各種圓定理總結(jié)(包括托勒密定理、塞瓦定理、西姆松定理、梅涅勞斯定理、圓冪定理和四點(diǎn)共圓);

1、托勒密定理一些圓定理.doc定理圖定理的內(nèi)容 托勒密(ptolemy)定理指出，圓的內(nèi)接凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積。 原文：圓的內(nèi)接四邊形中，兩對(duì)角線所包矩形的面積等于 一組對(duì)邊所包矩形的面積與另一組對(duì)邊所包矩形的面積之和。 從這個(gè)定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實(shí)質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì) 定理的提出一般幾何教科書中的“托勒密定理”，實(shí)出自依巴谷(hipparchus)之手，托勒密只是從他的書中摘出。證明一、（以下是推論的證明，托勒密定理可視作特殊情況。） 在任意四邊形abcd中，作abe使bae=cad abe= acd 因?yàn)閍beacd

2、所以 be/cd=ab/ac,即beac=abcd (1) 而bac=dae，acb=ade 所以abcaed相似. bc/ed=ac/ad即edac=bcad (2) (1)+(2),得 ac(be+ed)=abcd+adbc 又因?yàn)閎e+edbd （僅在四邊形abcd是某圓的內(nèi)接四邊形時(shí)，等號(hào)成立，即“托勒密定理”） 所以命題得證 復(fù)數(shù)證明 用a、b、c、d分別表示四邊形頂點(diǎn)a、b、c、d的復(fù)數(shù)，則ab、cd、ad、bc、ac、bd的長度分別是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。 首先注意到復(fù)數(shù)恒等式： (a b)(c d) + (a d)(b c)

3、= (a c)(b d) ，兩邊取模，運(yùn)用三角不等式得。 等號(hào)成立的條件是(a-b)(c-d)與(a-d)(b-c)的輻角相等，這與a、b、c、d四點(diǎn)共圓等價(jià)。 四點(diǎn)不限于同一平面。 平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。 二、設(shè)abcd是圓內(nèi)接四邊形。 在弦bc上，圓周角bac = bdc，而在ab上，adb = acb。 在ac上取一點(diǎn)k，使得abk = cbd； 因?yàn)閍bk + cbk = abc = cbd + abd，所以cbk = abd。 因此abk與dbc相似，同理也有abd kbc。 因此ak/ab = cd/bd，且ck/bc = da/bd； 因此akbd = ab

4、cd，且ckbd = bcda； 兩式相加，得(ak+ck)bd = abcd + bcda； 但ak+ck = ac，因此acbd = abcd + bcda。證畢。 三、 托勒密定理：圓內(nèi)接四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積(兩對(duì)角線所包矩形的面積)等于兩組對(duì)邊乘積之和(一組對(duì)邊所包矩形的面積與另一組對(duì)邊所包矩形的面積之和)已知：圓內(nèi)接四邊形abcd，求證：acbdabcdadbc 證明：如圖1，過c作cp交bd于p，使1=2，又3=4，acdbcp得ac：bc=ad：bp，acbp=adbc 。又acb=dcp，5=6，acbdcp得ac：cd=ab：dp，acdp=abcd 。得 ac(bpd

5、p)=abcdadbc即acbd=abcdadbc 推論1.任意凸四邊形abcd，必有acbdabcd+adbc，當(dāng)且僅當(dāng)abcd四點(diǎn)共圓時(shí)取等號(hào)。 2.托勒密定理的逆定理同樣成立：一個(gè)凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積，則這個(gè)凸四邊形內(nèi)接于一圓、 推廣托勒密不等式：四邊形的任兩組對(duì)邊乘積不小于另外一組對(duì)邊的乘積，取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)共圓或共線。 簡單的證明：復(fù)數(shù)恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，兩邊取模， 得不等式acbd|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=abcd+bcad 注意： 1.等號(hào)成立的條件是(a-b)(c-d)與(a-

6、d)(b-c)的輻角相等，這與a、b、c、d四點(diǎn)共圓等價(jià)。 2.四點(diǎn)不限于同一平面。 歐拉定理：在一條線段上ad上，順次標(biāo)有b、c兩點(diǎn)，則adbc+abcd=acbd塞瓦定理簡介 塞瓦（giovanni ceva，16481734）意大利水利工程師，數(shù)學(xué)家。塞瓦定理載于塞瓦于1678年發(fā)表的直線論一書，也有書中說塞瓦定理是塞瓦重新發(fā)現(xiàn)。 具體內(nèi)容塞瓦定理 在abc內(nèi)任取一點(diǎn)o， 直線ao、bo、co分別交對(duì)邊于d、e、f，則 (bd/dc)*(ce/ea)*(af/fb)=1 證法簡介 （）本題可利用梅涅勞斯定理證明： adc被直線boe所截， (cb/bd)*(do/oa)*(ae/ec)=

7、1 而由abd被直線cof所截， (bc/cd)*(do/oa)*(af/fb)=1 :即得：(bd/dc)*(ce/ea)*(af/fb)=1 （）也可以利用面積關(guān)系證明 bd/dc=sabd/sacd=sbod/scod=(sabd-sbod)/(sacd-scod)=saob/saoc 同理 ce/ea=sboc/ saob af/fb=saoc/sboc 得bd/dc*ce/ea*af/fb=1 利用塞瓦定理證明三角形三條高線必交于一點(diǎn): 設(shè)三邊ab、bc、ac的垂足分別為d、e、f， 根據(jù)塞瓦定理逆定理，因?yàn)?ad:db)*(be:ec)*(cf:fa)=(cd*ctga）/(cd*

8、ctgb）*(ae*ctgb)/(ae*ctgc)*(bf*ctgc)/(bf*ctga)=1，所以三條高cd、ae、bf交于一點(diǎn)。 可用塞瓦定理證明的其他定理; 三角形三條中線交于一點(diǎn)（重心）:如圖5 d , e分別為bc , ac 中點(diǎn) 所以bd=dc ae=ec 所以bd/dc=1 ce/ea=1 且因?yàn)閍f=bf 所以 af/fb必等于1 所以af=fb 所以三角形三條中線交于一點(diǎn) 此外，可用定比分點(diǎn)來定義塞瓦定理： 在abc的三邊bc、ca、ab或其延長線上分別取l、m、n三點(diǎn)，又分比是=bl/lc、=cm/ma、=an/nb。于是al、bm、cn三線交于一點(diǎn)的充要條件是=1。（注意

9、與梅涅勞斯定理相區(qū)分，那里是=-1） 塞瓦定理推論1.設(shè)e是abd內(nèi)任意一點(diǎn)，ae、be、de分別交對(duì)邊于c、g、f，則(bd/bc)*(ce/ae)*(ga/dg)=1 因?yàn)?bc/cd)*(dg/ga)*(af/fb)=1，（塞瓦定理）所以 (bd/cd)*(ce/ae)*(af/fb)=k（k為未知參數(shù)）且(bd/bc)*(ce/ae)*(ga/dg)=k（k為未知參數(shù)）又由梅涅勞斯定理得：(bd/cd)*(ce/ae)*(af/fb)=1 所以(bd/bc)*(ce/ae)*(ga/dg)=1 2.塞瓦定理角元形式 ad,be,cf交于一點(diǎn)的充分必要條件是： (sinbad/sinda

10、c)*(sinacf/sinfcb)*(sincbe/sineba)=1 由正弦定理及三角形面積公式易證 3.如圖，對(duì)于圓周上順次6點(diǎn)a,b,c,d,e,f，直線ad,be,cf交于一點(diǎn)的充分必要條件是： (ab/bc)*(cd/de)*(ef/fa)=1 由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圓弦長與所對(duì)圓周角關(guān)系易證。 4.還能利用塞瓦定理證三角形三條高交于一點(diǎn) 設(shè)三邊ab、bc、ac的垂足分別為d、e、f，根據(jù)塞瓦定理逆定 理，因?yàn)?ad:db)*(be:ec)*(cf:fa)=(cd*ctga）/(cd*ctgb）*(ae*ctgb)/(ae*ctgc)*(bf*ctgc)/(ae*ctgb

11、)=1，所以三條高cd、ae、bf交于一點(diǎn)。梅涅勞斯定理 梅涅勞斯定理證明梅涅勞斯（menelaus）定理（簡稱梅氏定理）是由古希臘數(shù)學(xué)家梅涅勞斯首先證明的。它指出：如果一條直線與abc的三邊ab、bc、ca或其延長線交于f、d、e點(diǎn)，那么(af/fb)(bd/dc)(ce/ea)=1。 或：設(shè)x、y、z分別在abc的bc、ca、ab所在直線上，則x、y、z共線的充要條件是(az/zb)*(bx/xc)*(cy/ya)= 證明一：過點(diǎn)a作agbc交df的延長線于g, 則af/fb=ag/bd , bd/dc=bd/dc , ce/ea=dc/ag。 三式相乘得：(af/fb)(bd/dc)(c

12、e/ea)=(ag/bd)(bd/dc)(dc/ag)=1 證明二：過點(diǎn)c作cpdf交ab于p，則bd/dc=fb/pf，ce/ea=pf/af 所以有af/fbbd/dcce/ea=af/fbfb/pfpf/af=1 它的逆定理也成立：若有三點(diǎn)f、d、e分別在abc的邊ab、bc、ca或其延長線上，且滿足(af/fb)(bd/dc)(ce/ea)=1，則f、d、e三點(diǎn)共線。利用這個(gè)逆定理，可以判斷三點(diǎn)共線。 梅涅勞斯(menelaus)定理證明三：過abc三點(diǎn)向三邊引垂線aabbcc， 所以ad：db=aa：bb，be：ec=bb：cc，cf：fa=cc：aa 所以(af/fb)(bd/dc

13、)(ce/ea)=1 證明四：連接bf。 （ad：db）（be：ec）（cf:fa) =（sadf：sbdf）（sbef：scef）（sbcf：sbaf） =（sadf：sbdf）（sbdf：scdf）（scdf：sadf） =1 此外，用定比分點(diǎn)定義該定理可使其容易理解和記憶： 在abc的三邊bc、ca、ab或其延長線上分別取l、m、n三點(diǎn)，又分比是=bl/lc、=cm/ma、=an/nb。于是l、m、n三點(diǎn)共線的充要條件是=1。 第一角元形式的梅涅勞斯定理 如圖：若e，f，d三點(diǎn)共線，則 (sinacf/sinfcb)(sinbad/sindac)(sincba/sinabe)=1 即圖中

14、的藍(lán)角正弦值之積等于紅角正弦值之積 該形式的梅涅勞斯定理也很實(shí)用 第二角元形式的梅涅勞斯定理 在平面上任取一點(diǎn)o，且edf共線，則（sinaof/sinfob)(sinbod/sindoc)(sincoa/sinaoe)=1。(o不與點(diǎn)a、b、c重合) 記憶abc為三個(gè)頂點(diǎn)，def為三個(gè)分點(diǎn) (af/fb)(bd/dc)(ce/ea)=1 （頂?shù)椒?分到頂）*（頂?shù)椒?分到頂）*（頂?shù)椒?分到頂）=1 空間感好的人可以這么記：（上1/下1）*（整/右）*（下2/上2）=1 實(shí)際應(yīng)用為了說明問題，并給大家一個(gè)深刻印象，我們假定圖中的a、b、c、d、e、f是六個(gè)旅游景點(diǎn)，各景點(diǎn)之間有公路相連。我們

15、乘直升機(jī)飛到這些景點(diǎn)的上空，然后選擇其中的任意一個(gè)景點(diǎn)降落。我們換乘汽車沿公路去每一個(gè)景點(diǎn)游玩，最后回到出發(fā)點(diǎn)，直升機(jī)就停在那里等待我們回去。 我們不必考慮怎樣走路程最短，只要求必須“游歷”了所有的景點(diǎn)。只“路過”而不停留觀賞的景點(diǎn)，不能算是“游歷”。 例如直升機(jī)降落在a點(diǎn)，我們從a點(diǎn)出發(fā)，“游歷”了其它五個(gè)字母所代表的景點(diǎn)后，最終還要回到出發(fā)點(diǎn)a。 另外還有一個(gè)要求，就是同一直線上的三個(gè)景點(diǎn)，必須連續(xù)游過之后，才能變更到其它直線上的景點(diǎn)。 從a點(diǎn)出發(fā)的旅游方案共有四種，下面逐一說明： 方案 從a經(jīng)過b（不停留）到f（停留），再返回b（停留），再到d（停留），之后經(jīng)過b（不停留）到c（停留），

16、再到e（停留），最后從e經(jīng)過c（不停留）回到出發(fā)點(diǎn)a。 按照這個(gè)方案，可以寫出關(guān)系式： （af：fb）*（bd：dc）*（ce：ea）=1。 現(xiàn)在，您知道應(yīng)該怎樣寫“梅涅勞斯定理”的公式了吧。 從a點(diǎn)出發(fā)的旅游方案還有： 方案 可以簡記為：abfdeca，由此可寫出以下公式： （ab：bf）*（fd：de）*（ec：ca）=1。從a出發(fā)還可以向“c”方向走，于是有： 方案 acedfba，由此可寫出公式： （ac：ce）*（ed：df）*（fb：ba）=1。 從a出發(fā)還有最后一個(gè)方案： 方案 aecdbfa，由此寫出公式： （ae：ec）*（cd：db）*（bf：fa）=1。 我們的直升機(jī)還可

17、以選擇在b、c、d、e、f任一點(diǎn)降落，因此就有了圖中的另外一些公式。 值得注意的是，有些公式中包含了四項(xiàng)因式，而不是“梅涅勞斯定理”中的三項(xiàng)。當(dāng)直升機(jī)降落在b點(diǎn)時(shí)，就會(huì)有四項(xiàng)因式。而在c點(diǎn)和f點(diǎn)，既會(huì)有三項(xiàng)的公式，也會(huì)有四項(xiàng)的公式。公式為四項(xiàng)時(shí)，有的景點(diǎn)會(huì)游覽了兩次。 不知道梅涅勞斯當(dāng)年是否也是這樣想的，只是列出了一兩個(gè)典型的公式給我們看看。 還可以從逆時(shí)針來看，從第一個(gè)頂點(diǎn)到逆時(shí)針的第一個(gè)交點(diǎn)比上到下一個(gè)頂點(diǎn)的距離，以此類推，可得到三個(gè)比例，它們的乘積為1. 現(xiàn)在是否可以說，我們對(duì)梅涅勞斯定理有了更深刻的了解呢。那些復(fù)雜的相除相乘的關(guān)系式，不會(huì)再寫錯(cuò)或是記不住吧。西姆松定理 西姆松定理圖示西

18、姆松定理是一個(gè)幾何定理。表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊的垂線，則三垂足共線。（此線常稱為西姆松線）。西姆松定理的逆定理為：若一點(diǎn)在三角形三邊所在直線上的射影共線，則該點(diǎn)在此三角形的外接圓上。 西姆松定理說明相關(guān)的結(jié)果有： （1）稱三角形的垂心為h。西姆松線和ph的交點(diǎn)為線段ph的中點(diǎn)，且這點(diǎn)在九點(diǎn)圓上。 （2）兩點(diǎn)的西姆松線的交角等于該兩點(diǎn)的圓周角。 （3）若兩個(gè)三角形的外接圓相同，這外接圓上的一點(diǎn)p對(duì)應(yīng)兩者的西姆松線的交角，跟p的位置無關(guān)。 （4）從一點(diǎn)向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點(diǎn)落在三角形的外接圓上。 證明證明一： abc外接圓上有點(diǎn)p，且pea

19、c于e，pfab于f，pdbc于d，分別連de、df. 易證p、b、f、d及p、d、c、e和a、b、p、c分別共圓，于是fdp=acp ，（都是abp的補(bǔ)角） 且pde=pce 而acp+pce=180 fdp+pde=180 即f、d、e共線. 反之，當(dāng)f、d、e共線時(shí)，由可見a、b、p、c共圓. 證明二： 如圖，若l、m、n三點(diǎn)共線，連結(jié)bp，cp，則因pl垂直于bc，pm垂直于ac，pn垂直于ab，有b、p、l、n和 m、p、l、c分別四點(diǎn)共圓，有 pbn = pln = plm = pcm. 故a、b、p、c四點(diǎn)共圓。 若a、b、p、c四點(diǎn)共圓，則pbn = pcm。因pl垂直于bc，

20、pm垂直于ac，pn垂直于ab，有b、p、l、n和m、p、l、c四點(diǎn)共圓，有 pbn =pln =pcm=plm. 故l、m、n三點(diǎn)共線。 相關(guān)性質(zhì)的證明連ah延長線交圓于g, 連pg交西姆松線與r,bc于q 如圖連其他相關(guān)線段 ahbc,pfbc=ag/pf=1=2 a.g.c.p共圓=2=3 peac,pfbc=p.e.f.c共圓=3=4 =1=4 pfbc =pr=rq bhac,ahbc=5=6 a.b.g.c共圓=6=7 =5=7 agbc=bc垂直平分gh =8=2=4 8+9=90,10+4=90=9=10 =hq/df =pm=mh 第二個(gè)問，平分點(diǎn)在九點(diǎn)圓上，如圖：設(shè)o,g,

21、h 分別為三角形abc的外心，重心和垂心。 則o是,確定九點(diǎn)圓的中點(diǎn)三角形xyz的垂心，而g還是它的重心。 那么三角形xyz的外心 o1， 也在同一直線上，并且 hg/go=go/go1=2，所以o1是oh的中點(diǎn)。 三角形abc和三角形xyz位似，那么它們的外接圓也位似。兩個(gè)圓的圓心都在oh上，并且兩圓半徑比為1:2 所以g是三角形abc外接圓和三角形xyz外接圓(九點(diǎn)圓)的反位似中心(相似點(diǎn)在位似中心的兩邊),h 是正位似中心(相似點(diǎn)在位似中心的同一邊). 所以h到三角形abc的外接圓上的連線中點(diǎn)必在三角形def的外接圓上. 圓冪定理 圓冪定理圓冪定理是對(duì)相交弦定理、切割線定理及割線定理（切

22、割線定理推論）以及它們推論統(tǒng)一歸納的結(jié)果。 1. 問題1 2. 問題2 3. 問題3 4. 問題4 定義圓冪=po2-r2| 所以圓內(nèi)的點(diǎn)的冪為負(fù)數(shù)，圓外的點(diǎn)的冪為正數(shù)，圓上的點(diǎn)的冪為零。 相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等。 切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)。 割線定理：從圓外一點(diǎn)p引兩條割線與圓分別交于a、b；c、d，則有 papb=pcpd。 統(tǒng)一歸納：過任意不在圓上的一點(diǎn)p引兩條直線l1、l2，l1與圓交于a、b（可重合，即切線），l2與圓交于c、d（可重合），則有papb=pcpd。 進(jìn)一步升華（推論）

23、過任意在圓o外的一點(diǎn)p引一條直線l1與一條過圓心的直線l2，l1與圓交于a、b（可重合，即切線），l2與圓交于c、d。則papb=pcpd。若圓半徑為r，則pcpd=(po-r)(po+r)=po2-r2=|po2-r2| （要加絕對(duì)值，原因見下）為定值。這個(gè)值稱為點(diǎn)p到圓o的冪。（事實(shí)上所有的過p點(diǎn)與圓相交的直線都滿足這個(gè)值） 若點(diǎn)p在圓內(nèi)，類似可得定值為r2-po2=|po2-r2| 故平面上任意一點(diǎn)對(duì)于圓的冪為這個(gè)點(diǎn)到圓心的距離與圓的半徑的平方差，而過這一點(diǎn)引任意直線交圓于a、b，那么papb等于圓冪的絕對(duì)值。（這就是“圓冪”的由來） 證明圓冪定理（相交弦定理、切割線定理及其推論(割線定

24、理)統(tǒng)一歸納為圓冪定理） 問題1相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦,被交點(diǎn)分成的兩條線段長的乘積相等。 證明：連結(jié)ac，bd，由圓周角定理的推論，得a=d，c=b。 pacpdb，pa:pd=pc:pb，papb=pcpd 問題2割線定理：從圓外一點(diǎn)p引兩條割線與圓分別交于a.b.c.d 則有 papb=pcpd，當(dāng)pa=pb，即直線ab重合，即pa切線時(shí)得到切線定理pa2=pcpd 證明：（令a在p、b之間，c在p、d之間）因?yàn)閍bcd為圓內(nèi)接四邊形，所以角cab+角cdb=180度，又角cab+角pac=180度，所以角pac=角cdb，又角apc公共，所以三角形apc與三角形dpb相似，所以p

25、a/pd=pc/pb,所以pa*pb=pc*pd 切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng) 幾何語言：pt切o于點(diǎn)t，pba是o的割線 pt2=papb（切割線定理） 推論 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等 幾何語言：pba、pdc是o的割線 pdpc=papb（切割線定理推論） 問題3過點(diǎn)p任作直線交定圓于兩點(diǎn)a、b，證明papb為定值（圓冪定理）。 證：以p為原點(diǎn)，設(shè)圓的方程為 (x-xo)2+(y-yo)2=a 過p的直線為 x=k1t y=k2t 則a、b的橫坐標(biāo)是方程 (k1t-xo)2+(k2t

26、-yo)2=r2 即 (k12+k22)t2-2(k1xo+k2yo)t+xo2+yo2-r2=0 的兩個(gè)根t1、t2。由韋達(dá)定理 t1t2=(xo2+yo2-2)/(k12+k22) 于是 papb=(k1t1)2+(k2t1)2)(k1t2)2+(k2t2)2) =(k12+k22)2|t1|t2| =k12+k22|(xo2+yo2-r2)/(k12+k22)| =|(xo2+yo2-r2)| 為定值，證畢。 圓也可以寫成 x2+y2-2xox-2yoy+xo2+yo2-a=0 其中a為圓的半徑的平方。所說的定值也就是（原點(diǎn)）與圓心o的距離的平方減去半徑的平方。當(dāng)p在圓外時(shí)，這就是自p向

27、圓所引切線（長）的平方。 這定值稱為點(diǎn)p到這圓的冪。 在上面證明的過程中，我們以p為原點(diǎn)，這樣可以使問題簡化。 如果給定點(diǎn)o，未必是原點(diǎn)，要求出p關(guān)于圓的冪（即op2-r2），我們可以設(shè)直線ab的方程為 是 的傾斜角， 表示直線上的點(diǎn)與 的距離 將代入得 即 ， 是它的兩個(gè)根，所以由韋達(dá)定理 是定值 是 關(guān)于的冪（當(dāng) 是原點(diǎn)時(shí)，這個(gè)值就是 ）它也可以寫成 即 與圓心 距離的平方減去半徑的平方 當(dāng)p在圓內(nèi)時(shí)，冪值是負(fù)值；p在圓上時(shí)，冪為0；p在圓外時(shí)，冪為正值，這時(shí)冪就是自p向圓所引切線長的平方。 以上是圓冪定理的證明，下面看一看它的應(yīng)用 問題4自圓外一點(diǎn) 向圓引割線交圓于 、 兩點(diǎn)，又作切線

28、、 ， 、 為切點(diǎn)， 與 相交于 ，如圖求證 、 、 成調(diào)和數(shù)列，即 證：設(shè)圓的方程為 點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ， 的參數(shù)方程為 其中 是 的傾斜角， 表示直線上的點(diǎn) 與 的距離 代入得 即 、 是它的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理 另一方面，直線 是圓的切點(diǎn)弦，利用前邊的結(jié)論， 的方程為 代入得 因此，這個(gè)方程的根 滿足 綜合，結(jié)論成立。 可以證明，當(dāng) 在圓內(nèi)時(shí)，上述推導(dǎo)及結(jié)論仍然成立。 說明：問題4的解決借用了問題3的方法，同時(shí)我們也看到了問題4與問題1、問題2的內(nèi)在聯(lián)系。圓冪定理 圓冪定理圓冪定理是對(duì)相交弦定理、切割線定理及割線定理（切割線定理推論）以及它們推論統(tǒng)一歸納的結(jié)果。 1. 問題1 2. 問題2 3

29、. 問題3 4. 問題4 定義圓冪=po2-r2| 所以圓內(nèi)的點(diǎn)的冪為負(fù)數(shù)，圓外的點(diǎn)的冪為正數(shù)，圓上的點(diǎn)的冪為零。 相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等。 切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)。 割線定理：從圓外一點(diǎn)p引兩條割線與圓分別交于a、b；c、d，則有 papb=pcpd。 統(tǒng)一歸納：過任意不在圓上的一點(diǎn)p引兩條直線l1、l2，l1與圓交于a、b（可重合，即切線），l2與圓交于c、d（可重合），則有papb=pcpd。 進(jìn)一步升華（推論）過任意在圓o外的一點(diǎn)p引一條直線l1與一條過圓心的直線l2，l1與圓交于a

30、、b（可重合，即切線），l2與圓交于c、d。則papb=pcpd。若圓半徑為r，則pcpd=(po-r)(po+r)=po2-r2=|po2-r2| （要加絕對(duì)值，原因見下）為定值。這個(gè)值稱為點(diǎn)p到圓o的冪。（事實(shí)上所有的過p點(diǎn)與圓相交的直線都滿足這個(gè)值） 若點(diǎn)p在圓內(nèi)，類似可得定值為r2-po2=|po2-r2| 故平面上任意一點(diǎn)對(duì)于圓的冪為這個(gè)點(diǎn)到圓心的距離與圓的半徑的平方差，而過這一點(diǎn)引任意直線交圓于a、b，那么papb等于圓冪的絕對(duì)值。（這就是“圓冪”的由來） 證明圓冪定理（相交弦定理、切割線定理及其推論(割線定理)統(tǒng)一歸納為圓冪定理） 問題1相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦,被交點(diǎn)分成的

31、兩條線段長的乘積相等。 證明：連結(jié)ac，bd，由圓周角定理的推論，得a=d，c=b。 pacpdb，pa:pd=pc:pb，papb=pcpd 問題2割線定理：從圓外一點(diǎn)p引兩條割線與圓分別交于a.b.c.d 則有 papb=pcpd，當(dāng)pa=pb，即直線ab重合，即pa切線時(shí)得到切線定理pa2=pcpd 證明：（令a在p、b之間，c在p、d之間）因?yàn)閍bcd為圓內(nèi)接四邊形，所以角cab+角cdb=180度，又角cab+角pac=180度，所以角pac=角cdb，又角apc公共，所以三角形apc與三角形dpb相似，所以pa/pd=pc/pb,所以pa*pb=pc*pd 切割線定理：從圓外一點(diǎn)引

32、圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng) 幾何語言：pt切o于點(diǎn)t，pba是o的割線 pt2=papb（切割線定理） 推論 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等 幾何語言：pba、pdc是o的割線 pdpc=papb（切割線定理推論） 問題3過點(diǎn)p任作直線交定圓于兩點(diǎn)a、b，證明papb為定值（圓冪定理）。 證：以p為原點(diǎn)，設(shè)圓的方程為 (x-xo)2+(y-yo)2=a 過p的直線為 x=k1t y=k2t 則a、b的橫坐標(biāo)是方程 (k1t-xo)2+(k2t-yo)2=r2 即 (k12+k22)t2-2(k1xo+k2yo)t+

33、xo2+yo2-r2=0 的兩個(gè)根t1、t2。由韋達(dá)定理 t1t2=(xo2+yo2-2)/(k12+k22) 于是 papb=(k1t1)2+(k2t1)2)(k1t2)2+(k2t2)2) =(k12+k22)2|t1|t2| =k12+k22|(xo2+yo2-r2)/(k12+k22)| =|(xo2+yo2-r2)| 為定值，證畢。 圓也可以寫成 x2+y2-2xox-2yoy+xo2+yo2-a=0 其中a為圓的半徑的平方。所說的定值也就是（原點(diǎn)）與圓心o的距離的平方減去半徑的平方。當(dāng)p在圓外時(shí)，這就是自p向圓所引切線（長）的平方。 這定值稱為點(diǎn)p到這圓的冪。 在上面證明的過程中，

34、我們以p為原點(diǎn)，這樣可以使問題簡化。 如果給定點(diǎn)o，未必是原點(diǎn)，要求出p關(guān)于圓的冪（即op2-r2），我們可以設(shè)直線ab的方程為 是 的傾斜角， 表示直線上的點(diǎn)與 的距離 將代入得 即 ， 是它的兩個(gè)根，所以由韋達(dá)定理 是定值 是 關(guān)于的冪（當(dāng) 是原點(diǎn)時(shí)，這個(gè)值就是 ）它也可以寫成 即 與圓心 距離的平方減去半徑的平方 當(dāng)p在圓內(nèi)時(shí)，冪值是負(fù)值；p在圓上時(shí)，冪為0；p在圓外時(shí)，冪為正值，這時(shí)冪就是自p向圓所引切線長的平方。 以上是圓冪定理的證明，下面看一看它的應(yīng)用 問題4自圓外一點(diǎn) 向圓引割線交圓于 、 兩點(diǎn)，又作切線 、 ， 、 為切點(diǎn)， 與 相交于 ，如圖求證 、 、 成調(diào)和數(shù)列，即 證：

35、設(shè)圓的方程為 點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ， 的參數(shù)方程為 其中 是 的傾斜角， 表示直線上的點(diǎn) 與 的距離 代入得 即 、 是它的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理 另一方面，直線 是圓的切點(diǎn)弦，利用前邊的結(jié)論， 的方程為 代入得 因此，這個(gè)方程的根 滿足 綜合，結(jié)論成立。 可以證明，當(dāng) 在圓內(nèi)時(shí)，上述推導(dǎo)及結(jié)論仍然成立。 說明：問題4的解決借用了問題3的方法，同時(shí)我們也看到了問題4與問題1、問題2的內(nèi)在聯(lián)系。四點(diǎn)共圓 四點(diǎn)共圓-圖釋如果同一平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，則稱這四個(gè)點(diǎn)共圓，一般簡稱為“四點(diǎn)共圓”。四點(diǎn)共圓有三個(gè)性質(zhì)： （1）同弧所對(duì)的圓周角相等 （2）圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ) （3）圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角 以上性質(zhì)可以根據(jù)圓周角等于它所對(duì)弧的度數(shù)的一半進(jìn)行證明。 四點(diǎn)共圓證明四點(diǎn)共圓的基本方法證明四點(diǎn)共圓有下述一些基本方法： 方法1從被證共圓的四點(diǎn)中先選出三點(diǎn)作一圓，然后證另一點(diǎn)也在這個(gè)圓上，若能證明這一點(diǎn)，即可肯定這四點(diǎn)共圓 方法2把被證共圓的四個(gè)點(diǎn)連成共底邊的兩個(gè)三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等，從而即可肯定這四點(diǎn)共圓 （若能證明其兩頂角為直角，即可肯定這四個(gè)點(diǎn)共圓，且斜邊上兩點(diǎn)連線為該圓直徑。） 方法3把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對(duì)角互補(bǔ)或能證明其一個(gè)外角等于其鄰補(bǔ)角