江蘇揚(yáng)州邗江區(qū)高二數(shù)學(xué)期中理

20172018學(xué)年度第二學(xué)期高二數(shù)學(xué)期中測(cè)試卷數(shù) 學(xué)（理科）（全卷滿分160分，考試時(shí)間120分鐘）注意事項(xiàng)：1 答卷前，請(qǐng)考生務(wù)必將自己的學(xué)校、姓名、考試號(hào)等信息填寫在答卷規(guī)定的地方2試題答案均寫在答題卷相應(yīng)位置，答在其它地方無效一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分，請(qǐng)將答案填寫在答題卷相應(yīng)的位置上）1、_ _ 2、已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則|= _ 3、已知（1）正方形的對(duì)角線相等；（2）平行四邊形的對(duì)角線相等；（3）正方形是平行四邊形由（1）、（2）、（3）組合成“三段論”，根據(jù)“三段論”推理出一個(gè)結(jié)論，則這個(gè)結(jié)論是 _4、觀察式子，則可以歸納出 5、若向量，滿足條件，則 6、對(duì)于命題：三角形的內(nèi)角至多有一個(gè)是鈍角，若用反證法證明，正確的反設(shè)是 _ _7、用數(shù)學(xué)歸納法證明：“”，在驗(yàn)證成立時(shí)，左邊計(jì)算所得的結(jié)果是 8、復(fù)平面內(nèi)有三點(diǎn)，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是 9、設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，若，則的值為 10、從個(gè)男生個(gè)女生中挑選人參加智力競(jìng)賽，要求既有男生又有女生的選法共有_種（用數(shù)字作答）11、用數(shù)學(xué)歸納法證明“能被整除”的過程中，當(dāng)時(shí)，式子應(yīng)變形為 12、某單位安排位員工在春節(jié)期間大年初一到初七值班，每人值班天，若位員工中的甲、乙排在相鄰的兩天，丙不排在初一，丁不排在初七，則不同的安排方案共有_ _13、我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)的論割圓術(shù)中有：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”.它體現(xiàn)了一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程比如在表達(dá)式 中，“”即代表無數(shù)次重復(fù)，但原式卻是個(gè)定值，它可以通過方程，求得.類比上述過程，則 14、如圖所示，四邊形和均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動(dòng)點(diǎn)在線段上，分別為的中點(diǎn)設(shè)異面直線和所成的角為，則的最大值為 二、解答題（本大題共6小題，計(jì)90分解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15（本小題滿分14分）已知復(fù)數(shù)（1）當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí)，復(fù)數(shù)為純虛數(shù) （2）當(dāng)時(shí)，計(jì)算.16. （本小題滿分14分）（1）求證：；（2）已知且，求證：中至少有一個(gè)小于17（本小題滿分14分）AEFBCDH如圖，在多面體中，四邊形是正方形，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面. 18（本小題滿分16分）如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn) 在棱上，且（為實(shí)數(shù)）（1）求二面角的余弦值； （2）當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值的大??；（3）求證：直線與直線不可能垂直19. （本小題滿分16分）某班級(jí)共派出個(gè)男生和個(gè)女生參加學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)的入場(chǎng)儀式，其中男生倪某為領(lǐng)隊(duì).入場(chǎng)時(shí)，領(lǐng)隊(duì)男生倪某必須排第一個(gè)，然后女生整體在男生的前面，排成一路縱隊(duì)入場(chǎng)，共有種排法；入場(chǎng)后，又需從男生（含男生倪某）和女生中各選一名代表到主席臺(tái)服務(wù)，共有種選法.（1）試求和； （2）判斷和的大小（），并用數(shù)學(xué)歸納法證明.20.（本小題滿分16分）觀察如圖： 1，2,34,5,6,78,9,10,11,12,13,14,15問：（1）此表第行的最后一個(gè)數(shù)是多少？ （2）此表第行的各個(gè)數(shù)之和是多少？（3）2018是第幾行的第幾個(gè)數(shù)？ （4）是否存在，使得第n行起的連續(xù)10行的所有數(shù)之和為若存在， 求 出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由 揚(yáng)州市邗江區(qū)2017-2018學(xué)年度第二學(xué)期期中試卷高 二 數(shù) 學(xué) （理） 答 案一、填空題：（本大題共14小題，每小題5分，共70分）1. 20； 2. ； 3. 正方形的對(duì)角線相等； 4. ； 5. ； 6.假設(shè)至少有兩個(gè)鈍角 ； 7、； 8. ， 9. 10. ； 11. ； 12. 624； 13. ； 14. 二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分請(qǐng)?jiān)诖痤}紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15、解：（1）復(fù)數(shù) . 4分 . 6分即 . 7分（2） .14分16解：（1）證明：因?yàn)楹投际钦龜?shù)，所以為了證明，只要證 ，只需證：， . 3分即證: ，即證: ，即證: 21， . 6分 因?yàn)?125顯然成立，所以原不等式成立. 7分（2）證明：假設(shè)都不小于2，則 . 10分 ， 即 . 13分這與已知矛盾，故假設(shè)不成立，從而原結(jié)論成立. . 14分17. (1) 如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，令則 .2分（1） 設(shè)與的交點(diǎn)為，連接則， .4分又，. 6分平面平面，平面.7分（2）. 10分又，且 ，平面. 14分18. 解：（1）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系則，.2分 設(shè)平面的法向量為，則即令，則 平面的一個(gè)法向量又平面的一個(gè)法向量為.4分故，即二面角的余弦值為.5分（2）當(dāng) =時(shí)，E（0，1，2），F(xiàn)（1，4，0），所以.8分因?yàn)?，所以為銳角， 從而直線EF與平面所成角的正弦值的大小為.10分 (3)假設(shè)，則.12分 ，.14分 化簡(jiǎn)得該方程無解，所以假設(shè)不成立，即直線不可能與直線不可能垂直.16分 19解：（1），.4分 （2）因?yàn)椋?，由此猜想：?dāng)時(shí)，都有，即.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明（）. .6分 時(shí)，該不等式顯然成立. . .8分假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即，. .10分則當(dāng)時(shí)，要證當(dāng)時(shí)不等式成立.只要證：，只要證：. . .13分令，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，從而，而，所以成立.則當(dāng)時(shí)，不等式也成立. . .15分綜合、得原不等式對(duì)任意的均成立. .16分20. 解：（1）由已知得出每行的正整數(shù)的個(gè)數(shù)是1，2，4，8，其規(guī)律： 由此得出第行的第一個(gè)數(shù)為：，共有個(gè)， 所以此表第n行的最后一個(gè)數(shù)是. . 3分（2）由（1）得到第n行的第一個(gè)數(shù)，且此行一共有個(gè)數(shù)，從而利用等差數(shù)列的求和公式得： 第n行的各個(gè)數(shù)之和. 6分（3）由（1）可知第n行的最后一個(gè)數(shù)是.當(dāng)時(shí)，最后一個(gè)數(shù)