復變函數(shù)習題答案第2章習題詳解

1、第二章習題詳解1 利用導數(shù)定義推出：1) （為正整數(shù)）解： 2)解： 2 下列函數(shù)何處可導？何處解析？1)解：設，則， ，都是連續(xù)函數(shù)。只有，即時才滿足柯西黎曼方程。在直線上可導，在復平面內處處不解析。2)解：設，則， ，都是連續(xù)函數(shù)。只有，即時才滿足柯西黎曼方程。在直線上可導，在復平面內處處不解析。3)解：設，則， ，都是連續(xù)函數(shù)。只有且，即時才滿足柯西黎曼方程。在點處可導，在復平面內處處不解析。4)解：設，則， ，都是連續(xù)函數(shù)。完全滿足柯西黎曼方程。在復平面內處處可導，在復平面內處處解析。3 指出下列函數(shù)的解析性區(qū)域，并求出其導數(shù)。1)解：，在復平面內處處解析。2)解：，在復平面內處處解析

2、。3)解：，在復平面內除點外處處解析。4) （，中至少有一個不為）解： 當，則當時，在復平面內除點外處處解析。當時，則，在復平面內處處解析。 4 求下列函數(shù)的奇點：1)解：令，解得，。故有、三個奇點。2)解：令，解得，。故有、三個奇點。5 復變函數(shù)的可導性與解析性有什么不同？判斷函數(shù)的解析性有哪些方法？解：復變函數(shù)的可導性是函數(shù)在某一點的局部性質，而解析性是函數(shù)在一個區(qū)域內的整體性質。判斷函數(shù)的解析性有兩種法。一是用定義，利用函數(shù)的可導性判斷解析性；二是用定理：函數(shù)在其定義域內解析和在內點可微，并且滿足柯西黎曼方程。6 判斷下列命題的真假，若真，請給以證明；若假，請舉例說明。1) 如果在連續(xù)，

3、那末存在；解：假命題。例如，在復平面內任意一點都連續(xù)，但不滿足柯西黎曼方程，故不存在。2) 如果存在，那末在解析；解：假命題。例如，在點可導，但在點不解析。3) 如果是的奇點，那末在不可導；解：假命題。例如，在復平面內處處不解析，因此處處是奇點，但在上的點均可導。4) 如果是和的一個奇點，那末也是和的奇點；解：假命題。例如，與在復平面內處處不解析，即復平面內任意一點都是與的奇點。但在復平面內處處解析，即在復平面內沒有奇點。5) 如果和可導（指偏導數(shù)存在），那末亦可導；解：假命題。例如，設，則，均可導，但不滿足柯西黎曼方程，因此不可導。6) 設在區(qū)域內是解析的。如果是實常數(shù)，那末在整個內是常數(shù)；

4、如果是實常數(shù)，那末在內也是常數(shù)。解：真命題。下面證明： 因為在區(qū)域內解析，即滿足柯西黎曼方程： ， 如果是實常數(shù)，則，即為實常數(shù)，故在內為常數(shù)。 如果是實常數(shù)，則，即為實常數(shù)，故在內為常數(shù)。7 如果是的解析函數(shù)，證明：。證明： 在點處解析， 8 設為解析函數(shù)，試確定、的值。解：設，則 ， ，為解析函數(shù)9 證明柯西黎曼方程的極坐標形式是：，證明：直角坐標與極坐標的轉換公式為，于是由復合函數(shù)求導得： ， 即：，10 證明：如果函數(shù)在區(qū)域內解析，并滿足下列條件之一，那末是常數(shù)。1) 恒取實值；證明：恒取實值，即。是解析函數(shù)，所以 ， 即為常數(shù)，故是常數(shù)。2) 在內解析；證明：因為在區(qū)域內解析，所以，

5、 又為在區(qū)域內解析，所以， ，故是常數(shù)。3) 在內是一個常數(shù)；證明：設 同時 ， 成立。所以 即，均為常數(shù)，故是常數(shù)。4) 在內是一個常數(shù)；證明：設，則。 如果，則，從而，又在內解析，所以為常數(shù)，故是常數(shù)。 如果，則，于是有 同時 ， 成立。所以 即，均為常數(shù)，故是常數(shù)。 如果，則；如果，則，與的討論一樣，可得到是常數(shù)。5) ，其中，與為不全為零的實常數(shù)。證明：因為，且與為不全為零，所以和不能同時為零。假設，則有，于是，在區(qū)域內解析，所以為常數(shù)，故是常數(shù)。11 下列關系是否正確？1)解：設，則2)解：3)解：12 找出下列方程的全部解：1)解：， ，即2)解：， ，即3)解：，即4)解：， ，

6、即13 證明：1) ，證明：2)證明： 3)證明： 令，則4)證明：， 令，則， 5) ，證明：6) ，證明： 令，則 同理可證：14 說明：1) 當時，和趨于無窮大；解：，而， 同理：2) 當為復數(shù)時，和不成立。解：由于為復數(shù)，可設，則 故當為復數(shù)時，和不成立。15 求，和它們的主值。解： 主值為 主值為16 證明對數(shù)的下列性質：1)證明： 所以：2)證明： 所以：17 說明下列等式是否正確：1)解：設 所以 和的實部相同，但虛部不盡相同，故不正確。2)解：設 所以 和的實部相同，但虛部不盡相同，故不正確。18 求，和的值。解： 19 證明，其中為實數(shù)。證明：如果是整數(shù)，則 如果不是整數(shù)，則20 證明：1) ；證明：2) ；證明：3) ，。證明： 21 解下列方程：1) ；解： 即 2) ；解： 即 3) 。解： 即 22 證明