大一微積分復習資料

1、 大學的考試比較簡單，主要以書本為主，下面的復習指導可作提引作用。1011學年第一學期“微積分”期末復習指導 第一章 函數(shù)一本章重點復合函數(shù)及分解，初等函數(shù)的概念。二復習要求1、 能熟練地求函數(shù)定義域；會求函數(shù)的值域。2、理解函數(shù)的簡單性質(zhì)，知道它們的幾何特點。3、 牢記常函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)等六類基本初等函數(shù)的表達式，知道它們的定義域、值域、性質(zhì)及圖形特點。其中. 對于對數(shù)函數(shù)不僅要熟記它的運算性質(zhì)，還能熟練應(yīng)用它與指數(shù)函數(shù) 互為反函數(shù)的關(guān)系，能熟練將冪指函數(shù)作如下代數(shù)運算： .對于常用的四個反三角函數(shù)，不僅要熟習它們的定義域、值域及簡單性質(zhì)，還要熟記它們在

2、特殊點的函數(shù)值. 4、 掌握復合函數(shù)，初等函數(shù)的概念，能熟練地分解復合函數(shù)為簡單函數(shù)的組合。5、 知道分段函數(shù)，隱函數(shù)的概念。. 三例題選解例1. 試分析下列函數(shù)為哪幾個簡單函數(shù)（基本初等函或基本初等函數(shù)的線性函數(shù)）復合而成的？.分析：分解一個復合函數(shù)的復合過程應(yīng)由外層向里層進行，每一步的中間變量都必須是基本初等函數(shù)或其線性函數(shù)（即簡單函數(shù)）。解：.例2. 的定義域、值域各是什么？答： 是的反函數(shù)，根據(jù)反函數(shù)的定義域是原來函數(shù)的值域，反函數(shù)的值域是原來函數(shù)的定義域，可知的定義域是，值域為. 四練習題及參考答案1. 則f(x)定義域為 ，值域為 f(1) = ； .2.則f(x)定義域為 ，值域

3、為 f(1) = ； .3.分解下列函數(shù)為簡單函數(shù)的復合：.答案：1.（- +）, ,2. .3. .自我復習：習題一.（A）55、； 習題一.（B）.11.第二章 極限與連續(xù)一本章重點極限的計算；函數(shù)的連續(xù)及間斷的判定；初等函數(shù)的連續(xù)性。二復習要求1了解變量極限的概念，掌握函數(shù)f(x)在x0點有極限的充要條件是：函數(shù)在x0點的左右極限都存在且相等。2.理解無窮小量與無窮大量的概念和關(guān)系，掌握無窮小量的運算性質(zhì)，特別是無窮小量乘以有界變量仍為無窮小。例如：3.會比較無窮小的階。在求無窮小之比的極限時，利用等價無窮小代換可使運算簡化，常用的等價無窮小代換有：當0時,有：； ;.（參見教材P79）

4、4.掌握兩個重要極限:().().記住它們的形式、特點、自變量的變化趨勢及擴展形式(變形式).并能熟練應(yīng)用其求極限，特別是應(yīng)用重要極限()的如下擴展形式求型未定式極限：5.掌握函數(shù)連續(xù)的概念， 知道結(jié)論：初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的，分段函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)的不連續(xù)點只可能是分段點。函數(shù)f(x)在分段點x0處連續(xù)的充要條是：函數(shù)在x0點極限存在且等于，即：當分段函數(shù)在分段點的左右兩邊表達式不相同時，函數(shù)f(x)在分段點x0處連續(xù)的充要條件則是：.6. 掌握函數(shù)間斷點及類型的判定。函數(shù)的不連續(xù)點稱為間斷點，函數(shù)在點間斷，必至少有下列三種情況之一發(fā)生： 、在點無定義； 、不存在； 、存在，但.若為

5、的間斷點，當及都存在時，稱為的第一類間斷點，特別時（即存在時），稱為的可去間斷點；時稱為的跳躍間斷點。不是第一類間斷點的都稱為第二類間斷點。7.了解連續(xù)函數(shù)的運算性質(zhì)及閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),特別要知道閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有最大值與最小值。8.能夠熟練地利用極限的四則運算性質(zhì)；無窮小量、無窮大量的關(guān)系與性質(zhì)；等價無窮小代換；教材P69公式（2.6）；兩個重要極限；初等函數(shù)的連續(xù)性及洛必達法則(第四章)求函數(shù)的極限。三.例題選解 例1.單項選擇題下列極限中正確的是（ ）A. B. C. D. 當時，是的（ ）A.低階無窮小； B.高階無窮小；C.同階無窮小，但不是等價無窮??；D. 等價無窮?。环?/p>

6、析與解：1 A與 C顯然都不對，對于D, 記，則即D也不對，剩下的B就是正確答案。2 由于 應(yīng)選擇D.例3.求極限：解: 此極限為型 當時，有 , 此極限為型，可用重要極限。 . 例2判斷函數(shù) 的間斷點，并判斷其類型。解：由于是函數(shù)y 無定義的點，因而是函數(shù)y 的間斷點。 為函數(shù) y 的可去間斷點； 為函數(shù) y 的第二類（無窮型）間斷。 例3函數(shù)在點處連續(xù)，求常數(shù)k .分析與解：由于分段函數(shù)在分段點的左右兩邊表達式相同，因此在連續(xù)的充要條件是 四.練習題及參考答案1.填空.當時，與相比，是_無窮??； . _；._.2.單項選擇題設(shè)，下面說法正確的是_；A. 點都是可去間斷點；B. 點是跳躍間斷

7、點，點是無窮間斷點；C. 點是可去間斷點，點是無窮間斷點；D. 點是可去間斷點，點是跳躍間斷點；下面正確的是_.A. ； B. ；C. 不存在； D. .答案:1. .同階而不等價的 ；. ；.2. .C; .B .自我復習.習題二(A)11. (4).24. ,(4),.27. (4).28.,.30.37,.習題二(B).14.第三章 導數(shù)與微分一.本章重點. 導數(shù)的概念，導數(shù)及微分的計算.二.復習要求1.掌握函數(shù)在處可導的定義，并能熟練應(yīng)用導數(shù)的定義式求分段函數(shù)在分段點的導數(shù)。導數(shù)是一個逐點概念，在處的導數(shù)的定義式常用的有如下三種形式： .2.知道導數(shù)的幾何意義，會求在處的切線方程。3.

8、熟記基本求導公式及求導的運算法則，熟練掌握下列求導方法,并能熟練應(yīng)用它們求函數(shù)的導數(shù)：運用基本求導公式及求導的四則運算法則求導； 復合函數(shù)求導法； 隱函數(shù)求導法； 取對數(shù)求導法。4.理解高階導數(shù)的概念，能熟練求函數(shù)的二階導數(shù)。5.理解微分的概念，能應(yīng)用微分基本公式及運算法則求函數(shù)的微分。6.掌握函數(shù)可微,可導及連續(xù)的關(guān)系。三.例題選解例1.求下列函數(shù)的導數(shù)： ，求=, 求.設(shè)=，求. ,求解：、本題為抽象函數(shù)求導，由復合函數(shù)求導法，得： . 本題為冪指函數(shù)求導，必須用取對數(shù)求導法。原方程兩邊取對數(shù)： 上式兩邊對求導，視為中間變量:= 注：本題除此方法外，也可以：3 . . 例2. 設(shè)在處可導,

9、且.求分析:將在處的導數(shù)的定義式理解為結(jié)構(gòu)式:=其中為或的函數(shù).且當時,即可.解: 例3求曲線 在點 處的切線方程。解：顯然，點在曲線上，現(xiàn)求切線的斜率，即曲線方程兩邊對x求導：解得 1切線方程為：即 例4、設(shè)試討論在處的連續(xù)性及可導性。分析與解：由已知，；（1）討論在處的連續(xù)性。 在處連續(xù)。（2）討論在處的可導性。分段函數(shù)在分段點的導數(shù)必須用定義求： 即存在 四.練習題及參考答案1.單項選擇題.設(shè)下面說法正確的是（ ）.A.在不連續(xù)；B. .在連續(xù)，但不可導；C. 在可導，且；D. 在可導，且.2.填空題在處可導，且,則（1）3.求函數(shù)的導數(shù)或微分：, 求 ,求，求.4.設(shè)確定是的函數(shù)，求，

10、并求出函數(shù)在點的切線方程。5、證明：（1）若是偶函數(shù)且可導，那么是奇函數(shù)，（2）若是奇函數(shù)且可導，那么是偶函數(shù)，答案：1.D. 2. 3. (2). ； .4.；切線方程：.自我復習:習題三(A) 13； 21,，； 24.，； 25；26.,; 27.；29.，；47.，54.習題三(B) 1 ；3；11.第四章 中值定理與導數(shù)的應(yīng)用一.本章重點求未定式極限的洛必達法則；應(yīng)用導數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值和最值；應(yīng)用導數(shù)確定曲線的凹向與拐點；對經(jīng)濟問題作邊際分析； 二.復習要求1知道羅爾定理、拉格朗日中值定理的條件和結(jié)論,會求定理中的，掌握拉格朗日定理推論的意義。2.熟練掌握用洛必達法則

11、求未定式極限的方法。注意:洛必達法則只能直接用于求“”型或“”型未定式的極限，對于其他類型的未定式極限，必須將其轉(zhuǎn)化為“”型或“”型未定式才能使用法則。 洛必達法則可以連續(xù)使用,當再次使用法則時,一定要檢驗法則的條件是否成立,當條件不滿足時必須停止使用,改用其他求極限的方法計算.在求未定式極限時，將洛必達法則和等價無窮小代換等其它方法結(jié)合使用，可使運算更簡便。3.掌握用一階導數(shù)判定函數(shù)單調(diào)性的方法,并能利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式。4.掌握函數(shù)極值的概念及求函數(shù)極值方法.5.掌握最值的概念及其與極值的關(guān)系,能熟練求閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大、最小值；會求經(jīng)濟應(yīng)用問題的最值.如求最大總收入,最大總利潤

12、等. 6.掌握函數(shù)的凹向,拐點的概念及求曲線凹向,拐點的方法.三.例題選解例1. 求下列極限(1). (2). (3). 解：(1) . (2) 原式為冪指型不定式（型），利用代數(shù)變換：，得： 其中 （代換） （） . 原式(3) = = （代換） （洛必達）.例2.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，凹凸區(qū)間和拐點。解：函數(shù)的定義域為， 。 令，得駐點，；無不可導點。兩駐點分定義域為三個子區(qū)間，列表討論如下： x0極小極大令得 ，無不存在的點。曲線的凹向及拐點列表討論如下：x 0-0+0-0+拐點拐點拐點由上面的討論看出：函數(shù)的單減區(qū)間為 ；單增區(qū)間為。極小值是，極大值是。曲線的凸區(qū)間是凹區(qū)間是。曲線的

13、拐點有三個：，。例3.證明不等式分析與證：證明不等式的方法很多，利用函數(shù)的單調(diào)性或最值證明不等式是常用的方法之一。這里用單調(diào)性來證明。即令則問題轉(zhuǎn)化為證即證在時，單減。 時，單減，有也單減，有， 證畢。例4.證明：對任意，有 分析： 本題為恒等式的證明。我們設(shè)由拉格朗日定理的推論，若能證明 則，再確定即可。證：當時， ，證畢！例5求出函數(shù)在區(qū)間上的最大、最小值。解：顯然函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，因而必存在最大、最小值。由，解得區(qū)間內(nèi)的可疑點為：. 比較以下函數(shù)值，得 .例6.某食品加工廠生產(chǎn)單位的總成本為，得到的總收益是，求出生產(chǎn)該商品單位的邊際利潤、生產(chǎn)300單位時的邊際利潤，當生產(chǎn)多少單位時利潤最大。解：.利潤函數(shù) 邊際利潤函數(shù).當時，.令解得：，產(chǎn)量單位時，可獲最大利潤。注：設(shè)函數(shù)可導，導函數(shù)也稱為邊際函數(shù)。四.練習題與參考答案1. 求極限(1