高二數(shù)學(xué)暑期輔導(dǎo)材料函數(shù)人教

高二數(shù)學(xué)暑期專(zhuān)題輔導(dǎo)材料 函數(shù)一、 要點(diǎn)透視函數(shù)是高中數(shù)學(xué)最重要的內(nèi)容之一，它內(nèi)涵豐富，不僅其自身涉及到較多的思想方法，而且運(yùn)用函數(shù)去分析與解決其他數(shù)學(xué)問(wèn)題也是歷來(lái)高考熱點(diǎn)之一。函數(shù)思想是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要教學(xué)思想之一，它是一根主線，貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)的全過(guò)程。 主要內(nèi)容包括：映射、函數(shù)、反函數(shù)、函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性（周期性）、幾個(gè)基本初等函數(shù) 一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及它們的圖象與性質(zhì)定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、圖象的對(duì)稱(chēng)性等。數(shù)形結(jié)合思想是本章的最基本的數(shù)學(xué)思想，另外，分類(lèi)討論思想、化歸思想等也是本章的基本思想。二、 典型例題解析例1已知集合，。其中，若，映射使B中元素和A中元素對(duì)應(yīng)。求和的值。解：A中元素對(duì)應(yīng)B中元素，中元素1的象是4，2的象是7，3的象是10?；?又 無(wú)解，而由解得，那么的象是，故 綜上所述：例2判斷下列各題中，函數(shù)與是不是同一函數(shù)？說(shuō)明理由。，；，；，；，；，； ，解：的定義域是，而的定義域是R，與的定義域不同，與是兩個(gè)不同的函數(shù)。與的定義域都是R，又，即與的對(duì)應(yīng)法則邊相同，所以與是相同函數(shù)。由于，它們對(duì)應(yīng)法則不同，所以與是不同函數(shù)。是不同函數(shù)，的定義域是R，而的定義域是是相同函數(shù)，與的定義域都，又，所以它們的對(duì)應(yīng)法則也相同。說(shuō)明：定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則是函數(shù)的三大要素，定義域與對(duì)應(yīng)法則確定則值域也隨而定，故兩個(gè)函數(shù)是相同函數(shù)的充要條件是它們的定義域與對(duì)應(yīng)法則（在本質(zhì)上）相同。例3求下列函數(shù)的定義域解：由 結(jié)合右圖：故原不等式的解集是由或或解之得：或或或由有， 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則與同正或同負(fù)，故定義域?yàn)?。說(shuō)明：求由函數(shù)解析規(guī)定的定義域，主要考慮以下幾個(gè)因素分式的分母不為0；偶次根式被開(kāi)方式大于等于0；對(duì)數(shù)真數(shù)大于0，底數(shù)大于0且不等于1等。例4已知函數(shù)定義域?yàn)镽，則的取值范圍是 已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是 若函數(shù)定義域是，則函數(shù)的定義域是 函數(shù)定義域是，則函數(shù)定義域是 解：由，則當(dāng)時(shí)，顯然；當(dāng)時(shí)，要使，對(duì)任意恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)即 綜上所述：的范圍是由，則，即函數(shù)的定義域是由的定義域是，則，的定義域是由得，故的定義域是例5函數(shù)的定義域是R，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。解：由對(duì)恒成立，即對(duì)任意恒成立。而（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”） 的取值范圍是說(shuō)明：對(duì)于恒成立問(wèn)題，一般地，若，恒成立，的取值范圍是；若，恒成立，則的取值范圍是，。例6求下列函數(shù)的值域解：由，故的值域是令，則結(jié)合二次函數(shù)的圖象得出函數(shù)值域是 y由 8圖象如右 3 0 5 x故的值域是 函數(shù)的定義域是R。由有當(dāng)時(shí)，無(wú)解，當(dāng)時(shí)，即 綜上原函數(shù)的值域是。例7是R上奇函數(shù)，解關(guān)于的不等式函數(shù)的定義域?yàn)镽，對(duì)任意，都有，且時(shí)，。求在上的最值。解：是奇函數(shù)，對(duì)任意，即，故 設(shè)，則 由于， 故在R上是單調(diào)增函數(shù)，其值域?yàn)橛钟捎杉?故的解集是說(shuō)明：本題在求值也可由直接求出，更加便捷。另外在解時(shí)，也可如下處理：節(jié)R上單調(diào)增，由則即又 的解集是由于對(duì)任意、，都有 又 是奇函數(shù)。又設(shè) 即即是R上單調(diào)減函數(shù) ，而 ，例8設(shè)，且，如果的定義域?yàn)?，求的取值范圍。解：由題意，得的解集為，即在上恒成立。令，是減函數(shù)又， 得的取值范圍為 當(dāng)時(shí)，取最大值，故說(shuō)明：轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，再求的最大值利用單調(diào)性例9對(duì)的哪些值，函數(shù)的值域包含？解：當(dāng)時(shí)，若，則無(wú)解；若，則總有解。故。當(dāng)時(shí)，則方程，為使方程對(duì)有解，則對(duì)恒成立。 設(shè)，則在上是兩個(gè)減函數(shù)的和，也是減函數(shù)，故 當(dāng)時(shí)，對(duì)總成立，方程總有解。綜上所述，當(dāng)且時(shí)，函數(shù)的值域包含例10已知，試證明的圖象上不存在兩點(diǎn)A、B，使直線AB恰好與y軸垂直。解：由得，故函數(shù)的定義域是設(shè)圖象上存在不同兩點(diǎn)，且，則 ， 故函數(shù)在上為減函數(shù)，則垂直于y軸的直線與的圖象至多有一個(gè)交點(diǎn)。所以，函數(shù)圖象上不存在兩點(diǎn)A、B，使直線AB與y軸垂直。說(shuō)明：?jiǎn)栴}的實(shí)質(zhì)是證明函數(shù)具有某種單調(diào)性。例11已知在上為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍。解：在區(qū)間上任取、，則 要使在上單調(diào)增，即當(dāng)時(shí)，要，只要恒成立，由，應(yīng)有，但條件，故與題設(shè)矛盾，舍去。同理，要使在上是減函數(shù)，即恒成立，即在恒成立，又由可得綜上所述，時(shí)函數(shù)在上為單調(diào)減函數(shù)。說(shuō)明：本題針對(duì)函數(shù)單調(diào)性，作逆向分析，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，對(duì)函數(shù)單調(diào)性的概念考查深入。例12解方程；設(shè)、是三角形的三邊長(zhǎng)，求證：解：原方程即為構(gòu)造函數(shù)，易知函數(shù)在R上是增函數(shù)，于是原方程化為 由是單調(diào)增函數(shù)，故原方程的解是設(shè)，則，在上是增函數(shù)，又 即 又 說(shuō)明：本題是函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用。例13動(dòng)點(diǎn)P從邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的頂點(diǎn)A出發(fā)順次經(jīng)過(guò)B、C、D，再回到A，設(shè)x表示點(diǎn)P的行程，y表示PA的長(zhǎng)，求y關(guān)于x的函數(shù)式。 解：如圖，當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上運(yùn)動(dòng)點(diǎn)，； 當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，； P 當(dāng)點(diǎn)P在CD邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)P在DA邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)， 故所求函數(shù)式為 D P C PA B例14已知是定義在上偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)是減函數(shù)，如果不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：是偶函數(shù) 不等式等價(jià)于 即 解之得：說(shuō)明：本題充分利用偶函數(shù)的性質(zhì)：，簡(jiǎn)化分解過(guò)程中繁瑣的討論。例15若函數(shù)的圖象與其反函數(shù)的圖象完全重合，其中實(shí)數(shù)、滿足：，則此函數(shù)應(yīng)具有怎樣的解析式？解：由得， 函數(shù)的反函數(shù)由題設(shè)的圖象與的圖象完全重合可知，對(duì)定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)都有即 即 當(dāng)，時(shí)；當(dāng)，時(shí)，當(dāng)，時(shí)，因此函數(shù)具有以下三種形式：，例16已知二次函數(shù)滿足，且方程有等根。求、；是否存在實(shí)數(shù)、，使得函數(shù)在定義域內(nèi)值域?yàn)椤Ｈ绻嬖?，求出、的值，如果不存在，?qǐng)說(shuō)明理由。解： 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，即 即有等根， 由三個(gè)式得，由得 ， 在上是單調(diào)增函數(shù)即 、是方程的兩個(gè)不等根。解得 ，答：存在，滿足條件鞏固練習(xí)1已知映射，其中，B中的元素都是A中元素在映射下的象，且對(duì)任意的，在B中和它對(duì)應(yīng)的元素是，則B中元素的個(gè)數(shù)是（ ）A4 B5 C6 D72設(shè)集合A和B都是，映射把集合A中的元素n映射到B中元素是在映射f下，象20的原象是（ ）A2 B3 C4 D53從集合到集合的映射共有（ ）個(gè)A2 B3 C4 D54下列四組函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的是（ ）A， B，C， D，5下列圖象中，不可能是函數(shù)的圖象是（ ） y y y y0 x 0 x 0 x 0 x A B C D6函數(shù)的定義域是（ ）A B C D7如果函數(shù)滿足，則（ ）A3 B3 C3或3 D5或38若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域是（ ）A B C D9已知函數(shù)，那么，當(dāng)時(shí)，（ ）A B C D10函數(shù)滿足，且，則 11由一個(gè)正方體的三個(gè)頂點(diǎn)所構(gòu)成的正三角形的個(gè)數(shù)為 。12函數(shù)的定義域是 13函數(shù)的定義域是R，則的取值范圍是 14值域是 15，則方程的解集是 16已知定義域是求的定義域； 定義域；17若的定義域和值域都是，求參考答案1A 2C 3C 4A 5D6C 7B 8B 9B10111213141516 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，17能力提高1已知函數(shù)的定義域是，則的定義域?yàn)椋?）A B C D2已知函數(shù)是偶函數(shù)，定義域?yàn)镽，且在上遞減，則下列各式正確的是（ ）A BC D3在區(qū)間上，函數(shù)與在同一點(diǎn)處取得相同的最小值，那么在上的最大值是（ ）A B C D4已知函數(shù)的定義域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A B C D5對(duì)于滿足的所有實(shí)數(shù)，使不等式都成立的的取值范圍是（ ）A B C D6現(xiàn)有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：1.99 3.0 4.0 5.1 6.12：1.5 4.04 7.5 12 18.01準(zhǔn)備用下列函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是（ ）A B C D7，的值域是 8的單調(diào)增區(qū)間是 9若為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù) 10若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是 11設(shè)二次函數(shù)，若存在使，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 12若關(guān)于的方程有正數(shù)解，則的取值范圍是 13若且，則、的大小關(guān)系是 14設(shè)是正數(shù)，記的最