二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)和題型總結(jié);

1、 二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)和題型總結(jié)一、二次函數(shù)概念：1二次函數(shù)的概念：一般地，形如（是常數(shù)，）的函 數(shù)，叫做二次函數(shù)。 這里需要強(qiáng)調(diào)：a 0 最高次數(shù)為2 代數(shù)式一定是整式2. 二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征： 等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量的二次式，的最高次數(shù)是2 是常數(shù)，是二次項(xiàng)系數(shù)，是一次項(xiàng)系數(shù)，是常數(shù)項(xiàng)例題：例1、已知函數(shù)y=(m1)xm2 +1+5x3是二次函數(shù)，求m的值。練習(xí)、若函數(shù)y=(m2+2m7)x2+4x+5是關(guān)于x的二次函數(shù)，則m的取值范圍 為 。二、二次函數(shù)的基本形式1. 二次函數(shù)基本形式：的性質(zhì)：a 的絕對(duì)值越大，拋物線的開口越小。的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上軸時(shí)，隨的增大

2、而增大；時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，有最小值向下軸時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值2. 的性質(zhì)：上加下減。的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上軸時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，有最小值向下軸時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值3. 的性質(zhì)：左加右減。的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上x=h時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，有最小值向下x=h時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值4. 的性質(zhì)：的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上x=h時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值向下x=h時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增大

3、而增大；時(shí)，有最大值二次函數(shù)的對(duì)稱軸、頂點(diǎn)、最值（技法：如果解析式為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(xh)2+k，則最值為k；如果解析式為一般式y(tǒng)=ax2+bx+c則最值為）1拋物線y=2x2+4x+m2m經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則m的值為 。2拋物y=x2+bx+c線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），則b ，c .3拋物線yx23x的頂點(diǎn)在( ) a.第一象限 b.第二象限 c.第三象限 d.第四象限4若拋物線yax26x經(jīng)過點(diǎn)(2，0)，則拋物線頂點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為( ) a. b. c. d.5若直線yaxb不經(jīng)過二、四象限，則拋物線yax2bxc( ) a.開口向上，對(duì)稱軸是y軸 b.開口向下，對(duì)稱軸是y軸 c.開口向下

4、，對(duì)稱軸平行于y軸 d.開口向上，對(duì)稱軸平行于y軸6 已知二次函數(shù)y=mx2+(m1)x+m1有最小值為0，則m 。三、二次函數(shù)圖象的平移 1. 平移步驟：方法一： 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)； 保持拋物線的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到處，具體平移方法如下： 2. 平移規(guī)律 在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負(fù)左移；值正上移，負(fù)下移”概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減” 方法二：沿軸平移:向上（下）平移個(gè)單位，變成（或）沿軸平移：向左（右）平移個(gè)單位，變成（或）函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)例題：1拋物線y=x2+4x+9的對(duì)稱軸是 。2拋物線y=2x212x+25的開口方向是 ，

5、頂點(diǎn)坐標(biāo)是 。3通過配方，寫出下列函數(shù)的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)：（1）y=x22x+1 ； （2）y=3x2+8x2； （3）y=x2+x44、把拋物線y=x2+bx+c的圖象向右平移3個(gè)單位，在向下平移2個(gè)單位，所得 圖象的解析式是y=x23x+5，試求b、c的值。5、把拋物線y=2x2+4x+1沿坐標(biāo)軸先向左平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位， 問所得的拋物線有沒有最大值，若有，求出該最大值；若沒有，說明理由。四、二次函數(shù)與的比較從解析式上看，與是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過配方可以得到前者，即，其中五、二次函數(shù)圖象的畫法五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，確定其開口方向、對(duì)稱軸

6、及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對(duì)稱軸兩側(cè)，左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫圖.一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)、以及關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)，（若與軸沒有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)）.畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)，與軸的交點(diǎn).六、二次函數(shù)的性質(zhì) 1. 當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，隨的增大而減??；當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，有最小值 2. 當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨的增大而減??；當(dāng)時(shí)，有最大值例題：函數(shù)y=a(xh)2的圖象與性質(zhì)1填表：拋物線開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)2 試說明函數(shù)y=(x3)2 的圖象特點(diǎn)及性質(zhì)

7、（開口、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、增 減性、最值）。3 二次函數(shù)y=a(xh)2的圖象如圖：已知a = ，oaoc，試求該拋物線的解 析式。二次函數(shù)的增減性1. 二次函數(shù)y=3x26x+5，當(dāng)x1時(shí)，y隨x的增大而 ；當(dāng)x 2時(shí),y隨x的增大而增大；當(dāng)x 2時(shí)，y 隨x的增大而減少；則x1時(shí),y的值為 。3. 已知二次函數(shù)y=x2(m+1)x+1，當(dāng)x1時(shí)，y隨x的增大而增大，則m的取值范圍是 .4.已知二次函數(shù)y=x2+3x+的圖象上有三點(diǎn)a(x1,y1),b(x2,y2),c(x3,y3)且3x1x20,b0,c0b.a0,b0,c=0c.a0,b0,b0,c 0bb -2aca-b+c 0dc0

8、； a+b+c 0a-b+c 0b2-4ac0abc 0 ；其中正確的為（ ） abcd4.當(dāng)bbc，且abc0，則它的圖象可能是圖所示的( ) 6 二次函數(shù)yax2bxc的圖象如圖5所示，那么abc，b24ac， 2ab， abc 四個(gè)代數(shù)式中，值為正數(shù)的有( ) a.4個(gè) b.3個(gè) c.2個(gè) d.1個(gè) 7.在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y= ax2+c與y= (a 0時(shí)，y隨x的增大而增大，則二次函數(shù)ykx2+2kx的圖象大致為圖中的（ ） a b c d 二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问?，才能?/p>

9、解題簡(jiǎn)便一般來說，有如下幾種情況：1. 已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；2. 已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大（?。┲?，一般選用頂點(diǎn)式；3. 已知拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；4. 已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式例題：函數(shù)解析式的求法一、已知拋物線上任意三點(diǎn)時(shí)，通常設(shè)解析式為一般式y(tǒng)=ax2+bx+c，然后解三元方程組求解；1已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過a（0，3）、b（1，3）、c（1，1）三點(diǎn)，求該二 次函數(shù)的解析式。2 已知拋物線過a（1，0）和b（4，0）兩點(diǎn)，交y軸于c點(diǎn)且bc5，求該二 次函數(shù)的解析式。二、已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，或拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)和

10、拋物線上另一點(diǎn)時(shí)，通常設(shè)解析式為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(xh)2+k求解。3已知二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，6），且經(jīng)過點(diǎn)（2，8），求該二 次函數(shù)的解析式。4 已知二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），且經(jīng)過點(diǎn)p（2，0）點(diǎn)，求二 次函數(shù)的解析式。三、已知拋物線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，通常設(shè)解析式為交點(diǎn)式y(tǒng)=a(xx1)(xx2)。5二次函數(shù)的圖象經(jīng)過a（1，0），b（3，0），函數(shù)有最小值8，求該二次 函數(shù)的解析式。九、二次函數(shù)圖象的對(duì)稱 二次函數(shù)圖象的對(duì)稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá) 1. 關(guān)于軸對(duì)稱 關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是； 關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是； 2. 關(guān)于軸對(duì)稱 關(guān)

11、于軸對(duì)稱后，得到的解析式是； 關(guān)于軸對(duì)稱后，得到的解析式是； 3. 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是； 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是； 4. 關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱（即：拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180） 關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是；關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是 5. 關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是 根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對(duì)稱變換，拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化，因此永遠(yuǎn)不變求拋物線的對(duì)稱拋物線的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達(dá)式已知的拋物線）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，再確定其對(duì)稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，然后再寫出其對(duì)稱拋物

12、線的表達(dá)式十、二次函數(shù)與一元二次方程：1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與軸交點(diǎn)情況）：一元二次方程是二次函數(shù)當(dāng)函數(shù)值時(shí)的特殊情況.圖象與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)： 當(dāng)時(shí)，圖象與軸交于兩點(diǎn)，其中的是一元二次方程的兩根這兩點(diǎn)間的距離. 當(dāng)時(shí)，圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，圖象與軸沒有交點(diǎn). 當(dāng)時(shí)，圖象落在軸的上方，無論為任何實(shí)數(shù)，都有； 當(dāng)時(shí)，圖象落在軸的下方，無論為任何實(shí)數(shù)，都有 2. 拋物線的圖象與軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為，； 3. 二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)： 求二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程； 求二次函數(shù)的最大（?。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮?shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式； 根據(jù)圖象

13、的位置判斷二次函數(shù)中，的符號(hào)，或由二次函數(shù)中，的符號(hào)判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合； 二次函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)，或已知與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對(duì)稱性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo). 與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項(xiàng)式，二次三項(xiàng)式本身就是所含字母的二次函數(shù)；下面以時(shí)為例，揭示二次函數(shù)、二次三項(xiàng)式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系：拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值可正、可零、可負(fù)一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)根拋物線與軸只有一個(gè)交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值為非負(fù)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根拋物線與軸無交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值恒為正一元二次方程無實(shí)數(shù)根.例題：二次函數(shù)與x軸、y軸的交點(diǎn)（二次函數(shù)

14、與一元二次方程的關(guān)系）1. 如果二次函數(shù)yx24xc圖象與x軸沒有交點(diǎn)，其中c為整數(shù)，則c （寫一個(gè)即可）2. 二次函數(shù)yx2-2x-3圖象與x軸交點(diǎn)之間的距離為 3. 拋物線y3x22x1的圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是( ) a.沒有交點(diǎn) b.只有一個(gè)交點(diǎn) c.有兩個(gè)交點(diǎn) d.有三個(gè)交點(diǎn)4. 如圖所示，二次函數(shù)yx24x3的圖象交x軸于a、b兩點(diǎn)， 交y 軸于點(diǎn)c， 則abc的面積為( ) a.6 b.4 c.3 d.15. 已知拋物線y5x2(m1)xm與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)在y軸同側(cè)，它們的距離平方等于為 ，則m的值為( ) a.2 b.12 c.24 d.486. 已知拋物線yx2-2x-8，（1

15、）求證：該拋物線與x軸一定有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）若該拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為a、b，且它的頂點(diǎn)為p，求abp的面積。十一、函數(shù)的應(yīng)用二次函數(shù)應(yīng)用二次函數(shù)圖像與性質(zhì)口訣:二次函數(shù)拋物線，圖象對(duì)稱是關(guān)鍵；開口、頂點(diǎn)和交點(diǎn),它們確定圖象現(xiàn)；開口、大小由a斷,c與y軸來相見,b的符號(hào)較特別，符號(hào)與a相關(guān)聯(lián)；頂點(diǎn)位置先找見，y軸作為參考線，左同右異中為0，牢記心中莫混亂；頂點(diǎn)坐標(biāo)最重要,一般式配方它就現(xiàn)，橫標(biāo)即為對(duì)稱軸,縱標(biāo)函數(shù)最值見。若求對(duì)稱軸位置,符號(hào)反,一般、頂點(diǎn)、交點(diǎn)式，不同表達(dá)能互換。二次函數(shù)拋物線，選定需要三個(gè)點(diǎn)，a的正負(fù)開口判，c的大小y軸看，的符號(hào)最簡(jiǎn)便，x軸上數(shù)交點(diǎn)，a、b同號(hào)軸左邊拋物線

16、平移a不變，頂點(diǎn)牽著圖象轉(zhuǎn)，三種形式可變換，配方法作用最關(guān)鍵。例題：二次函數(shù)應(yīng)用(一）經(jīng)濟(jì)策略性1.某商店購進(jìn)一批單價(jià)為16元的日用品，銷售一段時(shí)間后，為了獲得更多的利潤，商店決定提高銷售價(jià)格。經(jīng)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，若按每件20元的價(jià)格銷售時(shí)，每月能賣360件若按每件25元的價(jià)格銷售時(shí)，每月能賣210件。假定每月銷售件數(shù)y(件）是價(jià)格x的一次函數(shù).(1)試求y與x的之間的關(guān)系式.(2)在商品不積壓，且不考慮其他因素的條件下，問銷售價(jià)格定為多少時(shí)，才能使每月獲得最大利潤，每月的最大利潤是多少？（總利潤=總收入總成本）2.有一種螃蟹，從海上捕獲后不放養(yǎng)最多只能活兩天，如果放養(yǎng)在塘內(nèi)，可以延長(zhǎng)存活時(shí)間，但每天也有一定數(shù)量的蟹死去，假設(shè)放養(yǎng)期內(nèi)蟹的個(gè)體重量基本保持不變，現(xiàn)有一經(jīng)銷商，按市場(chǎng)價(jià)收購了這種活蟹1000千克放養(yǎng)在塘內(nèi)，此時(shí)市場(chǎng)價(jià)為每千克30元，據(jù)測(cè)算，以后每千克活蟹的市場(chǎng)價(jià)每天可上升1元，但是放養(yǎng)一天需各種費(fèi)用支出400元，且平均每天還有10千克蟹死去，假定死蟹均于當(dāng)天全部售出，售價(jià)都是每千克20元。（1）設(shè)x天后每千克活蟹的市場(chǎng)價(jià)為p元，寫出p關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式。（2）如果放養(yǎng)x天后將活蟹一次性出售，并記1000千克蟹的銷售額為q元，寫出q關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式。（2）該經(jīng)銷