第八章-多元函數(shù)微分學(xué)PPT課件

.,1,高數(shù)課件,教師丁超,.,2,第八章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用,開始,退出,.,3,第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念,返回,第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù),第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,第五節(jié)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式,第六節(jié)微分法在幾何上的應(yīng)用,第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法,第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度,第三節(jié)全微分,總習(xí)題,.,4,返回,一.區(qū)域,四.多元函數(shù)的連續(xù)性,三.多元函數(shù)的極限,二.多元函數(shù)概念,第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念,習(xí)題,.,5,第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念一、區(qū)域1.鄰域設(shè)是xOy平面上的一個(gè)點(diǎn)，是某一正數(shù).與點(diǎn)距離小于的點(diǎn)的全體稱為的鄰域，記為，即也就是,返回,下一頁(yè),.,6,2.區(qū)域設(shè)E是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，P是平面上的一個(gè)點(diǎn).如果存在點(diǎn)P的某一鄰域使，則稱P為E的內(nèi)點(diǎn)(圖8-1).如果點(diǎn)集E的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱E為開集.如果點(diǎn)P的任一鄰域內(nèi)既有屬P于E的點(diǎn)，也有不屬于E的點(diǎn)，E則稱P為E的邊界點(diǎn)（圖8-2）.設(shè)D是開集.如果對(duì)于D內(nèi)的圖8-1任何兩點(diǎn)，都可用折線連結(jié)起,下一頁(yè),上一頁(yè),返回,.,7,來,而且該折線上的點(diǎn)都屬于D,P則稱開集D是連通的.連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域.E開區(qū)域連同它的邊界一起,稱為閉區(qū)域.圖8-23.n維空間設(shè)n為取定的一個(gè)自然數(shù),我們稱有序n元數(shù)組的全體為n維空間,而每個(gè)有序n元數(shù)組稱為n維空間中的一個(gè)點(diǎn),數(shù)稱,返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,8,為該點(diǎn)的第i個(gè)坐標(biāo),n維空間記為.n維空間中兩點(diǎn)及間的距離規(guī)定為,返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,9,二、多元函數(shù)概念定義1設(shè)D是平面上的一個(gè)點(diǎn)集.如果對(duì)于每個(gè)點(diǎn)P=(x,y)D,變量z按照一定法則總有確定的值和它對(duì)應(yīng),則稱z是變量x、y的二元函數(shù)(或點(diǎn)P的函數(shù)),記為點(diǎn)集D稱為該函數(shù)的定義域,x、y稱為自變量,z,例題,返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,10,也稱為因變量,數(shù)集稱為該函數(shù)的值域.把定義1中的平面點(diǎn)集D換成n維空間內(nèi)的點(diǎn)集D.則可類似的定義n元函數(shù).當(dāng)n=1時(shí)，n元函數(shù)就是一元函數(shù).當(dāng)n2時(shí)n元函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù).,返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,11,三、多元函數(shù)的極限二元函數(shù)當(dāng),即時(shí)的極限.這里表示點(diǎn)以任何方式趨于，也就是點(diǎn)與點(diǎn)間的距離趨于零，即定義2設(shè)函數(shù)f(x,y)在開區(qū)域（或閉區(qū)域）內(nèi)有定義，是D的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)如果對(duì)于任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，使得對(duì)于適合不等式,返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,12,的一切點(diǎn)P(x,y)D，都有成立，則稱常A為函數(shù)f(x,y)當(dāng)，時(shí)的極限，記作或這里.,例題,返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,13,四、多元函數(shù)的連續(xù)性定義3設(shè)函數(shù)f(x,y)在開區(qū)域(或閉區(qū)域)D內(nèi)有定義，是D的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)且.如果則稱函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)連續(xù).若函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)不連續(xù)，則稱為函數(shù)f(x,y)的間斷點(diǎn).函數(shù),返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,14,當(dāng)x0,y0時(shí)的極限不存在，所以點(diǎn)(0,0)是該函數(shù)的一個(gè)間斷點(diǎn).函數(shù)在圓周上沒有定義，所以該圓周上各點(diǎn)都是間斷點(diǎn)，是一條曲線.性質(zhì)1(最大值和最小值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上一定有最大值和最小值.在D上至少有一點(diǎn)及一點(diǎn)，使得為最大值而為最小值，即對(duì)于一切PD，有,返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,15,性質(zhì)2(介值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元函數(shù)，如果在D上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩個(gè)值之間的任何值至少一次。如果是函數(shù)在D上的最小值m和最大值M之間的一個(gè)數(shù)，則在D上至少有一點(diǎn)Q，使得f(Q)=.*性質(zhì)3(一致連續(xù)性定理)在有界閉區(qū)域上的多元連續(xù)函數(shù)必定在D上一致連續(xù).若f(P)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，那么對(duì)于任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，使得對(duì)于D上的,返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,16,任意二點(diǎn)，只要當(dāng)時(shí)，都有成立.一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的.由多元初等函數(shù)的連續(xù)性，如果要求它在點(diǎn)處的極限，而該點(diǎn)又在此函數(shù)的定義區(qū)域內(nèi)，則極限值就是函數(shù)在該點(diǎn)函數(shù)值，即,例題,返回,上一頁(yè),.,17,一.偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算方法,二.高階偏導(dǎo)數(shù),第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù),習(xí)題,返回,.,18,一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算方法定義設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)y固定在而x固定在處有增量x時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量如果（1）存在，則稱此極限為函數(shù)在點(diǎn)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)，記作,返回,下一頁(yè),.,19,例如，極限(1)可以表示為(2)類似地,函數(shù)在點(diǎn)對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)定義為,返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,20,(3)記作如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)(x,y)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)都存在,那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)就是x、y函數(shù),它就稱為函數(shù)對(duì)自變量x的偏導(dǎo)函數(shù)，記作,返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,21,類似的，可以定義函數(shù)z=f(x,y)對(duì)自變量y的偏導(dǎo)函數(shù)，記作求時(shí)只要把y暫時(shí)看作常量對(duì)x求導(dǎo)數(shù)；求時(shí)只要把暫x時(shí)看作常量對(duì)y求導(dǎo)數(shù).,例題,返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,22,圖8-6,返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,23,二、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)那么在D內(nèi)都是x,y的函數(shù).如果這兩個(gè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也存在,則稱它們是函數(shù)z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù).按照對(duì)變量求導(dǎo)次序的不同下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)：,返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,24,二元函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)有下述幾何意義.設(shè)為曲面z=f(x,y)上的一點(diǎn),過作平面，截此曲面得一曲線，此曲線在平面上的方程為,則導(dǎo)數(shù)，即偏導(dǎo)數(shù),就是這曲線在點(diǎn)處的切線對(duì)x軸的斜率(見圖8-6).同樣偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲面被平面所截得的曲線在點(diǎn)處的切線對(duì)y軸的斜率.,返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,25,其中第二、第三兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)稱為混合偏導(dǎo)數(shù).同樣可得三階、四階、以及n階偏導(dǎo)數(shù).二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).定理如果函數(shù)z=f(x,y)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)及在D內(nèi)連續(xù)，那么在該區(qū)域內(nèi)這兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等.,例題,例題,返回,上一頁(yè),.,26,第三節(jié)全微分及其應(yīng)用,習(xí)題,下一頁(yè),返回,.,27,第三節(jié)全微分及其應(yīng)用二元函數(shù)對(duì)某個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)表示當(dāng)另一個(gè)自變量固定時(shí)，因變量相對(duì)于該自變量的變化率.上面兩式的左端分別叫做二元函數(shù)對(duì)x和對(duì)y的偏增量，而右端分別叫做二元函數(shù)對(duì)x和對(duì)y的偏微分.設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)的某鄰域內(nèi)有定義，并設(shè)為這鄰域內(nèi)的任意一,下一頁(yè),上一頁(yè),返回,.,28,點(diǎn)，則稱這兩點(diǎn)的函數(shù)值之差為函數(shù)在點(diǎn)P對(duì)應(yīng)于自變量增量x、y的全增量，記作z，即定義如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)的全增量(1)可表示為,下一頁(yè),上一頁(yè),返回,.,29,其中A、B不依賴于x、y而僅與x,y有關(guān)，則稱函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微分，而稱為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)全微分，記作dz,即(2)如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)各點(diǎn)處都可微分，那么稱這函數(shù)在D內(nèi)可微分.下面討論函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微分的條件.定理1(必要條件)如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn),下一頁(yè),上一頁(yè),返回,.,30,(x,y)可微分，則該函數(shù)在點(diǎn)(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)必定存在，且函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)的全微分為(3)證設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)可微分.于是對(duì)于點(diǎn)P的某個(gè)鄰域內(nèi)的任意點(diǎn)，(2)式總成立.特別當(dāng)時(shí)(2)式也應(yīng)成立，這時(shí)，所以(2)式成為,下一頁(yè),上一頁(yè),返回,.,31,上式兩邊各除以，再令而極限，就得從而，偏導(dǎo)數(shù)存在，而且等于A.同樣可證=B.所以三式成立.證畢.,下一頁(yè),上一頁(yè),返回,.,32,定理2(充分條件)如果z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)在(x,y)連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)可微分.證因?yàn)槲覀冎幌抻谟懻撛谀骋粎^(qū)域內(nèi)有定義的函數(shù)(對(duì)于偏導(dǎo)數(shù)也如此)，所以假定偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)P(x,y)連續(xù)，就含有偏導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)必然存在的意思.設(shè)點(diǎn)為這鄰域內(nèi)任意一點(diǎn)，考察函數(shù)的全增量,下一頁(yè),上一頁(yè),返回,.,33,在第一個(gè)方括號(hào)內(nèi)的表達(dá)式，由于y+y不變，因而可以看作是x的一元函數(shù)的增量.于是應(yīng)用拉格郎日中值定理，得到又依假設(shè)，在點(diǎn)連續(xù)，所以上式可寫為,下一頁(yè),上一頁(yè),返回,.,34,(4)其中為x、y的函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.同理可證第二個(gè)方括號(hào)內(nèi)的表達(dá)式可寫為(5)其中為y的函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.由(4)、(5)兩式可見，在偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的假定下，全增量z可以表示為,下一頁(yè),上一頁(yè),返回,.,35,容易看出它就是隨著即而趨于零的.這就證明了z=f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)是可微分的.,例題,上一頁(yè),返回,.,36,第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,返回,下一頁(yè),習(xí)題,.,37,第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則定理如果函數(shù)及都在點(diǎn)t可導(dǎo)，函數(shù)z=f(u,v)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則符合函數(shù)在t可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算：(1)證設(shè)t獲得增量t，這時(shí)、的對(duì)應(yīng)增量為u、v,由此，函數(shù)z=f(u,v),下一頁(yè),上一頁(yè),返回,.,38,相應(yīng)的獲得增量z.根據(jù)規(guī)定，函數(shù)z=f(u,v)在點(diǎn)(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，于是由第三節(jié)公式(6)有這里，當(dāng)時(shí)，.將上式兩邊各除以t，得因?yàn)楫?dāng)，時(shí)，,下一頁(yè),上一頁(yè),返回,.,39,，所以這就證明符合函數(shù)在點(diǎn)t可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)可用公式(1)計(jì)算.證畢.全微分形式不變?cè)O(shè)函數(shù)z=f(u.v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有全微分,下一頁(yè),上一頁(yè),返回,.,40,如果u、v又是x、y的函數(shù)、且這兩個(gè)函數(shù)也具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)的全微分為,下一頁(yè),上一頁(yè),返回,.,41,其中及發(fā)分別由公式(4)及(5)給出.把公式(4)及(5)中的及帶如上式，得,下一頁(yè),上一頁(yè),返回,.,42,由此可見，無論z是自變量u、v的函數(shù)或中間變量u、v的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的.這個(gè)性質(zhì)叫做全微分形式不變性.,上一頁(yè),返回,.,43,一.一個(gè)方程的情形,二.方程組的情形,第五節(jié)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式,返回,習(xí)題,.,44,一、一個(gè)方程的情況隱函數(shù)存在定理1設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，則方程在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單質(zhì)來年許具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù),它滿足條件，并有（1）,返回,下一頁(yè),.,45,公式推導(dǎo)：將方程所確定的函數(shù)代入，得恒等式其左端可以看作是x的一個(gè)復(fù)合函數(shù)，求這個(gè)函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)，由于恒等式兩端求導(dǎo)后仍然恒等，即得由于，且，所以存在的,返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,46,一個(gè)鄰域，在這個(gè)鄰域內(nèi)，于是得如果的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù)，我們可以把等式(1)的兩端看作x的復(fù)合偏導(dǎo)數(shù)而再求一次導(dǎo)，即得,返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,47,隱函數(shù)存在定理可以判定由方程所確定的二元函數(shù)的存在，以及這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)。隱函數(shù)存在定理2設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，,返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,48,且，則方程在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，它滿足條件，并有(2)將公式(2)做如下的推導(dǎo)，由于將上式兩端分別對(duì)x和y求導(dǎo)，應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo),返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,49,法則得因?yàn)檫B續(xù)，且，所以存在點(diǎn)的一個(gè)鄰域，在這個(gè)鄰域內(nèi)，于是得,返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,50,二、方程組的情況考慮方程組(5)在四個(gè)變量中，一般只能有兩個(gè)變量獨(dú)立化，因此方程組(5)就有可能確定兩個(gè)二元函數(shù).這種情形下我們可以由函數(shù)F、G的性質(zhì)來斷定方程組(5)所確定的兩個(gè)二元函數(shù)的存在，以及它們的性質(zhì).,返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,51,隱函數(shù)存在定理3設(shè)以及在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有對(duì)各個(gè)變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又、，且偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式(或稱雅可比(Jacobi)行列式)：,返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,52,在點(diǎn)不等于零，則方程組、在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，它們滿足條件，并有,返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,53,(6),返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,54,下面僅就公式(6)做如下推導(dǎo).由于,返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,55,將恒等式兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)，應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得這是關(guān)于的線性方程組，由假設(shè)可知在點(diǎn)的一個(gè)鄰域，系數(shù)行列式,返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,56,從而可解出，得同理，可得,返回,上一頁(yè),.,57,一.空間曲線的切線與法平面,二.曲面的切平面與法線,第六節(jié)微分法在幾何上的應(yīng)用,返回,習(xí)題,.,58,一、空間曲線的切線與法平面設(shè)空間曲線的參數(shù)方程(1)這里假定(1)式的三個(gè)函數(shù)都可導(dǎo).在曲線上取對(duì)應(yīng)與的一點(diǎn)及對(duì)應(yīng)于的鄰近一點(diǎn).根據(jù)解析幾何，曲線的割線的方程是,返回,下一頁(yè),.,59,當(dāng)沿著趨于，時(shí)割線的極限位置就是曲線在點(diǎn)處的切線(圖8-7).用t除上式的各分母，得令(這t0)，通過對(duì)上式取極限，即得圖8-7曲線在點(diǎn)處的切線方程,返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,60,這里當(dāng)要假定都不能為零.切線的方向向量稱為曲線的切向量.向量就是曲線通過在點(diǎn)處的一個(gè)切向量.點(diǎn)通過而與切線垂直的平面稱為曲線在,返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,61,點(diǎn)處的法平面，它是通過點(diǎn)而以T為法向量的平面，因此這法平面的方程為,返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,62,二、曲面的切平面與法線我們先討論由隱式給出曲面方程的情形，然后把顯式給出的曲面方程z=f(x,y)作為它的特殊情形.設(shè)曲面由方程(9)給出，是曲面上的一點(diǎn)，并設(shè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)且不同時(shí)為零.在曲線上，通過點(diǎn)M引一條曲線(圖8-8)，假定曲線的參數(shù)方程為,返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,63,程為(10)對(duì)應(yīng)于點(diǎn)且，不全為零，則由(2)式可得這曲線的切線方程為圖8-8,返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,64,引入向量則表示(10)在點(diǎn)M處的切向量,返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,65,與向量n垂直.因?yàn)榍€(10)是曲面上通過點(diǎn)M的任意一條曲線，它們?cè)邳c(diǎn)M的切線都與同一個(gè)向量n垂直，所以曲面上通過點(diǎn)M的一切曲線在點(diǎn)M的切線都在同一個(gè)平面上.這個(gè)平面稱為曲面在點(diǎn)M的切平面.這切平面的方程是(12)通過點(diǎn)而垂直于切平面(12)的直線稱為曲面在該點(diǎn)的法線.法線方程是,返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,66,垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量.向量就是曲面在點(diǎn)M處的一個(gè)法向量.,返回,上一頁(yè),.,67,一.方向?qū)?shù),二.梯度,第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度,返回,習(xí)題,.,68,第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度一、方向?qū)?shù)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在P(x,y)的某一鄰域U(P)內(nèi)有定義.自點(diǎn)P引射線.設(shè)x軸正向到射線的轉(zhuǎn)角為，并設(shè)為上的另一點(diǎn)(圖8-9)且.我們考慮函數(shù)的增量與兩點(diǎn)間的距離的比值.當(dāng)沿著趨于時(shí)，如果這個(gè)比的極限存在，則稱這極,返回,下一頁(yè),.,69,限為函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P沿方向的方向?qū)?shù)，記作，即圖8-9,返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,70,定理如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)是可微分的，那么函數(shù)在該點(diǎn)沿任一方向的導(dǎo)數(shù)都存在且有其中為x軸到方向的轉(zhuǎn)角.證根據(jù)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)是可微分的假定，函數(shù)的增量可以表達(dá)為,返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,71,兩邊各除以，得到所以,返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,72,這就證明了方向?qū)?shù)存在且其值為,返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,73,對(duì)于三元函數(shù)u=f(x,y,z)來說，它在空間一點(diǎn)P(x,y,z)沿著(設(shè)方向的方向?yàn)?的方向?qū)?shù)，同樣可以定義為其中，同樣可以證明，如果函數(shù)在所考慮的點(diǎn)處可微分，那么函數(shù)在該點(diǎn)沿著方向的方向?qū)?shù),返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,74,為,返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,75,二、梯度在二元函數(shù)的情形，設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在平面區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)P(x,y)D，都可以定出一個(gè)向量這向量稱為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)的梯度，記作，即,返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,76,函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是這樣一個(gè)向量，它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，而它的模為方向?qū)?shù)的最大值.由梯度的定義可知，梯度的模為一般來說二元函數(shù)z=f(x,y)在幾何上表示一個(gè)曲面，這曲面被平面z=c(c是常數(shù))所截得的曲線L的方程為,返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,77,這條曲線在xOy面的投影是一條平面曲線(圖8-10)，它在xOy平面直角坐標(biāo)系中的方程為圖8-10,返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,78,對(duì)于曲線上的一切點(diǎn)，已給函數(shù)的函數(shù)值都是c，所以我們稱平面曲線為函數(shù)z=f(x,y)的等高線.由于等高線f(x,y)=c上任一點(diǎn)P(x,y)處的法線斜率為所以梯度,返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,79,為等高線上點(diǎn)P處的法向量.因此我們可得梯度與等高線的下述關(guān)系：函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)的梯度方向與過點(diǎn)P的等高線f(x,y)=c在這點(diǎn)的法線的一個(gè)方向相同，且從數(shù)值較低的等高線指向數(shù)值較高的等高線，而梯度的模等于函數(shù)在這個(gè)法線方向的方向?qū)?shù).這個(gè)法線方向就是方向?qū)?shù)取得最大值的方向.對(duì)于三元函數(shù)來說，函數(shù)u=f(x,y,z)在空間區(qū)域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)每一點(diǎn)，都可定出一個(gè)向量,返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,80,這向量稱為函數(shù)u=f(x,y,z)在點(diǎn)P(x,y,z)的梯度，將它記作，即如果我們引進(jìn)曲面,返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,81,為函數(shù)u=f(x,y,z)的等量面的概念，則可得函數(shù)u=f(x,y,z)在點(diǎn)P(x,y,z)的梯度的方向與過點(diǎn)P的等量面f(x,y,z)=c在這點(diǎn)的法線的一個(gè)方向相同，且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較高的等量面，而梯度的模等于函數(shù)在這個(gè)法線方向的方向?qū)?shù).,返回,上一頁(yè),.,82,一.多元函數(shù)的極值及最大值、最小值,二.條件極值,第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法,返回,習(xí)題,.,83,第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值定義設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于該鄰域內(nèi)異于的點(diǎn)：如果都適合不等式則稱函數(shù)在點(diǎn)有極大值；如果都適合不等式,返回,下一頁(yè),.,84,則稱函數(shù)在點(diǎn)有極小值.極大值、極小值統(tǒng)稱為極值.使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).以上關(guān)于二元函數(shù)的極值概念，可推廣到n元函數(shù).設(shè)n元函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，如果對(duì)于該鄰域內(nèi)有異于的任何點(diǎn)都不適合不等式,返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,85,則稱函數(shù)在點(diǎn)有極大值(極小值).定理1(必要條件)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零：證不妨設(shè)在點(diǎn)處有極大值.依極大值的定義，在的某鄰,返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,86,域內(nèi)異于的點(diǎn)都適合不等式特殊地，該鄰域內(nèi)取而的點(diǎn)，也應(yīng)合適不等式這表明一元函數(shù)在處取得極大值，因而必有,返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,87,類似地可證如果三元函數(shù)在點(diǎn)具有偏導(dǎo)數(shù)，則它在點(diǎn)具有極值的必要條件為定理2(充分條件)設(shè)函數(shù)在,返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,88,點(diǎn)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且具有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又，令則在處是否取得極值的條件如下：(1)時(shí)具有極值，且當(dāng)時(shí)有極大值，當(dāng)時(shí)有極小值；(2)時(shí)沒有極值；(3)時(shí)可能有極值，也可能沒,返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,89,有極值，還需另作討論.二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的極值的求法敘述如下：第一步解方程組求得一切實(shí)數(shù)解，即可求得一切駐點(diǎn).第二步對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值和.第三步定出的符號(hào)，按定理2的,返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,90,結(jié)論判定是否是極值、是極大值還是極小值.,返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,91,二、條件極值拉格朗日乘數(shù)法上面所討論的極值問題，對(duì)于函數(shù)的自變量，除了限制在函數(shù)的定義域以外，并無其他條件，所以有時(shí)候稱為無條件極值.但在實(shí)際問題中，有時(shí)會(huì)遇到對(duì)函數(shù)的自變量還有附加條件的極值問題.例如，求表面積為而體積為最大的長(zhǎng)方體的體積問題.設(shè)長(zhǎng)方體的三棱的長(zhǎng)為還必須滿足附加條件.象這種對(duì)自變量有附加條件的極值稱為條件極值.,返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,92,對(duì)于有些實(shí)際問題，可以把條件極值化為無條件極值，然后利用第一目中的方法加以解決.例如上述問題，可由條件，將z表示成x,y的函數(shù)再把它代入中，于是問題就化為求,返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,93,的無條件極值.但在很多情形下，將條件極值化為無條件極值并不這樣簡(jiǎn)單.我們另有一種直接尋求條件極值的方法，可以不必先把問題化到無條件極值的問題.拉格朗日乘數(shù)法要找函數(shù)在附加條件下的可能極值點(diǎn)，可以先構(gòu)成輔助函數(shù)其中為某一常數(shù).求其對(duì)x與y的一階偏導(dǎo)數(shù)，,返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,94,并使之為零，然后與方程聯(lián)立起來：由這方程組解出及，則其中就是函數(shù)在附加條件下的可能極值點(diǎn)的坐標(biāo).,返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,95,第八章結(jié)束,上一頁(yè),返回,.,96,總習(xí)題八1.在“充分”、“必要”和“充分”三者中選擇一個(gè)正確的填入下列空格內(nèi)：（1）在點(diǎn)可微分是在該點(diǎn)連續(xù)的充分條件.在點(diǎn)連續(xù)是在該點(diǎn)可微分的必要條件.（2）在點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)及存在是在該點(diǎn)可微分的必要,下一頁(yè),返回,.,97,條件.在點(diǎn)可微分是函數(shù)在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)及存在的充分條件.（3）的偏導(dǎo)數(shù)及在點(diǎn)存在且連續(xù)是在該點(diǎn)可微分的充分條件.（4）函數(shù)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)及在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)是這兩個(gè)二階,下一頁(yè),返回,上一頁(yè),.,98,混合偏導(dǎo)數(shù)在D內(nèi)相等的充分條件.2.求函數(shù)的定義域，并求.3.證明極限不存在.,下一頁(yè),返回,上一頁(yè),題解,題解,.,99,4.設(shè)求及.5.求下列函數(shù)的一階和二階偏導(dǎo)數(shù)：,下一頁(yè),返回,上一頁(yè),題解,題解,題解,.,100,6.求函數(shù)當(dāng)時(shí)的全增量和全微分.7.設(shè)證明：在點(diǎn)(0,0)處連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在，但不可微分.,下一頁(yè),返回,上一頁(yè),題解,題解,.,101,8.設(shè)，而都是可微函數(shù)，求.9.設(shè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而求.10.設(shè)，其中f具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，求.,下一頁(yè),返回,上一頁(yè),題解,題解,題解,.,102,11.設(shè)試求和.12.求螺旋線在點(diǎn)處的切線及法平面方程.13.在曲面上求一點(diǎn)，使這點(diǎn)處的法線垂直于平面，并寫出這法線的方程.,下一頁(yè),返回,上一頁(yè),題解,題解,題解,.,103,14.設(shè)x軸正向到方向的轉(zhuǎn)角為，求函數(shù)在點(diǎn)(1,1)沿方向的方向?qū)?shù)，并分別確定轉(zhuǎn)角，使這導(dǎo)數(shù)有(1)最大值，(2)最小值，(3)等于0.15.求函數(shù)在橢球面上點(diǎn)處沿外法線方向的方向?qū)?shù).,下一頁(yè),返回,上一頁(yè),題解,題解,.,104,16.求平面和柱面的交線上與xOy平面距離最短的點(diǎn).17.在第一卦限內(nèi)做橢球面的切平面，使該切平面與三坐標(biāo)面所圍成的四面體的體積最小.求著切平面的切點(diǎn)，并求此最小體積.,返回,上一頁(yè),題解,題解,.,105,解：求定義域需滿足即需滿足,下一頁(yè),返回,.,106,而是D的一個(gè)內(nèi)點(diǎn).,返回,上一頁(yè),.,107,解：設(shè)當(dāng)時(shí)，沿的方向趨近于零顯然，該極限隨k的不同而改變.,返回,.,108,解：當(dāng),顯然.當(dāng),下一頁(yè),返回,.,109,下一頁(yè),返回,上一頁(yè),.,110,同理當(dāng),顯然.當(dāng),返回,上一頁(yè),.,111,解：,返回,.,112,解：,返回,.,113,解：全增量,返回,下一頁(yè),.,114,返回,上一頁(yè),.,115,證明:顯然時(shí),有,返回,下一頁(yè),.,116,返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,117,返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,118,返回,若令沿方向趨近于0,上一頁(yè),.,119,解:,返回,.,120,解:,返回,.,121,解:,返回,.,122,解:,返回,下一頁(yè),.,123,返回,上一頁(yè),.,124,解:,返回,.,125,解:,返回,.,126,解:,返回,.,127,解:,返回,下一頁(yè),.,128,返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,129,返回,上一頁(yè),.,130,解:,返回,下一頁(yè),.,131,返回,上一頁(yè),.,132,解:,返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,133,返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,134,返回,下一頁(yè),上一頁(yè),.,135,返回,上一頁(yè),.,136,習(xí)題8-11.已知函數(shù)試求.2.試證函數(shù)滿足關(guān)系式.3.以知函數(shù)，試求.,下一頁(yè),返回,.,137,4.求下列各函數(shù)的定義域：,下一頁(yè),返回,上一頁(yè),.,138,5.求下列各極限：,下一頁(yè),返回,上一頁(yè),.,139,6.證明下列極限不存在：,下一頁(yè),返回,上一頁(yè),.,140,7.函數(shù)在何處是間斷的？8.證明.,上一頁(yè),返回,.,141,例1圓柱體的體積和它的底半徑、高之間具有關(guān)系這里，當(dāng)、在集合內(nèi)取定一對(duì)值時(shí)，的對(duì)應(yīng)值就隨之確定.例2一定量的理想氣體的壓強(qiáng)、體積和絕對(duì)溫度之間具有關(guān)系,下一頁(yè),返回,.,142,其中為常數(shù).這里，當(dāng)、在集合內(nèi)取定一對(duì)值時(shí)，的值就隨之確定.例3設(shè)是電阻并聯(lián)后的總電阻，由電學(xué)知道，它們之間具有關(guān)系這里，當(dāng)在集合內(nèi)取定一對(duì)值時(shí)，的對(duì)應(yīng)值就隨之確定.,上一頁(yè),返回,.,143,例4設(shè)求證證因?yàn)榭梢?，?duì)任給，取則當(dāng),下一頁(yè),返回,.,144,時(shí)，總有成立，所以,下一頁(yè),上一頁(yè),返回,.,145,例5求解這里在區(qū)域和區(qū)域內(nèi)都有定義，同時(shí)為及的邊界點(diǎn).但無論在內(nèi)還是在內(nèi)考慮，下列運(yùn)算都是正確的：,上一頁(yè),返回,.,146,例6求解函數(shù)是初等函數(shù)，它的定義域?yàn)橐虿皇沁B通的，故不是區(qū)域.但是區(qū)域，且，所以是函數(shù)的一個(gè)定義域.因，故,下一頁(yè),返回,.,147,例7求解,下一頁(yè),上一頁(yè),返回,.,148,上一頁(yè),返回,.,149,習(xí)題8-21.求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),下一頁(yè),返回,.,150,2.設(shè)，求證.3.設(shè)，求證.4.折，求.,下一頁(yè),返回,上一頁(yè),.,151,5.設(shè)，在(2,4,5)處的切線對(duì)于x軸的傾角是多少？6.求下列函數(shù)的，和,下一頁(yè),返回,上一頁(yè),.,152,7.設(shè)，求，及.8.設(shè)，求及.9.驗(yàn)證：滿足；滿足,下一頁(yè),返回,上一頁(yè),.,153,例1求在點(diǎn)(1,2)處的偏導(dǎo)數(shù).解把看作常量把看作常量將(1,2)代入上面的結(jié)果，就是,下一頁(yè),返回,.,154,例2求的偏導(dǎo)數(shù)解,下一頁(yè),上一頁(yè),返回,.,155,例2求的偏導(dǎo)數(shù)解,下一頁(yè),上一頁(yè),返回,.,156,例3設(shè)，求證：證因?yàn)?，所?下一頁(yè),上一頁(yè),返回,.,157,例4求的偏導(dǎo)數(shù).解把y和z都看作常量，得由于所給函數(shù)關(guān)于自變量的對(duì)稱性，所以,上一頁(yè),返回,.,158,例6設(shè)，求、及.解,下一頁(yè),返回,.,159,返回,上一頁(yè),.,160,例7驗(yàn)證滿足方程證因?yàn)?，所以?下一頁(yè),返回,.,161,因此例8證明函數(shù)滿足方程,下一頁(yè),返回,上一頁(yè),.,162,其中.證由于函數(shù)關(guān)于自變量的對(duì)稱性，所以,下一頁(yè),返回,上一頁(yè),.,163,因此,返回,上一頁(yè),.,164,習(xí)題8-31.求下列函數(shù)的全微分：2.求函數(shù)當(dāng)時(shí)的全微分.,下一頁(yè),返回,.,165,