第八章-多元函數(shù)微分學(xué)PPT課件

.,1,高數(shù)課件,教師丁超,.,2,第八章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用,開始,退出,.,3,第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念,返回,第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù),第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,第五節(jié)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式,第六節(jié)微分法在幾何上的應(yīng)用,第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法,第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度,第三節(jié)全微分,總習(xí)題,.,4,返回,一.區(qū)域,四.多元函數(shù)的連續(xù)性,三.多元函數(shù)的極限,二.多元函數(shù)概念,第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念,習(xí)題,.,5,第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念一、區(qū)域1.鄰域設(shè)是xOy平面上的一個點，是某一正數(shù).與點距離小于的點的全體稱為的鄰域，記為，即也就是,返回,下一頁,.,6,2.區(qū)域設(shè)E是平面上的一個點集，P是平面上的一個點.如果存在點P的某一鄰域使，則稱P為E的內(nèi)點(圖8-1).如果點集E的點都是內(nèi)點，則稱E為開集.如果點P的任一鄰域內(nèi)既有屬P于E的點，也有不屬于E的點，E則稱P為E的邊界點（圖8-2）.設(shè)D是開集.如果對于D內(nèi)的圖8-1任何兩點，都可用折線連結(jié)起,下一頁,上一頁,返回,.,7,來,而且該折線上的點都屬于D,P則稱開集D是連通的.連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域.E開區(qū)域連同它的邊界一起,稱為閉區(qū)域.圖8-23.n維空間設(shè)n為取定的一個自然數(shù),我們稱有序n元數(shù)組的全體為n維空間,而每個有序n元數(shù)組稱為n維空間中的一個點,數(shù)稱,返回,下一頁,上一頁,.,8,為該點的第i個坐標,n維空間記為.n維空間中兩點及間的距離規(guī)定為,返回,下一頁,上一頁,.,9,二、多元函數(shù)概念定義1設(shè)D是平面上的一個點集.如果對于每個點P=(x,y)D,變量z按照一定法則總有確定的值和它對應(yīng),則稱z是變量x、y的二元函數(shù)(或點P的函數(shù)),記為點集D稱為該函數(shù)的定義域,x、y稱為自變量,z,例題,返回,下一頁,上一頁,.,10,也稱為因變量,數(shù)集稱為該函數(shù)的值域.把定義1中的平面點集D換成n維空間內(nèi)的點集D.則可類似的定義n元函數(shù).當n=1時，n元函數(shù)就是一元函數(shù).當n2時n元函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù).,返回,下一頁,上一頁,.,11,三、多元函數(shù)的極限二元函數(shù)當,即時的極限.這里表示點以任何方式趨于，也就是點與點間的距離趨于零，即定義2設(shè)函數(shù)f(x,y)在開區(qū)域（或閉區(qū)域）內(nèi)有定義，是D的內(nèi)點或邊界點如果對于任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，使得對于適合不等式,返回,下一頁,上一頁,.,12,的一切點P(x,y)D，都有成立，則稱常A為函數(shù)f(x,y)當，時的極限，記作或這里.,例題,返回,下一頁,上一頁,.,13,四、多元函數(shù)的連續(xù)性定義3設(shè)函數(shù)f(x,y)在開區(qū)域(或閉區(qū)域)D內(nèi)有定義，是D的內(nèi)點或邊界點且.如果則稱函數(shù)f(x,y)在點連續(xù).若函數(shù)f(x,y)在點不連續(xù)，則稱為函數(shù)f(x,y)的間斷點.函數(shù),返回,下一頁,上一頁,.,14,當x0,y0時的極限不存在，所以點(0,0)是該函數(shù)的一個間斷點.函數(shù)在圓周上沒有定義，所以該圓周上各點都是間斷點，是一條曲線.性質(zhì)1(最大值和最小值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上一定有最大值和最小值.在D上至少有一點及一點，使得為最大值而為最小值，即對于一切PD，有,返回,下一頁,上一頁,.,15,性質(zhì)2(介值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元函數(shù)，如果在D上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩個值之間的任何值至少一次。如果是函數(shù)在D上的最小值m和最大值M之間的一個數(shù)，則在D上至少有一點Q，使得f(Q)=.*性質(zhì)3(一致連續(xù)性定理)在有界閉區(qū)域上的多元連續(xù)函數(shù)必定在D上一致連續(xù).若f(P)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，那么對于任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，使得對于D上的,返回,下一頁,上一頁,.,16,任意二點，只要當時，都有成立.一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的.由多元初等函數(shù)的連續(xù)性，如果要求它在點處的極限，而該點又在此函數(shù)的定義區(qū)域內(nèi)，則極限值就是函數(shù)在該點函數(shù)值，即,例題,返回,上一頁,.,17,一.偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計算方法,二.高階偏導(dǎo)數(shù),第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù),習(xí)題,返回,.,18,一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計算方法定義設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義，當y固定在而x固定在處有增量x時，相應(yīng)地函數(shù)有增量如果（1）存在，則稱此極限為函數(shù)在點處對x的偏導(dǎo)數(shù)，記作,返回,下一頁,.,19,例如，極限(1)可以表示為(2)類似地,函數(shù)在點對y的偏導(dǎo)數(shù)定義為,返回,下一頁,上一頁,.,20,(3)記作如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)每一點(x,y)處對x的偏導(dǎo)數(shù)都存在,那么這個偏導(dǎo)數(shù)就是x、y函數(shù),它就稱為函數(shù)對自變量x的偏導(dǎo)函數(shù)，記作,返回,下一頁,上一頁,.,21,類似的，可以定義函數(shù)z=f(x,y)對自變量y的偏導(dǎo)函數(shù)，記作求時只要把y暫時看作常量對x求導(dǎo)數(shù)；求時只要把暫x時看作常量對y求導(dǎo)數(shù).,例題,返回,下一頁,上一頁,.,22,圖8-6,返回,下一頁,上一頁,.,23,二、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)那么在D內(nèi)都是x,y的函數(shù).如果這兩個函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也存在,則稱它們是函數(shù)z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù).按照對變量求導(dǎo)次序的不同下列四個二階偏導(dǎo)數(shù)：,返回,下一頁,上一頁,.,24,二元函數(shù)z=f(x,y)在點的偏導(dǎo)數(shù)有下述幾何意義.設(shè)為曲面z=f(x,y)上的一點,過作平面，截此曲面得一曲線，此曲線在平面上的方程為,則導(dǎo)數(shù)，即偏導(dǎo)數(shù),就是這曲線在點處的切線對x軸的斜率(見圖8-6).同樣偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲面被平面所截得的曲線在點處的切線對y軸的斜率.,返回,下一頁,上一頁,.,25,其中第二、第三兩個偏導(dǎo)數(shù)稱為混合偏導(dǎo)數(shù).同樣可得三階、四階、以及n階偏導(dǎo)數(shù).二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).定理如果函數(shù)z=f(x,y)的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)及在D內(nèi)連續(xù)，那么在該區(qū)域內(nèi)這兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等.,例題,例題,返回,上一頁,.,26,第三節(jié)全微分及其應(yīng)用,習(xí)題,下一頁,返回,.,27,第三節(jié)全微分及其應(yīng)用二元函數(shù)對某個自變量的偏導(dǎo)數(shù)表示當另一個自變量固定時，因變量相對于該自變量的變化率.上面兩式的左端分別叫做二元函數(shù)對x和對y的偏增量，而右端分別叫做二元函數(shù)對x和對y的偏微分.設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點P(x,y)的某鄰域內(nèi)有定義，并設(shè)為這鄰域內(nèi)的任意一,下一頁,上一頁,返回,.,28,點，則稱這兩點的函數(shù)值之差為函數(shù)在點P對應(yīng)于自變量增量x、y的全增量，記作z，即定義如果函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)的全增量(1)可表示為,下一頁,上一頁,返回,.,29,其中A、B不依賴于x、y而僅與x,y有關(guān)，則稱函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)可微分，而稱為函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)全微分，記作dz,即(2)如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)各點處都可微分，那么稱這函數(shù)在D內(nèi)可微分.下面討論函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)可微分的條件.定理1(必要條件)如果函數(shù)z=f(x,y)在點,下一頁,上一頁,返回,.,30,(x,y)可微分，則該函數(shù)在點(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)必定存在，且函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)的全微分為(3)證設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點P(x,y)可微分.于是對于點P的某個鄰域內(nèi)的任意點，(2)式總成立.特別當時(2)式也應(yīng)成立，這時，所以(2)式成為,下一頁,上一頁,返回,.,31,上式兩邊各除以，再令而極限，就得從而，偏導(dǎo)數(shù)存在，而且等于A.同樣可證=B.所以三式成立.證畢.,下一頁,上一頁,返回,.,32,定理2(充分條件)如果z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)在(x,y)連續(xù)，則函數(shù)在該點可微分.證因為我們只限于討論在某一區(qū)域內(nèi)有定義的函數(shù)(對于偏導(dǎo)數(shù)也如此)，所以假定偏導(dǎo)數(shù)在點P(x,y)連續(xù)，就含有偏導(dǎo)數(shù)在該點的某一鄰域內(nèi)必然存在的意思.設(shè)點為這鄰域內(nèi)任意一點，考察函數(shù)的全增量,下一頁,上一頁,返回,.,33,在第一個方括號內(nèi)的表達式，由于y+y不變，因而可以看作是x的一元函數(shù)的增量.于是應(yīng)用拉格郎日中值定理，得到又依假設(shè)，在點連續(xù)，所以上式可寫為,下一頁,上一頁,返回,.,34,(4)其中為x、y的函數(shù)，且當時，.同理可證第二個方括號內(nèi)的表達式可寫為(5)其中為y的函數(shù)，且當時，.由(4)、(5)兩式可見，在偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的假定下，全增量z可以表示為,下一頁,上一頁,返回,.,35,容易看出它就是隨著即而趨于零的.這就證明了z=f(x,y)在點P(x,y)是可微分的.,例題,上一頁,返回,.,36,第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,返回,下一頁,習(xí)題,.,37,第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則定理如果函數(shù)及都在點t可導(dǎo)，函數(shù)z=f(u,v)在對應(yīng)點(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則符合函數(shù)在t可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計算：(1)證設(shè)t獲得增量t，這時、的對應(yīng)增量為u、v,由此，函數(shù)z=f(u,v),下一頁,上一頁,返回,.,38,相應(yīng)的獲得增量z.根據(jù)規(guī)定，函數(shù)z=f(u,v)在點(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，于是由第三節(jié)公式(6)有這里，當時，.將上式兩邊各除以t，得因為當，時，,下一頁,上一頁,返回,.,39,，所以這就證明符合函數(shù)在點t可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)可用公式(1)計算.證畢.全微分形式不變設(shè)函數(shù)z=f(u.v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有全微分,下一頁,上一頁,返回,.,40,如果u、v又是x、y的函數(shù)、且這兩個函數(shù)也具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)的全微分為,下一頁,上一頁,返回,.,41,其中及發(fā)分別由公式(4)及(5)給出.把公式(4)及(5)中的及帶如上式，得,下一頁,上一頁,返回,.,42,由此可見，無論z是自變量u、v的函數(shù)或中間變量u、v的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的.這個性質(zhì)叫做全微分形式不變性.,上一頁,返回,.,43,一.一個方程的情形,二.方程組的情形,第五節(jié)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式,返回,習(xí)題,.,44,一、一個方程的情況隱函數(shù)存在定理1設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，則方程在點的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個單質(zhì)來年許具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù),它滿足條件，并有（1）,返回,下一頁,.,45,公式推導(dǎo)：將方程所確定的函數(shù)代入，得恒等式其左端可以看作是x的一個復(fù)合函數(shù)，求這個函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)，由于恒等式兩端求導(dǎo)后仍然恒等，即得由于，且，所以存在的,返回,下一頁,上一頁,.,46,一個鄰域，在這個鄰域內(nèi)，于是得如果的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù)，我們可以把等式(1)的兩端看作x的復(fù)合偏導(dǎo)數(shù)而再求一次導(dǎo)，即得,返回,下一頁,上一頁,.,47,隱函數(shù)存在定理可以判定由方程所確定的二元函數(shù)的存在，以及這個函數(shù)的性質(zhì)。隱函數(shù)存在定理2設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，,返回,下一頁,上一頁,.,48,且，則方程在點的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，它滿足條件，并有(2)將公式(2)做如下的推導(dǎo)，由于將上式兩端分別對x和y求導(dǎo)，應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo),返回,下一頁,上一頁,.,49,法則得因為連續(xù)，且，所以存在點的一個鄰域，在這個鄰域內(nèi)，于是得,返回,下一頁,上一頁,.,50,二、方程組的情況考慮方程組(5)在四個變量中，一般只能有兩個變量獨立化，因此方程組(5)就有可能確定兩個二元函數(shù).這種情形下我們可以由函數(shù)F、G的性質(zhì)來斷定方程組(5)所確定的兩個二元函數(shù)的存在，以及它們的性質(zhì).,返回,下一頁,上一頁,.,51,隱函數(shù)存在定理3設(shè)以及在點的某一鄰域內(nèi)具有對各個變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又、，且偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式(或稱雅可比(Jacobi)行列式)：,返回,下一頁,上一頁,.,52,在點不等于零，則方程組、在點的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，它們滿足條件，并有,返回,下一頁,上一頁,.,53,(6),返回,下一頁,上一頁,.,54,下面僅就公式(6)做如下推導(dǎo).由于,返回,下一頁,上一頁,.,55,將恒等式兩邊分別對x求導(dǎo)，應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得這是關(guān)于的線性方程組，由假設(shè)可知在點的一個鄰域，系數(shù)行列式,返回,下一頁,上一頁,.,56,從而可解出，得同理，可得,返回,上一頁,.,57,一.空間曲線的切線與法平面,二.曲面的切平面與法線,第六節(jié)微分法在幾何上的應(yīng)用,返回,習(xí)題,.,58,一、空間曲線的切線與法平面設(shè)空間曲線的參數(shù)方程(1)這里假定(1)式的三個函數(shù)都可導(dǎo).在曲線上取對應(yīng)與的一點及對應(yīng)于的鄰近一點.根據(jù)解析幾何，曲線的割線的方程是,返回,下一頁,.,59,當沿著趨于，時割線的極限位置就是曲線在點處的切線(圖8-7).用t除上式的各分母，得令(這t0)，通過對上式取極限，即得圖8-7曲線在點處的切線方程,返回,下一頁,上一頁,.,60,這里當要假定都不能為零.切線的方向向量稱為曲線的切向量.向量就是曲線通過在點處的一個切向量.點通過而與切線垂直的平面稱為曲線在,返回,下一頁,上一頁,.,61,點處的法平面，它是通過點而以T為法向量的平面，因此這法平面的方程為,返回,下一頁,上一頁,.,62,二、曲面的切平面與法線我們先討論由隱式給出曲面方程的情形，然后把顯式給出的曲面方程z=f(x,y)作為它的特殊情形.設(shè)曲面由方程(9)給出，是曲面上的一點，并設(shè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在該點連續(xù)且不同時為零.在曲線上，通過點M引一條曲線(圖8-8)，假定曲線的參數(shù)方程為,返回,下一頁,上一頁,.,63,程為(10)對應(yīng)于點且，不全為零，則由(2)式可得這曲線的切線方程為圖8-8,返回,下一頁,上一頁,.,64,引入向量則表示(10)在點M處的切向量,返回,下一頁,上一頁,.,65,與向量n垂直.因為曲線(10)是曲面上通過點M的任意一條曲線，它們在點M的切線都與同一個向量n垂直，所以曲面上通過點M的一切曲線在點M的切線都在同一個平面上.這個平面稱為曲面在點M的切平面.這切平面的方程是(12)通過點而垂直于切平面(12)的直線稱為曲面在該點的法線.法線方程是,返回,下一頁,上一頁,.,66,垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量.向量就是曲面在點M處的一個法向量.,返回,上一頁,.,67,一.方向?qū)?shù),二.梯度,第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度,返回,習(xí)題,.,68,第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度一、方向?qū)?shù)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在P(x,y)的某一鄰域U(P)內(nèi)有定義.自點P引射線.設(shè)x軸正向到射線的轉(zhuǎn)角為，并設(shè)為上的另一點(圖8-9)且.我們考慮函數(shù)的增量與兩點間的距離的比值.當沿著趨于時，如果這個比的極限存在，則稱這極,返回,下一頁,.,69,限為函數(shù)f(x,y)在點P沿方向的方向?qū)?shù)，記作，即圖8-9,返回,下一頁,上一頁,.,70,定理如果函數(shù)z=f(x,y)在點P(x,y)是可微分的，那么函數(shù)在該點沿任一方向的導(dǎo)數(shù)都存在且有其中為x軸到方向的轉(zhuǎn)角.證根據(jù)函數(shù)z=f(x,y)在點P(x,y)是可微分的假定，函數(shù)的增量可以表達為,返回,下一頁,上一頁,.,71,兩邊各除以，得到所以,返回,下一頁,上一頁,.,72,這就證明了方向?qū)?shù)存在且其值為,返回,下一頁,上一頁,.,73,對于三元函數(shù)u=f(x,y,z)來說，它在空間一點P(x,y,z)沿著(設(shè)方向的方向為)的方向?qū)?shù)，同樣可以定義為其中，同樣可以證明，如果函數(shù)在所考慮的點處可微分，那么函數(shù)在該點沿著方向的方向?qū)?shù),返回,下一頁,上一頁,.,74,為,返回,下一頁,上一頁,.,75,二、梯度在二元函數(shù)的情形，設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在平面區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對于每一點P(x,y)D，都可以定出一個向量這向量稱為函數(shù)z=f(x,y)在點P(x,y)的梯度，記作，即,返回,下一頁,上一頁,.,76,函數(shù)在某點的梯度是這樣一個向量，它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，而它的模為方向?qū)?shù)的最大值.由梯度的定義可知，梯度的模為一般來說二元函數(shù)z=f(x,y)在幾何上表示一個曲面，這曲面被平面z=c(c是常數(shù))所截得的曲線L的方程為,返回,下一頁,上一頁,.,77,這條曲線在xOy面的投影是一條平面曲線(圖8-10)，它在xOy平面直角坐標系中的方程為圖8-10,返回,下一頁,上一頁,.,78,對于曲線上的一切點，已給函數(shù)的函數(shù)值都是c，所以我們稱平面曲線為函數(shù)z=f(x,y)的等高線.由于等高線f(x,y)=c上任一點P(x,y)處的法線斜率為所以梯度,返回,下一頁,上一頁,.,79,為等高線上點P處的法向量.因此我們可得梯度與等高線的下述關(guān)系：函數(shù)z=f(x,y)在點P(x,y)的梯度方向與過點P的等高線f(x,y)=c在這點的法線的一個方向相同，且從數(shù)值較低的等高線指向數(shù)值較高的等高線，而梯度的模等于函數(shù)在這個法線方向的方向?qū)?shù).這個法線方向就是方向?qū)?shù)取得最大值的方向.對于三元函數(shù)來說，函數(shù)u=f(x,y,z)在空間區(qū)域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對每一點，都可定出一個向量,返回,下一頁,上一頁,.,80,這向量稱為函數(shù)u=f(x,y,z)在點P(x,y,z)的梯度，將它記作，即如果我們引進曲面,返回,下一頁,上一頁,.,81,為函數(shù)u=f(x,y,z)的等量面的概念，則可得函數(shù)u=f(x,y,z)在點P(x,y,z)的梯度的方向與過點P的等量面f(x,y,z)=c在這點的法線的一個方向相同，且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較高的等量面，而梯度的模等于函數(shù)在這個法線方向的方向?qū)?shù).,返回,上一頁,.,82,一.多元函數(shù)的極值及最大值、最小值,二.條件極值,第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法,返回,習(xí)題,.,83,第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值定義設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定義，對于該鄰域內(nèi)異于的點：如果都適合不等式則稱函數(shù)在點有極大值；如果都適合不等式,返回,下一頁,.,84,則稱函數(shù)在點有極小值.極大值、極小值統(tǒng)稱為極值.使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.以上關(guān)于二元函數(shù)的極值概念，可推廣到n元函數(shù).設(shè)n元函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義，如果對于該鄰域內(nèi)有異于的任何點都不適合不等式,返回,下一頁,上一頁,.,85,則稱函數(shù)在點有極大值(極小值).定理1(必要條件)設(shè)函數(shù)在點具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點處有極值，則它在該點的偏導(dǎo)數(shù)必然為零：證不妨設(shè)在點處有極大值.依極大值的定義，在的某鄰,返回,下一頁,上一頁,.,86,域內(nèi)異于的點都適合不等式特殊地，該鄰域內(nèi)取而的點，也應(yīng)合適不等式這表明一元函數(shù)在處取得極大值，因而必有,返回,下一頁,上一頁,.,87,類似地可證如果三元函數(shù)在點具有偏導(dǎo)數(shù)，則它在點具有極值的必要條件為定理2(充分條件)設(shè)函數(shù)在,返回,下一頁,上一頁,.,88,點的某鄰域內(nèi)連續(xù)且具有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又，令則在處是否取得極值的條件如下：(1)時具有極值，且當時有極大值，當時有極小值；(2)時沒有極值；(3)時可能有極值，也可能沒,返回,下一頁,上一頁,.,89,有極值，還需另作討論.二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的極值的求法敘述如下：第一步解方程組求得一切實數(shù)解，即可求得一切駐點.第二步對于每一個駐點，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值和.第三步定出的符號，按定理2的,返回,下一頁,上一頁,.,90,結(jié)論判定是否是極值、是極大值還是極小值.,返回,下一頁,上一頁,.,91,二、條件極值拉格朗日乘數(shù)法上面所討論的極值問題，對于函數(shù)的自變量，除了限制在函數(shù)的定義域以外，并無其他條件，所以有時候稱為無條件極值.但在實際問題中，有時會遇到對函數(shù)的自變量還有附加條件的極值問題.例如，求表面積為而體積為最大的長方體的體積問題.設(shè)長方體的三棱的長為還必須滿足附加條件.象這種對自變量有附加條件的極值稱為條件極值.,返回,下一頁,上一頁,.,92,對于有些實際問題，可以把條件極值化為無條件極值，然后利用第一目中的方法加以解決.例如上述問題，可由條件，將z表示成x,y的函數(shù)再把它代入中，于是問題就化為求,返回,下一頁,上一頁,.,93,的無條件極值.但在很多情形下，將條件極值化為無條件極值并不這樣簡單.我們另有一種直接尋求條件極值的方法，可以不必先把問題化到無條件極值的問題.拉格朗日乘數(shù)法要找函數(shù)在附加條件下的可能極值點，可以先構(gòu)成輔助函數(shù)其中為某一常數(shù).求其對x與y的一階偏導(dǎo)數(shù)，,返回,下一頁,上一頁,.,94,并使之為零，然后與方程聯(lián)立起來：由這方程組解出及，則其中就是函數(shù)在附加條件下的可能極值點的坐標.,返回,下一頁,上一頁,.,95,第八章結(jié)束,上一頁,返回,.,96,總習(xí)題八1.在“充分”、“必要”和“充分”三者中選擇一個正確的填入下列空格內(nèi)：（1）在點可微分是在該點連續(xù)的充分條件.在點連續(xù)是在該點可微分的必要條件.（2）在點的偏導(dǎo)數(shù)及存在是在該點可微分的必要,下一頁,返回,.,97,條件.在點可微分是函數(shù)在該點的偏導(dǎo)數(shù)及存在的充分條件.（3）的偏導(dǎo)數(shù)及在點存在且連續(xù)是在該點可微分的充分條件.（4）函數(shù)的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)及在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)是這兩個二階,下一頁,返回,上一頁,.,98,混合偏導(dǎo)數(shù)在D內(nèi)相等的充分條件.2.求函數(shù)的定義域，并求.3.證明極限不存在.,下一頁,返回,上一頁,題解,題解,.,99,4.設(shè)求及.5.求下列函數(shù)的一階和二階偏導(dǎo)數(shù)：,下一頁,返回,上一頁,題解,題解,題解,.,100,6.求函數(shù)當時的全增量和全微分.7.設(shè)證明：在點(0,0)處連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在，但不可微分.,下一頁,返回,上一頁,題解,題解,.,101,8.設(shè)，而都是可微函數(shù)，求.9.設(shè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而求.10.設(shè)，其中f具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，求.,下一頁,返回,上一頁,題解,題解,題解,.,102,11.設(shè)試求和.12.求螺旋線在點處的切線及法平面方程.13.在曲面上求一點，使這點處的法線垂直于平面，并寫出這法線的方程.,下一頁,返回,上一頁,題解,題解,題解,.,103,14.設(shè)x軸正向到方向的轉(zhuǎn)角為，求函數(shù)在點(1,1)沿方向的方向?qū)?shù)，并分別確定轉(zhuǎn)角，使這導(dǎo)數(shù)有(1)最大值，(2)最小值，(3)等于0.15.求函數(shù)在橢球面上點處沿外法線方向的方向?qū)?shù).,下一頁,返回,上一頁,題解,題解,.,104,16.求平面和柱面的交線上與xOy平面距離最短的點.17.在第一卦限內(nèi)做橢球面的切平面，使該切平面與三坐標面所圍成的四面體的體積最小.求著切平面的切點，并求此最小體積.,返回,上一頁,題解,題解,.,105,解：求定義域需滿足即需滿足,下一頁,返回,.,106,而是D的一個內(nèi)點.,返回,上一頁,.,107,解：設(shè)當時，沿的方向趨近于零顯然，該極限隨k的不同而改變.,返回,.,108,解：當,顯然.當,下一頁,返回,.,109,下一頁,返回,上一頁,.,110,同理當,顯然.當,返回,上一頁,.,111,解：,返回,.,112,解：,返回,.,113,解：全增量,返回,下一頁,.,114,返回,上一頁,.,115,證明:顯然時,有,返回,下一頁,.,116,返回,下一頁,上一頁,.,117,返回,下一頁,上一頁,.,118,返回,若令沿方向趨近于0,上一頁,.,119,解:,返回,.,120,解:,返回,.,121,解:,返回,.,122,解:,返回,下一頁,.,123,返回,上一頁,.,124,解:,返回,.,125,解:,返回,.,126,解:,返回,.,127,解:,返回,下一頁,.,128,返回,下一頁,上一頁,.,129,返回,上一頁,.,130,解:,返回,下一頁,.,131,返回,上一頁,.,132,解:,返回,下一頁,上一頁,.,133,返回,下一頁,上一頁,.,134,返回,下一頁,上一頁,.,135,返回,上一頁,.,136,習(xí)題8-11.已知函數(shù)試求.2.試證函數(shù)滿足關(guān)系式.3.以知函數(shù)，試求.,下一頁,返回,.,137,4.求下列各函數(shù)的定義域：,下一頁,返回,上一頁,.,138,5.求下列各極限：,下一頁,返回,上一頁,.,139,6.證明下列極限不存在：,下一頁,返回,上一頁,.,140,7.函數(shù)在何處是間斷的？8.證明.,上一頁,返回,.,141,例1圓柱體的體積和它的底半徑、高之間具有關(guān)系這里，當、在集合內(nèi)取定一對值時，的對應(yīng)值就隨之確定.例2一定量的理想氣體的壓強、體積和絕對溫度之間具有關(guān)系,下一頁,返回,.,142,其中為常數(shù).這里，當、在集合內(nèi)取定一對值時，的值就隨之確定.例3設(shè)是電阻并聯(lián)后的總電阻，由電學(xué)知道，它們之間具有關(guān)系這里，當在集合內(nèi)取定一對值時，的對應(yīng)值就隨之確定.,上一頁,返回,.,143,例4設(shè)求證證因為可見，對任給，取則當,下一頁,返回,.,144,時，總有成立，所以,下一頁,上一頁,返回,.,145,例5求解這里在區(qū)域和區(qū)域內(nèi)都有定義，同時為及的邊界點.但無論在內(nèi)還是在內(nèi)考慮，下列運算都是正確的：,上一頁,返回,.,146,例6求解函數(shù)是初等函數(shù)，它的定義域為因不是連通的，故不是區(qū)域.但是區(qū)域，且，所以是函數(shù)的一個定義域.因，故,下一頁,返回,.,147,例7求解,下一頁,上一頁,返回,.,148,上一頁,返回,.,149,習(xí)題8-21.求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),下一頁,返回,.,150,2.設(shè)，求證.3.設(shè)，求證.4.折，求.,下一頁,返回,上一頁,.,151,5.設(shè)，在(2,4,5)處的切線對于x軸的傾角是多少？6.求下列函數(shù)的，和,下一頁,返回,上一頁,.,152,7.設(shè)，求，及.8.設(shè)，求及.9.驗證：滿足；滿足,下一頁,返回,上一頁,.,153,例1求在點(1,2)處的偏導(dǎo)數(shù).解把看作常量把看作常量將(1,2)代入上面的結(jié)果，就是,下一頁,返回,.,154,例2求的偏導(dǎo)數(shù)解,下一頁,上一頁,返回,.,155,例2求的偏導(dǎo)數(shù)解,下一頁,上一頁,返回,.,156,例3設(shè)，求證：證因為，所以,下一頁,上一頁,返回,.,157,例4求的偏導(dǎo)數(shù).解把y和z都看作常量，得由于所給函數(shù)關(guān)于自變量的對稱性，所以,上一頁,返回,.,158,例6設(shè)，求、及.解,下一頁,返回,.,159,返回,上一頁,.,160,例7驗證滿足方程證因為，所以，,下一頁,返回,.,161,因此例8證明函數(shù)滿足方程,下一頁,返回,上一頁,.,162,其中.證由于函數(shù)關(guān)于自變量的對稱性，所以,下一頁,返回,上一頁,.,163,因此,返回,上一頁,.,164,習(xí)題8-31.求下列函數(shù)的全微分：2.求函數(shù)當時的全微分.,下一頁,返回,.,165,