14高三畢業(yè)班數(shù)學(xué)課本知識點(diǎn)整理歸納之十四 第十四章 極限與導(dǎo)數(shù).doc

20102011年高三畢業(yè)班數(shù)學(xué)課本知識點(diǎn)整理歸納之十四第十四章極限與導(dǎo)數(shù)一、基礎(chǔ)知識1極限定義（1）若數(shù)列UN滿足，對任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)M，當(dāng)NM且NN時，恒有|UNA|FA且FCM，則CA,B，且FC為最大值，故，綜上得證。0CF14LAGRANGE中值定理若FX在A,B上連續(xù)，在A,B上可導(dǎo)，則存在A,B，使ABFF證明令FXFX,則FX在A,B上連續(xù)，在A,B上可導(dǎo)，且AXBFFAFB，所以由13知存在A,B使0，即FABFF15曲線凸性的充分條件設(shè)函數(shù)FX在開區(qū)間I內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，（1）如果對任意XI,則曲線YFX在I內(nèi)是下凸的；（2）如果對任意XI,則0XF0XFYFX在I內(nèi)是上凸的。通常稱上凸函數(shù)為凸函數(shù)，下凸函數(shù)為凹函數(shù)。16琴生不等式設(shè)1,2,NR，12N1。（1）若FX是A,B上的凸函數(shù)，則X1,X2,XNA,B有FA1X1A2X2ANXNA1FX1A2FX2ANFXN二、方法與例題1極限的求法。例1求下列極限（1）；（2）；（3）2LIMNN01LIMANN；（4）NN2221LIMLIN解（1）；221LINN2LI21LIN（2）當(dāng)A1時，1LIM1LILINNNNAA當(dāng)00且。LN2XY1解（1）3COS3X113COS222535XXXY2310X253（3）2SIN2SIN2COSCOCOSXEXXEEYXX（4）11112222X（5）21LN121LN21LNXEYXXL2X5用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性。例6設(shè)A0，求函數(shù)FXLNXAX0,的單調(diào)區(qū)間。X解，因?yàn)閄0,A0，所以X22A4012AF0FXA20；X22A4XA1時，對所有X0，有X22A4XA20，即X0,FX在0,上單調(diào)遞增；F（2）當(dāng)A1時，對X1,有X22A4XA20，即，所以FX在（0，1）內(nèi)單XF調(diào)遞增，在（1，）內(nèi)遞增，又FX在X1處連續(xù)，因此FX在0,內(nèi)遞增；（3）當(dāng)00，解得X20FA2A，因此，F(xiàn)X在0,2A內(nèi)單調(diào)遞增，在2A,內(nèi)也單調(diào)A2A11遞增，而當(dāng)2A2X2,0X證明設(shè)FXSINXTANX2X，則COSXSEC2X2，當(dāng)時，XF2,0X（因?yàn)?F00，即SINXTANX2X,0,7利用導(dǎo)數(shù)討論極值。例8設(shè)FXALNXBX2X在X11和X22處都取得極值，試求A與B的值，并指出這時FX在X1與X2處是取得極大值還是極小值。解因?yàn)镕X在0,上連續(xù)，可導(dǎo)，又FX在X11，X22處取得極值，所以，又2BX1，所以解得0FFXAF,042BA61,3B所以XXFXF3213,61LN322所以當(dāng)X0,1時，所以FX在0,1上遞減；0F當(dāng)X1,2時，所以FX在1，2上遞增；X當(dāng)X2,時，所以FX在2，）上遞減。F綜上可知FX在X11處取得極小值，在X22處取得極大值。例9設(shè)X0,Y0,1，試求函數(shù)FX,Y2Y1SINX1YSIN1YX的最小值。解首先，當(dāng)X0,Y0,1時，F(xiàn)X,Y2Y1SINX1YSIN1YX1Y2X1Y2XXYYXSIN12SIN，令GX,YXYSIN1SIN1SI2I,TACO2XG當(dāng)時，因?yàn)镃OSX0,TANXX，所以；,00XG當(dāng)時，因?yàn)镃OSX0，所以；,2X又因?yàn)镚X在0,上連續(xù)，所以GX在0,上單調(diào)遞減。又因?yàn)?GX，即，0SIN1SIXY又因?yàn)?，所以?dāng)X0,Y0,1時，F(xiàn)X,Y00SIN12XY其次，當(dāng)X0時，F(xiàn)X,Y0；當(dāng)X時，F(xiàn)X,Y1YSIN1Y0當(dāng)Y1時，F(xiàn)X,YSINXSINX0；當(dāng)Y1時，F(xiàn)X,YSINX0綜上，當(dāng)且僅當(dāng)X0或Y0或X且Y1時，F(xiàn)X,Y取最小值0。三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題1_NN32LIM12已知，則AB_21LIBAN3_2314LIM2COSLIM23XNN4_21LIXX5計算_1LILI22XNXN6若FX是定義在,上的偶函數(shù)，且存在，則_0F0F7函數(shù)FX在,上可導(dǎo)，且，則_12FHFFH2LIM08若曲線FXX4X在點(diǎn)P處的切線平行于直線3XY0，則點(diǎn)P坐標(biāo)為_9函數(shù)FXX2SINX的單調(diào)遞增區(qū)間是_10函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為_21LNXXF11若曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，求實(shí)數(shù)A2AY41,M4112求SIN290的近似值。13設(shè)00時，比較大小LNX1_X9函數(shù)FXX55X45X31,X1,2的最大值為_，最小值為_10曲線YEXX0在點(diǎn)MT,ET處的切線L與X軸、Y軸所圍成的三角形面積為ST，則ST的最大值為_11若X0，求證X21LNXX1212函數(shù)YFX在區(qū)間0,內(nèi)可導(dǎo)。導(dǎo)函數(shù)是減函數(shù)，且0，X00,FFYKXM是曲線YFX在點(diǎn)X0,FX0處的切線方程，另設(shè)GXKXM，（1）用X0,FX0,表示M；（2）證明當(dāng)X0,時，GXFX；（3）若關(guān)于X的不等式0XFX21AXB在0,上恒成立，其中A,B為實(shí)數(shù)，求B的取值范圍及A,B所滿足3的關(guān)系。13設(shè)各項為正的無窮數(shù)列XN滿足LNXN,證明XN1NN1NX五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題1設(shè)MN（十進(jìn)制）N位純小數(shù)0只取0或1（I1,2,N1），AN1，INA|21TN是MN中元素的個數(shù)，SN是MN中所有元素的和，則_NTSLM2若12X9展開式的第3項為288，則_NNXX11LI23設(shè)FX,GX分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)X0，若對任意XLN3A,LN4A，不等式|MF1X|LN120102011年高三畢業(yè)班數(shù)學(xué)課本知識點(diǎn)整理歸納之十八第十八章組合一、方法與例題1抽屜原理。例1設(shè)整數(shù)N4,A1,A2,AN是區(qū)間0,2N內(nèi)N個不同的整數(shù)，證明存在集合A1,A2,AN的一個子集，它的所有元素之和能被2N整除。證明（1）若NA1,A2,AN,則N個不同的數(shù)屬于N1個集合1,2N1，2,2N2,N1,N1。由抽屜原理知其中必存在兩個數(shù)AI,AJIJ屬于同一集合，從而AIAJ2N被2N整除；（2）若NA1,A2,AN，不妨設(shè)ANN，從A1,A2,AN1N13中任意取3個數(shù)AI,AJ,AKAI,0不被N整除，考慮N個數(shù)A1,A2,A1A2,A1A2A3,A1A2AN1。）若這N個數(shù)中有一個被N整除，設(shè)此數(shù)等于KN，若K為偶數(shù)，則結(jié)論成立；若K為奇數(shù)，則加上ANN知結(jié)論成立。）若這N個數(shù)中沒有一個被N整除，則它們除以N的余數(shù)只能取1,2,N1這N1個值，由抽屜原理知其中必有兩個數(shù)除以N的余數(shù)相同，它們之差被N整除，而A2A1不被N整除，故這個差必為AI,AJ,AK1中若干個數(shù)之和，同）可知結(jié)論成立。2極端原理。例2在NN的方格表的每個小方格內(nèi)寫有一個非負(fù)整數(shù)，并且在某一行和某一列的交叉點(diǎn)處如果寫有0，那么該行與該列所填的所有數(shù)之和不小于N。證明表中所有數(shù)之和不小于。21N證明計算各行的和、各列的和，這2N個和中必有最小的，不妨設(shè)第M行的和最小，記和為K，則該行中至少有NK個0，這NK個0所在的各列的和都不小于NK，從而這NK列的數(shù)的總和不小于NK2，其余各列的數(shù)的總和不小于K2，從而表中所有數(shù)的總和不小于NK2K21NKN3不變量原理。俗話說，變化的是現(xiàn)象，不變的是本質(zhì)，某一事情反復(fù)地進(jìn)行，尋找不變量是一種策略。例3設(shè)正整數(shù)N是奇數(shù)，在黑板上寫下數(shù)1，2，2N，然后取其中任意兩個數(shù)A,B,擦去這兩個數(shù)，并寫上|AB|。證明最后留下的是一個奇數(shù)。證明設(shè)S是黑板上所有數(shù)的和，開始時和數(shù)是S122NN2N1，這是一個奇數(shù)，因?yàn)閨AB|與AB有相同的奇偶性，故整個變化過程中S的奇偶性不變，故最后結(jié)果為奇數(shù)。例4數(shù)A1,A2,AN中每一個是1或1，并且有SA1A2A3A4A2A3A4A5ANA1A2A30證明4|N證明如果把A1,A2,AN中任意一個AI換成AI，因?yàn)橛?個循環(huán)相鄰的項都改變符號，S模4并不改變，開始時S0，即S0，即S0MOD4。經(jīng)有限次變號可將每個AI都變成1，而始終有S0MOD4，從而有N0MOD4，所以4|N。4構(gòu)造法。例5是否存在一個無窮正整數(shù)數(shù)列A1,A2A3，使得對任意整數(shù)A，數(shù)列中1N僅有有限個素數(shù)。證明存在。取ANN3即可。當(dāng)A0時，AN中沒有素數(shù)；當(dāng)|A|2時，若N|A|，則ANA均為|A|的倍數(shù)且大于|A|，不可能為素數(shù)；當(dāng)A1時，AN1N1N2N1，當(dāng)3時均為合數(shù)。從而當(dāng)A為整數(shù)時，N3A中只有有限個素數(shù)。例6一個多面體共有偶數(shù)條棱，試證可以在它的每條棱上標(biāo)上一個箭頭，使得對每個頂點(diǎn)，指向它的箭頭數(shù)目是偶數(shù)。證明首先任意給每條棱一個箭頭，如果此時對每個頂點(diǎn)，指向它的箭頭數(shù)均為偶數(shù)，則命題成立。若有某個頂點(diǎn)A，指向它的箭頭數(shù)為奇數(shù)，則必存在另一個頂點(diǎn)B，指向它的箭頭數(shù)也為奇數(shù)（因?yàn)槔饪倲?shù)為偶數(shù)），對于頂點(diǎn)A與B，總有一條由棱組成的“路徑”連結(jié)它們，對該路徑上的每條棱，改變它們箭頭的方向，于是對于該路徑上除A，B外的每個頂點(diǎn)，指向它的箭頭數(shù)的奇偶性不變，而對頂點(diǎn)A，B，指向它的箭頭數(shù)變成了偶數(shù)。如果這時仍有頂點(diǎn)，指向它的箭頭數(shù)為奇數(shù)，那么重復(fù)上述做法，又可以減少兩個這樣的頂點(diǎn)，由于多面體頂點(diǎn)數(shù)有限，經(jīng)過有限次調(diào)整，總能使和是對每個頂點(diǎn)，指向它的箭頭數(shù)為偶數(shù)。命題成立。5染色法。例7能否在55方格表內(nèi)找到一條線路，它由某格中心出發(fā)，經(jīng)過每個方格恰好一次，再回到出發(fā)點(diǎn)，并且途中不經(jīng)過任何方格的頂點(diǎn)解不可能。將方格表黑白相間染色，不妨設(shè)黑格為13個，白格為12個，如果能實(shí)現(xiàn)，因黑白格交替出現(xiàn)，黑白格數(shù)目應(yīng)相等，得出矛盾，故不可能。6凸包的使用。給定平面點(diǎn)集A，能蓋住A的最小的凸圖形，稱為A的凸包。例8試證任何不自交的五邊形都位于它的某條邊的同一側(cè)。證明五邊形的凸五包是凸五邊形、凸四邊形或者是三角形，凸包的頂點(diǎn)中至少有3點(diǎn)是原五邊形的頂點(diǎn)。五邊形共有5個頂點(diǎn)，故3個頂點(diǎn)中必有兩點(diǎn)是相鄰頂點(diǎn)。連結(jié)這兩點(diǎn)的邊即為所求。7賦值方法。例9由22的方格紙去掉一個方格余下的圖形稱為拐形，用這種拐形去覆蓋57的方格板，每個拐形恰覆蓋3個方格，可以重疊但不能超出方格板的邊界，問能否使方格板上每個方格被覆蓋的層數(shù)都相同說明理由。解將57方格板的每一個小方格內(nèi)填寫數(shù)2和1。如圖181所示，每個拐形覆蓋的三個數(shù)之和為非負(fù)。因而無論用多少個拐形覆蓋多少次，蓋住的所有數(shù)字之和都是非負(fù)的。另一方面，方格板上數(shù)字的總和為1222311，當(dāng)被覆蓋K層時，蓋住的數(shù)字之和等于K，這表明不存在滿足題中要求的覆蓋。212121211111112121212111111121212128圖論方法。例10生產(chǎn)由六種顏色的紗線織成的雙色布，在所生產(chǎn)的雙色布中，每種顏色的紗線至少與其他三種顏色的紗線搭配過。證明可以挑出三種不同的雙色布，它們包含所有的顏色。證明用點(diǎn)A1，A2，A3，A4，A5，A6表示六種顏色，若兩種顏色的線搭配過，則在相應(yīng)的兩點(diǎn)之間連一條邊。由已知，每個頂點(diǎn)至少連出三條邊。命題等價于由這些邊和點(diǎn)構(gòu)成的圖中有三條邊兩兩不相鄰（即無公共頂點(diǎn)）。因?yàn)槊總€頂點(diǎn)的次數(shù)3，所以可以找到兩條邊不相鄰，設(shè)為A1A2，A3A4。（1）若A5與A6連有一條邊，則A1A2，A3A4，A5A6對應(yīng)的三種雙色布滿足要求。（2）若A5與A6之間沒有邊相連，不妨設(shè)A5和A1相連，A2與A3相連，若A4和A6相連，則A1A2，A3A4，A5A6對應(yīng)的雙色布滿足要求；若A4與A6不相連，則A6與A1相連，A2與A3相連，A1A5，A2A6，A3A4對應(yīng)的雙色布滿足要求。綜上，命題得證。二、習(xí)題精選1藥房里有若干種藥，其中一部分藥是烈性的。藥劑師用這些藥配成68副藥方，每副藥方中恰有5種藥，其中至少有一種是烈性的，并且使得任選3種藥恰有一副藥方包含它們。試問全部藥方中是否一定有一副藥方至少含有4種烈性藥（證明或否定）221個女孩和21個男孩參加一次數(shù)學(xué)競賽，（1）每一個參賽者最多解出6道題；（2）對每一個女孩和每一個男孩至少有一道題被這一對孩子都解出。求證有一道題至少有3個女孩和至少有3個男孩都解出。3求證存在無窮多個正整數(shù)N，使得可將3N個數(shù)1,2,3N排成數(shù)表A1,A2ANB1,B2BNC1,C2CN滿足（1）A1B1C1A2B2C2ANBNCN，且為6的倍數(shù)。（2）A1A2ANB1B2BNC1C2CN，且為6的倍數(shù)。4給定正整數(shù)N，已知克數(shù)都是正整數(shù)的K塊砝碼和一臺天平可以稱出質(zhì)量為1，2，N克的所有物品，求K的最小值FN。5空間中有1989個點(diǎn)，其中任何3點(diǎn)都不共線，把它們分成點(diǎn)數(shù)各不相同的30組，在任何3個不同的組中各取一點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形。試問為使這種三角形的總數(shù)最大，各組的點(diǎn)數(shù)應(yīng)分別為多少6在平面給定點(diǎn)A0和N個向量A1，A2，AN，且使A1A2AN0。這組向量的每一個排列都定義一個點(diǎn)集A1，A2，ANA0，使得NIIA,21NIIIAN210,21求證存在一個排列，使由它定義的所有點(diǎn)A1，A2，AN1都在以A0為角頂?shù)哪硞€600角的內(nèi)部和邊上。7設(shè)M,N,KN，有4個酒杯，容量分別為M,N,K和MNK升，允許進(jìn)行如下操作將一個杯中的酒倒入另一杯中或者將另一杯