高中數(shù)學(xué)選修2-2推理與證明教案及章節(jié)測試及答案

1、推理與證明一、核心知識1.合情推理（1）歸納推理的定義： 從個別事實 中推演出一般性 的結(jié)論，像這樣的推理通常稱為歸納推理。 歸納推理是由部分到整體 ，由個別到一般 的推理。 （2）類比推理的定義： 根據(jù)兩個（或兩類）對象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們在其他方面也相似或相同，這樣的推理稱為類比推理。類比推理是由特殊到特殊的推理。 2.演繹推理(1)定義： 演繹推理是根據(jù)已有的事實和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等）按照嚴(yán)格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過程。演繹推理是由一般到特殊的推理。(2)演繹推理的主要形式：三段論 “三段論”可以表示為：大前題：M 是 P小前提：S 是 M 結(jié)論：S

2、 是 P。 其中是大前提，它提供了一個一般性的原理；是小前提，它指出了一個 特殊對象；是結(jié)論，它是根據(jù)一般性原理，對特殊情況做出的判斷。3.直接證明直接證明是從命題的條件或結(jié)論出發(fā)，根據(jù)已知的定義、公理、定理，直接 推證結(jié)論的真實性。直接證明包括綜合法和分析法。 （1）綜合法就是 “由因?qū)Ч?， 從已知條件出發(fā)， 不斷用必要條件代替前面的條件，直至推出要證的結(jié)論。 （2）分析法就是從所要證明的結(jié)論出發(fā)，不斷地用充分條件替換前面的條件或者 一定成立的式子，可稱為“由果索因” 。要注意敘述的形式：要證 A，只要證 B，B 應(yīng)是 A 成立的充分條件. 分析法和綜合法常結(jié)合使用，不要將它們割裂開。

3、4反證法（1）定義：是指從否定的結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，導(dǎo)出矛盾，證實結(jié)論的否 定是錯誤的，從而肯定原結(jié)論是正確的證明方法。 （2）一般步驟：（1）假設(shè)命題結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；從矛盾判定假設(shè)不正確 ，即所求證命題正確。（3）反證法的思維方法:正難則反 5數(shù)學(xué)歸納法（只能證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題）的步驟 (1)證明：當(dāng) n 取第一個值 n0（n0N*）時命題成立； (2)假設(shè)當(dāng) n=k (kN*，且 kn0)時命題成立，證明當(dāng) n=k+1 時命題也成立由(1)，(2)可知，命題對于從 n0 開始的所有正整數(shù) n 都正確。二、典型例題例1. 已知

4、 ，猜想的表達(dá)式為（ B ）A.； B.； C.； D.例2. 已知，計算得，由此推測：當(dāng)時，有 例3. 已知：； 通過觀察上述兩等式的規(guī)律，請你寫出一般性的命題：_=（ * ）并給出（ * ）式的證明.解：一般形式: 證明：左邊 = = = = = （將一般形式寫成 等均正確。）例4若均為實數(shù)，且。求證：中至少有一個大于0。答案：（用反證法）假設(shè)都不大于0，即，則有，而 =均大于或等于0，這與假設(shè)矛盾，故中至少有一個大于0。例5.求證：1+3+5+（2n+1）=n2（nN*）三、課后練習(xí)1數(shù)列1,3,6,10,15，的遞推公式可能是(B)A. B.C. D. 解析記數(shù)列為an，由已知觀察規(guī)律

5、：a2比a1多2，a3比a2多3，a4比a3多4，可知當(dāng)n2時，an比an1多n，可得遞推關(guān)系(n2，nN*)2用數(shù)學(xué)歸納法證明等式123(n3)(nN*)時，驗證n1，左邊應(yīng)取的項是(D)A1 B12 C123 D1234 解析當(dāng)n1時，左12(13)124，故應(yīng)選D.3已知f(n)，則(D)Af(n)中共有n項，當(dāng)n2時，f(2)Bf(n)中共有n1項，當(dāng)n2時，f(2)Cf(n)中共有n2n項，當(dāng)n2時，f(2)Df(n)中共有n2n1項，當(dāng)n2時，f(2) 解析項數(shù)為n2(n1)n2n1，故應(yīng)選D.4已知abc0，則abbcca的值(D)A大于0 B小于0 C不小于0 D不大于0 解析解法1：abc0，a2b2c22ab2ac2bc0，abacbc0.5已知c1，a，b，則正確的結(jié)論是(B)Aab Bab Cab Da、b大小不定 解析a，b，因為0，0，所以0，所以a0，則。答案：證明：要證，只需證。a0，兩邊均大于零，因此只需證只需證，只需證，只需證，即證，它顯然成立。原不等式成立。14.中，已知，且，求證：為等邊三角形。解: 分析：由 由 所以為等邊三角形15已知：a、b、cR，且abc1. 求證：a2b2c2.證明由a2b22ab，及b2