四川點到直線的距離杜曉雯

2006年全國中學(xué)青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課比賽 2006年全國高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課比賽點到直線的距離教案四川省成都市第七中學(xué)數(shù)學(xué)組 杜曉雯【課題】 點到直線的距離【教材】 全日制普通高級中學(xué)教科書（必修）第二冊（上）人民教育出版社【授課教師】杜曉雯一 教學(xué)目標(biāo)1教材分析 教學(xué)內(nèi)容點到直線的距離是全日制普通高級中學(xué)教科書（必修人民教育出版社）第二冊（上），“73兩條直線的位置關(guān)系”的第四節(jié)課，主要內(nèi)容是點到直線的距離公式的推導(dǎo)過程和公式應(yīng)用 地位與作用本節(jié)對“點到直線的距離”的認(rèn)識，是從初中平面幾何的定性作圖，過渡到了解析幾何的定量計算，其學(xué)習(xí)平臺是學(xué)生已掌握了直線傾斜角、斜率、直線方程和兩條直線的位置關(guān)系等相關(guān)知識對“點到直線的距離”的研究，為以后直線與圓的位置關(guān)系和圓錐曲線的進一步學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)，具有承前啟后的重要作用 2學(xué)情分析高二年級學(xué)生已掌握了三角函數(shù)、平面向量等有關(guān)知識，具備了一定的利用代數(shù)方法研究幾何問題的能力根據(jù)我校學(xué)生基礎(chǔ)知識較扎實、思維較活躍，但處理抽象問題的能力還有待進一步提高的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀和認(rèn)知特點，本課采用類比發(fā)現(xiàn)式教學(xué)法3教學(xué)目標(biāo)依據(jù)上面的教材分析和學(xué)情分析，制定如下教學(xué)目標(biāo) 知識技能 理解點到直線的距離公式的推導(dǎo)過程； 掌握點到直線的距離公式； 掌握點到直線的距離公式的應(yīng)用 數(shù)學(xué)思考 通過點到直線的距離公式的探索和推導(dǎo)過程，滲透算法的思想； 通過自學(xué)教材上利用直角三角形的面積公式的證明過程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力； 通過靈活應(yīng)用公式的過程，提高學(xué)生類比化歸、數(shù)形結(jié)合的能力 解決問題 通過問題獲得數(shù)學(xué)知識，經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)問題提出問題解決問題”的過程； 由探索點到直線的距離，推廣到探索點到直線的距離的過程，使學(xué)生體會從特殊到一般、由具體到抽象的數(shù)學(xué)研究方法 情感態(tài)度結(jié)合現(xiàn)實模型，將教材知識和實際生活聯(lián)系起來，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的實用性，有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣二 教學(xué)重點、難點1教學(xué)重點 點到直線的距離公式的推導(dǎo)思路分析； 點到直線的距離公式的應(yīng)用 2教學(xué)難點點到直線的距離公式的推導(dǎo)思路和算法分析三教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教 師 活 動 學(xué) 生 活 動活 動說 明新課引入創(chuàng)設(shè)情境：以學(xué)生熟知的生活圖片欣賞和一個具體實例：當(dāng)火車在高速行駛時，周圍會產(chǎn)生負(fù)壓，如果旅客離鐵軌中心的距離小于2米5時，就可能被吸入車輪下發(fā)生危險讓學(xué)生直觀感受幾何要素“點到直線的距離”，引發(fā)學(xué)習(xí)好奇心和研究興趣現(xiàn)實模型： 地質(zhì)勘探、鐵軌寬度、人離高壓電線的安全距離（圖片欣賞）生活實例（flash動畫演示）模 型直 觀探 索 思 考探 索 思 考探 索 思 考回顧舊知：在初中，“點到直線的距離”的定義是什么？1 點到直線的距離公式的推導(dǎo)過程（由特殊推廣到一般、從具體推廣到抽象）問題1 如何求點到直線的距離？教師：請同學(xué)們作出圖象后，思考有哪些計算方法，結(jié)果是什么？方法利用三角函數(shù)解：過點作的垂線，垂足為教師：由于點和直線的位置比較特殊，直角三角形較為明顯，并且出現(xiàn)了特殊角，所以可以利用三角函數(shù)來解決問題但如果直線位置不具特殊性，三角運算將較為繁雜，故此法具有一定的局限性方法利用定義解：過點作的垂線，設(shè)垂足為方法利用函數(shù)的思想解：設(shè)直線上的點，則，當(dāng)時，取得等號，即點教師：我們可將求點到直線的距離轉(zhuǎn)化為兩點之間的距離，再通過二次函數(shù)求最小值的方法解決本題強調(diào)：點在直線上，故滿足直線方程；當(dāng)?shù)忍柍闪r，指明此時點的坐標(biāo)，并與方法得到的點的坐標(biāo)進行比較方法利用直角三角形的面積公式教師：由于，所以我們還可以想到什么方法來計算呢？教師：應(yīng)該如何構(gòu)造三角形呢？如何添作輔助線是學(xué)生的一個思維難點，教師要強調(diào)：由垂直條件可以聯(lián)想到三角形的高或直角三角形等知識，從而得到輔助線的添作方式解：過點作的垂線，交點為點問題2如何求點到直線的距離？（類比問題1的四種解法，讓學(xué)生獨立思考問題2課堂上，只要求學(xué)生說明解題思路，而不要求解題過程）（以下有關(guān)例題2的解題過程僅供資料查閱，而不在課堂上講解）方法利用三角函數(shù)方法利用函數(shù)的思想設(shè)點在直線上，則當(dāng)時，取得等號，即點方法利用定義過點作的垂線，設(shè)垂足為方法利用直角三角形的面積公式過點作、軸的垂線，交點為點、探 索 思 考問題3 如何求點到直線的距離（）？教師：你能否類比問題1、2解決本問？教師：如果通過定義來計算，你的思路是什么？教師：對于的特殊情況，你可以怎樣處理？ 方法 利用定義的算法思路得到點到的距離確定直線的斜率求過點垂直于的直線的方程求與垂直的直線的斜率求與的交點求點與點的距離方法 利用直角三角形的面積公式的算法思路教師：如果類比問題1、2，通過面積構(gòu)造法來計算，你應(yīng)該如何添作輔助線？解題思路是什么？探 索 思 考教師：根據(jù)得到的算法思路，請同學(xué)們自學(xué)教材的證明方法方法 利用平面向量的算法思路教師：直線的斜率是什么？教師：若向量，你能表達(dá)的一個坐標(biāo)嗎？教師：設(shè)點是直線上任意一點，則的坐標(biāo)是多少？教師：設(shè)的夾角為，則為多少？教師：結(jié)合圖象，你能否表示出？探 索 思 考 問 題 解 決2點到直線的距離公式點到直線的距離（其中）教師：你能否利用點到直線的距離公式解決問題1和問題2？并比較計算結(jié)果3點到直線的距離公式的應(yīng)用例1 求點到下列直線的距離： 知 識 運 用分析：可能會有學(xué)生在代人公式計算時，忘掉絕對值符號教師要給予糾正，強調(diào)距離是一個非負(fù)數(shù)教材上的解法是結(jié)合圖形直接得到點到直線的距離，也可能會有學(xué)生是直接代人公式計算，教師指出對于或的特殊情況，一般結(jié)合圖形直接得到結(jié)論部分學(xué)生可能會對代入公式后計算得0這一結(jié)果感到困惑，教師要引導(dǎo)學(xué)生思考此時點與直線的位置關(guān)系，指出當(dāng)點落在直線上時公式仍然成立在補充的問題中所給出的直線方程不是一般式，所以在代人公式計算前，學(xué)生必須將直線方程化為一般式，以便確定系數(shù)，從而達(dá)到強調(diào)公式運用前提的目的教師：使用點到直線的距離公式的前提條件是把直線的方程化成一般式方程，如果給出的直線方程不是一般式方程，應(yīng)先將方程化成一般式，以便確定系數(shù)的值，這一點對于直線方程中含參數(shù)的問題尤為重要例2 已知點到直線的距離為，求的值；已知點到直線的距離為，求的值教師：如何求實數(shù)的值？解：知 識 運 用教師：這兩問直線方程中參數(shù)的幾何意義是什么？教師：兩個小問的幾何意義是什么？（教師利用幾何畫板進行數(shù)學(xué)實驗）例3 求平行線和的距離教師：這兩條平行直線間的距離是否是固定的？教師：如何求這兩條平行直線間的距離？教師：可以選擇哪個點？解：在直線上任取一點，例如則到直線的距離就是兩平行線間的距離因此教師：是否可以在直線上取一般的點來求距離？推廣到一般結(jié)論：知 識 運 用例求證：兩平行直線的距離為證明：設(shè)點是直線上任一點，則點到直線的距離為兩平行直線的距離公式：的距離為教師：兩平行線的距離公式不要求記憶在求兩條平行線間的距離時，一般仍利用化歸思想轉(zhuǎn)化為直線上一特殊點到另一直線的距離來處理課堂練習(xí) 求下列兩條平行線的距離：學(xué)生：過點作的垂線，垂足為，垂線段的長度就是點到直線的距離點與直線上所有點的連線中，垂線段最短問題1 學(xué)生作圖后，結(jié)合圖象，分組討論怎樣計算方法 利用三角函數(shù)學(xué)生：由于點和直線的位置很特殊，可以利用三角函數(shù)來解決方法 利用定義（由于前面復(fù)習(xí)了點到直線的距離的定義，所以學(xué)生容易想到利用定義解決問題）學(xué)生：利用定義解決問題方法 利用函數(shù)的思想（在前面復(fù)習(xí)中強調(diào)了垂線段最短，所以可以引導(dǎo)學(xué)生，利用二次函數(shù)求最小值的方法解決問題）學(xué)生：可以利用二次函數(shù)求最小值的方法解決問題學(xué)生的解答中，可能會忽略取得等號的條件，教師要引導(dǎo)學(xué)生思考，取得等號時點的坐標(biāo)，并與前面兩種方法所得答案進行對比方法 利用直角三角形的面積公式學(xué)生：三角形面積公式學(xué)生：過點作的垂線，構(gòu)造 對于問題1的四種解法，學(xué)生可能回答不完全，教師要補充完整問題2方法 利用三角函數(shù)方法 利用函數(shù)的思想方法 利用定義方法 利用直角三角形的面積公式問題3學(xué)生討論：前面四種證明方法的都可行，但利用三角函數(shù)和利用二次函數(shù)求最小值的方法，相對要復(fù)雜一些方法 利用定義的算法學(xué)生分析解題思路，整理出算法框圖 學(xué)生的回答可能會忽略這個條件限制，教師要給予糾正并強調(diào)直線的斜率是否存在，主要取決于分母是否為0，這也是對前面知識的鞏固學(xué)生：對于的特殊情況，可以結(jié)合圖象直接得出結(jié)論方法 利用直角三角形的面積公式的算法學(xué)生：先添作輔助線，過點作軸、軸的垂線交于點，再利用直角三角形的面積公式進行計算方法 利用平面向量的算法學(xué)生： 學(xué)生容易忽略的限制條件，教師給予糾正學(xué)生： 對于法向量的理解是一個難點，同時學(xué)生得到的答案可能不統(tǒng)一教師引導(dǎo)學(xué)生從向量共線的角度加以分析，從而幫助學(xué)生理解學(xué)生：學(xué)生：當(dāng)時，以上公式仍然成立學(xué)生容易忽略距離是一個非負(fù)數(shù)，所以教師要強調(diào)應(yīng)該加上絕對值符號師生共同總結(jié)：對于點到直線的距離公式的理解 從運動的觀點來看，點到直線的距離是直線上的點與直線上一點的連線的最短距離； 使用點到直線的距離公式的前提條件，是把直線的方程化成一般式方程如果給出的直線方程不是一般式方程，應(yīng)先將方程化成一般式；若點在直線上，則點到直線的距離為零，距離公式仍然成立；若直線方程中系數(shù)的特殊情況，距離公式仍然成立，但一般情況下可以結(jié)合圖形直接得到距離師生共同討論例1 解：根據(jù)點到直線的距離公式，得解法 因直線平行于軸，所以解法 根據(jù)點到直線的距離公式，得另解：根據(jù)點到直線的距離公式，得根據(jù)點到直線的距離公式，例2 由學(xué)生分析解題思路，并按要求用數(shù)學(xué)語言表述過程學(xué)生：中表示直線的斜率；中表示直線在軸上的截距學(xué)生：這兩個小問的幾何意義分別是點到兩條直線的距離相等，所以點在兩條直線所成角的角平分線上；所得的兩條直線互相平行且距離為2例3學(xué)生：兩條平行直線間的距離處處相等；學(xué)生：將兩平行直線之間的距離轉(zhuǎn)化為一直線上一點到另一條直線的距離；學(xué)生：選擇點學(xué)生：可以選擇一般的點解：設(shè)直線上一點例4 師生共同總結(jié)： 應(yīng)用公式的前提是應(yīng)先將兩直線方程化為一般形式，使對應(yīng)系數(shù)化為相等（兩直線平行），再代人公式計算； 兩平行線間的距離可轉(zhuǎn)化為其中一條直線上的一個特殊點到另一條直線的距離課堂練習(xí)學(xué)生獨立完成解： 學(xué)生容易解錯：請其他同學(xué)分析錯誤原因在復(fù)習(xí)舊知的基礎(chǔ)上引人新課由于教材上對于點到直線的距離公式的證明比較抽象，所以補充了兩個由淺人深的具體問題，為后面推廣到一般情況作好鋪墊補充的問題1，由于點和直線的位置非常特殊，所以學(xué)生容易回答，教師要鼓勵學(xué)生利用多種方法解決問題1方法利用了類比化歸的思想，為后面將兩平行直線間的距離，轉(zhuǎn)化為點到直線的距離奠定基礎(chǔ)強調(diào)數(shù)形結(jié)合的思想改變問題1中幾何元素：點、直線的位置，引出問題2類比問題1，讓學(xué)生獨立思考問題2的不同法課堂上只要求學(xué)生說明解題思路，而不要求解題過程在點到直線的距離公式的推導(dǎo)過程中，滲透算法的思想對于方法，教材上只說明了算法步驟，而省略了繁瑣的證明過程，所以只要求學(xué)生理清算法思路、給出框圖，不要求證明過程對于方法，引導(dǎo)學(xué)生理清算法思路，再根據(jù)算法框圖，指導(dǎo)學(xué)生自學(xué)教材的證明過程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力和獲取信息的能力補充的方法，建立在學(xué)生已有的平面向量知識的基礎(chǔ)上課堂上只要求學(xué)生理清算法思路，而對于這種方法的具體解決過程，可作為課后思考作業(yè)補充的方法為今后在立體幾何中，利用這種算法思路得到點到平面的距離公式設(shè)下伏筆前后呼應(yīng)，使學(xué)生體會運用公式計算的簡便性例1中、兩個問題是補充的內(nèi)容，目的是強化點到直線的距離公式的應(yīng)用前提條件例1主要是通過直接將已知點的坐標(biāo)代人公式計算，強調(diào)公式的形式記憶和前提條件在此基礎(chǔ)上，由淺入深，補充的例2中直線方程含有參數(shù)，進一步提高思維難度在例2中，由于直線方程中的參數(shù)都具有明顯的幾何意義，所以在解出參數(shù)的值后，要引導(dǎo)學(xué)生思考其幾何意義補充的例題2既考察了學(xué)生對公式的掌握情況，又為下節(jié)課研究對稱問題和直線系問題設(shè)下伏筆由例2的幾何意義可以引出教材的例題3例3采用了類比化歸的思想方法，同時引出例4例4教材中是以習(xí)題的形式出現(xiàn)的（教材）補充的課堂練習(xí)的目的是，強調(diào)運用公式的前提條件課 堂 小 結(jié)教師引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)本節(jié)課所學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容課后作業(yè)1 利用向量的方法證明點到直線的距離公式； 教材 13、14、16（通過小結(jié)，使學(xué)生將本節(jié)課所學(xué)的知識系統(tǒng)化，使學(xué)生再次鞏固知識，明確方法）學(xué)生歸納總結(jié)本課主要學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容： 點到直線的距離公式的推導(dǎo)中不同的算法思路：利用定義的算法、利用直角三角形的面積公式的算法、利用平面向量的算法； 點到直線的距離公式：點到直線（其中）的距離說明：對于的特殊情況時公式仍然適用 應(yīng)用點到直線的距離公式的前提條件板書設(shè)計：4典型例題例1例2例3例45課堂練習(xí)6課堂小結(jié)7課后作業(yè)課題：點到直線的距離1 問題1 如何求點到直線的距離？方法 方法 方法 方法2 問題2 如何求點到直線的距離？3 問題3 如何求點到直線的距離（）？方法 利用定義的算法框圖方法 利用直角三角形的面積公式的算法框圖方法 利用平面向量的算法框圖設(shè)計說明：1對于這一節(jié)內(nèi)容，有兩種不同的處理方法：一種是僅讓學(xué)生理解、記憶公式，直接應(yīng)用而不講公式的探尋過程，這樣的教學(xué)不利于對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)；另一種是本課所體現(xiàn)的方式，通過強調(diào)對公式的探索過程，提高學(xué)生利用代數(shù)方法處理幾何問題的能力；2由于點到直線的距離公式的證明過程含字母運算，比較抽象如果沒有整體算法步驟的分析，學(xué)生的思路勢必會缺乏連貫性，所以本課重點分析了三種算法思想：利用定義的算法、利用直角三角形的面積公式的算法、利用平面向量的算法讓學(xué)生在明晰算法步驟的前提下，再進行有效的公式證明和自學(xué)閱讀；3由于平面向量是一種重要的運算工具，同