第二章、模糊控制理論基礎.ppt

1、第二章 模糊控制理論基礎,第一節(jié) 引言,一、模糊控制的發(fā)展,二、模糊控制的特點,1、無需知道被控對象的數(shù)學模型,2、是一種反映人類智慧思維的智能控制。,3、易于被人們所接受（核心：控制規(guī)則） 4、構造容易 5、魯棒性好。,模糊控制采用人類思維中的模糊量，如“高”、“中”、“低”等，且控制量由模糊推理導出。,三、模糊控制器構造技術 1、硬件：采用傳統(tǒng)的單片機 軟件：實現(xiàn)模糊推理和控制,2、模糊單片機或集成電路芯片,3、可編程門陣列,第二節(jié) 模糊集合論基礎,一、模糊集的概念,二、模糊集合的運算,三、隸屬函數(shù)的建立,四、模糊關系,一、模糊集的概念 集合：具有某種特定屬性的對象的全體。 集合中的個體通

2、常用小寫英文字母如：u表示； 集合的全體又稱為論域通常用大寫英文字母如：U表示。,uU表示元素（個體）u在集合論域（全體） U內。,集合表示法(經典集合)：,(1)列舉法：將集合的元素全部列出的方法。,(2)定義法：用集合中元素的共性來描述集合的方法。,(3)歸納法：通過一個遞推公式來描述一個集合的方法。,(4)特征函數(shù)表示法：利用經典集合論非此即彼的明晰性來表示集合。因為某一集合中的元素要么屬于這個集合，要么就不屬于這個集合。,例2-1 設集合U由1到5的五個自然數(shù)組成，用上述前三種方法寫出該集合的表達式。 解：(1)列舉法 U=1,2,3,4,5,(2)定義法 U=u|u為自然數(shù)且1u5,

3、(3)歸納法 U=ui+1=ui+1, i=1,2,3, 4, u1=1,特征函數(shù)表示法：集合U通過特征函數(shù)TU(u)來表示,經典集合論中任意一個元素與任意一個集合之間的關系，只是“屬于”或“不屬于”兩種，兩者必居其一而且只居其一。它描述的是有明確分界線的元素的組合。,用經典集合來處理模糊性概念時，就不行。,對于諸如“速度的快慢”、“年齡的大小”、“溫度的高低”等模糊概念沒有明確的界限。,經典集合對事物只用1、0簡單地表示“屬于”或“不屬于”的分類；而模糊集合則用“隸屬度(Degree of membership)”來描述元素的隸屬程度，隸屬度是0到1之間連續(xù)變化的值。,模糊集合,特征函數(shù),隸

4、屬度函數(shù)（01連續(xù)變化值）,例：人對溫度的感覺(0C 40C的感覺)：,“舒適”的溫度：15C 25C,“熱”：25C以上,“冷”：15C 以下,經典集合對溫度的定義,模糊集合對溫度的定義,經典集合：14.99C屬于“冷”；15.01 C屬于舒適。與人的感覺一致嗎？,設U為一可能是離散或連續(xù)的集合，用u表示，,論域（Universe of Discourse）： U 所有元素組成的全集,元素：u,定義2-1 模糊集合：論域U中的模糊集合F用一個在區(qū)間0,1上的取值的隸屬函數(shù)F來表示，即：,F ：U 0,1,F (u)=1：u完全屬于F； F (u)= 0：u完全不屬于F； 0 F (u)1：u

5、部分屬于F。,u F （映射）,（隸屬函數(shù) F：u隸屬于F的程度）,U中的模糊集F可以用元素u和它的隸屬度來表示：,F=(u ,F (u) )| uU,例2-2 設F是遠大于0的實數(shù)集合（顯然F是模糊集合，而論域U表示全部實數(shù)集合），U中任一元素u隸屬模糊集合F的隸屬度F (u)可以用下式來定義：,可算出F (5)=0.2, F (10)=0.5, F (20)=0.8,可見F (u)是U到閉區(qū)間0,1的映射。,1、論域U為離散域（即論域U是有限集合）,(1)查德表示法,(2)序偶表示法,F =(u1,(u1),(u2 , (u2),(un , (un),(3)向量表示法,F =(u1),(u

6、2),(un) （元素u按次序排列）,F =,例：,F =(0,1.0), (1 ,0.9), (2 ,0.75), (3,0.5),(4 ,0.2), (5 ,0.1) ,例：,F =1.0 ,0.9, 0.75,0.5,0.2 ,0.1 ,模糊集合的表示方法：,例：集合F表示接近于0的整數(shù)（已知論域U=0,1,2,3,4,5）,2、論域為連續(xù)域,例 以年齡為論域，取 。Zadeh給出了“年輕”的模糊集F，其隸屬函數(shù)為,“年輕”的隸屬函數(shù)曲線,模糊集合表示為：,模糊集合的表示方法：,二、模糊集合的運算,（1）空集 模糊集合的空集的隸屬度為0，即,（2）全集 模糊集合的全集的隸屬度為1，即,（

7、4）等集 兩個模糊集A和B，若對所有元素u，它們的隸屬函數(shù)相等，則A和B也相等。即,（3）子集（包含于） 若B為A的子集，則,定義：,設A、B為U中的兩個模糊子集，隸屬函數(shù)分別為A 和B，則模糊集合中的并、交、補等運算按如下定義：,AB= A(u)B(u) 式中，符號“”為取大值運算。,AB= A(u)B(u) 式中，符號“”為取小值運算。,定義2-6 補：模糊集合A的補隸屬函數(shù) 對所有的u U 被逐點定義為：,定義2-4 并：并(AB)的隸屬函數(shù)AB對所有的u U 被逐點定義為取大運算，即：,定義2-5 交：交(AB)的隸屬函數(shù)AB對所有的u U 被逐點定義為取小運算，即：, =1- A(u

8、),則A、B的并運算：,則A、B的交運算：,例2-3設論域U=u1, u2, u3, u4, u5中的兩個模糊子集為：,A的補運算：,定理21 模糊集運算的基本定律：設U為論域，A，B，C為U中的任意模糊子集,則下列等式成立：,（2）分配律,（1）結合律,（3）同一律,（4）零一律,上面定義的模糊集合運算是采用Zadeh算子來進行的。,怎么推得的？,引入概率算子和有界算子：,定義2-8 設A,B F(U),則定義代數(shù)運算：,(1)A與B的代數(shù)積記作A B，運算規(guī)則由下式確定：,A B(u)= A(u)B(u) u U,a b= min(1,a+b),可以證明： a,b0,1, 0 max(0,

9、a+b-1)1、 0 min(1,a+b)1,定義2-10 設A,B F(U),則定義有界運算：,(2)A與B的有界和記作A B，運算規(guī)則由下式確定：,A B(u)= min(1, A(u)+B(u) ) u U,模糊集合是用隸屬函數(shù)描述的。,三、隸屬度函數(shù)的建立,隸屬度函數(shù)：模糊集合的特征函數(shù)（取值范圍在0,1區(qū)間）,確定隸屬度函數(shù)的方法具有主觀性，但主觀的反映和客觀的存在有一定的聯(lián)系，是受客觀制約的。,由于模糊集理論的研究對象具有”模糊性”和經驗性,因此找到一種統(tǒng)一的隸屬度計算方法是不現(xiàn)實的。,確定隸屬函數(shù)應遵守的一些基本原則：,1、表示隸屬度函數(shù)的模糊集合必須是凸模糊集合,例:適中速度的

10、集合是模糊集合?？杀硎緸?,“適中速度”= 0/30+0.5/40+1/50+0.5/60+0/70,從最大隸屬度函數(shù)點向兩邊延伸時,其隸屬函數(shù)的值是必須是單調遞減的,而不允許有波浪形。,凸模糊集合：隸屬函數(shù)呈單峰饅頭形。,20,30,50,70,95,0,0.2,0.4,0.6,0.8,1,速度（語言變量）,Degree of membership,適中,低,高,5,100,2、變量所取隸屬度函數(shù)通常是對稱和平衡的。,很低,很高,語言值的個數(shù)和規(guī)則數(shù)成正比。,3、隸屬度函數(shù)要符合人們的語言順序，避免不恰當?shù)闹丿B,注意：間隔的兩個模糊集合隸屬度函數(shù)盡量不相交。,重疊指數(shù)：衡量隸屬度函數(shù)與模糊控

11、制器性能關系的一個重要指標。,重疊指數(shù)：重疊率、重疊魯棒性,重疊指數(shù)的定義,例：,(0.20.6為宜),(0.30.7為宜),重疊率和重疊魯棒性越大，模糊控制模塊模糊性越強，規(guī)則越多，越復雜，精度越高。,解：,求重疊率和重疊魯棒性,1、模糊統(tǒng)計法,隸屬度函數(shù)的確立目前還沒有一套成熟有效的方法，大多數(shù)系統(tǒng)的確立方法還停留在經驗和實驗的基礎上。,隸屬度函數(shù)確立的方法：,四種方法：,基本思想：論域U上的一個確定的元素v0是否屬于一個可變動的清晰集合A*作出清晰的判斷。,對于不同的實驗者，清晰集合A*可以有不同的邊界。但它們都對應于同一個模糊集A。,通常的方法是，初步確立粗略的隸屬函數(shù)，然后再通過“學

12、習”和不斷的實踐來修整、完善。,隸屬度函數(shù)確立的方法：,計算步驟：在每次統(tǒng)計中，v0是固定的（如某一年齡），A*的值是可變的，作n次試驗,則,模糊統(tǒng)計公式：,例：求中等身材的集合A及 A (1.64),選10人，每人確定A*的元素，假設10個人所確定的A*分別是：,1.601.69 1.631.70 1.651.75 1.561.70 1.621.73 1.651.72 1.641.73 1.601.69 1.691.75 1.691.77,隨著n的增大，隸屬頻率會趨向穩(wěn)定，這個穩(wěn)定值就是v0對A的隸屬度。 計算量大。,模糊統(tǒng)計法的特點：,2、例證法 ：從有限個隸屬度值，來估計U上的模糊集A

13、的隸屬度函數(shù)。 3、專家經驗法：根據(jù)專家的經驗對每一現(xiàn)象產生的各種結果的可能性程度，來決定其隸屬度函數(shù)。,4、二元對比排序法,通過對多個事物之間的兩兩對比，來確定某種特征下的順序，由此來決定這些事物對該特征的隸屬函數(shù)的大體形狀。,二元對比排序法分為：相對比較法、對比平均法、優(yōu)先關系定序法、相似優(yōu)先對比法。,相對比較法：,論域U中元素v1, v2, vn ，要對論域中的元素按某種特征進行排序，首先，在二元對比中建立比較等級，然后用一定的方法進行總體排序，以獲得各元素對于該特性的隸屬函數(shù)。,相對比較法的具體步驟：, 設論域U中的一對元素(v1, v2)， 在v1和v2的二元對比中，,v1具有某特征

14、的程度用gv2(v1)表示，v2具有某特征的程度用gv1(v2)表示。,且滿足： 0 gv2(v1) 1 、 0 gv1(v2) 1, 令：,且定義g(vi /vj ) =1，當i=j時。,以g(vi /vj ) (i , j=1,2)為元素構造相及矩陣G:,推廣： n個元素 的相及矩陣G:, 對矩陣G的每一行取最小值，然后按大小排序，可得各元素對某特征的隸屬函數(shù)。,例2-4 設論域U= v1,v2,v3,v0,其中v1表示長子，v2表示次子，v3表示三子，v0表示父親。,長子和次子與父親的相似程度：,次子和三子與父親的相似程度：,長子和三子與父親的相似程度：,長子：0.8次子：0.5,次子：

15、0.4三子：0.7,長子：0.5三子：0.3,解：二元對比關系：( gv2(v1) , gv1(v2)=(0.8,0.5) gv1(v1)=1,( gv3(v2) , gv2(v3)=(0.4,0.7) gv2(v2)=1,( gv3(v1) , gv1(v3)=(0.5,0.3) gv3(v3)=1,求與父親相似的隸屬度函數(shù)。,計算相及矩陣G,=,在相及矩陣中取每一行的最小值，按大小排列：13/54/7,結論：長子最象父親(1)；三子次之(0.6)；次子最不象(0.57)。,由此確定出隸屬度函數(shù)：,模糊控制中，隸屬度函數(shù)基本圖形分為三大類：,1.左大右小的偏小型下降函數(shù)（Z函數(shù)）：適用于輸入

16、值比較小時的隸屬度函數(shù)確定。,2.左小右大的偏大型上升函數(shù)（S函數(shù)）：適用于輸入值比較大時的隸屬度函數(shù)確定。,3.對稱型凸函數(shù)（函數(shù)）：適用于輸入值位于中間時隸屬度函數(shù)確定。,四、模糊關系（用于模糊推理決策）,1.模糊關系的定義,關系：客觀事物間的相互聯(lián)系。,普通關系：二元關系（是、否）,例：父子、師生、同事,模糊關系：父子相像。,A、B兩集合的直積：,例：設A=0,1，B=a,b,c,則AB=(0,a)，(1,a)，(0,b)，(1,b)，(0,c)，(1,c),BA=(a, 0)，(a, 1)，(b, 0)，(b, 1)，(c, 0)，(c, 1),注意： AB BA,序偶：,關系R：AB

17、的子集，記為,例：甲、乙、丙3人參加考試，考試的成績?yōu)閮?yōu)、良、中、差，則A=甲,乙,丙，B=優(yōu),良,中,差,AB：12種序偶的集合。,一次考試：R=(甲,優(yōu))，(乙,中)，(丙,差),A、B間的關系可通過矩陣形式直觀地表示出來，關系之間的運算可轉換為矩陣間運算。,矩陣：,A甲 乙 丙,B優(yōu) 良 中 差,關系,對應,模糊關系R：以AB為論域的一個模糊子集,且定義：,即序偶,模糊矩陣中的元素記為,模糊矩陣R記為:,其中,例設,求模糊關系RAB，模糊矩陣,解：,求,方法1：,方法2：,例已知兩個模糊集合A、B的隸屬度函數(shù)分別為,求它們的模糊關系CA,其中，C，A分別屬于兩個不同的論域 U，V,解：,

18、模糊關系作用：,模糊推理,A,B,R=AB,A/,B/ =?,B/=A / R,模糊關系實際上反映的是模糊系統(tǒng)的輸入輸出關系。,定義 笛卡爾積,若A1 、A2分別是論域U1、U2 中的模糊集，則A1 、A2的笛卡兒積是在積空間U1U2中的一個模糊子集，其隸屬度函數(shù)為,直積（極小算子）： A1 A2 (u1, u2 )=min A1 (u1), A2 (u2) ,或代數(shù)積 ： A1 A2 (u1, u2 ) = A1 (u1) A2 (u2),對于連續(xù)情況，關系矩陣可定義為：,R=A B =,為了區(qū)分直積、代數(shù)積 ， 用 min表示直積；用AP表示代數(shù)積。,記號t算子：表示笛卡兒積,定義2-14

19、 模糊關系的合成：如果R和S分別為笛卡兒空間UV和VW上的模糊關系，則R和S的合成是定義在空間U W上的模糊關系，并記為RS。其隸屬度函數(shù)的計算方法：,模糊關系的合成可用模糊矩陣的合成來表示,2、模糊關系的合成,上確界（Sup)算子,用模糊矩陣S可表示為,例28某家中子女與父母的長像相似關系R為模糊關系，可表示為,也可以用模糊矩陣R來表示,該家中父母與祖父母的相似關系也是模糊關系，可表示為,求孫子、孫女與祖父、祖母的相似程度？（即求 ）,解：,此模糊關系表明：孫子與祖父、祖母的相似程度為0.2、0.2;孫女與祖父、祖母的相似程度為0.5、0.6。,模糊關系運算：,例：,求：,解：,結合律：,分

20、配律：,模糊關系合成算子sup-min的性質：,第三節(jié) 模糊邏輯、模糊邏輯推理和合成,一、二值邏輯,二、模糊邏輯及其基本運算,三、模糊語言邏輯,四、模糊邏輯推理,五、模糊關系方程的解,第三節(jié)模糊邏輯、模糊邏輯推理和合成,一、二值邏輯（真假命題）命題：能夠判斷它的涵義是真是假的句子。 如：等邊三角形必是等腰三角形。,常用的命題聯(lián)結詞：析取、合取、否認、蘊涵、等價。,析取 （“或”） 如果用P、Q分別表示兩個命題，則由析取聯(lián)結詞構成的復合命題表示為P Q。 復合命題P Q的真值是由兩個簡單命題的真值來決定的，僅當P和Q都是假時，P Q才是假。,例P：他喜歡打籃球；Q：他喜歡跳舞。則P Q：他喜歡打

21、籃球或喜歡跳舞。,合?。ā芭c”） PQ 僅當P和Q都是真時，PQ才是真。,例P：他喜歡打籃球；Q：他喜歡跳舞。 則PQ：他喜歡打籃球并且喜歡跳舞。,否定（“不”）,如果P是真的，則是假的。,蘊涵 表示“如果那么”,例P：甲是乙的父親；Q：乙是甲的兒女。則PQ：如果甲是乙的父親；那么乙必定是甲的兒女。,例P：他喜歡打籃球：則：他不喜歡打籃球。,PQ：如果命題P成立，那么可推出Q也成立。,等價 表示兩個命題的真假相同。是“當且僅當”的意思。,例P：A是等邊三角形；Q：A是等角三角形。則PQ：A是等邊三角形當且僅當A是等角三角形。,二、模糊邏輯及其基本運算,模糊邏輯是研究模糊命題的邏輯。,模糊命題：

22、含有模糊概念或者是帶有模糊性的陳述句。,模糊命題的真值：隸屬度函數(shù)（表示這個命題多大程度隸屬于“真”，0,1間連續(xù)取值）。,例：他是一個高個子。,模糊概念常常用很、略、非常等模糊語氣來修飾。,模糊邏輯運算：記P、Q、R為三個模糊單命題,2）模糊邏輯合?。ā芭c”）：,3）模糊邏輯析?。ā盎颉保?4）模糊邏輯蘊含：如果P是真的，那么Q也是真的，,5）模糊邏輯等價：,6）模糊邏輯限界積：,7）模糊邏輯限界和：,8）模糊邏輯限界差：,模糊邏輯運算也是真值的運算，也就是隸屬度函數(shù)的運算。,例29設有模糊命題P：他是個和善的人，真值P0.7; Q：他是個熱情的人，真值Q0.8,：他既是和善的人又是熱情的

23、人的真值,：他是個和善的人或是個熱情的人的真值,則：,：如果他是個和善的人，則他是個熱情的人的真值,三、模糊語言邏輯,人工語言：格式緊密，概念清晰，程序設計語言屬人工語言。,模糊語言：具有模糊性的語言,模糊語言邏輯是由模糊語言構成的一種模擬人思維的邏輯。,語言分類：,（具有不確定性；含模糊化詞，如：很高、較大）,概念：,定義215模糊數(shù)（模糊子集）：連續(xù)論域U中的一模糊數(shù)F是一個U上的正規(guī)凸模糊集。,正規(guī)集合：隸屬度函數(shù)的最大值為1，即,凸集合：,在隸屬度函數(shù)曲線上任意兩點之間曲線上的任一點所表示的隸屬度值都大于或者等于兩點隸屬度值中較小的一個。,例：“大約5”、“10左右”等具有模糊概念的數(shù)

24、值。,定義216語言值：在語言系統(tǒng)中,那些與數(shù)值有直接聯(lián)系的詞，如長、短、多、少、高、低、重、輕、大、小等或者由它們再加上語言算子（如很、非常、較、偏等）而派生出來的詞組，如不太大、非常高、偏重等都被稱為語言值。,語言值可以用模糊數(shù)來表示。,例：成年男子身高的論域E130，140，150，160，170，180，190，200，210在論域E上定義語言值：,定義2-17 語言變量：語言變量是用一個五元素的集合(X，T(X)，U，G，M)來表征的。,X：語言變量名，如速度、年齡、顏色等；,T(X)：語言變量X的項集合（語言值的集合）,U：語言變量X的論域,G：產生X數(shù)值名的語言值規(guī)則(用于產生語言變量值),M：與每個語言變