湖南長沙望城區(qū)白箬中學(xué)高三數(shù)學(xué)第二輪講座復(fù)習(xí)直線與圓錐曲線問題的處理方法

湖南省長沙市望城區(qū)白箬中學(xué)高三數(shù)學(xué)第二輪專題講座復(fù)習(xí)：直線與圓錐曲線問題的處理方法(2)高考要求 直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等 突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，要求考生分析問題和解決問題的能力、計算能力較高，起到了拉開考生“檔次”，有利于選拔的功能 重難點歸納 1 直線與圓錐曲線有無公共點或有幾個公共點的問題，實際上是研究它們的方程組成的方程是否有實數(shù)解成實數(shù)解的個數(shù)問題，此時要注意用好分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法 2 當(dāng)直線與圓錐曲線相交時 涉及弦長問題，常用“韋達定理法”設(shè)而不求計算弦長(即應(yīng)用弦長公式)；涉及弦長的中點問題，常用“點差法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化 同時還應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍 典型題例示范講解 例1如圖，已知某橢圓的焦點是F1(4，0)、F2(4，0)，過點F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B，且|F1B|+|F2B|=10，橢圓上不同的兩點A(x1,y1),C(x2,y2)滿足條件 |F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列 (1)求該弦橢圓的方程；(2)求弦AC中點的橫坐標；(3)設(shè)弦AC的垂直平分線的方程為y=kx+m，求m的取值范圍 命題意圖 本題考查直線、橢圓、等差數(shù)列等基本知識，一、二問較簡單，第三問巧妙地借助中垂線來求參數(shù)的范圍，設(shè)計新穎，綜合性，靈活性強 知識依托 橢圓的定義、等差數(shù)列的定義，處理直線與圓錐曲線的方法 錯解分析 第三問在表達出“k=y0”時，忽略了“k=0”時的情況，理不清題目中變量間的關(guān)系 技巧與方法 第一問利用橢圓的第一定義寫方程；第二問利用橢圓的第二定義(即焦半徑公式)求解，第三問利用m表示出弦AC的中點P的縱坐標y0,利用y0的范圍求m的范圍 解 (1)由橢圓定義及條件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b=3 故橢圓方程為=1 (2)由點B(4,yB)在橢圓上，得|F2B|=|yB|= 因為橢圓右準線方程為x=,離心率為，根據(jù)橢圓定義，有|F2A|=(x1),|F2C|=(x2)，由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列，得(x1)+(x2)=2,由此得出 x1+x2=8設(shè)弦AC的中點為P(x0,y0),則x0=4 (3)解法一 由A(x1,y1),C(x2,y2)在橢圓上 得得9(x12x22)+25(y12y22)=0,即9=0(x1x2)將 (k0)代入上式，得94+25y0()=0 (k0)即k=y0(當(dāng)k=0時也成立) 由點P(4，y0)在弦AC的垂直平分線上，得y0=4k+m,所以m=y04k=y0y0=y0 由點P(4，y0)在線段BB(B與B關(guān)于x軸對稱)的內(nèi)部，得y0,所以m 例2若拋物線上總存在關(guān)于直線對稱的兩點，求的范圍 解法一 （對稱曲線相交法）曲線關(guān)于直線對稱的曲線方程為 如果拋物線上總存在關(guān)于直線對稱的兩點，則兩曲線與必有不在直線上的兩個不同的交點(如圖所示)，從而可由 代入得有兩個不同的解， 解法二 （點差法）設(shè)拋物線上以為端點的弦關(guān)于直線對稱，且以為中點是拋物線（即）內(nèi)的點 從而有 由 (1)-(2)得 由 從而有 例3試確定的取值范圍，使得橢圓上有不同兩點關(guān)于直線對稱 解 設(shè)橢圓上以為端點的弦關(guān)于直線對稱，且以為中點是橢圓內(nèi)的點 從而有 由 (1)-(2)得 由由在直線上從而有 例4已知直線過定點A(4,0)且與拋物線交于P、Q兩點，若以PQ為直徑的圓恒過原點O，求的值 解 可設(shè)直線的方程為代入得 設(shè)，則 由題意知，OPOQ，則即此時，拋物線的方程為 學(xué)生鞏固練習(xí) 1 在拋物線y2=16x內(nèi)，通過點(2，1)且在此點被平分的弦所在直線的方程是_ 2 已知兩點M(1，)、N(4，)，給出下列曲線方程 4x+2y1=0, x2+y2=3, +y2=1, y2=1,在曲線上存在點P滿足|MP|=|NP|的所有曲線方程是_ 3 已知雙曲線C的兩條漸近線都過原點，且都以點A(，0)為圓心，1為半徑的圓相切，雙曲線的一個頂點A1與A點關(guān)于直線y=x對稱 (1)求雙曲線C的方程 (2)設(shè)直線l過點A，斜率為k,當(dāng)0k1時，雙曲線C的上支上有且僅有一點B到直線l的距離為，試求k的值及此時B點的坐標 參考答案:1 解析 設(shè)所求直線與y2=16x相交于點A、B，且A(x1,y1),B(x2,y2),代入拋物線方程得y12=16x1,y22=16x2,兩式相減得，(y1+y2）(y1y2)=16(x1x2)即kAB=8 故所求直線方程為y=8x15答案 8xy15=02 解析 點P在線段MN的垂直平分線上，判斷MN的垂直平分線于所給曲線是否存在交點 答案 3 解 (1)設(shè)雙曲線的漸近線為y=kx,由d=1,解得k=1 即漸近線為y=x,又點A關(guān)于y=x對稱點的坐標為(0，)a=b,所求雙曲線C的方程為x2y2=2 (2)設(shè)直線l y=k(x)(0k1,依題意B點在平行的直線l上，且l與l間的距離為設(shè)直線l y=kx+m,應(yīng)有