高中數(shù)學(xué)講義--圓錐曲線中的面積問題

1、微專題72 圓錐曲線中的面積問題一、基礎(chǔ)知識：1、面積問題的解決策略：（1）求三角形的面積需要尋底找高，需要兩條線段的長度，為了簡化運算，通常優(yōu)先選擇能用坐標(biāo)直接進行表示的底（或高）。（2）面積的拆分：不規(guī)則的多邊形的面積通?？紤]拆分為多個三角形的面積和，對于三角形如果底和高不便于計算，則也可以考慮拆分成若干個易于計算的三角形2、多個圖形面積的關(guān)系的轉(zhuǎn)化：關(guān)鍵詞“求同存異”，尋找這些圖形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特點，從而可將面積的關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段的關(guān)系，使得計算得以簡化3、面積的最值問題：通常利用公式將面積轉(zhuǎn)化為某個變量的函數(shù)，再求解函數(shù)的最值，在尋底找高的

2、過程中，優(yōu)先選擇長度為定值的線段參與運算。這樣可以使函數(shù)解析式較為簡單，便于分析4、橢圓與雙曲線中焦點三角形面積公式（證明詳見“圓錐曲線的性質(zhì)”）（1）橢圓：設(shè)為橢圓上一點，且，則（2）雙曲線：設(shè)為橢圓上一點，且，則二、典型例題：例1：設(shè)為橢圓的左右焦點，過橢圓中心任作一直線與橢圓交于兩點，當(dāng)四邊形的面積最大時，的值等于_思路：由橢圓中心對稱的特性可知關(guān)于原點中心對稱，所以與關(guān)于原點對稱，面積相等。且四邊形可拆成與的和，所以四邊形的面積最大即面積最大，因為，所以當(dāng)最大時，面積最大。即位于短軸頂點時，面積最大。由可知，所以，進而計算出的值為答案：例2：已知點是橢圓上的一點，且在軸上方，分別為橢圓

3、的左右焦點，直線的斜率為，則的面積是（ ）A. B. C. D. 思路：將橢圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，進而可得，所以，計算的面積可以以為底，為高，所以考慮利用條件計算出的縱坐標(biāo)，設(shè)，則有，所以可解得或（舍去），所以答案：B例3：已知為拋物線的焦點，點在該拋物線上且位于軸的兩側(cè)，則與面積之和的最小值是（ ）A. B. C. D. 思路：由入手可考慮將向量坐標(biāo)化，設(shè)，則，進而想到可用韋達定理。所以設(shè)與軸交于直線。聯(lián)立方程，所以，所以由可得：，所以，不妨設(shè)在軸上方，如圖可得：，由可知，消元后可得：，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，所以的最小值為答案：B例4：拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，經(jīng)過且斜率為的直線與拋物線在軸上方的部分

4、相交于點，垂足為，則的面積是（ ）A. B. C. D. 8思路：斜率為可知直線的傾斜角為，從而可得，所以在計算面積時可利用兩邊與夾角，所以可得，由拋物線性質(zhì)可得，所以只需求得焦半徑，即只需解出點橫坐標(biāo)。利用幾何關(guān)系可得，另一方面，由焦半徑公式可得：，所以可得方程：，從而，所以答案：C小煉有話說：（1）本題的解法是利用題目中的幾何關(guān)系求解，繞過代數(shù)運算，而突破點即為直線的傾斜角，所以當(dāng)題目中出現(xiàn)特殊角時，可以考慮蘊含其中的幾何特點，從而使得運算更為簡單。（2）本題的也可通過聯(lián)立方程，使用代數(shù)方法解決，方法步驟如下：由拋物線方程可得：，設(shè)，聯(lián)立方程：，整理可得： 或或（舍） 例5：以橢圓的頂點為

5、焦點，焦點為頂點的雙曲線，其左右焦點分別為，已知點的坐標(biāo)為，雙曲線上點滿足，則等于（ ）A. B. C. D. 思路：可先利用橢圓確定雙曲線方程及其焦點坐標(biāo)，的頂點為，即為的坐標(biāo)，橢圓的焦點為，所以雙曲線中，進而觀察可聯(lián)想到投影，即在的投影與在的投影相等，由幾何關(guān)系可得為的角平分線。由可得，即平分，從而為的內(nèi)心，且內(nèi)切圓半徑。從而答案：A例6：已知點為雙曲線右支上一點，分別是雙曲線的左右焦點，且，為三角形的內(nèi)心，若成立，則的值為（ ）A. B. C. D. 思路：由三角形內(nèi)心的性質(zhì)可得到三邊的距離相等，所以的高均為，從而，即，所以只需利用確定的關(guān)系即可。解：為三角形的內(nèi)心 在雙曲線上，且是焦點

6、 即為離心率由可得：，兩邊同時除以得：，解得 即答案：C例7：已知點，橢圓的離心率為，是橢圓的右焦點，直線的斜率為，為坐標(biāo)原點（1）求的方程（2）設(shè)過點的動直線與相交于兩點，當(dāng)面積最大時，求的方程解：（1）設(shè) 思路：首先設(shè)，由圖像可得，考慮聯(lián)立直線與橢圓方程并利用點到直線距離公式和弦長公式用表示出，從而也可用進行表示：，再利用均值不等式即可得到最大值。等號成立的條件即為的值。（注意直線與橢圓相交，所以消元后的方程）（2）設(shè)直線， 聯(lián)立方程可得：，整理后可得： ，因為方程有兩個不等實根 解得：或 由方程可得：代入可得： 由均值不等式可得：等號成立條件：此時的方程為或例8：已知橢圓的離心率為，過右

7、焦點的直線與相交于兩點，當(dāng)?shù)男甭蕿闀r，坐標(biāo)原點到的距離為（1）求橢圓的方程（2）若是橢圓上的四點，已知與共線，與共線，且，求四邊形面積的最小值解：（1），設(shè)，則（2）由（1）可得：，因為設(shè)，聯(lián)立方程可得：，消去可得：整理后可得： 設(shè)，以替換中的可得： 設(shè)，可得時，例9：在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，是動點，且三角形的三邊所在直線的斜率滿足 （1）求點的軌跡方程（2）若是軌跡上異于點的一個點，且，直線與交于點，問：是否存在點使得和的面積滿足？若存在，求出點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由。（1）思路：本題設(shè)點，且已知，直接利用條件列出等式化簡即可解：設(shè)，由可得：，依題意可得：整理后可得：，其中 所以的

8、軌跡方程為（2）思路：從圖中可得和的高相同，從而面積的比值轉(zhuǎn)化為對應(yīng)底邊的比，即，再由可得，進而，由共線再轉(zhuǎn)成向量關(guān)系則只需求出的坐標(biāo)即可解出的坐標(biāo)解：設(shè) ，即 因為 可解得 且 ，即 所以存在符合條件的 例10：設(shè)拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線相交于兩點，與拋物線的準(zhǔn)線相交于，則與的面積之比（ ）A. B. C. D. 思路：由聯(lián)想到焦半徑公式，從而可解得，從而可判斷出在的左側(cè)，作出圖像可發(fā)現(xiàn)兩個三角形具備同“高”的特點（即到的距離），所以，若直接從長度出發(fā)，則運算量較大，所以考慮將比值視為整體，并進行線段的轉(zhuǎn)移，可過分別引準(zhǔn)線的垂線，從而將，只需聯(lián)立直線拋物線方程求出點橫坐標(biāo)即可。解：由可得，設(shè)，設(shè)到直線的距離為則過分別引準(zhǔn)線的垂線 設(shè)，聯(lián)立方程：消元可得：整理后可得： 答案：A小煉有話說：本題設(shè)計的精妙之處在于允許有多種解題方向（比如計算坐標(biāo)，計算底邊長）等，但方法層次不同，所耗費的時間也不一樣。通過本題要體會以下幾