數(shù)學(xué)壓軸題跟蹤訓(xùn)練9

2012屆高考數(shù)學(xué)壓軸題跟蹤訓(xùn)練91(本小題滿分14分)已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且與直線相切，其中.（I）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；（II）設(shè)A、B是軌跡上異于原點(diǎn)的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線和的傾斜角分別為和，當(dāng)變化且為定值時(shí)，證明直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).解：（I）如圖，設(shè)為動(dòng)圓圓心，為記為，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，由題意知：即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線的距離相等，由拋物線的定義知，點(diǎn)的軌跡為拋物線，其中為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線，所以軌跡方程為；（II）如圖，設(shè)，由題意得（否則）且所以直線的斜率存在，設(shè)其方程為，顯然，將與聯(lián)立消去，得由韋達(dá)定理知（1）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，所以，所以由知：所以因此直線的方程可表示為，即所以直線恒過(guò)定點(diǎn)（2）當(dāng)時(shí)，由，得=將式代入上式整理化簡(jiǎn)可得：，所以，此時(shí)，直線的方程可表示為即所以直線恒過(guò)定點(diǎn)所以由（1）（2）知，當(dāng)時(shí)，直線恒過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)直線恒過(guò)定點(diǎn).2（2012年衡水一模）（本小題滿分12分）已知橢圓C1的方程為，雙曲線C2的左、右焦點(diǎn)分別為C1的左、右頂點(diǎn)，而C2的左、右頂點(diǎn)分別是C1的左、右焦點(diǎn). （）求雙曲線C2的方程；（）若直線與橢圓C1及雙曲線C2都恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且l與C2的兩個(gè)交點(diǎn)A和B滿足（其中O為原點(diǎn)），求k的取值范圍.解：（）設(shè)雙曲線C2的方程為，則故C2的方程為（II）將由直線l與橢圓C1恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)得即 .由直線l與雙曲線C2恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B得 解此不等式得 由、得故k的取值范圍為3（本小題滿分12分）數(shù)列an滿足.（）用數(shù)學(xué)歸納法證明：；（）已知不等式，其中無(wú)理數(shù)e=2.71828.（）證明：（1）當(dāng)n=2時(shí)，不等式成立.（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立，即那么. 這就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)不等式成立.根據(jù)（1）、（2）可知：成立.（）證法一：由遞推公式及（）的結(jié)論有 兩邊取對(duì)數(shù)并利用已知不等式得 故 上式從1到求和可得即（）證法二：由數(shù)學(xué)歸納法易證成立，故令取對(duì)數(shù)并利用已知不等式得 上式從2到n求和得 因故成立.4（本小題滿分12分）已知數(shù)列（1）證明（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式an.解：（1）方法一 用數(shù)學(xué)歸納法證明：1當(dāng)n=1時(shí)， ，命題正確.2假設(shè)n=k時(shí)有 則 而又時(shí)命題正確.由1、2知，對(duì)一切nN時(shí)有方法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明：1當(dāng)n=1時(shí)，； 2假設(shè)n=k時(shí)有成立， 令，在0，2上單調(diào)遞增，所以由假設(shè)