二次函數(shù)公式(精華);

1、二次函數(shù)知識點匯總1.定義：一般地，如果是常數(shù)，那么叫做的二次函數(shù).2.二次函數(shù)的性質(zhì)(1)拋物線的頂點是坐標(biāo)原點，對稱軸是軸.(2)函數(shù)的圖像與的符號關(guān)系.當(dāng)時拋物線開口向上頂點為其最低點；當(dāng)時拋物線開口向下頂點為其最高點3.二次函數(shù) 的圖像是對稱軸平行于(包括重合)軸的拋物線.4.二次函數(shù)用配方法可化成：的形式，其中.5.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：；.6.拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.決定拋物線的開口方向：當(dāng)時，開口向上；當(dāng)時，開口向下；相等，拋物線的開口大小、形狀相同.平行于軸(或重合)的直線記作.特別地，軸記作直線.7.頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函數(shù)

2、，如果二次項系數(shù)相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同.8.求拋物線的頂點、對稱軸的方法(1)公式法：，頂點是，對稱軸是直線.(2)配方法：運(yùn)用配方法將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點為(,)，對稱軸是.(3)運(yùn)用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.用配方法求得的頂點，再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗證，才能做到萬無一失9.拋物線中，的作用(1)決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣.(2)和共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線的對稱軸是直線,故：時，對稱軸為軸；(即、同號)時,

3、對稱軸在軸左側(cè)；(即、異號)時,對稱軸在軸右側(cè).(3)的大小決定拋物線與軸交點的位置.當(dāng)時，拋物線與軸有且只有一個交點(0，)：，拋物線經(jīng)過原點; ,與軸交于正半軸；,與軸交于負(fù)半軸.以上三點中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側(cè)，則 .10.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標(biāo)當(dāng)時開口向上當(dāng)時開口向下(軸)(0,0)(軸)(0, )(,0)(,)()11.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 (1)一般式：.已知圖像上三點或三對、的值，通常選擇一般式. (2)頂點式：.已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式. (3)交點式：已知圖像與軸的交點坐標(biāo)、，

4、通常選用交點式：.12.直線與拋物線的交點 (1)軸與拋物線得交點為() (2)與軸平行的直線與拋物線有且只有一個交點(,). (3)拋物線與軸的交點二次函數(shù)的圖像與軸的兩個交點的橫坐標(biāo)、，是對應(yīng)一元二次方程的兩個實數(shù)根.拋物線與軸的交點情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：有兩個交點拋物線與軸相交；有一個交點(頂點在軸上)拋物線與軸相切；沒有交點拋物線與軸相離.(4)平行于軸的直線與拋物線的交點同(3)一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當(dāng)有2個交點時，兩交點的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為，則橫坐標(biāo)是的兩個實數(shù)根.(5)一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點，由方程組的解的數(shù)目來確定：方

5、程組有兩組不同的解時與有兩個交點; 方程組只有一組解時與只有一個交點；方程組無解時與沒有交點.(6)拋物線與軸兩交點之間的距離：若拋物線與軸兩交點為，由于、是方程的兩個根，故 13二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系：(1)一元二次方程就是二次函數(shù)當(dāng)函數(shù)y的值為0時的情況(2)二次函數(shù)的圖象與軸的交點有三種情況：有兩個交點、有一個交點、沒有交點；當(dāng)二次函數(shù)的圖象與軸有交點時，交點的橫坐標(biāo)就是當(dāng)時自變量的值，即一元二次方程的根(3)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與軸有兩個交點時，則一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)二次函數(shù)的圖象與軸有一個交點時，則一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)二次函數(shù)的圖象與軸沒有交點時，則一元二次方程沒有實數(shù)根14.二次函數(shù)的應(yīng)用：(1)二次函數(shù)常用來解決最優(yōu)化問題，這類問題實際上就是求函數(shù)的最大(小)值；(2)二次函數(shù)的應(yīng)用包括以下方面：分析和表示不同背景下實際問題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系；運(yùn)用二次函數(shù)的知識解決實際問題中的最大(小)值15.解決實際問題時的基本思路：(1)理解問題