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2012屆高考數(shù)學(xué)壓軸題跟蹤訓(xùn)練91(本小題滿分14分)已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn),且與直線相切,其中.(I)求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程;(II)設(shè)A、B是軌跡上異于原點(diǎn)的兩個(gè)不同點(diǎn),直線和的傾斜角分別為和,當(dāng)變化且為定值時(shí),證明直線恒過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).解:(I)如圖,設(shè)為動(dòng)圓圓心,為記為,過(guò)點(diǎn)作直線的垂線,垂足為,由題意知:即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線的距離相等,由拋物線的定義知,點(diǎn)的軌跡為拋物線,其中為焦點(diǎn),為準(zhǔn)線,所以軌跡方程為;(II)如圖,設(shè),由題意得(否則)且所以直線的斜率存在,設(shè)其方程為,顯然,將與聯(lián)立消去,得由韋達(dá)定理知(1)當(dāng)時(shí),即時(shí),所以,所以由知:所以因此直線的方程可表示為,即所以直線恒過(guò)定點(diǎn)(2)當(dāng)時(shí),由,得=將式代入上式整理化簡(jiǎn)可得:,所以,此時(shí),直線的方程可表示為即所以直線恒過(guò)定點(diǎn)所以由(1)(2)知,當(dāng)時(shí),直線恒過(guò)定點(diǎn),當(dāng)時(shí)直線恒過(guò)定點(diǎn).2(2012年衡水一模)(本小題滿分12分)已知橢圓C1的方程為,雙曲線C2的左、右焦點(diǎn)分別為C1的左、右頂點(diǎn),而C2的左、右頂點(diǎn)分別是C1的左、右焦點(diǎn). ()求雙曲線C2的方程;()若直線與橢圓C1及雙曲線C2都恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn),且l與C2的兩個(gè)交點(diǎn)A和B滿足(其中O為原點(diǎn)),求k的取值范圍.解:()設(shè)雙曲線C2的方程為,則故C2的方程為(II)將由直線l與橢圓C1恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)得即 .由直線l與雙曲線C2恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B得 解此不等式得 由、得故k的取值范圍為3(本小題滿分12分)數(shù)列an滿足.()用數(shù)學(xué)歸納法證明:;()已知不等式,其中無(wú)理數(shù)e=2.71828.()證明:(1)當(dāng)n=2時(shí),不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立,即那么. 這就是說(shuō),當(dāng)時(shí)不等式成立.根據(jù)(1)、(2)可知:成立.()證法一:由遞推公式及()的結(jié)論有 兩邊取對(duì)數(shù)并利用已知不等式得 故 上式從1到求和可得即()證法二:由數(shù)學(xué)歸納法易證成立,故令取對(duì)數(shù)并利用已知不等式得 上式從2到n求和得 因故成立.4(本小題滿分12分)已知數(shù)列(1)證明(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式an.解:(1)方法一 用數(shù)學(xué)歸納法證明:1當(dāng)n=1時(shí), ,命題正確.2假設(shè)n=k時(shí)有 則 而又時(shí)命題正確.由1、2知,對(duì)一切nN時(shí)有方法二:用數(shù)學(xué)歸納法證明:1當(dāng)n=1時(shí),; 2假設(shè)n=k時(shí)有成立, 令,在0,2上單調(diào)遞增,所以由假設(shè)
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