一道拋物線背景中考?jí)狠S題的命制與反思

1、一道拋物線背景中考?jí)狠S題的命制與反思農(nóng)學(xué)寧（南寧市教育科學(xué)研究所）摘要：壓軸題在中考試卷中凸顯選拔功能，位于試卷的最后部分，屬于跨領(lǐng)域問(wèn)題，思維層次較高，區(qū)分度較大，需綜合運(yùn)用多方面知識(shí)解決，往往涉及分類討論，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)提出了較高的要求，需要學(xué)生抓住變化中的不變量，注重對(duì)學(xué)生動(dòng)手能力和自主探索能力的考查。數(shù)與代數(shù)部分的核心內(nèi)容是函數(shù)，圖形與幾何部分的核心內(nèi)容是圖形，函數(shù)模型是對(duì)數(shù)量與圖形對(duì)應(yīng)關(guān)系刻畫(huà)，用函數(shù)的思想刻畫(huà)圖形的變化規(guī)律是初中數(shù)學(xué)最核心的內(nèi)容，這也反映出函數(shù)的本質(zhì)。近幾年來(lái)，中考題大多是以二次函數(shù)的圖象即拋物線為背景的壓軸題，現(xiàn)就2013年南寧市中考題26題

2、的編制過(guò)程與思考。關(guān)鍵詞：拋物線；壓軸題；命制與反思義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)在課程總體目標(biāo)中明確提出了“四基”；基礎(chǔ)知識(shí)，基本技能，基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，突出了培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，這也是中考命題必須遵循的準(zhǔn)則，利用函數(shù)刻畫(huà)動(dòng)態(tài)幾何圖形的綜合問(wèn)題，具有較好的區(qū)分度，運(yùn)動(dòng)的圖形問(wèn)題集代數(shù)、幾何知識(shí)于一體，綜合考查學(xué)生利用函數(shù)模型解決圖形變化問(wèn)題的能力。一、試題呈現(xiàn)題目（2013年廣西南寧卷第26題）如圖14，拋物線經(jīng)過(guò)C（2，0）、D（0，-1）兩點(diǎn)，并與直線交于A、B兩點(diǎn)直線過(guò)點(diǎn)E（0，-2）且平行于軸，過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作直線的垂線，垂足分別為點(diǎn)M、N（1）求此拋物線的解析

3、式；（2）求證：AOAM；（3）探究：當(dāng)時(shí)，直線與軸重合，寫(xiě)出此時(shí)的值；試說(shuō)明無(wú)論取何值，的值都等于同一個(gè)常數(shù)【解析】（1）將點(diǎn)C（2，0），D（0，-1）代入得： 解得：拋物線的解析式為：（2） 過(guò)點(diǎn)A作AG垂直于y軸，垂足為點(diǎn)G.設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則AO、AM的值均為正數(shù)AO=AM（3） 當(dāng)k=0時(shí)，直線AB與x軸重合，且ABMN，則AM=2，BN=2當(dāng)k0時(shí)，延長(zhǎng)AG，交BN于點(diǎn)H由（2）可知AO=AM，同理可證：BO=BN設(shè)AO=AM=m，BO=BN=nBNOE AGOAHB 即整理得：m+n=mnm0，n0，兩邊同除以mn得： 即：當(dāng)k0時(shí)，同理可證：綜上所述，無(wú)論k取何值，的值都等于

4、同一個(gè)常數(shù)2、 命制的過(guò)程（一）編制題目的最初動(dòng)機(jī)近幾年來(lái)，全區(qū)各地的中考?jí)狠S題均是以拋物線為背景的形式出現(xiàn)，主要的命題方向是動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，函數(shù)的最值問(wèn)題、三角形與四邊形的動(dòng)態(tài)分類問(wèn)題。主要考查二次函數(shù)的求解析式，求二次函數(shù)的最值，基本幾何圖形的性質(zhì)。從而體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想。然而這樣“架構(gòu)”的試題已經(jīng)是鋪天蓋地，通過(guò)之前的調(diào)研筆者發(fā)現(xiàn)，不少學(xué)校都已經(jīng)進(jìn)行了這類題型的模式化訓(xùn)練。所以如果今年的中考題仍然是以這類題型出現(xiàn)的話，勢(shì)必會(huì)使得教師們?cè)谝院蟮慕虒W(xué)中有一種題海戰(zhàn)術(shù)的導(dǎo)向，同時(shí)壓軸題的選拔性也就不能充分的體現(xiàn)出來(lái)。另外，由于南寧市的中考肩負(fù)著畢業(yè)與升學(xué)的兩項(xiàng)任務(wù)，因此在試題的命制上就要考

5、慮到基礎(chǔ)知識(shí)的掌握和初高中的銜接問(wèn)題。（二）編制題目的陳題起點(diǎn) 編制試題的起點(diǎn)主要是受到以下兩道高考題的啟發(fā)：題目1：（2000年全國(guó)高考卷第11題）過(guò)拋物線y=ax2 的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，若線段PF與PQ的長(zhǎng)分別是p、q，則等于（ ）(A)2a(B)(C)4a(D)題目2：（2001年全國(guó)高考卷第20題）設(shè)拋物線y2 =2px (p0)的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BCx軸證明直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O（三）編制題目的策略與方法編題之初的主要思路是：避開(kāi)近年來(lái)在拋物線背景下的常見(jiàn)題型，如動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，面積或周長(zhǎng)的最值問(wèn)題，由動(dòng)點(diǎn)而產(chǎn)生的圖形分類

6、問(wèn)題等。這些類型的問(wèn)題在學(xué)生的平時(shí)訓(xùn)練中必然已經(jīng)進(jìn)行了大量的強(qiáng)化訓(xùn)練，如果還是這種類型的問(wèn)題，則這道就失去了選拔的意義。另外，對(duì)于定值型問(wèn)題的設(shè)問(wèn)，在本市的中考中還沒(méi)有出現(xiàn)過(guò)，具有一定的數(shù)學(xué)思維價(jià)值。將高考數(shù)學(xué)試題改編這中考試題，最重要的是解題的方法與策略，使它既可以用高中的知識(shí)與方法解決問(wèn)題，同時(shí)也可以用初中范圍內(nèi)的知識(shí)與方法解題，不能超出課標(biāo)的要求。以下的兩道高考題可能會(huì)在以下幾個(gè)方面引起學(xué)生的解題困難。1.高考題的語(yǔ)言陳述一般比較簡(jiǎn)潔，學(xué)生沒(méi)有學(xué)過(guò)“拋物線y=ax2 的焦點(diǎn)”和“開(kāi)口向右的拋物線”的知識(shí)。這會(huì)給學(xué)生造成一定的理解題意的困難。.高考題中運(yùn)用的核心知識(shí)點(diǎn)是：拋物線的定義，這在

7、初中是沒(méi)有的知識(shí)點(diǎn)。所以要解決最終的問(wèn)題就要先證明“拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離相等”這一結(jié)論。.定值問(wèn)題常常是數(shù)學(xué)中的變與不變的問(wèn)題，在高中的知識(shí)點(diǎn)里是可以通過(guò)設(shè)元的方法解決的，而這種方法會(huì)用到二次函數(shù)的判別式和韋達(dá)定理，把幾何問(wèn)題通過(guò)代數(shù)運(yùn)算而得以解決。二次函數(shù)的判別式和韋達(dá)定理這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)在初中的教材學(xué)習(xí)中要求已經(jīng)削弱了，這樣使得學(xué)生只能用幾何證明的方法去解，則會(huì)使學(xué)生有比較大的難度。試題改編的方法：首先，給出兩個(gè)特殊點(diǎn)求解析式，這樣主要是考查學(xué)生比較熟悉的待定系數(shù)法，從而可以降低試題的難度，也使學(xué)生有一定的信心去接觸后面的問(wèn)題。其次，設(shè)制第（2）問(wèn)目的是，為第（3）問(wèn)的探究鋪

8、路。因?yàn)樯倭说冢?）問(wèn)的轉(zhuǎn)化思想，第（3）問(wèn)就會(huì)無(wú)法入手。再次，第（3）問(wèn)就不是直接的證明，而是設(shè)一個(gè)小問(wèn)，先求出的值，然后再進(jìn)一步的證明，給學(xué)生在尋找問(wèn)題的結(jié)果中一個(gè)梯度和引導(dǎo)。（四）改編試題過(guò)程中出現(xiàn)的問(wèn)題與解決辦法問(wèn)題：為了使試題應(yīng)有一定的梯度，第一小題還是要考查求二次函數(shù)的解析式。構(gòu)造y=ax2過(guò)于簡(jiǎn)單，同時(shí)也會(huì)和其他中考題相類。解決辦法：原題中的y=ax2只含有一個(gè)參系數(shù)，太簡(jiǎn)單。解決的辦法是把拋物線向下平移，構(gòu)造出函數(shù)，這時(shí)求拋物線的解析式難度不大，同時(shí)拋物線的焦點(diǎn)在原點(diǎn)位置，圖形和解析式都比較簡(jiǎn)潔，為后面的設(shè)問(wèn)減少運(yùn)算量打下基礎(chǔ)。問(wèn)題：第（3）小題要用到拋物線的定義，而在初中學(xué)生

9、沒(méi)有學(xué)習(xí)。解決辦法：在第二小題里就要對(duì)這一結(jié)論先進(jìn)行證明。但證明的方法不能用高中解析幾何中的解析法，因?yàn)槌踔袑?duì)二次函數(shù)的判別式及韋達(dá)定理都已經(jīng)弱化了。但是筆者考慮到用數(shù)形結(jié)合的思想，設(shè)元?jiǎng)t用到了拋物線上的點(diǎn)的性質(zhì)，以及勾股定理也可以證明，這也是初中解決二次函數(shù)相關(guān)問(wèn)題的常用方法，所以認(rèn)為難度比較適中。另外，第（2）小題本身的結(jié)論應(yīng)是兩個(gè)結(jié)果，即AOAM，BOBN。但是證明過(guò)程用的是相同的方法，所以只要證明其中之一就可以了。若學(xué)生用的是連接OM，并想通過(guò)證明等腰三角形的方法來(lái)證明，則不易證明出來(lái)。問(wèn)題3：第（3）小題中原來(lái)是：試證明無(wú)論取何值，的值都等于同一個(gè)常數(shù)這樣設(shè)問(wèn)有可能一下子跳躍性太強(qiáng)，

10、造成難度過(guò)大，學(xué)生一下子可能找不到這其中的關(guān)系，得分的機(jī)率也就大大降低了。另外，如果只是求出的值，則學(xué)生會(huì)運(yùn)用特殊值的方法讓直線運(yùn)動(dòng)到與x軸重合的位置，從而很容易就求出的值，這樣這一問(wèn)也就失去了意義。解決辦法：把這一小題改為一個(gè)探究性的問(wèn)題。先“當(dāng)時(shí)，直線與軸重合，寫(xiě)出此時(shí)的值；”，然后再證明，并且證明的方法可以用相似三角形的性質(zhì)，而不僅限于高中的幾何法。從而使這一小題有探究的意味，同時(shí)也有一定的梯度，形成比較合理的區(qū)分度。三、得分情況1.本題零分卷較多，約占總數(shù)65，其中空白卷又約占80。本題第（1）問(wèn)屬于基礎(chǔ)知識(shí)基本技能送分類，但仍有大部分學(xué)生丟分。原因：心理因素，認(rèn)為最后的壓軸都是難題，

11、沒(méi)有信心讀題答題；學(xué)生答題速度慢，按部就班答題，沒(méi)有掌握答題得分技巧，以致沒(méi)有足夠時(shí)間做到最后一題；基本運(yùn)算能力太差，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式出錯(cuò)導(dǎo)致做了解答但不得分。2.運(yùn)算出錯(cuò)率較高，約為70。主要原因沒(méi)有養(yǎng)成良好的運(yùn)算習(xí)慣，算式簡(jiǎn)單則麻痹輕視，忽略運(yùn)算順序、計(jì)算法則導(dǎo)致計(jì)算出錯(cuò)，如第（3）問(wèn)中：+=，+=；算式復(fù)雜，又因?yàn)閰挓?、畏難等情緒及運(yùn)算能力不強(qiáng)導(dǎo)致錯(cuò)誤。如：第（3）問(wèn)中：用含有k的式子表示出是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)，計(jì)算量較大，需要考生具備謹(jǐn)慎細(xì)致審題、認(rèn)真規(guī)范答題及較強(qiáng)運(yùn)算能力才能避免出錯(cuò)。又如，第（3）問(wèn)中解法三，求一元二次方程x24kx4=0的根，由于一次項(xiàng)為字母系

12、數(shù)，用求根法表示點(diǎn)A、B坐標(biāo)的出錯(cuò)率非常高。3.思維定勢(shì)。如：第二問(wèn)中“求證：AO=AM”，約55的學(xué)生看到證明線段相等只想到用幾何方法，故連接OM，想方設(shè)法去證AMO=AOM,實(shí)在證不下去只能放棄，浪費(fèi)太多時(shí)間，以致第（3）問(wèn)都沒(méi)做。四、命制后的反思1.這道試題的編制旨在通過(guò)避開(kāi)老師們復(fù)習(xí)教學(xué)中題型模式教學(xué)的思維定勢(shì)，通過(guò)改編高考題，從初、高中知識(shí)銜接的角度，考查學(xué)生的探究綜合能力。這也是中考試題編制的一種常用方法。高考試題是中考命題的一個(gè)資源庫(kù)，但絕不能直接用高考題作為數(shù)學(xué)中考題，因?yàn)檫@樣做顯然不符合數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，而且會(huì)對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)產(chǎn)生負(fù)面的導(dǎo)向作用。所以在中考命題時(shí)，我們可以從高

13、考數(shù)學(xué)題中提取素材，用其立意，編制出情境生動(dòng)、立意深遠(yuǎn)、思維價(jià)值高的數(shù)學(xué)中考試題。2.從解題方法上講，第（3）小題的技巧性比較強(qiáng)，雖然有運(yùn)用二次函數(shù)根與系數(shù)的關(guān)系和運(yùn)用相似三角形的比例性質(zhì)兩種方法，但是學(xué)生沒(méi)有學(xué)習(xí)二次函數(shù)根與系數(shù)的關(guān)系，而運(yùn)用相似三角形的比例性質(zhì)的方法，技巧性比較強(qiáng)，造成這一小題的整體難度比較大，區(qū)分度也就不高。所以，在解題的方法上還要進(jìn)一步的考慮適合于初中的通法更多一點(diǎn)為好。3.教學(xué)的導(dǎo)向問(wèn)題。從考試后的情況和老師們的反饋來(lái)看，一方面由于這道題涉及高中的知識(shí)，使得老師們想到在以后會(huì)在平時(shí)的教學(xué)中，向?qū)W生加入高中的學(xué)習(xí)內(nèi)容，從而加重了學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。另一方面，對(duì)于學(xué)習(xí)程度比較好的學(xué)生，在原有知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行一定的拓展，有一點(diǎn)學(xué)習(xí)的前瞻性也無(wú)可厚非。這樣的問(wèn)題討論則有待進(jìn)一步的探討。不過(guò)，在命題的原型上，還是盡可能的從教材的原題出發(fā)，充分利用教材，以使教師們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中更多的深入研究教材，避免陷入新的題海戰(zhàn)術(shù)中來(lái)。4.變式（1）如圖1連接AE，BE，還證明AEBE（2）如圖2連接OM，ON，可證明OMON參考文獻(xiàn)：1肖川，歐陽(yáng)新龍.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)解讀湖北教育出版社:2012(2).1朱建明.一道中考試題編制過(guò)程的思考J.中國(guó)數(shù)學(xué)教育：初中版，2007（4）.