第二章、模糊控制理論基礎(chǔ).ppt

1、第二章 模糊控制理論基礎(chǔ),第一節(jié) 引言,一、模糊控制的發(fā)展,二、模糊控制的特點(diǎn),1、無(wú)需知道被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型,2、是一種反映人類智慧思維的智能控制。,3、易于被人們所接受（核心：控制規(guī)則） 4、構(gòu)造容易 5、魯棒性好。,模糊控制采用人類思維中的模糊量，如“高”、“中”、“低”等，且控制量由模糊推理導(dǎo)出。,三、模糊控制器構(gòu)造技術(shù) 1、硬件：采用傳統(tǒng)的單片機(jī) 軟件：實(shí)現(xiàn)模糊推理和控制,2、模糊單片機(jī)或集成電路芯片,3、可編程門陣列,第二節(jié) 模糊集合論基礎(chǔ),一、模糊集的概念,二、模糊集合的運(yùn)算,三、隸屬函數(shù)的建立,四、模糊關(guān)系,一、模糊集的概念 集合：具有某種特定屬性的對(duì)象的全體。 集合中的個(gè)體通

2、常用小寫英文字母如：u表示； 集合的全體又稱為論域通常用大寫英文字母如：U表示。,uU表示元素（個(gè)體）u在集合論域（全體） U內(nèi)。,集合表示法(經(jīng)典集合)：,(1)列舉法：將集合的元素全部列出的方法。,(2)定義法：用集合中元素的共性來(lái)描述集合的方法。,(3)歸納法：通過(guò)一個(gè)遞推公式來(lái)描述一個(gè)集合的方法。,(4)特征函數(shù)表示法：利用經(jīng)典集合論非此即彼的明晰性來(lái)表示集合。因?yàn)槟骋患现械脑匾磳儆谶@個(gè)集合，要么就不屬于這個(gè)集合。,例2-1 設(shè)集合U由1到5的五個(gè)自然數(shù)組成，用上述前三種方法寫出該集合的表達(dá)式。 解：(1)列舉法 U=1,2,3,4,5,(2)定義法 U=u|u為自然數(shù)且1u5,

3、(3)歸納法 U=ui+1=ui+1, i=1,2,3, 4, u1=1,特征函數(shù)表示法：集合U通過(guò)特征函數(shù)TU(u)來(lái)表示,經(jīng)典集合論中任意一個(gè)元素與任意一個(gè)集合之間的關(guān)系，只是“屬于”或“不屬于”兩種，兩者必居其一而且只居其一。它描述的是有明確分界線的元素的組合。,用經(jīng)典集合來(lái)處理模糊性概念時(shí)，就不行。,對(duì)于諸如“速度的快慢”、“年齡的大小”、“溫度的高低”等模糊概念沒(méi)有明確的界限。,經(jīng)典集合對(duì)事物只用1、0簡(jiǎn)單地表示“屬于”或“不屬于”的分類；而模糊集合則用“隸屬度(Degree of membership)”來(lái)描述元素的隸屬程度，隸屬度是0到1之間連續(xù)變化的值。,模糊集合,特征函數(shù),隸

4、屬度函數(shù)（01連續(xù)變化值）,例：人對(duì)溫度的感覺(jué)(0C 40C的感覺(jué))：,“舒適”的溫度：15C 25C,“熱”：25C以上,“冷”：15C 以下,經(jīng)典集合對(duì)溫度的定義,模糊集合對(duì)溫度的定義,經(jīng)典集合：14.99C屬于“冷”；15.01 C屬于舒適。與人的感覺(jué)一致嗎？,設(shè)U為一可能是離散或連續(xù)的集合，用u表示，,論域（Universe of Discourse）： U 所有元素組成的全集,元素：u,定義2-1 模糊集合：論域U中的模糊集合F用一個(gè)在區(qū)間0,1上的取值的隸屬函數(shù)F來(lái)表示，即：,F ：U 0,1,F (u)=1：u完全屬于F； F (u)= 0：u完全不屬于F； 0 F (u)1：u

5、部分屬于F。,u F （映射）,（隸屬函數(shù) F：u隸屬于F的程度）,U中的模糊集F可以用元素u和它的隸屬度來(lái)表示：,F=(u ,F (u) )| uU,例2-2 設(shè)F是遠(yuǎn)大于0的實(shí)數(shù)集合（顯然F是模糊集合，而論域U表示全部實(shí)數(shù)集合），U中任一元素u隸屬模糊集合F的隸屬度F (u)可以用下式來(lái)定義：,可算出F (5)=0.2, F (10)=0.5, F (20)=0.8,可見F (u)是U到閉區(qū)間0,1的映射。,1、論域U為離散域（即論域U是有限集合）,(1)查德表示法,(2)序偶表示法,F =(u1,(u1),(u2 , (u2),(un , (un),(3)向量表示法,F =(u1),(u

6、2),(un) （元素u按次序排列）,F =,例：,F =(0,1.0), (1 ,0.9), (2 ,0.75), (3,0.5),(4 ,0.2), (5 ,0.1) ,例：,F =1.0 ,0.9, 0.75,0.5,0.2 ,0.1 ,模糊集合的表示方法：,例：集合F表示接近于0的整數(shù)（已知論域U=0,1,2,3,4,5）,2、論域?yàn)檫B續(xù)域,例 以年齡為論域，取 。Zadeh給出了“年輕”的模糊集F，其隸屬函數(shù)為,“年輕”的隸屬函數(shù)曲線,模糊集合表示為：,模糊集合的表示方法：,二、模糊集合的運(yùn)算,（1）空集 模糊集合的空集的隸屬度為0，即,（2）全集 模糊集合的全集的隸屬度為1，即,（

7、4）等集 兩個(gè)模糊集A和B，若對(duì)所有元素u，它們的隸屬函數(shù)相等，則A和B也相等。即,（3）子集（包含于） 若B為A的子集，則,定義：,設(shè)A、B為U中的兩個(gè)模糊子集，隸屬函數(shù)分別為A 和B，則模糊集合中的并、交、補(bǔ)等運(yùn)算按如下定義：,AB= A(u)B(u) 式中，符號(hào)“”為取大值運(yùn)算。,AB= A(u)B(u) 式中，符號(hào)“”為取小值運(yùn)算。,定義2-6 補(bǔ)：模糊集合A的補(bǔ)隸屬函數(shù) 對(duì)所有的u U 被逐點(diǎn)定義為：,定義2-4 并：并(AB)的隸屬函數(shù)AB對(duì)所有的u U 被逐點(diǎn)定義為取大運(yùn)算，即：,定義2-5 交：交(AB)的隸屬函數(shù)AB對(duì)所有的u U 被逐點(diǎn)定義為取小運(yùn)算，即：, =1- A(u

8、),則A、B的并運(yùn)算：,則A、B的交運(yùn)算：,例2-3設(shè)論域U=u1, u2, u3, u4, u5中的兩個(gè)模糊子集為：,A的補(bǔ)運(yùn)算：,定理21 模糊集運(yùn)算的基本定律：設(shè)U為論域，A，B，C為U中的任意模糊子集,則下列等式成立：,（2）分配律,（1）結(jié)合律,（3）同一律,（4）零一律,上面定義的模糊集合運(yùn)算是采用Zadeh算子來(lái)進(jìn)行的。,怎么推得的？,引入概率算子和有界算子：,定義2-8 設(shè)A,B F(U),則定義代數(shù)運(yùn)算：,(1)A與B的代數(shù)積記作A B，運(yùn)算規(guī)則由下式確定：,A B(u)= A(u)B(u) u U,a b= min(1,a+b),可以證明： a,b0,1, 0 max(0,

9、a+b-1)1、 0 min(1,a+b)1,定義2-10 設(shè)A,B F(U),則定義有界運(yùn)算：,(2)A與B的有界和記作A B，運(yùn)算規(guī)則由下式確定：,A B(u)= min(1, A(u)+B(u) ) u U,模糊集合是用隸屬函數(shù)描述的。,三、隸屬度函數(shù)的建立,隸屬度函數(shù)：模糊集合的特征函數(shù)（取值范圍在0,1區(qū)間）,確定隸屬度函數(shù)的方法具有主觀性，但主觀的反映和客觀的存在有一定的聯(lián)系，是受客觀制約的。,由于模糊集理論的研究對(duì)象具有”模糊性”和經(jīng)驗(yàn)性,因此找到一種統(tǒng)一的隸屬度計(jì)算方法是不現(xiàn)實(shí)的。,確定隸屬函數(shù)應(yīng)遵守的一些基本原則：,1、表示隸屬度函數(shù)的模糊集合必須是凸模糊集合,例:適中速度的

10、集合是模糊集合?？杀硎緸?,“適中速度”= 0/30+0.5/40+1/50+0.5/60+0/70,從最大隸屬度函數(shù)點(diǎn)向兩邊延伸時(shí),其隸屬函數(shù)的值是必須是單調(diào)遞減的,而不允許有波浪形。,凸模糊集合：隸屬函數(shù)呈單峰饅頭形。,20,30,50,70,95,0,0.2,0.4,0.6,0.8,1,速度（語(yǔ)言變量）,Degree of membership,適中,低,高,5,100,2、變量所取隸屬度函數(shù)通常是對(duì)稱和平衡的。,很低,很高,語(yǔ)言值的個(gè)數(shù)和規(guī)則數(shù)成正比。,3、隸屬度函數(shù)要符合人們的語(yǔ)言順序，避免不恰當(dāng)?shù)闹丿B,注意：間隔的兩個(gè)模糊集合隸屬度函數(shù)盡量不相交。,重疊指數(shù)：衡量隸屬度函數(shù)與模糊控

11、制器性能關(guān)系的一個(gè)重要指標(biāo)。,重疊指數(shù)：重疊率、重疊魯棒性,重疊指數(shù)的定義,例：,(0.20.6為宜),(0.30.7為宜),重疊率和重疊魯棒性越大，模糊控制模塊模糊性越強(qiáng)，規(guī)則越多，越復(fù)雜，精度越高。,解：,求重疊率和重疊魯棒性,1、模糊統(tǒng)計(jì)法,隸屬度函數(shù)的確立目前還沒(méi)有一套成熟有效的方法，大多數(shù)系統(tǒng)的確立方法還停留在經(jīng)驗(yàn)和實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上。,隸屬度函數(shù)確立的方法：,四種方法：,基本思想：論域U上的一個(gè)確定的元素v0是否屬于一個(gè)可變動(dòng)的清晰集合A*作出清晰的判斷。,對(duì)于不同的實(shí)驗(yàn)者，清晰集合A*可以有不同的邊界。但它們都對(duì)應(yīng)于同一個(gè)模糊集A。,通常的方法是，初步確立粗略的隸屬函數(shù)，然后再通過(guò)“學(xué)

12、習(xí)”和不斷的實(shí)踐來(lái)修整、完善。,隸屬度函數(shù)確立的方法：,計(jì)算步驟：在每次統(tǒng)計(jì)中，v0是固定的（如某一年齡），A*的值是可變的，作n次試驗(yàn),則,模糊統(tǒng)計(jì)公式：,例：求中等身材的集合A及 A (1.64),選10人，每人確定A*的元素，假設(shè)10個(gè)人所確定的A*分別是：,1.601.69 1.631.70 1.651.75 1.561.70 1.621.73 1.651.72 1.641.73 1.601.69 1.691.75 1.691.77,隨著n的增大，隸屬頻率會(huì)趨向穩(wěn)定，這個(gè)穩(wěn)定值就是v0對(duì)A的隸屬度。 計(jì)算量大。,模糊統(tǒng)計(jì)法的特點(diǎn)：,2、例證法 ：從有限個(gè)隸屬度值，來(lái)估計(jì)U上的模糊集A

13、的隸屬度函數(shù)。 3、專家經(jīng)驗(yàn)法：根據(jù)專家的經(jīng)驗(yàn)對(duì)每一現(xiàn)象產(chǎn)生的各種結(jié)果的可能性程度，來(lái)決定其隸屬度函數(shù)。,4、二元對(duì)比排序法,通過(guò)對(duì)多個(gè)事物之間的兩兩對(duì)比，來(lái)確定某種特征下的順序，由此來(lái)決定這些事物對(duì)該特征的隸屬函數(shù)的大體形狀。,二元對(duì)比排序法分為：相對(duì)比較法、對(duì)比平均法、優(yōu)先關(guān)系定序法、相似優(yōu)先對(duì)比法。,相對(duì)比較法：,論域U中元素v1, v2, vn ，要對(duì)論域中的元素按某種特征進(jìn)行排序，首先，在二元對(duì)比中建立比較等級(jí)，然后用一定的方法進(jìn)行總體排序，以獲得各元素對(duì)于該特性的隸屬函數(shù)。,相對(duì)比較法的具體步驟：, 設(shè)論域U中的一對(duì)元素(v1, v2)， 在v1和v2的二元對(duì)比中，,v1具有某特征

14、的程度用gv2(v1)表示，v2具有某特征的程度用gv1(v2)表示。,且滿足： 0 gv2(v1) 1 、 0 gv1(v2) 1, 令：,且定義g(vi /vj ) =1，當(dāng)i=j時(shí)。,以g(vi /vj ) (i , j=1,2)為元素構(gòu)造相及矩陣G:,推廣： n個(gè)元素 的相及矩陣G:, 對(duì)矩陣G的每一行取最小值，然后按大小排序，可得各元素對(duì)某特征的隸屬函數(shù)。,例2-4 設(shè)論域U= v1,v2,v3,v0,其中v1表示長(zhǎng)子，v2表示次子，v3表示三子，v0表示父親。,長(zhǎng)子和次子與父親的相似程度：,次子和三子與父親的相似程度：,長(zhǎng)子和三子與父親的相似程度：,長(zhǎng)子：0.8次子：0.5,次子：

15、0.4三子：0.7,長(zhǎng)子：0.5三子：0.3,解：二元對(duì)比關(guān)系：( gv2(v1) , gv1(v2)=(0.8,0.5) gv1(v1)=1,( gv3(v2) , gv2(v3)=(0.4,0.7) gv2(v2)=1,( gv3(v1) , gv1(v3)=(0.5,0.3) gv3(v3)=1,求與父親相似的隸屬度函數(shù)。,計(jì)算相及矩陣G,=,在相及矩陣中取每一行的最小值，按大小排列：13/54/7,結(jié)論：長(zhǎng)子最象父親(1)；三子次之(0.6)；次子最不象(0.57)。,由此確定出隸屬度函數(shù)：,模糊控制中，隸屬度函數(shù)基本圖形分為三大類：,1.左大右小的偏小型下降函數(shù)（Z函數(shù)）：適用于輸入

16、值比較小時(shí)的隸屬度函數(shù)確定。,2.左小右大的偏大型上升函數(shù)（S函數(shù)）：適用于輸入值比較大時(shí)的隸屬度函數(shù)確定。,3.對(duì)稱型凸函數(shù)（函數(shù)）：適用于輸入值位于中間時(shí)隸屬度函數(shù)確定。,四、模糊關(guān)系（用于模糊推理決策）,1.模糊關(guān)系的定義,關(guān)系：客觀事物間的相互聯(lián)系。,普通關(guān)系：二元關(guān)系（是、否）,例：父子、師生、同事,模糊關(guān)系：父子相像。,A、B兩集合的直積：,例：設(shè)A=0,1，B=a,b,c,則AB=(0,a)，(1,a)，(0,b)，(1,b)，(0,c)，(1,c),BA=(a, 0)，(a, 1)，(b, 0)，(b, 1)，(c, 0)，(c, 1),注意： AB BA,序偶：,關(guān)系R：AB

17、的子集，記為,例：甲、乙、丙3人參加考試，考試的成績(jī)?yōu)閮?yōu)、良、中、差，則A=甲,乙,丙，B=優(yōu),良,中,差,AB：12種序偶的集合。,一次考試：R=(甲,優(yōu))，(乙,中)，(丙,差),A、B間的關(guān)系可通過(guò)矩陣形式直觀地表示出來(lái)，關(guān)系之間的運(yùn)算可轉(zhuǎn)換為矩陣間運(yùn)算。,矩陣：,A甲 乙 丙,B優(yōu) 良 中 差,關(guān)系,對(duì)應(yīng),模糊關(guān)系R：以AB為論域的一個(gè)模糊子集,且定義：,即序偶,模糊矩陣中的元素記為,模糊矩陣R記為:,其中,例設(shè),求模糊關(guān)系RAB，模糊矩陣,解：,求,方法1：,方法2：,例已知兩個(gè)模糊集合A、B的隸屬度函數(shù)分別為,求它們的模糊關(guān)系CA,其中，C，A分別屬于兩個(gè)不同的論域 U，V,解：,

18、模糊關(guān)系作用：,模糊推理,A,B,R=AB,A/,B/ =?,B/=A / R,模糊關(guān)系實(shí)際上反映的是模糊系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系。,定義 笛卡爾積,若A1 、A2分別是論域U1、U2 中的模糊集，則A1 、A2的笛卡兒積是在積空間U1U2中的一個(gè)模糊子集，其隸屬度函數(shù)為,直積（極小算子）： A1 A2 (u1, u2 )=min A1 (u1), A2 (u2) ,或代數(shù)積 ： A1 A2 (u1, u2 ) = A1 (u1) A2 (u2),對(duì)于連續(xù)情況，關(guān)系矩陣可定義為：,R=A B =,為了區(qū)分直積、代數(shù)積 ， 用 min表示直積；用AP表示代數(shù)積。,記號(hào)t算子：表示笛卡兒積,定義2-14

19、 模糊關(guān)系的合成：如果R和S分別為笛卡兒空間UV和VW上的模糊關(guān)系，則R和S的合成是定義在空間U W上的模糊關(guān)系，并記為RS。其隸屬度函數(shù)的計(jì)算方法：,模糊關(guān)系的合成可用模糊矩陣的合成來(lái)表示,2、模糊關(guān)系的合成,上確界（Sup)算子,用模糊矩陣S可表示為,例28某家中子女與父母的長(zhǎng)像相似關(guān)系R為模糊關(guān)系，可表示為,也可以用模糊矩陣R來(lái)表示,該家中父母與祖父母的相似關(guān)系也是模糊關(guān)系，可表示為,求孫子、孫女與祖父、祖母的相似程度？（即求 ）,解：,此模糊關(guān)系表明：孫子與祖父、祖母的相似程度為0.2、0.2;孫女與祖父、祖母的相似程度為0.5、0.6。,模糊關(guān)系運(yùn)算：,例：,求：,解：,結(jié)合律：,分

20、配律：,模糊關(guān)系合成算子sup-min的性質(zhì)：,第三節(jié) 模糊邏輯、模糊邏輯推理和合成,一、二值邏輯,二、模糊邏輯及其基本運(yùn)算,三、模糊語(yǔ)言邏輯,四、模糊邏輯推理,五、模糊關(guān)系方程的解,第三節(jié)模糊邏輯、模糊邏輯推理和合成,一、二值邏輯（真假命題）命題：能夠判斷它的涵義是真是假的句子。 如：等邊三角形必是等腰三角形。,常用的命題聯(lián)結(jié)詞：析取、合取、否認(rèn)、蘊(yùn)涵、等價(jià)。,析取 （“或”） 如果用P、Q分別表示兩個(gè)命題，則由析取聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的復(fù)合命題表示為P Q。 復(fù)合命題P Q的真值是由兩個(gè)簡(jiǎn)單命題的真值來(lái)決定的，僅當(dāng)P和Q都是假時(shí)，P Q才是假。,例P：他喜歡打籃球；Q：他喜歡跳舞。則P Q：他喜歡打

21、籃球或喜歡跳舞。,合?。ā芭c”） PQ 僅當(dāng)P和Q都是真時(shí)，PQ才是真。,例P：他喜歡打籃球；Q：他喜歡跳舞。 則PQ：他喜歡打籃球并且喜歡跳舞。,否定（“不”）,如果P是真的，則是假的。,蘊(yùn)涵 表示“如果那么”,例P：甲是乙的父親；Q：乙是甲的兒女。則PQ：如果甲是乙的父親；那么乙必定是甲的兒女。,例P：他喜歡打籃球：則：他不喜歡打籃球。,PQ：如果命題P成立，那么可推出Q也成立。,等價(jià) 表示兩個(gè)命題的真假相同。是“當(dāng)且僅當(dāng)”的意思。,例P：A是等邊三角形；Q：A是等角三角形。則PQ：A是等邊三角形當(dāng)且僅當(dāng)A是等角三角形。,二、模糊邏輯及其基本運(yùn)算,模糊邏輯是研究模糊命題的邏輯。,模糊命題：

22、含有模糊概念或者是帶有模糊性的陳述句。,模糊命題的真值：隸屬度函數(shù)（表示這個(gè)命題多大程度隸屬于“真”，0,1間連續(xù)取值）。,例：他是一個(gè)高個(gè)子。,模糊概念常常用很、略、非常等模糊語(yǔ)氣來(lái)修飾。,模糊邏輯運(yùn)算：記P、Q、R為三個(gè)模糊單命題,2）模糊邏輯合?。ā芭c”）：,3）模糊邏輯析?。ā盎颉保?4）模糊邏輯蘊(yùn)含：如果P是真的，那么Q也是真的，,5）模糊邏輯等價(jià)：,6）模糊邏輯限界積：,7）模糊邏輯限界和：,8）模糊邏輯限界差：,模糊邏輯運(yùn)算也是真值的運(yùn)算，也就是隸屬度函數(shù)的運(yùn)算。,例29設(shè)有模糊命題P：他是個(gè)和善的人，真值P0.7; Q：他是個(gè)熱情的人，真值Q0.8,：他既是和善的人又是熱情的

23、人的真值,：他是個(gè)和善的人或是個(gè)熱情的人的真值,則：,：如果他是個(gè)和善的人，則他是個(gè)熱情的人的真值,三、模糊語(yǔ)言邏輯,人工語(yǔ)言：格式緊密，概念清晰，程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言屬人工語(yǔ)言。,模糊語(yǔ)言：具有模糊性的語(yǔ)言,模糊語(yǔ)言邏輯是由模糊語(yǔ)言構(gòu)成的一種模擬人思維的邏輯。,語(yǔ)言分類：,（具有不確定性；含模糊化詞，如：很高、較大）,概念：,定義215模糊數(shù)（模糊子集）：連續(xù)論域U中的一模糊數(shù)F是一個(gè)U上的正規(guī)凸模糊集。,正規(guī)集合：隸屬度函數(shù)的最大值為1，即,凸集合：,在隸屬度函數(shù)曲線上任意兩點(diǎn)之間曲線上的任一點(diǎn)所表示的隸屬度值都大于或者等于兩點(diǎn)隸屬度值中較小的一個(gè)。,例：“大約5”、“10左右”等具有模糊概念的數(shù)

24、值。,定義216語(yǔ)言值：在語(yǔ)言系統(tǒng)中,那些與數(shù)值有直接聯(lián)系的詞，如長(zhǎng)、短、多、少、高、低、重、輕、大、小等或者由它們?cè)偌由险Z(yǔ)言算子（如很、非常、較、偏等）而派生出來(lái)的詞組，如不太大、非常高、偏重等都被稱為語(yǔ)言值。,語(yǔ)言值可以用模糊數(shù)來(lái)表示。,例：成年男子身高的論域E130，140，150，160，170，180，190，200，210在論域E上定義語(yǔ)言值：,定義2-17 語(yǔ)言變量：語(yǔ)言變量是用一個(gè)五元素的集合(X，T(X)，U，G，M)來(lái)表征的。,X：語(yǔ)言變量名，如速度、年齡、顏色等；,T(X)：語(yǔ)言變量X的項(xiàng)集合（語(yǔ)言值的集合）,U：語(yǔ)言變量X的論域,G：產(chǎn)生X數(shù)值名的語(yǔ)言值規(guī)則(用于產(chǎn)生語(yǔ)言變量值),M：與每個(gè)語(yǔ)言變