數(shù)學(xué)人教版八年級上冊最短路徑

1、最短路徑問題,最短路徑問題,蔡為制作,引入 問題,將軍從城堡A 出發(fā)，到一條筆直的河邊l 飲馬，然后到城堡B 。到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？,提出 問題,A,B,l,數(shù)學(xué)抽象：,河流：一條直線,城堡：一個點,最短路徑：兩線段之和最小,數(shù)學(xué) 建模,實際問題,數(shù)學(xué)化,如圖，已知直線 l 和 l 外同旁兩點A、B，在 l 上求作一點P，使PA+PB的值最小。,將軍從城堡A出發(fā)，到一條筆直的河邊 l 飲馬，然后到城堡B。將軍到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短?,P,數(shù)學(xué) 轉(zhuǎn)化,數(shù)學(xué) 化歸,如圖，已知直線l和l外異側(cè)兩點D、B，在l上求作一點P，使PD+PB的值最小。,如圖，已知直

2、線l和l外同側(cè)兩點A、B，在l上求作一點P，使PA+PB的值最小。,P,數(shù)學(xué)化歸：,同旁兩點轉(zhuǎn)化成兩旁兩點,數(shù)學(xué)建模：,兩點之間，線段最短,利用軸對稱變換將點A移到 l 的另一側(cè),數(shù)學(xué) 建模,如圖，已知直線 l 和 l外同側(cè)兩點A、B，在 l 上求作一點P，使PA+PB的值最小。,P,A,作法： 1.作點 A 關(guān)于直線 l 的對稱點A ；,2.連接A B交 l 于點P；,C,點P就是要求作的點。,邏輯證明：,點P是唯一的點嗎？,你能證明PA+PB的值最小嗎？,補充：作點 B 關(guān)于直線 l 的對稱點B 也可行。,邏輯 推理,直線 l 是點A、A 的對稱軸，點P、P 在對稱軸上。,AP=A P，A

3、P =A P ,證明:在 l 上任取另一點P，連接AP、AP 、 BP 、 A P 。,在A BP 中,A BA P +BP , AP+BP AP +BP ,即AP+BP最小,AP+BP=A P+BP=A B,P,邏輯證明：,1、點P 的任意性與點P 的唯一性；,2、三角形兩邊之和大于第三邊的應(yīng)用。,小 結(jié),1、利用軸對稱在直線l上求作一點P，使點P到直線l外同旁A、B兩點的距離之和最小。,1、一個定點與兩個動點組成的三角形周長的最小值。,2、兩個動點與一個定點組成的三角形周長的最小值。,3、兩個動點與兩個定點組成的四邊形周長的最小值。,2、一個定點與兩個動點組成的三角形周長的最小值。,展 望,如圖 小河邊有兩個村莊A村與 B村要 在河邊修建一個 自來水廠向A 村與 B村供水； （1） 若要使廠部到A 村與B村的距離相等則應(yīng)如何選擇廠址？ （2）若要使廠部到A