的解集為_.【答案】【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)的表達(dá)式，然后解不等式件即可【詳解】設(shè)，則，所以因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，當(dāng)0時(shí)，.所以0.當(dāng)x0時(shí)， 所以-2x0.綜上不等式的解集為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的圖像和性質(zhì)，考查函數(shù)不等式的解法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解能力掌握水平和分析推理能力.11.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，.若圓上存在唯一點(diǎn)，使得直線，在軸上的截距之積為，則實(shí)數(shù)的值為_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)的坐標(biāo)為，據(jù)此求出直線、的方程，即可得求出兩直線軸上的截距，分析可得，變形可得，即可得的軌跡方程為，據(jù)此分析可得圓與有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，即兩圓內(nèi)切或外切，又由圓心距為，則兩圓只能外切，結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系可得，解可得的值，即可得答案【詳解】根據(jù)題意，設(shè)的坐標(biāo)為，直線的方程為，其在軸上的截距為，直線的方程為，其在軸上的截距為，若點(diǎn)滿足使得直線，在軸上的截距之積為5，則有，變形可得，則點(diǎn)在圓上，若圓上存在唯一點(diǎn)，則圓與有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，即兩圓內(nèi)切或外切，又由圓心距為，則兩圓只能外切，則有，解可得：，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查軌跡的求法，涉及圓與圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是求出的軌跡，屬于綜合題12.已知是直角三角形的斜邊上的高，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且滿足.若，則的值為_.【答案】【解析】【分析】設(shè)DPC=,DPB=，先化簡(jiǎn)得到|PD|=2,再利用數(shù)量積的公式展開，利用三角函數(shù)和三角和角的余弦公式化簡(jiǎn)即得解.【詳解】設(shè)DPC=,DPB=，由題得,所以|PB|所以 =.故答案為：2【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的數(shù)量積的運(yùn)算，考查和角的余弦，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解能力掌握水平和分析推理能力.13.已知函數(shù)設(shè)，且函數(shù)的圖象經(jīng)過四個(gè)象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_.【答案】【解析】【分析】先討論當(dāng)x0時(shí)，f(x)-g(x)=|x+3-kx-1,須使f(x)-g(x)過第三象限，得到k.再討論當(dāng)x0時(shí)，f(x)-g(x)=, f(x)-g(x)過第四象限，得到k-9.綜合即得解.【詳解】當(dāng)x0時(shí)，f(x)-g(x)=|x+3-kx-1,須使f(x)-g(x)過第三象限，所以f(-3)-g(-3)0, 解之得k.當(dāng)x0時(shí)，f(x)-g(x)=,因?yàn)?，所以須使f(x)-g(x)過第四象限，必須綜合得-9k.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖像和性質(zhì)，考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和數(shù)形結(jié)合分析推理能力.14.在中，若，則的最大值為_.【答案】【解析】【分析】先由題得，再化簡(jiǎn)得=，再利用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)求出最大值.【詳解】在ABC中，有,所以=,當(dāng)即時(shí)取等.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換和三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解能力掌握水平.解題的關(guān)鍵是三角恒等變換.二、解答題：本大題共6小題，共90分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，請(qǐng)把答案寫在答題卡的指定區(qū)域內(nèi).15.設(shè)向量 ， ，其中，且與互相垂直.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若 ，且，求的值.【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）由與互相垂直可得 ，展開化簡(jiǎn)即得.（2）由 ，得.，最后求 .【詳解】解：（1）由與互相垂直，可得 ，所以.又因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，所?又因?yàn)椋?（2）由（1）知 .由 ，得，即.因?yàn)椋?，所?所以，因此 .【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查三角恒等變換和求值，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.16.如圖，在三棱柱中，分別是和的中點(diǎn).求證：（1）平面；（2）平面.【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解析】【分析】（1）連接，證明，即得平面.（2），平面.【詳解】證明：（1）連接，在三棱柱中，且，所以四邊形是平行四邊形.又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以也是的中點(diǎn).在中，和分別是和的中點(diǎn)，所以.又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）由（1）知，因?yàn)?，所?又因?yàn)椋矫?，所以平?又因?yàn)槠矫?，所?在中，是的中點(diǎn)，所以.因?yàn)?，平面，所以平?【點(diǎn)睛】本題主要考查空間幾何元素位置關(guān)系的證明，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和空間想象分析推理轉(zhuǎn)化能力.17.某公園內(nèi)有一塊以為圓心半徑為米的圓形區(qū)域.為豐富市民的業(yè)余文化生活，現(xiàn)提出如下設(shè)計(jì)方案：如圖，在圓形區(qū)域內(nèi)搭建露天舞臺(tái)，舞臺(tái)為扇形區(qū)域，其中兩個(gè)端點(diǎn)，分別在圓周上；觀眾席為梯形內(nèi)切在圓外的區(qū)域，其中，且，在點(diǎn)的同側(cè).為保證視聽效果，要求觀眾席內(nèi)每一個(gè)觀眾到舞臺(tái)處的距離都不超過米.設(shè)，.問：對(duì)于任意，上述設(shè)計(jì)方案是否均能符合要求？【答案】能符合要求【解析】【分析】過作垂直于，垂足為,所以點(diǎn)處觀眾離點(diǎn)處最遠(yuǎn). 由余弦定理可得.再求得. 因?yàn)椋杂^眾席內(nèi)每一個(gè)觀眾到舞臺(tái)處的距離都不超過米.【詳解】解：過作垂直于，垂足為.在直角三角形中，所以，因此.由圖可知，點(diǎn)處觀眾離點(diǎn)處最遠(yuǎn).在三角形中，由余弦定理可知 .因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，即時(shí)，即.因?yàn)?，所以觀眾席內(nèi)每一個(gè)觀眾到舞臺(tái)處的距離都不超過米.答：對(duì)于任意，上述設(shè)計(jì)方案均能符合要求.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的應(yīng)用，考查余弦定理和三角函數(shù)最值的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，且橢圓短軸的一個(gè)頂點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，點(diǎn).若對(duì)任意直線總存在點(diǎn)，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍；設(shè)點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，若點(diǎn)為的外心，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）；（2）；.【解析】【分析】（1）依題意解之即得橢圓的方程.(2) 設(shè)直線的方程為，代入橢圓的方程，根據(jù)，解得.，所以，即. 解得.由，即可解得m范圍 由，.所以，解得,即可求出m值.【詳解】解：（1）依題意解得所以，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，代入橢圓的方程，消去，得.因?yàn)橹本€交橢圓于兩點(diǎn)，所以，解得.設(shè)，則有，.設(shè)中點(diǎn)為，則有，.當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，?解得.當(dāng)時(shí)，可得，符合.因此.由，解得.因?yàn)辄c(diǎn)為的外心，且，所以.由消去，得，所以 ，也是此方程的兩個(gè)根.所以，.又因?yàn)椋?，解?所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查直線和直線的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理計(jì)算能力.19.已知，.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)圖象在處的切線方程；（2）若對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍；（3）若存在極大值和極小值，且極大值小于極小值，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得函數(shù)圖象在處的切線方程為.（2）先求導(dǎo)得，再對(duì)a分類討論得到的取值范圍.(3對(duì)a分類討論，結(jié)合極大值小于極小值求出的取值范圍.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，則.又因?yàn)?，所以函?shù)圖象在處的切線方程為，即.（2）因?yàn)樗?，且.因?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，即，因?yàn)樵趨^(qū)間上恒成立，所以在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，所以滿足條件.當(dāng)時(shí)，即時(shí)，由，得，當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞減，所以時(shí)，這與時(shí)，恒成立矛盾.所以不滿足條件.綜上，的取值范圍為.（3）當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵趨^(qū)間上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以不存在極值，所以不滿足條件.當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?，得，列表如下：極大值極小值由于在是單調(diào)減函數(shù)，此時(shí)極大值大于極小值，不合題意，所以不滿足條件.當(dāng)時(shí)，由，得.列表如下：極小值此時(shí)僅存在極小值，不合題意，所以不滿足條件.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?，且?列表如下：極大值極小值所以存在極大值和極小值，此時(shí) 因?yàn)椋?，所以，即，所以滿足條件.綜上，所以的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和切線方程,考查利用導(dǎo)數(shù)研究極值和不等式的恒成立問題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.20.已知數(shù)列各項(xiàng)為正數(shù)，且對(duì)任意，都有.（1）若，成等差數(shù)列，求的值；（2）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；若對(duì)任意，都有，求數(shù)列的公比的取值范圍.【答案】（1）或；（2）詳見解析；.【解析】【分析】（1）根據(jù)，成等差數(shù)列得到，成等比數(shù)列，即可求出或.（2）利用定義證明數(shù)列為等比數(shù)列；當(dāng)時(shí)， ，所以滿足條件. 當(dāng)時(shí)，由，得，由于，因此，與任意恒成立相矛盾，所以不滿足條件. 綜上可得q的取值范圍.【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以，因此，成等比?shù)列.設(shè)公比為，因?yàn)椋傻炔顢?shù)列，所以，即，于是，解得或，所以或.（2）因?yàn)椋?，兩式相除得，即，由，得，兩式相除得，即，所以，即，由?）知，所以，因此數(shù)列為等比數(shù)列.當(dāng)時(shí)，由時(shí)，可得，所以，因此 ，所以滿足條件.當(dāng)時(shí)，由，得，整理得.因?yàn)?，所以，因此，即，由于，因此，與任意恒成立相矛盾，所以不滿足條件.綜上，公比的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)和等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的求和數(shù)列不等式的恒成立問題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.南京市、鹽城市2019屆高三年級(jí)第二次模擬考試數(shù)學(xué)附加題【選做題】在A、B、C三小題中只能選做2題，每小題10分，共計(jì)20分，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.A.選修4-2：矩陣與交換21.已知矩陣，.（1）求，的值；（2）求的逆矩陣.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)由題得即得（2）由題得，即得的逆矩陣.【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以即?）因?yàn)椋?【點(diǎn)睛】本題主要考查矩陣的性質(zhì)和逆矩陣的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.【必做題】第22題、第23題，每題10分，共20分，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.22.如圖是一旅游景區(qū)供游客行走的路線圖，假設(shè)從進(jìn)口開始到出口，每遇到一個(gè)岔路口，每位游客選擇其中一條道路行進(jìn)是等可能的.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁共名游客結(jié)伴到旅游景區(qū)游玩，他們從進(jìn)口的岔路口就開始選擇道路自行游玩，并按箭頭所指路線行走，最后到出口集中，設(shè)點(diǎn)是其中的一個(gè)交叉路口點(diǎn).（1）求甲經(jīng)過點(diǎn)的概率；（2）設(shè)這名游客中恰有名游客都是經(jīng)過點(diǎn)，求隨機(jī)變量的概率分布和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）；（2）詳見解析.【解析】【分析】(1) 選擇從中間一條路走到的概率為.選擇從最右邊的道路走到點(diǎn)的概率為.因?yàn)檫x擇中間道路和最右邊道路行走的兩個(gè)事件彼此互斥，所以.(2) 隨機(jī)變量可能的取值，再求出它們對(duì)應(yīng)的概率，即得隨機(jī)變量的概率分