數(shù)字信號處理--第3章離散傅里葉變換(DFT).ppt

1、2020/11/10,數(shù)字信號處理,3.1 離散傅里葉變換的定義 3.2 離散傅里葉變換的基本性質(zhì) 3.3 頻率域采樣 3.4 DFT的應(yīng)用舉例,第3章 離散傅里葉變換(DFT),2020/11/10,數(shù)字信號處理,3.1 離散傅里葉變換的定義,3.1.1 DFT的定義 設(shè)x(n)是一個(gè)長度為M的有限長序列， 則定義x(n)的N點(diǎn)離散傅里葉變換為,X(k)的離散傅里葉逆變換為,2020/11/10,數(shù)字信號處理,式中， ， N稱為DFT變換區(qū)間長度NM， 通常稱(3.1.1)式和(3.1.2)式為離散傅里葉變換對。 下面證明IDFTX(k)的唯一性。 把(3.1.1)式代入(3.1.2)式有,

2、M為整數(shù),M為整數(shù),2020/11/10,數(shù)字信號處理,例 3.1.1 x(n)=R4(n) ，求x(n)的8點(diǎn)和16點(diǎn)DFT 設(shè)變換區(qū)間N=8， 則,所以， 在變換區(qū)間上滿足下式： IDFTX(k)=x(n), 0nN-1 由此可見， (3.1.2)式定義的離散傅里葉變換是唯一的。,2020/11/10,數(shù)字信號處理,設(shè)變換區(qū)間N=16， 則,2020/11/10,數(shù)字信號處理,3.1.2 DFT和Z變換的關(guān)系 設(shè)序列x(n)的長度為N， 其Z變換和DFT分別為：,比較上面二式可得關(guān)系式,2020/11/10,數(shù)字信號處理,圖 3.1.1 X(k)與X(e j)的關(guān)系,2020/11/10,

3、數(shù)字信號處理,3.1.3 DFT的隱含周期性 前面定義的DFT變換對中， x(n)與X(k)均為有限長序列， 但由于WknN的周期性， 使(3.1.1)式和(3.1.2)式中的X(k)隱含周期性， 且周期均為N。 對任意整數(shù)m， 總有,均為整數(shù),所以(3.1.1)式中， X(k)滿足,同理可證明(3.1.2)式中 x(n+mN)=x(n),2020/11/10,數(shù)字信號處理,實(shí)際上， 任何周期為N的周期序列 都可以看作長度為N的有限長序列x(n)的周期延拓序列， 而x(n)則是 的一個(gè)周期， 即,為了以后敘述方便， 將(3.1.5)式用如下形式表示：,2020/11/10,數(shù)字信號處理,圖 3

4、.1.2 有限長序列及其周期延拓,2020/11/10,數(shù)字信號處理,式中x(n)N表示x(n)以N為周期的周期延拓序列， (n)N表示n對N求余， 即如果 n=MN+n1， 0n1N-1， M為整數(shù)， 則 (n)N=n1 例如，,則有,所得結(jié)果附合圖2.1.2所示的周期延拓規(guī)律。,2020/11/10,數(shù)字信號處理,如果x(n)的長度為N， 且 (n)=x(n)N， 則可寫出 (n)的離散傅里葉級數(shù)表示為,(3.1.8),(3.1.9),式中,(3.1.10),2020/11/10,數(shù)字信號處理,3.2 離散傅里葉變換的基本性質(zhì),3.2.1 線性性質(zhì) 如果x1(n)和x2(n)是兩個(gè)有限長序

5、列， 長度分別為N1和N2。 y(n)=ax1(n)+bx2(n) 式中a、 b為常數(shù)， 即N=maxN1, N2， 則y(n)的N點(diǎn)DFT為 Y(k)=DFTy(n)=aX1(k)+bX2k, 0kN-1(3.2.1) 其中X1(k)和X2(k)分別為x1(n)和x2(n)的N點(diǎn)DFT。,2020/11/10,數(shù)字信號處理,3.2.2 循環(huán)移位性質(zhì) 1. 序列的循環(huán)移位 設(shè)x(n)為有限長序列， 長度為N， 則x(n)的循環(huán)移位定義為 y(n)=x(n+m)NRN(N) (3.2.2),2020/11/10,數(shù)字信號處理,圖 3.2.1 循環(huán)移位過程示意圖,2020/11/10,數(shù)字信號處理

6、,2. 時(shí)域循環(huán)移位定理 設(shè)x(n) 是長度為N的有限長序列， y(n)為x(n)的循環(huán)移位， 即 y(n)=x(n+m)NRN(n) 則 Y(k)=DFTy(n) =W-km NX(k) (3.2.3) 其中X(k)=DFTx(n), 0kN-1。,2020/11/10,數(shù)字信號處理,證明：,令n+m=n， 則有,2020/11/10,數(shù)字信號處理,由于上式中求和項(xiàng)x(n)NWknN以N為周期， 所以對其在任一周期上的求和結(jié)果相同。 將上式的求和區(qū)間改在主值區(qū)則得,3. 頻域循環(huán)移位定理如果 X(k)=DFTx(n), 0kN-1 Y(k)=X(k+l)NRN(k) 則 y(n)=IDFTY

7、(k)=WnlNx(n) (3.2.4),2020/11/10,數(shù)字信號處理,3.2.3 循環(huán)卷積定理 有限長序列x1(n)和x2(n)， 長度分別為N1和N2， N=max N1, N2 。 x1(n)和x2(n)的N點(diǎn)DFT分別為： X1(k)=DFTx1(n) X2(k)=DFTx2(b) 如果 X(k)=X1(k)X2(k) 則,(3.2.5),2020/11/10,數(shù)字信號處理,一般稱(3.2.5)式所表示的運(yùn)算為x1(n)與x2(n)的循環(huán)卷積。 下面先證明(3.2.5)式， 再說明其計(jì)算方法。 證明： 直接對(3.2.5)式兩邊進(jìn)行DFT,令n-m=n， 則有,2020/11/1

8、0,數(shù)字信號處理,因?yàn)樯鲜街衳2(n)NW knN， 以N為周期， 所以對其在任一個(gè)周期上求和的結(jié)果不變。 因此,循環(huán)卷積過程中， 要求對x2(m)循環(huán)反轉(zhuǎn)， 循環(huán)移位， 特別是兩個(gè)N長的序理的循環(huán)卷積長度仍為N。 顯然與一般的線性卷積不同， 故稱之為循環(huán)卷積， 記為,2020/11/10,數(shù)字信號處理,由于,所以,即循環(huán)卷積亦滿足交換律。,2020/11/10,數(shù)字信號處理,作為習(xí)題請讀者證明頻域循環(huán)卷積定理： 如果 x(n)=x1(n)x2(n) 則,(3.2.6),X1(k)=DFTx1(n) X2(k)=DFTx2(n),0kN-1,2020/11/10,數(shù)字信號處理,3.2.4 復(fù)共

9、軛序列的DFT 設(shè)x*(n)是x(n)的復(fù)共軛序列， 長度為N X(k)=DFTx(n) 則 DFTx*(n)=X*(N-k), 0kN-1 (3.2.7) 且 X(N)=X(0),2020/11/10,數(shù)字信號處理,證明： 根據(jù)DFT的唯一性， 只要證明(3.2.7)式右邊等于左邊即可。,又由X(k)的隱含周期性有X(N)=X(0) 用同樣的方法可以證明 DFTx*(N-n)=X*(k) (3.2.8),2020/11/10,數(shù)字信號處理,圖3.2.2 循環(huán)卷積過程示意圖,2020/11/10,數(shù)字信號處理,3.2.5 DFT的共軛對稱性 1. 有限長共軛對稱序列和共軛反對稱序列 為了區(qū)別于

10、傅里葉變換中所定義的共軛對稱(或共軛反對稱)序列， 下面用xep(n)和xop(n)分別表示有限長共軛對稱序列和共軛反對稱序列， 則二者滿足如下定義式： xep(n)=x*ep(N-n), 0nN-1 (3.2.9) xop(n)=-x*op(N-m), 0nN-1 (3.2.10),當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)， 將上式中的n換成N/2-n可得到,2020/11/10,數(shù)字信號處理,上式更清楚地說明了有很長序列共軛對稱性的含義。 如圖3.2.3所示。 圖中*表示對應(yīng)點(diǎn)為序列取共軛后的值。,2020/11/10,數(shù)字信號處理,圖 3.2.3 共軛對稱與共軛反對稱序列示意圖,2020/11/10,數(shù)字信號處理,

11、如同任何實(shí)函數(shù)都可以分解成偶對稱分量和奇對稱分量一樣， 任何有限長序列x(n)都可以表示成其共軛對稱分量和共軛反對稱分量之和， 即 x(n)=xep(n)+xop(n), 0nN-1 (3.2.11) 將上式中的n換成N-n， 并取復(fù)共軛， 再將(3.2.9)式和(3.2.10)式代入得到 x*(N-n)=x*ep(N-n)+x*op(N-n) =xep(n)-xop(n) (3.2.12) xep(n)=1/2x(n)+x*(N-n) (3.2.13) xop(n)=1/2x(n)-x*(N-n) (3.2.14),2020/11/10,數(shù)字信號處理,2. DFT的共軛對稱性 (1) 如果x

12、(n)=xr(n)+jxi(n) 其中 xr=Rex(n)=1/2x(n)+x*(n) jxi(n)=jImx(n)=1/2x(n)-x*(n) 由(3.2.7)式和(3.2.13)式可得 DFTxr(n)=1/2DFTx(n)+x*(n) =1/2X(k)+X*(N-k) =Xep(k),2020/11/10,數(shù)字信號處理,由(3.2.7)式和(3.2.14)式得 DFTjxi(n)=1/2DFTx(n)-x*(n) =1/2X(k)-X*(N-k) =Xop(k) 由DFT的線性性質(zhì)即可得 X(k)=DFTx(n)=Xep(k)+Xop(k) (3.2.16) 其中 Xep(k)=DFTx

13、r(n) , X(k)的共軛對稱分量 Xop(k)=DFTjxi(n) , X(k)的共軛反對稱分量,2020/11/10,數(shù)字信號處理,(2) 如果x(n)=xep(n)+rop(n)， 0nN-1 (3.2.17) 其中 xep(n)=1/2x(n)+x*(N-n), x(n)的共軛對稱分量 xop(n)=1/2x(n)-x*(N-n) , x(n)的共軛反對稱分量 由(3.2.8)式得 DFTxep(n)=1/2DFTx(n)+x*(N-n) =1/2X(k)+X*(k) =ReX(k),2020/11/10,數(shù)字信號處理,DFTxop(n)=1/2DFTx(n)-x*(N-n) =1/

14、2X(k)-X*(k) =jImX(k) 因此X(k)=DFTx(n)=XR(k)+jXI(k)(3.2.18) 其中 XR(k)=ReX(k)=DFTxep(n) jXI(k)=jImX(k)=DFTxop(n),2020/11/10,數(shù)字信號處理,設(shè)x(n)是長度為N的實(shí)序列， 且X(k)=DFTx(n)， 則 (1) X(k)=X*(N-k),0kN-1 (3.2.19) (2) 如果 x(n)=x(N-m) 則X(k)實(shí)偶對稱， 即 X(k)=X(N-k) (3.2.20) (3) 如果x(n)=-x(N-n)， 則X(k)純虛奇對稱， 即 X(k)=-X(N-k) (3.2.21),

15、2020/11/10,數(shù)字信號處理,利用DFT的共軛對稱性， 通過計(jì)算一個(gè)N點(diǎn)DFT， 可以得到兩個(gè)不同實(shí)序列的N點(diǎn)DFT， 設(shè)x1(n)和x2(n)為兩個(gè)實(shí)序列， 構(gòu)成新序列x(n)如下 ： x(n)=x1(n)+jx2(n) 對x(n)進(jìn)行DFT， 得到 X(k)=DFTx(n)=Xep(k)+Xop(k),2020/11/10,數(shù)字信號處理,由(3.2.16)式、 (3.2.13)式和(3.2.14)式得到 Xep(k)=DFTx1(n)=1/2X(k)+X*(N-k) Xop(k)=DFTjx2(n)=1/2X(k)-X*(N-k) 所以 X1(k)=DFTx1(n)=1/2X(k)+

16、X*(N-k) X2(k)=DFTx2(n)=-j1/2X(k)-X*(N-k),2020/11/10,數(shù)字信號處理,3.3 頻率域采樣,設(shè)任意序列x(n)的Z變換為,且X(z)收斂域包含單位圓(即x(n)存在傅里葉變換)。 在單位圓上對X(z)等間隔采樣N點(diǎn)得到,xN(n)=IDFTX(k)， 0nN-1,2020/11/10,數(shù)字信號處理,由DFT與DFS的關(guān)系可知， X(k)是xN(n)以N為周期的周期延拓序列 (n)的離散傅里葉級數(shù)系數(shù) (k)的值序列， 即,2020/11/10,數(shù)字信號處理,將式(3.3.1)代入上式得,式中,為整數(shù),其它m,2020/11/10,數(shù)字信號處理,如果

17、序列x(n)的長度為M， 則只有當(dāng)頻域采樣點(diǎn)數(shù)NM時(shí)， 才有 xN(n)=IDFTX(k)=x(n) 即可由頻域采樣X(k)恢復(fù)原序列x(n)， 否則產(chǎn)生時(shí)域混疊現(xiàn)象。 這就是所謂的頻域采 樣+定理。,(3.3.2),(3.3.3),2020/11/10,數(shù)字信號處理,下面推導(dǎo)用頻域采樣X(k)表示X(z)的內(nèi)插公式和內(nèi)插函數(shù)。 設(shè)序列x(n)長度為M， 在頻域02之間等間隔采樣N點(diǎn)， NM， 則有,式中,2020/11/10,數(shù)字信號處理,將上式代入X(z)的表示式中得,2020/11/10,數(shù)字信號處理,上式中W-Kn N=1， 因此,(3.3.4),(3.3.5),(3.3.6),202

18、0/11/10,數(shù)字信號處理,式(3.3.6)稱為用X(k)表示X(z)的內(nèi)插公式， k(z)稱為內(nèi)插函數(shù)。 當(dāng)z=ej時(shí)， (3.3.5)式和(3.3.6)式就成為x(n)的傅里葉變換X(ej)的內(nèi)插函數(shù)和內(nèi)插公式， 即,進(jìn)一步化簡可得,(3.3.7),(3.3.8),2020/11/10,數(shù)字信號處理,3.4 DFT的應(yīng)用舉例,DFT的快速算法FFT的出現(xiàn)， 使DFT在數(shù)字通信、 語言信號處理、 圖像處理、 功率譜估計(jì)、 仿真、 系統(tǒng)分析、 雷達(dá)理論、 光學(xué)、 醫(yī)學(xué)、 地震以及數(shù)值分析等各個(gè)領(lǐng)域都得到廣泛應(yīng)用。,2020/11/10,數(shù)字信號處理,3.4.1 用DFT計(jì)算線性卷積 如果,0

19、kL-1,則由時(shí)域循環(huán)卷積定理有 Y(k)=DFTy(n)=X1(k)X2(k), 0kL-1,2020/11/10,數(shù)字信號處理,由此可見， 循環(huán)卷積既可在時(shí)域直接計(jì)算， 也可以按照圖3.4.1所示的計(jì)算框圖， 在頻域計(jì)算。 由于DFT有快速算法FFT， 當(dāng)N很大時(shí)， 在頻域計(jì)算的速度快得多， 因而常用DFT(FFT)計(jì)算循環(huán)卷積。,圖 3.4.1 用DFT計(jì)算循環(huán)卷積,2020/11/10,數(shù)字信號處理,在實(shí)際應(yīng)用中， 為了分析時(shí)域離散線性非移變系統(tǒng)或者對序列進(jìn)行濾波處理等， 需要計(jì)算兩個(gè)序列的線性卷積， 與計(jì)算循環(huán)卷積一樣， 為了提高運(yùn)算速度， 也希望用DFT(FFT)計(jì)算線性卷積。 而

20、DFT只能直接用來計(jì)算循環(huán)卷積， 為此導(dǎo)出線卷積和循環(huán)卷積之間的關(guān)系以及循環(huán)卷積與線性卷積相等的條件。 假設(shè)h(n)和x(n)都是有很長序列， 長度分別是N和M。 它們的線性卷積和循環(huán)卷積分別表示如下：,(3.4.1),(3.4.2),2020/11/10,數(shù)字信號處理,其中， LmaxN, M,對照式(3.4.1)可以看出， 上式中,(3.4.3),2020/11/10,數(shù)字信號處理,圖 3.4.2 線性卷積與循環(huán)卷積,2020/11/10,數(shù)字信號處理,圖 3.4.3 用DFT計(jì)算線性卷積框圖,2020/11/10,數(shù)字信號處理,設(shè)序列h(n)長度為N， x(n)為無限長序列。 將x(n)

21、均勻分段， 每段長度取M， 則,于是， h(n)與x(n)的線性卷積可表示為,(3.4.4),2020/11/10,數(shù)字信號處理,圖 3.4.4 重疊相加法卷積示意圖,2020/11/10,數(shù)字信號處理,3.4.2 用DFT對信號進(jìn)行譜分析 所謂信號的譜分析就是計(jì)算信號的傅里葉變換。 連續(xù)信號與系統(tǒng)的傅里葉分析顯然不便于直接用計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算， 使其應(yīng)用受到限制， 而DFT是一種時(shí)域和頻域均離散化的變換， 適合數(shù)值運(yùn)算， 成分分析離散信號和系統(tǒng)的有力工具。 1. 用DFT對連續(xù)信號進(jìn)行譜分析 工程實(shí)際中， 經(jīng)常遇到的連續(xù)信號xa(t)， 其頻譜函數(shù)Xa(j)也是連續(xù)函數(shù)。,2020/11/10,

22、數(shù)字信號處理,設(shè)連續(xù)信號xa(t)持續(xù)時(shí)間和Tp， 最高頻率為fc， 如圖2.4.5所示。 xa(t)的傅里葉變換為 對xa(t)以采樣間隔T1/2fc(即fs=1/T2fc)采樣得 a(t)= Xa(nT)。 設(shè)共采樣N點(diǎn)， 并對Xa(jf)作零階近似(t=nT, dt=T)得,2020/11/10,數(shù)字信號處理,顯然， Xa(jf)仍是f的連續(xù)周期函數(shù)， a(t)和X (jf)如圖3.4.5(b)所示。 對 X(jf)在區(qū)間0, fs上等間隔采樣N點(diǎn)， 采樣間隔為F， 如圖3.4.5(c)所示。 參數(shù)fs 、 Tp、 N和F滿足如下關(guān)系式：,由于NT=Tp， 所以,(3.4.5),(3.4

23、.6),將f=kF和式(3.4.5)代入X(jf)中可得Xa(jf) 的采樣,2020/11/10,數(shù)字信號處理,0kN-1,令,則,(3.4.8),2020/11/10,數(shù)字信號處理,2020/11/10,數(shù)字信號處理,理想低能濾波器的單位沖擊響應(yīng)ha(t)及其頻響函數(shù)Ha(if)如圖3.4.6(a)、 (b)所示。 圖中,2020/11/10,數(shù)字信號處理,圖 3.4.6 用DFT計(jì)算理想低通濾波器頻響曲線,2020/11/10,數(shù)字信號處理,現(xiàn)在用DFT來分析ha(t)的頻率響應(yīng)特性。 由于ha(t)的持續(xù)時(shí)間為無窮長， 所以要截取一段Tp， 假設(shè)Tp=8 s， 采樣間隔T=0.25 s

24、(即采樣速度fs=4 Hz)， 采樣點(diǎn)數(shù)N=Tp/T=32。 此時(shí)頻域采樣間隔F=1/NT=0.125 Hz。 則 H(k)=TDFTh(n), 0k31 其中 h(n)=ha(nT)R32(n) 在已知信號的最高頻率fc(即譜分析范圍時(shí))， 為了避免在DFT運(yùn)算中發(fā)生頻率混疊現(xiàn)象， 要求采樣速率fs滿足下式 fs2fc (3.4.9),2020/11/10,數(shù)字信號處理,按照(3.4.5)式， 譜分辨率F=fs/N， 如果保持采樣點(diǎn)數(shù)N不變， 要提高譜的分辨率(F減小)， 必須降低采樣速率， 采樣速率的降低會(huì)引起譜分析范圍減少。 如維持fs不變， 為提高分辨率可以增加采樣點(diǎn)數(shù)N， 因?yàn)镹T=

25、Tp，T=f-1s， 只有增加對信號的觀察時(shí)間Tp， 才能增加N。 Tp和N可以按照下式進(jìn)行選擇:,(3.4.10),(3.4.11),2020/11/10,數(shù)字信號處理,例 3.4.1 對實(shí)信號進(jìn)行譜分析， 要求譜分辨率F10 Hz，信號最高頻率fc=2.5 kHz， 試確定最小記錄時(shí)間TPmin， 最大的采樣間隔Tmax， 最少的采樣點(diǎn)數(shù)Nmin。 如果fc不變， 要求譜分辨率增加一倍， 最少的采樣點(diǎn)九和最小的記錄時(shí)間是多少? 解： 因此TPmin=0.1 s， 因?yàn)橐骹s2fc， 所以,2020/11/10,數(shù)字信號處理,2. 用DFT對序列進(jìn)行譜分析 我們已知道單位圓上的Z變換就是序

26、列傅里葉變換， 即,為使頻率分辨率提高一倍， F=5 Hz， 要求,2020/11/10,數(shù)字信號處理,對周期為N的周期序列 ， 由(2.3.10)式知道， 其頻譜函數(shù)為 用DFT的隱含周期性知道， 截取 的主值序列x(n)= (n)RN(n)， 并進(jìn)行N點(diǎn)DFT得到,其中,2020/11/10,數(shù)字信號處理,如果截取長度M等于 (n)的整數(shù)個(gè)周期， 即M=mN， m為正整數(shù)， 則,令n=n+rN, r=0, 1, , m-1, n=0, 1, , N-1,則,2020/11/10,數(shù)字信號處理,因?yàn)?k/m=整數(shù),k/m整數(shù),2020/11/10,數(shù)字信號處理,如果 的周期預(yù)先不知道， 可先截取M進(jìn)行DFT， 即,k/m=整數(shù),k/m整數(shù),再將截取長度擴(kuò)大一倍， 截取,2020/11/10,數(shù)字信號處理,圖 3.4.7 單位圓與非單位圓采樣,2020/11/10,數(shù)字信號處理,例如， 要求計(jì)算序列在半徑為r的圓上的頻譜， 那么N個(gè)等間隔采樣點(diǎn)為 , k=0, 1, 2, , N-1， zk點(diǎn)的頻譜分量為,令,則,(3.4.12),2020/11/10,數(shù)字信號處理,3. ChirpZ變換 設(shè)序列x(n)長度為N， 要分析z平面上M點(diǎn)頻譜采樣值， 分析點(diǎn)為zk, k=0, 1, 2, , M-1。 設(shè) zk=AW-k, 0kM-1 式中A和W為復(fù)數(shù)， 用極坐標(biāo)形式表示為,(3.