15.2 關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣.ppt

1、15.2 關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣,一、有向圖,電路的圖是電路拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的抽象描述，若圖中每一支路都賦予一個(gè)參考方向，它成為有向圖。,有向圖的性質(zhì)可以用關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣和割集矩陣描述。,二、關(guān)聯(lián)矩陣,1、支路和結(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián) 設(shè)一條支路連接于某兩個(gè)結(jié)點(diǎn)，則稱該支路與這兩個(gè)結(jié)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)。 2、關(guān)聯(lián)矩陣 設(shè)有向圖的結(jié)點(diǎn)數(shù)為n，支路數(shù)為b，且所有結(jié)點(diǎn)與支路均加以編號(hào)。 于是，該有向圖的關(guān)聯(lián)矩陣為一個(gè)(nb)階的矩陣，用Aa表示。 它的行對(duì)應(yīng)結(jié)點(diǎn)，列對(duì)應(yīng)支路。 它的任一元素ajk定義如下：,它的任一元素ajk定義如下：,ajk= +1，表示支路k與結(jié)點(diǎn)j關(guān)聯(lián)并且它的方向背離結(jié)點(diǎn)； ajk= -1，表示支路

2、k與結(jié)點(diǎn)j關(guān)聯(lián)并且它指向結(jié)點(diǎn)； ajk= 0，表示支路k與結(jié)點(diǎn)j無(wú)關(guān)聯(lián)。,Aa=,1 2 3 4,123456,-1 0 +1 0,-1 0 0 +1,+1 -1 0 0,0 -1 +1 0,0 0 +1 -1,0 +1 0 -1,3、降階關(guān)聯(lián)矩陣,當(dāng)把所有行的元素按列相加就得一行全為零的元素，所以Aa的行不是彼此獨(dú)立的。 或者說(shuō)按Aa的每一列只有+1和-1兩個(gè)非零元素這一特點(diǎn)。 Aa中的任一行必能從其他(n-1)行導(dǎo)出。 如果把Aa的任一行劃去，剩下的(n-1) b矩陣用A表示，并稱為降階關(guān)聯(lián)矩陣。 今后主要用這種降階關(guān)聯(lián)矩陣，往往省去“降階”二字。,123456,降階關(guān)聯(lián)矩陣,A=,被劃去

3、的行對(duì)應(yīng)的結(jié)點(diǎn)可以當(dāng)作參考結(jié)點(diǎn)。,4、用矩陣A表示的KCL的矩陣形式,電路中的b個(gè)支路電流可以用一個(gè)b階列向量表示 i=i1 i2 ibT,Ai =,結(jié)點(diǎn)1上的i 結(jié)點(diǎn)2上的i 結(jié)點(diǎn)(n-1)上的i,因此有 用矩陣A表示的 KCL的矩陣形式,Ai =0,A=,Ai =,=,-i1,+i4,+i5,i1,-i2,+i3,-i3,-i4,+i6,=0,例如：,5、用矩陣A表示的KVL的矩陣形式,電路中的b個(gè)支路電壓可以用一個(gè)b階列向量表示 u=u1 u2 ubT (n-1) 個(gè)結(jié)點(diǎn)電壓可以用一個(gè)(n-1)階列向量表示 un=un1 un2 un(n-1)T,用矩陣A表示的KVL的矩陣形式,u= A

4、Tun,上式表明電路中的各支路電壓可以用與該支路關(guān)聯(lián)的兩個(gè)結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)電壓表示，這正是結(jié)點(diǎn)電壓法的思想。,（注：轉(zhuǎn)置矩陣：A的每一行是AT的每一列）,A=,=,=,un1,un2,un3,+un3,+un3,-un2,-un2,-un1,-un1,u= ATun,例如：,是參考節(jié)點(diǎn)，電壓為零,三、回路矩陣,1、獨(dú)立回路矩陣：簡(jiǎn)稱回路矩陣。 一回路由某些支路組成，則這些支路與該回路關(guān)聯(lián)。 設(shè)有向圖的獨(dú)立回路數(shù)為l，支路數(shù)為b，對(duì)所有獨(dú)立回路和支路均加以編號(hào)，于是， 該有向圖的回路矩陣是一個(gè)lb的矩陣，用B表示。 B的行對(duì)應(yīng)一個(gè)回路，列對(duì)應(yīng)于支路， 它的任一元素，bjk定義如下： bjk = +1，

5、表示支路k與回路j關(guān)聯(lián)，并且它們的方向一致； bjk = -1，表示支路k與回路j關(guān)聯(lián)，并且它們的方向相反； bjk = 0，表示支路k與回路j無(wú)關(guān)聯(lián)。,B =,1 2 3,123456,0,0,0,1,-1,1,3,4,5,2,6,1,1,2,3,1,0,1,0,-1,1,0,1,1,0,0,1,例如：,獨(dú)立回路數(shù)為3，選其中一組,2、基本回路矩陣,如果所選獨(dú)立回路組是對(duì)應(yīng)于一個(gè)樹(shù)的單連支回路組，這種回路矩陣就稱為基本回路矩陣，用Bf表示。 寫(xiě)B(tài)f時(shí)，注意安排其行列次序如下： 1、把l條連支依次排列在對(duì)應(yīng)于Bf的第1到第l 列，然后再排列樹(shù)支； 2、取每一單連支回路的序號(hào)為對(duì)應(yīng)連支所在列的序

6、號(hào)，（二者要一致） 3、以該連支的方向?yàn)閷?duì)應(yīng)的回路的繞行方向， Bf中將出現(xiàn)一個(gè)l 階的單位子矩陣， 即有,Bf=1l |Bt,l和t分別表示與連支和樹(shù)支對(duì)應(yīng)的部分,Bf =,1 2 3,124356,3,4,5,2,6,1,1,2,3,選3，5，6為樹(shù)支,基本回路矩陣,1l每一行中只有一個(gè)元素為1，是一個(gè)l 階的單位子矩陣,1l,3、用回路矩陣B表示的KVL的矩陣形式,Bu =,回路1中的u 回路2中的u 回路l中的u,因此有,Bu =0,電路中的b個(gè)支路電壓u=u1 u2 ubT,回路矩陣左乘支路電壓，,3,4,5,2,6,1,Bu=,=,+u6,u1,u2,+u3,u4,-u5,+u3,

7、+u6,+u6,-u5,= 0,1,2,3,例如：,用回路矩陣B表示的KVL的矩陣形式：,4、用矩陣B表示的KCL的矩陣形式,l個(gè)獨(dú)立回路電流可用一個(gè)l 階列向量表示,il=il1 il2 illT,i=BTil,各支路電流,上式表明電路中各支路電流可以用與該支路關(guān)聯(lián)的所有回路中的回路電流表示，這正是回路電流法的基本思想。,BT的列對(duì)應(yīng)于回路，行對(duì)應(yīng)一個(gè)支路，,B的行對(duì)應(yīng)一個(gè)回路，列對(duì)應(yīng)于支路，,3,4,5,2,6,1,1,2,3,=,=,il1 il2 il1+ il2 il3 -il1 -il3 il1 +il2 +il3,i=BTil=,例如：,用矩陣B表示的KCL的矩陣形式：,四、割集

8、矩陣,設(shè)一個(gè)割集由某些支路構(gòu)成，則稱這些支路與該割集關(guān)聯(lián)。 支路與割集的關(guān)聯(lián)性質(zhì)可用割集矩陣描述。 下面僅介紹獨(dú)立割集矩陣，簡(jiǎn)稱割集矩陣。,移去割集所有支路，G被分割成兩部分 后， 從其中一部分指向另一部分的方向。,每一個(gè)割集只有兩個(gè)可能的方向。,割集方向：,設(shè)有向圖的結(jié)點(diǎn)數(shù)為n，支路數(shù)為b，則該圖的獨(dú)立割集數(shù)為(n-1) 。 對(duì)每個(gè)割集編號(hào)，并指定一個(gè)割集方向。,割集矩陣為一個(gè)(n-1) b的矩陣，用Q表示。,Q的行對(duì)應(yīng)割集，列對(duì)應(yīng)支路。,割集矩陣Q 的任一元素qjk定義如下：,qjk = +1，表示支路k與割集j關(guān)聯(lián)，并且它們的方向一致；,qjk = -1，表示支路k與割集j關(guān)聯(lián)，并且它們

9、的方向相反；,qjk = 0，表示支路k與割集j無(wú)關(guān)聯(lián)。,1、獨(dú)立割集矩陣（簡(jiǎn)稱割集矩陣）,割集矩陣 Q =,1 2 3,123456,3,4,5,2,6,1,-1,-1,0,-1,0,1,-1,-1,1,0,0,0,1,0,0,1,1,0,選支路3、5、6為樹(shù)支，獨(dú)立割集數(shù)為3,Q1,Q2,Q3,例如：,2、基本割集矩陣,如果選一組單樹(shù)支割集為一組獨(dú)立割集，這種割集矩陣就稱為基本割集矩陣，用 Qf 表示。 寫(xiě) Qf 時(shí)，注意安排其行列次序如下： 1、把(n-1)條樹(shù)支依次排列在對(duì)應(yīng)于Qf的第1到第(n-1) 列，然后再排列連支； 2、取每一單樹(shù)支割集的序號(hào)與相應(yīng)樹(shù)支所在列的序號(hào)相同， 3、選

10、割集方向與相應(yīng)樹(shù)支方向一致， 則 Qf 有如下形式,Qf=1t|Ql,式中下標(biāo)t 和l 分別表示對(duì)應(yīng)于樹(shù)支和連支部分。,Qf =,1 2 3,3,4,5,2,6,1,-1,-1,0,-1,0,1,-1,-1,1,0,0,0,1,0,0,1,1,0,選支路3、5、6為樹(shù)支,Q1,Q2,Q3,例如：,3,5,6,1,2,4,寫(xiě)出基本割集矩陣Qf ：,3、用割集矩陣Q表示的KCL的矩陣形式,Q i = 0,Q i =,=,-i1,-i2,+i6,-i1,-i2,+i3,i1,+i4,+i5,=0,-i4,即：屬于一個(gè)割集的所有支路電流的代數(shù)和等于零,（支路電流 i=i1 i2 ibT）,Q1,Q2,Q3,4、用基本割集矩陣Qf 表示的KVL的矩陣形式,由于通常選單樹(shù)支割集為獨(dú)立(基本)割集，此時(shí)樹(shù)支電壓又可視為對(duì)應(yīng)的割集電壓，所以u(píng)t 又是基本割集組的割集電壓列向量。 由于Qf 的每一列，也就是QfT 的每一行，表示一條支路與割集的關(guān)聯(lián)情況，按矩陣相乘的規(guī)則可得支路電壓：,u=QfTut,上式表明電路的支路電壓可以用樹(shù)支電壓（割集電壓）表示，這就是割集電壓的基本思想。,假設(shè)(n-