曾謹(jǐn)言量子力學(xué)導(dǎo)論第二版的課后答案

1第一章量子力學(xué)的誕生1設(shè)質(zhì)量為M的粒子在一維無(wú)限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，E）從左入射，碰到下列勢(shì)阱（圖），求阱壁處的反射系數(shù)。解勢(shì)阱為0002204020,41,16VEVEVEEVEEVVR38）利用HERMITE多項(xiàng)式的遞推關(guān)系（附錄A3。式（1），證明諧振子波函數(shù)滿足下列關(guān)系21121212121222211XNNXNXNXXXNXNXXNNNNNNN并由此證明，在N態(tài)下，2,0NEVX證諧振子波函數(shù)222XHEAXNXNN（1）其中，歸一化常數(shù)M,2NANN（2）XHN的遞推關(guān)系為02211XNHXXHXHNNN（3）142121211212121221212212211112112112121122222222222222222XNXNXHENNXHENNXHENXNHENXNHXHEAXXXHEAXXHEAXXNNNXNNXNNXNNXNNNXNNXNNXNN2112121222121221212121222222112XNNXNXNXNXNNXNXNNXXNXXNXXNNNNNNNNNN0212111DXXNXNXDXXXNNNNN2212112212112212121222222NNNNNENNMDXXNMXDXXXMXV39）利用HERMITE多項(xiàng)式的求導(dǎo)公式。證明（參A3式（12）2222211211212212NNNNNNNNNNNXDXDNNXDXD證A3式（12）2DXDH,21N1XHNXNHHNNN152122212221111112122222222XNXNXNXNXNXNXXXHNEXHEXAXDXDNNNNNNNNXNXNN22222222112122221212212NNNNNNNNNNNNNNNNNNXDXD021211DXNNIDXDXDIPNNNNN2212112412421121222222222222222NNNNNNNNNENNMMDXNMDXNNNNMDXDXDMMPT310）諧振子處于N態(tài)下，計(jì)算212XXX，212PPP，PX解由題36），MNMEMVXXN212,0222由題37），MNMETMPPN212,02212121212122212212122212NPXMNPPPPPMNXXXXX對(duì)于基態(tài)，2,0PXN，剛好是測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系所規(guī)定的下限。1631）荷電Q的諧振子，受到外電場(chǎng)的作用，XQXMXV2221（1）求能量本征值和本征函數(shù)。解XQHXQXMMPH0222212（2）0H的本征函數(shù)為222XHEANXNN，本征值210NEN現(xiàn)將H的本征值記為NE，本癥函數(shù)記為XN。式（1）的勢(shì)能項(xiàng)可以寫成2020221XXXMXV其中20MQX（3）如作坐標(biāo)平移，令0XXX（4）由于PDXDIDXDIP（5）H可表成2022,2221212XMXMMPH（6）（6）式中的H與（2）式中的0H相比較，易見H和0H的差別在于變量由X換成X，并添加了常數(shù)項(xiàng)20221XM，由此可知202021XMEENN（7）0XXXXNNN（8）即,2,1,0,2212121222222NMQNMQMNEN（9）22222MQXHEAXNMQXNN10其中M,2NANN1312）設(shè)粒子在下列勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，17X的區(qū)域，這些本征函數(shù)和諧振子的本征函數(shù)相同（因在這個(gè)區(qū)域，粒子的H和諧振子的H完全一樣，粒子的波函數(shù)和諧振子的波函數(shù)滿足同樣的SEQ）。振子的具有12KN的奇宇稱波函數(shù)在0X處為零，因而這些波函數(shù)是這一問(wèn)題的解（KN2的偶宇稱波函數(shù)不滿足邊條件00）所以,2,1,0,232KKEK313）設(shè)粒子在下列勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，AR1是否存在束縛定態(tài)求存在束縛定態(tài)的條件。解SEQEAXRDXDM22222對(duì)于束縛態(tài)（0），A時(shí)，左側(cè)無(wú)限高勢(shì)壘的影響可以完全忽略，此時(shí)1COTHA，式（10）給出22MR即222222MRME（13）與勢(shì)阱XRXV的結(jié)論完全相同。令A(yù)，則式（10）化為22COTH1MRA（14）由于1COTH1，所以只當(dāng)122MRA時(shí)，式（10）或（14）才有解。解出根之后，利用MEAA2，即可求出能級(jí)2222MAE（15）第四章力學(xué)量用算符表達(dá)與表象變換41）設(shè)A與B為厄米算符，則BAAB21和BAABI21也是厄米算符。由此證明，任何一個(gè)算符F均可分解為IFFF，F(xiàn)與F均為厄米算符，且FFIFFFF21,2119證）BAABABBABAABBAAB21212121BAAB21為厄米算符。）BAABIABBAIBAABIBAABI21212121BAABI21也為厄米算符。）令A(yù)BF，則BAABABF，且定義FFIFFFF21,21（1）由），）得FFFF,，即F和F皆為厄米算符。則由（1）式，不難解得IFFF42）設(shè),PXF是PX,的整函數(shù)，證明F,F,PIFXXIFP整函數(shù)是指,PXF可以展開成0,NMNMMNPXCPXF。證（1）先證11,NNMMPNIPXXMIXP。111111331332312221111,1,3,2,MMMMMMMMMMMMMMMMMMXMIXIXIMXXPXIMXXPXIXXPXXPXXIXXPXXPXXIXXPXPXXP同理，1221222111,2,NNNNNNNNNPNIPPXPIPPXPPXPPIPPXPXPPX現(xiàn)在，200,10,0,NMNMMNNMNMMNNMNMMNPXMICPXPCPXCPFP而0,1NMNMMNPXMICXFI。F,XIFP又0,10,0,NMNMMNNMNMMNNMNMMNPNIXCPXXCPXCXFX而0,1NMNMMNPNIXCPFIF,PIFX43）定義反對(duì)易式BAABBA,，證明CABCBABCABCACBACAB,證BCACBABCAACCBBCACABACBACBABCBCACBACAB,CABCBACAACBCBAABBCABACBACABCCABCBABCA,4）設(shè)A，B，C為矢量算符，A和B的標(biāo)積和矢積定義為BABABABA,ZYX,，為L(zhǎng)EVICIVITA符號(hào)，試驗(yàn)證CBACBACBA（1）CBACBACBA（2）CBACBACBA（3）21證（1）式左端XYYXZZXXZYZYZYXCBCBACBCBACBCBACBACBA（1）式右端也可以化成CBACBA。（1）式得證。（2）式左端CBACBACBA（3,2,1）CBABACBACBACBCBACBCBA（2）式右端CBACBACBABACBACBACBACBACBACBACBACBA故（2）式成立。（3）式驗(yàn)證可仿（2）式。45）設(shè)A與B為矢量算符，F(xiàn)為標(biāo)量算符，證明BFABAFBAF,（1）BFABAFBAF,（2）證（1）式右端FBBFABFAAFFBABFABFABAFBAFFBABAF,（1）式左端（2）式右端FBBFABFAAFFBABFABFABAFBAFFBABAF,（2）式左端46）設(shè)F是由R，P構(gòu)成的標(biāo)量算符，證明RFRIPPFIFL,（1）證KFLJFLIFLFLZYX,（2）224,題YFZZFYIPPFPPFIPPFIYFZIPYFIZFYIPFZFPZPFYFPYFZPYYPZFLXYZZYYZZYYZZXXRFRIPPFI（3）同理可證，YYYRFRIPPFIFL,（4）ZZZRFRIPPFIFL,（5）將式（3）、（4）、（5）代入式（2），于是（1）式得證。47）證明PIPLLP2PLPLLPI,2。證ZYZYYZZYYZZYXPLLPPLPLLPLPPLLP,利用基本對(duì)易式PILPPL,即得XXPIPLLP2。因此PIPLLP2其次，由于XP和XL對(duì)易，所以XYZZYYZZYYZZYZYYZXZZZXZXYYYXYXZXYXPLLPIPLPLLPLPIPLLPPLLPIPLLLPLPLLLPLPLPLPL,222因此，PLPLLPI,248）證明PRIPRPRL222（1）2222PLLPPLLPPL（2）22224PPLPLLP（3）232PLIPLPL（4）證（1）利用公式，CBACBA，有PRRPPRPPRRPRRPPRRPPRRPL22其中RIPRRIPRRP22222IPRRIPRRP3因此PRIPRPRL2222（2）利用公式，0PPLPPL（）可得LPPLLPPL02,L0222PPLLPLLPPLPPLPLPLPLPLPL202,L222PPLPLPLPLLPLPLPLPLP2222PLLPLPPL由，則（2）得證。（3）PILPLPPLLP217422222224222174PPLPPLPIIPLPLPILP（4）就此式的一個(gè)分量加以證明，由4）（2），CBACBACBAXXXPLPLPLPLPLPL，其中YYZZXXEPEPILPPL（即KPIJPIKPJPIPLYZZYXX0,）22PLIPLIPPLPPLIPPLIPLPLEPEPPLILPPLPLPLXXXXZYYZZXX類似地。可以得到Y(jié)分量和Z分量的公式，故（4）題得證。2449）定義徑向動(dòng)量算符RRPPRRPR1121證明RRPPA，RRIPBR1，IPRCR,，RRRRRRRPDR222222212，22221RPLRPE證ABCAABC，R112111211121PPRRRRPPRRRRPRRPPRRPR即RP為厄米算符。RRIRRIRIRRRRIRIRRRRIRRIRRIPRRRRIPRRPRRRRPPRRPB11323211222111213RIRRRRIRRRRIRRIRRRIPRCR1,1,2221BRRPDR2222111RRRRRRRRRRRRRRRR2111122222222RRRR222125E據(jù)48）（1），PRIPRPRL2222。其中RRIRIPR，因而RRRRRRPRL22222RRRRPR2222222以2R左乘上式各項(xiàng)，即得RRRLRP21222222D942221RPLR410利用測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系估算諧振子的基態(tài)能量。解一維諧振子能量222212XMMPEXX。又022DXXEXX奇，M，0XP，（由38、39題可知0,0XPX）XXXX，XXXXPPPP，由測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系，,2XPX得XPX2。22221221XMXMEX028232XMXMDXDEX，得MX222122128220MMMMEX同理有210YE，210ZE。諧振子（三維）基態(tài)能量230000ZYXEEEE。41利用測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系估算類氫原子中電子的基態(tài)能量。解類氫原子中有關(guān)電子的討論與氫原子的討論十分相似，只是把氫原子中有關(guān)公式中的核電荷數(shù)E換成ZE（Z為氫原子系數(shù)）而U理解為相應(yīng)的約化質(zhì)量。故玻爾軌跡半徑220UEA，在類氫原子中變?yōu)閆AA0。26類氫原子基態(tài)波函數(shù)AREA3101，僅是R的函數(shù)。而DDREDDREDRDERSIN11，故只考慮徑向測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系RPR，類氫原子徑向能量為RZEUPER222。而RZEUPH222，如果只考慮基態(tài)，它可寫為RZEUPHR222，RDRDIPR1RP與R共軛，于是RPR，RR，RZERMRZEUPER2222222（1）求極值RZERMRE2320由此得AZAMZER022（0A玻爾半徑；A類氫原子中的電子基態(tài)“軌跡”半徑）。代入（1）式，得基態(tài)能量，AZEEMZE222242運(yùn)算中做了一些不嚴(yán)格的代換，如RR11，作為估算是允許的。412證明在分立的能量本征態(tài)下動(dòng)量平均值為0。證設(shè)定態(tài)波函數(shù)的空間部分為，則有EH為求P的平均值，我們注意到坐標(biāo)算符IX與H的對(duì)易關(guān)系UPIXVUPPXHXIJJJII2,。這里已用到最基本的對(duì)易關(guān)系IJJIIPX,，由此270,IIIIIIIEXEXIUHXHXIUHXIUPP這里用到了H的厄米性。這一結(jié)果可作一般結(jié)果推廣。如果厄米算符C可以表示為兩個(gè)厄米算符A和B的對(duì)易子BAIC,，則在A或B的本征態(tài)中，C的平均值必為0。413）證明在的本征態(tài)下，0YXLL。（提示利用XYZZYLILLLL，求平均。）證設(shè)是ZL的本征態(tài)，本征值為M，即MLZXLIYZZYZYLLLLL,L，YLIZXXZXZLLLLL,L，0111YYYZZYYZZYXLMLMILLLLILLLLIL同理有0YL。414設(shè)粒子處于,LMY狀態(tài)下，求2XL和2YL解記本征態(tài)LMY為L(zhǎng)M，滿足本征方程LMLLLML221，LMMLMLZ，LMMLLMZ，利用基本對(duì)易式LILL，可得算符關(guān)系XYZXZYXYZZYXXXLLLLLLLLLLLLLILI2XYZZXYYXYZYZXYLLLLLLLILLLLILLL2將上式在LM態(tài)下求平均，因ZL作用于LM或LM后均變成本征值M，使得后兩項(xiàng)對(duì)平均值的貢獻(xiàn)互相抵消，28因此22YXLL又2222221MLLLLLLZYX2222121MLLLLYX上題已證0YXLL。2222222121MLLLLLLLLXXXXXX同理222121MLLLY。415設(shè)體系處于20211YCYC狀態(tài)（已歸一化，即12221CC），求（A）ZL的可能測(cè)值及平均值（B）2L的可能測(cè)值及相應(yīng)的幾率；（C）XL的可能測(cè)值及相應(yīng)的幾率。解12122YYL，2022026YYL；11YYLZ，20200YYLZ。（A）由于已歸一化，故ZL的可能測(cè)值為，0，相應(yīng)的幾率為21C，22C。平均值21CLZ。（B）2L的可能測(cè)值為22，26，相應(yīng)的幾率為21C，22C。（C）若1C，2C不為0，則XL（及YL）的可能測(cè)值為2，0，2。1）XL在1L的空間，ZLL,2對(duì)角化的表象中的矩陣是0101010102求本征矢并令1，則CBACBA01010101021，得，AB2，BCA2，CB2。1,0。）取0，得ACB,0，本征矢為AA0，歸一化后可得本征矢為10121。29）取1，得CAB22，本征矢為AAA2，歸一化后可得本征矢為12121。）取1，得CAB22，歸一化后可得本征矢為12121。在001111CYC態(tài)下，XL取0的振幅為21012100111CC，XL取0的幾率為221C；XL取的振幅為21212100111CC，相應(yīng)的幾率為421C；XL取的振幅為21212100111CC，相應(yīng)的幾率為421C?？値茁蕿?1C。2）XL在2L的空間，ZLL,2對(duì)角化表象中的矩陣?yán)?211MJMJMJJMJX1211MJMJMJJMJX1122XJ，230212XJ，231202XJ，12212XJ。01000102300023023000230100010XL，本征方程EDCBAEDCBA01000102300023023000230100010AB，BCA23，CDB23，DEC23，ED，2,1,0。）0，0B，CA23，0D，CE23本征矢為10320183。在001002202CYC態(tài)下，測(cè)得0XL30的振幅為2103201830010022CC。幾率為422C；）1，AB，0C，BD，ED，本征矢為1101121。在202YC態(tài)下，測(cè)得XL的振幅為01101121001002C，幾率為0。）1，AB，0C，BD，DE，本征矢為1101121，在202YC態(tài)下，測(cè)得XL幾率為0。）2，AB2，AC6，AED22，ACE6，本征矢為1262141，在202YC態(tài)下，測(cè)得2XL的振幅為2246126214100100CC。幾率為2283C；）2，AB2，AC6，AD2，AE，本征矢為1262141，在202YC態(tài)下，測(cè)得2XL的幾率為2283C。2222418383CC。31在20211YCYC態(tài)中，測(cè)XL（和YL）的可能值及幾率分別為222122212122834141214183202CCCCCC416）設(shè)屬于能級(jí)E有三個(gè)簡(jiǎn)并態(tài)1，2和3，彼此線形獨(dú)立，但不正交，試?yán)盟鼈儤?gòu)成一組彼此正交歸一的波函數(shù)。解11111,1A12122,，2222,1，23213133,，3333,1。321,是歸一化的。0,1,1121212221，0,1,21321131313331，0,1,22321231323332。它們是正交歸一的，但仍然是簡(jiǎn)并的（可驗(yàn)證它們?nèi)詫?duì)應(yīng)于同一能級(jí)）。417）設(shè)有矩陣SCBA,等，證明BAABDETDETDET，AASSDETDET1，BATRABTR，TRAASSTR1，CABTRBCATRABCTR，ADET表示矩陣A相應(yīng)的行列式得值，TRA代表矩陣A的對(duì)角元素之和。證（1）由定義NNIIIIINAAAIIPA2111DET，01111111其他情形的奇置換是當(dāng)?shù)呐贾脫Q是當(dāng)NIINIIIIPNNN故上式可寫成NNNIJIJIJIINNAAAJJPIIPA221111DET，其中NJJ1是N1的任意一個(gè)置換。32NNIIIIINCCCIIPABC2111DETDETNNNNNIIJJIJJIJJIJJNBABABAIIP1122211211NNNNNJJIIIJIJIJNJJJBBBIIPAAA1122121121NNNNNJJIIIJIJIJNNJJJNBBBJJPIIPAAAJJP112212111211BADETDET（2）ASSSASASSDETDETDETDETDETDETDET111AASSDETDETDET1（3）BATRABBAABTRIKIKKIIKKIIK（4）TRAASSTRSASTRASSTRASSTR1111（5）CABTRBACBCATRACBCBAABCTRJKIJIJKKIIJIJKKIJKIJKKIJKIJ第五章力學(xué)量隨時(shí)間的變化與對(duì)稱性51）設(shè)力學(xué)量A不顯含T，H為本體系的HAMILTON量，證明HHAADTD,222證若力學(xué)量A不顯含T，則有HAIDTDA,1,令CHA,則HCHCIDTCDIDTAD,1,11222,HHAADTD,22252）設(shè)力學(xué)量A不顯含T，證明束縛定態(tài)，0DTDA證束縛定態(tài)為TIENNNERTR,。在束縛定態(tài)TRN,，有TRETRTITRHNNNN,。其復(fù)共軛為TREERTITRHNNTIENNN,。3NNDTDADTDA,NNNNNNAAADTD,NNNNHIAAHIDTDA1,1NNNNAHIHAIHAITA,1,1,1NNHAAHIHAI,1,10,1AHHAI。53）XXIAPXAADEXPEXP表示沿X方向平移距離A算符證明下列形式波函數(shù)（BLOCH波函數(shù)）XEXKIKX,XAXKK是ADX的本征態(tài)，相應(yīng)的本征值為IKAE證AXEAXXADKAXIKXXEXEEIKAKIKXIKA,證畢。54）設(shè)M表示ZL的本征態(tài)（本征值為M），證明MEEYZIKLIKL是角動(dòng)量L沿空間,方向的分量NLCOSSINSINCOSSINZYXLCLLNLLN的本征態(tài)。證算符YIKLE相當(dāng)于將體系繞Y軸轉(zhuǎn)角，算符ZIKLE相當(dāng)于將體系繞Z軸轉(zhuǎn)角，M原為ZL的本征態(tài)，本征值為M，經(jīng)過(guò)兩次轉(zhuǎn)動(dòng)，固定于體系的坐標(biāo)系（即隨體系一起轉(zhuǎn)動(dòng)的坐標(biāo)系）的Z軸（開始時(shí)和實(shí)驗(yàn)室Z軸重合）已轉(zhuǎn)到實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系的,方向，即N方向，MYLM變成了，即變成了NL的本征態(tài)。本征值是狀態(tài)的物理屬性，不受坐標(biāo)變換的影響，故仍為M。（還有解法二，參錢剖析P327）5）設(shè)HAMILTON量RVUPH22。證明下列求和規(guī)則UXEENNMMN222。X是R的一個(gè)分量，N是對(duì)一切定態(tài)求和，NE是相應(yīng)于N態(tài)的能量本征值，NENHN。34證XXXPUIPIUPXUHX221,21,2（）ANNMMNXEE2MEENNXMMNNMXHNMHXNNXMNMHXNNXMN,2,21MPXNNXMUXNMPNNXMUIXNNXNXPMUI又ANMNMXNNEEMMXNNHXMN,NXNXPMUIA2NXXMXPPMUINXMPXMUI,UIUI2，AUXEENNMMN222。不難得出，對(duì)于ZY,分量，亦有同樣的結(jié)論，證畢。56）設(shè)PRF,為厄米算符，證明能量表象中求和規(guī)則為KFHFKFEENNKKN,212（1）證式（1）左端令A(yù)KFNNFKEENKNKFHHFNNFKNKFHFK,（2）計(jì)算中用到了公式1NNN。由于FH,是厄米算符，有下列算符關(guān)系FHHFFHFHHFFHHFFH,（3）式（2）取共軛，得到AAKFHFK,KFFHK,3,KFHK（4）結(jié)合式（2）和（4），得AKFHFKFEENNKKN,212證畢。57）證明SCHRDINGER方程變換在GALILEO變換下的不變性，即設(shè)慣性參照系K的速度相對(duì)于慣性參照系K運(yùn)35動(dòng)（沿X軸方向），空間任何一點(diǎn)兩個(gè)參照系中的坐標(biāo)滿足下列關(guān)系,TTZZYYVTXX。（1）勢(shì)能在兩個(gè)參照系中的表示式有下列關(guān)系TXVTTXVTXV,（2）證明SCHRDINGER方程在K參照系中表為2222VXMTI在K參照系中表為VXMTI2222其中TTXTMXMI,2EXP2證由波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋，和的意義完全相同。TXWTX,2，是T時(shí)刻在X點(diǎn)找到粒子的幾率密度；2,TXWTX，是T時(shí)刻在X點(diǎn)找到粒子的幾率密度。但是在給定時(shí)刻，給定地點(diǎn)發(fā)現(xiàn)粒子的幾率應(yīng)與參照系的選擇無(wú)關(guān)，所以相應(yīng)的幾率應(yīng)相等，即,TXWTXW（6）從（1）式有TXWTTXW,（6）由此可以得出，和兩個(gè)波函數(shù)彼此只應(yīng)差絕對(duì)值為1的相因子，所以TTXETXETXTXISIS,（7）TXETTXTXIS,（7）由（1）式，XX,TXVT,2222XX（3）式變?yōu)?22,2TXTXVTXXM,TXTITXXI（8）將（7）代入（8）式，可得TSXSXSMTSMITXVXXSMIXM2222222222,2TI（9）36選擇適當(dāng)?shù)腡XS,，使得（9）（4），0XSM。（10）02222222TSXSXSMXSMI（10）從（10）可得TFXMS。（1）TF是的任意函數(shù)，將（1）代入（10），可得22MTF積分，得CTMTF22。C為積分常數(shù)，但0時(shí)，K系和K系重合，應(yīng)等于，即S應(yīng)等于0，故應(yīng)取0C，從而得到TMXMS22（12）代入（7）式，最后得到波函數(shù)的變換規(guī)律TMXMI2211EXP（13）逆變換為221EXPTMXMIEIS（13）相當(dāng)于式（13）中的，帶”，“的量和不帶”，“的量互換。討論TXS,的函數(shù)形式也可用下法求出因TXS,和勢(shì)能V無(wú)關(guān)，所以只需要比較平面波（自由粒子）在K和K系中的表現(xiàn)形式，即可確定TXS,沿X方向運(yùn)動(dòng)的自由粒子，在伽利略變換下，動(dòng)量、能量的變換關(guān)系為MPP2222212122MPEMPMPMPE（14）據(jù)此，K系和K系中相應(yīng)的平面波波函數(shù)為ETPXIE，TEXPIE（15）（1）、（14）代入（15），即得TMXMI2211EXP37此即（13）式，由于這個(gè)變換關(guān)系僅取決于K和K系的相對(duì)速度，而與粒子的動(dòng)量P無(wú)關(guān)，所以上式適用于任何自由粒子。它正是所求的變換關(guān)系。第六章中心力場(chǎng)61利用613節(jié)中式（17）、（18），證明下列關(guān)系式相對(duì)動(dòng)量21121PMPMMRP（1）總動(dòng)量21PPRMP（2）總軌跡角動(dòng)量PRPRPRPRLLL221121（3）總動(dòng)能222222222121PMPMPMPT（4）反之，有,11RMRRRMRR22（5）PPMP21，PPMP12（6）以上各式中，212121,MMMMMM證212211MMRMRMR，（17）21RRR，（18）相對(duì)動(dòng)量21122121211PMPMMRRMMMRP（1）總動(dòng)量2121221121PPMMRMRMMMRMP（2）總軌跡角動(dòng)量221121PRPRLLL52211PRMURPRMUR2112211PMPMMRPPR21PRPR由（17）、18可解出21,RR，即（5）式；由（1）（2）可解出（6）?？倓?dòng)能22112262221212222MPPMMPPMMPMPT382122222122112222122222MPPUMPPMMUMPPUMPPMU2122221222211112122MMPPMMMPMMM2222PMP（4）從（17），18式可解出（5）式；從（1），2式可解出（6）式62同上題，求坐標(biāo)表象中P、P和L的算術(shù)表示式RIPRIP，PRPRL解211221121RRMMMIPMPMMP（1）其中1111ZKYJXIR，而XXMMXXXXXXX1111，同理，YYMMY11ZZMMZ11；（利用上題（17）（18）式。）1RRRMM1；仿此可設(shè)2RRRMM1（2）代入（1）中，得RRRRMMMMMMMIP121221RI（3）2121RRIPPP2RI（4）PRPRL只要將（3）、（4）式中的P、P以相應(yīng)的算符代入即可。63）利用氫原子能級(jí)公式，討論下列體系的能譜（A）電子偶素（POSITRONIUM，指EE束縛體系）（B）U原子（MUONICATOM）（C）U子偶素（MUONIUM，指UU束縛體系）39解由氫原子光譜理論，能級(jí)表達(dá)式為22412NUEEN,PEPEMMMU。（A）電子偶素能級(jí)22414NUEEN，（2EEEEEMMMMU）（B）U原子能級(jí)22412NEUEUN，（PUPUUMMM）（C）U子偶素能級(jí)22414NEMEUN，（2UUUUUMMMMU）64）對(duì)于氫原子基態(tài)，計(jì)算PX。解在求坐標(biāo)系中，空間反演RR（,RR）。氫原子基態(tài)波函數(shù)為02130101AREA（1）宇稱為偶。由于均為奇宇稱算符，所以0,0XPX（2）由于10各向同性，呈球?qū)ΨQ分布，顯然有222222223131PPPPRZYXZYX（3）容易算出DRR2102222DDRDREARARSIN10230203A（4）2PD102102D101010102D21022DDRDRRSIN2102202A（5）因此2X20A，022AXXX（6）20223APX，0223APPPXXX（7）3XPX（8）測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系的普遍結(jié)論是2XPX（9）40顯然式（8）和（9）式是不矛盾的。而且3很接近式（9）規(guī)定的下限2。65）對(duì)于氫原子基態(tài)，求電子處于經(jīng)典禁區(qū)AR2（即0。因此，電子處于經(jīng)典不允許區(qū)的幾率為AARDDDRREAP2020223SIN1（令A(yù)R2）423324DEAA23810134E6）對(duì)于類氫原子（核電荷ZE）的“圓軌跡”（指1,0NLNR的軌跡），計(jì)算（A）最可幾半徑；（B）平均半徑；（C）漲落2122RRR解類氫原子中電子波函數(shù)NLM可以表示為,1,LMLNLMLNNLMYRURYRRRR（1）（A）最可幾半徑由徑向幾率分布的極值條件0RUDRDLNR（2）決定。1NL時(shí)，0RN。NAZRNNECRRU1,0代入（2）式，容易求得ZANR02幾（4）這結(jié)果和玻爾量子論中圓軌跡的半徑公式一致。（B）在NLM態(tài)下，各R之間有遞推關(guān)系（KRAMERS公式）01241212222212RZALRZARRN5（參錢伯初、曾謹(jǐn)言量子力學(xué)習(xí)題精選與剖析P197）41在（5）式中令0，注意到10R?？稍O(shè)ANZRNLM216依次再取2,1，得到AZLLNRNLM13212122NLAZNN（7）（C）222213512AZLLNNRNLM122121NLAZNNN（8）因此，R的漲落2122RRRZANN4223（9）121222NNNNRR（10）可見，N越大，RR越小，量子力學(xué)的結(jié)果和玻爾量子軌跡的圖像越加接近。67）設(shè)電荷為ZE的原子核突然發(fā)生衰變，核電荷變成EZ1，求衰變前原子Z中一個(gè)K電子（S1軌跡上的電子）在衰變后仍然保持在新的原子1Z的K軌跡的幾率。解由于原子核的衰變是突然發(fā)生的?？梢哉J(rèn)為核外的電子狀態(tài)還來(lái)不及變化。對(duì)于原來(lái)的K電子，其波函數(shù)仍未AZREAZRZ21310,（1）而新原子中K電子的波函數(shù)應(yīng)為ARZEAZRZ12133101,1（2）將RZ,10按新原子的能量本征態(tài)作線形展開RZCRZNLMNLMNLM,10（3）則衰變前的S1電子在衰變后處于新原子的RZNLM,1態(tài)的幾率為21021ZZCPNLMNLMNLM（4）因此，本題所求的幾率為10P22122623321010411DRREAZZZZARZ426363321111211ZZZZZ（5）展開時(shí)保留到第三項(xiàng)當(dāng)1Z，上式可近似取成210431ZP（5）例如，10Z,9932010P；30Z,9992010P。68）設(shè)堿金屬原子中的價(jià)電子所受電子實(shí)（原子核滿殼電子）的作用近似表為222RAERERV（10T時(shí)，A粒子1自旋向上的幾率（答2COS2AT，取1）B粒子1和2的自旋向上的幾率（答0）C總自旋S0和1的幾率（答都是21）D求和的平均值（答02211YXYXSSSS，ATSZCOS211，ATSZCOS212）。解從求體系的自旋波函數(shù)入手，由于232221SASSAH（1）易見總自旋S是守恒量，所以定態(tài)波函數(shù)可以選為2S、ZS的共同本征函數(shù)，按照總自旋量子數(shù)S的不同取值，本征函數(shù)和能級(jí)為43,0,4,10011AESAESSM（2）0T時(shí)，體系的自旋態(tài)為01021210（3）因此，0T時(shí)波函數(shù)為TIETIEEET010102121（4）即434212121212121IATIATEET42SIN212COS21IATEATIAT（4）A）由式（4）可知，在時(shí)刻T，粒子1自旋“向上”同時(shí)粒子2自旋“向下”，相當(dāng)于21項(xiàng)的幾率為2COS2AT。49B粒子1和2自旋均“向上”相應(yīng)于21，式（4）中沒(méi)有這種項(xiàng)的幾率為0。這是容易理解的。因?yàn)榭傋孕齔S為守恒量，而體系初態(tài)0ZS，所以任何時(shí)刻ZS必為0，不可能出現(xiàn)兩個(gè)粒子均“向上”1ZS的情形。C由式（4）可知，總自旋量子數(shù)S取1和0的幾率相等，各為21。由于2S守恒，這個(gè)幾率不隨時(shí)間改變D利用式（4）容易算出1S和2S的平均值為COS21,COS212SIN2COS21,0122212211。ATSSATATATSSSSSTZTZTZTYTXTYTX（5）第九章力學(xué)量本征值問(wèn)題的代數(shù)解法91）在82節(jié)式（21）中給出了自旋（21）與軌跡角動(dòng)量（L）耦合成總角動(dòng)量J的波函數(shù)JLJM，這相當(dāng)于21,21SJLJ的耦合。試由82節(jié)中式（21）寫出表91（A）中的CG系數(shù)JMMMJ21121解82節(jié)式（21A）（21B）21,021MMLLJJJLJM11121LMLMYMLYMLL21,2121,212121,21JJMJJMJJYMJYMJJMJMLJ（21A）21JLJLJM11121LMLMYMLYMLL21,2121,211122121,021JJMJJMJJYMJYMJJMJMLLJ（21B）21JL此二式中的L相當(dāng)于CG系數(shù)中的1J，而212SJ,21,21MMMMJ。因此，（21A）式可重寫為JM222112211MJMMJMJMJMJ50212121212121212111111111MJJMMJMJJMMJ212112212121122111211111211121121,21MJJMJMJJMJJLJA（21A）對(duì)照CG系數(shù)表，可知當(dāng)21121JJJJ,212M時(shí)，21111112212121JMJJMMJ而212M時(shí)，21111112212121JMJJMMJ對(duì)于21211JLJ的（21B）式，有21111111221,212121JMJMJMJ21111111221,212121JMJMJMJ92）設(shè)兩個(gè)全同粒子角動(dòng)量21JJJ，耦合成總角動(dòng)量J，JMJ221212121JMJMMJMMJJM（1）利用CG系數(shù)的對(duì)稱性，證明JMJJJJMJP22212由此證明，無(wú)論是BOSE子或FERMI子，J都必須取偶數(shù)證由式（1），JMJP21212212121JMJMMJMJMJM把21MM,12122112JMJMMJMJMJM利用CG系數(shù)的對(duì)稱性21212112212JMJMMJJJMMJMJJMJJJ222對(duì)于FERMI子，J半奇數(shù)，J2奇數(shù)，但要求12P，51即要求12JJ，所以J必須為偶數(shù)。12MAXJJ，（JJ2MAX情況，只能構(gòu)成交換對(duì)稱態(tài)，為什么）因此0,2,32,12JJJ可驗(yàn)證態(tài)JMJ2的總數(shù)為12JJ。1212120JJJJJ。對(duì)于BOSE子，J整數(shù)，J2偶數(shù)，但要求12P即12JJ，故J也必須為偶數(shù)0,2,22,2JJJ93）設(shè)原子中有兩個(gè)價(jià)電子，處于NLE能級(jí)上，按LS耦合方案，LLL21，SSS21，JSL（總角動(dòng)量）證明（A）SL必為偶數(shù)；（B）SLSLJ,。當(dāng)0S時(shí)，LJ（偶）；1S時(shí)，1,1LLLJ，J可以為奇，也可以為偶。證自旋的耦合2121SS，01反對(duì)稱，單態(tài)對(duì)稱，三重態(tài)S軌跡角動(dòng)量的耦合LLL21，0,1,12,2LLL其中L偶是對(duì)稱態(tài)，L奇是反對(duì)稱態(tài)，總的波函數(shù)（對(duì)于交換全部坐標(biāo)，包括自旋）要求反對(duì)稱，所以0S時(shí)，0,22,2LLL1S時(shí)，1,12,2LLL在兩種情況下，SL都為偶數(shù)，但SLSLJ,對(duì)于0S，LJ偶；1S，1,1LLLJ。J可以為奇，也可以為偶討論本題結(jié)論與題92有無(wú)矛盾（按J耦合方案，似乎J必為偶數(shù)）。提示在本題中，若用J耦合來(lái)分析，J是否只有一個(gè)J值兩種耦合方案得出的態(tài)數(shù)是否相等94）大小相等的兩個(gè)角動(dòng)量耦合成角動(dòng)量為0的態(tài)0J，證明ZZJJ21JJJ,1,的幾率卻相等，即121J。52提示利用1200JMJMJMJ（P235，式（23）證DIRAC符號(hào)表示，有0JJMJJ2100J，JMJMJJ21122112211MJMMJMJMJMJ（1）在本題的情況下，JJJ21，0MJ，MMM令21。則（1）成為00JMMJMJMJMJ00（2）其中00MJMJ即為耦合表象中的態(tài)00J用無(wú)耦合表象基矢展開時(shí)的展開式系數(shù)CG系數(shù)，其模即表示體系處于00J態(tài)時(shí)，測(cè)得ZJ1取值M（同時(shí)ZJ2取值M，M取JJJ,1,各可能值）的幾率。由提示，1200JMJMJMJ（3）121002JMJMJ（4）即，對(duì)于給定的JJJ21所合成的態(tài)0J，ZZJJ21JJJ,1,的幾率與M的具體取值無(wú)關(guān)，皆為121J。95）設(shè)JJJ21，在JMJJ21態(tài)下，證明（取1）02211YXYXJJJJ，1211122111JJJJJJJJMJZ1211111222JJJJJJJJMJZZJM1證（參剖析，868等）96）在ZLL,2表象以為L(zhǎng)M基矢中，1L的子空間的維數(shù)為3，求XL在此三維空間中的矩