2017年江蘇省南通市中考數學試卷

1、2017年江蘇省南通市中考數學試卷一、選擇題（每小題3分，共30分）1（3分）在0、2、1、2這四個數中，最小的數為（）A0B2C1D22（3分）近兩年，中國倡導的“一帶一路”為沿線國家創(chuàng)造了約個就業(yè)崗位，將用科學記數法表示為（）A1.8105B1.8104C0.18106D181043（3分）下列計算，正確的是（）Aa2a=aBa2a3=a6Ca9a3=a3D（a3）2=a64（3分）如圖是由4個大小相同的正方體組合而成的幾何體，其左視圖是（）ABCD5（3分）在平面直角坐標系中點P（1，2）關于x軸的對稱點的坐標是（）A（1，2）B（1，2）C（1，2）D（2，1）6（3分）如圖，圓錐的底

2、面半徑為2，母線長為6，則側面積為（）A4B6C12D167（3分）一組數據：1、2、2、3，若添加一個數據2，則發(fā)生變化的統(tǒng)計量是（）A平均數B中位數C眾數D方差8（3分）一個有進水管和出水管的容器，從某時刻開始4min內只進水不出水，在隨后的8min內即進水又出水，每分鐘的進水量和出水量是兩個常數，容器內的水量y（L）與時間x（min）之間的關系如圖所示，則每分鐘的出水量為（）A5LB3.75LC2.5LD1.25L9（3分）已知AOB，作圖步驟1：在OB上任取一點M，以點M為圓心，MO長為半徑畫半圓，分別交OA、OB于點P、Q；步驟2：過點M作PQ的垂線交于點C；步驟3：畫射線OC則下列

3、判斷：=；MCOA；OP=PQ；OC平分AOB，其中正確的個數為（）A1B2C3D410（3分）如圖，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，點E，F，G，H分別在矩形ABCD各邊上，且AE=CG，BF=DH，則四邊形EFGH周長的最小值為（）A5B10C10D15二、填空題（每小題3分，共24分）11（3分）若在實數范圍內有意義，則x的取值范圍為 12（3分）如圖所示，DE是ABC的中位線，BC=8，則DE= 13（3分）四邊形ABCD內接于圓，若A=110，則C= 度14（3分）若關于x的方程x26x+c=0有兩個相等的實數根，則c的值為 15（3分）如圖，將AOB繞點O按逆時針方向旋轉45

4、后得到COD，若AOB=15，則AOD= 度16（3分）甲、乙二人做某種機械零件已知甲每小時比乙多做4個，甲做60個所用的時間比乙做40個所用的時間相等，則乙每小時所做零件的個數為 17（3分）已知x=m時，多項式x2+2x+n2的值為1，則x=m時，該多項式的值為 18（3分）如圖，四邊形OABC是平行四邊形，點C在x軸上，反比例函數y=（x0）的圖象經過點A（5，12），且與邊BC交于點D若AB=BD，則點D的坐標為 三、解答題（本大題共10小題，共96分）19（10分）（1）計算：|4|（2）2+（）0（2）解不等式組20（8分）先化簡，再求值：（m+2），其中m=21（9分）某學校為了

5、解學生的課外閱讀情況，隨機抽取了50名學生，并統(tǒng)計他們平均每天的課外閱讀時間t（單位：min），然后利用所得數據繪制成如下不完整的統(tǒng)計表 課外閱讀時間t頻數 百分比 10t30 4 8%30t50 8 16%50t70 a 40%70t90 16 b90t1102 4% 合計 50 100%請根據圖表中提供的信息回答下列問題：（1）a= ，b= ；（2）將頻數分布直方圖補充完整；（3）若全校有900名學生，估計該校有多少學生平均每天的課外閱讀時間不少于50min？22（8分）不透明袋子中裝有2個紅球，1個白球和1個黑球，這些球除顏色外無其他差別，隨機摸出1個球不放回，再隨機摸出1個球，求兩次均

6、摸到紅球的概率23（8分）熱氣球的探測器顯示，從熱氣球A看一棟樓頂部B的仰角為45，看這棟樓底部C的俯角為60，熱氣球與樓的水平距離為100m，求這棟樓的高度（結果保留根號）24（8分）如圖，RtABC中，C=90，BC=3，點O在AB上，OB=2，以OB為半徑的O與AC相切于點D，交BC于點E，求弦BE的長25（9分）某學習小組在研究函數y=x32x的圖象與性質時，已列表、描點并畫出了圖象的一部分 x 43.5321 0 1 2 3 3.5 4 y 0 （1）請補全函數圖象；（2）方程x32x=2實數根的個數為 ；（3）觀察圖象，寫出該函數的兩條性質26（10分）如圖，在矩形ABCD中，E是

7、AD上一點，PQ垂直平分BE，分別交AD、BE、BC于點P、O、Q，連接BP、EQ（1）求證：四邊形BPEQ是菱形；（2）若AB=6，F為AB的中點，OF+OB=9，求PQ的長27（13分）我們知道，三角形的內心是三條角平分線的交點，過三角形內心的一條直線與兩邊相交，兩交點之間的線段把這個三角形分成兩個圖形若有一個圖形與原三角形相似，則把這條線段叫做這個三角形的“內似線”（1）等邊三角形“內似線”的條數為 ；（2）如圖，ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD，求證：BD是ABC的“內似線”；（3）在RtABC中，C=90，AC=4，BC=3，E、F分別在邊AC、BC上，且EF是

8、ABC的“內似線”，求EF的長28（13分）已知直線y=kx+b與拋物線y=ax2（a0）相交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸正半軸相交于點C，過點A作ADx軸，垂足為D（1）若AOB=60，ABx軸，AB=2，求a的值；（2）若AOB=90，點A的橫坐標為4，AC=4BC，求點B的坐標；（3）延長AD、BO相交于點E，求證：DE=CO2017年江蘇省南通市中考數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每小題3分，共30分）1（3分）（2017南通）在0、2、1、2這四個數中，最小的數為（）A0B2C1D2【分析】根據正數大于0，0大于負數，可得答案【解答】解：在0、2、1、2這四個數中只

9、有210，02在0、2、1、2這四個數中，最小的數是2故選：D【點評】本題考查了實數大小比較，任意兩個實數都可以比較大小正實數都大于0，負實數都小于0，正實數大于一切負實數，兩個負實數絕對值大的反而小2（3分）（2017南通）近兩年，中國倡導的“一帶一路”為沿線國家創(chuàng)造了約個就業(yè)崗位，將用科學記數法表示為（）A1.8105B1.8104C0.18106D18104【分析】科學記數法的表示形式為a10n的形式，其中1|a|10，n為整數確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同當原數絕對值1時，n是正數；當原數的絕對值1時，n是負數【解答】解：將用科學

10、記數法表示為1.8105，故選：A【點評】此題考查科學記數法的表示方法科學記數法的表示形式為a10n的形式，其中1|a|10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值3（3分）（2017南通）下列計算，正確的是（）Aa2a=aBa2a3=a6Ca9a3=a3D（a3）2=a6【分析】根據合并同類項、同底數冪的乘除法以及冪的乘方進行計算即可【解答】解：A、a2a，不能合并，故A錯誤；B、a2a3=a5，故B錯誤；C、a9a3=a6，故C錯誤；D、（a3）2=a6，故D正確；故選D【點評】本題考查了合并同類項、同底數冪的乘除法以及冪的乘方，掌握運算法則是解題的關鍵4（3分）（2017南通）如

11、圖是由4個大小相同的正方體組合而成的幾何體，其左視圖是（）ABCD【分析】左視圖是從左邊看得出的圖形，結合所給圖形及選項即可得出答案【解答】解：從左邊看得到的是兩個疊在一起的正方形故選A【點評】此題考查了簡單幾何體的三視圖，屬于基礎題，解答本題的關鍵是掌握左視圖的觀察位置5（3分）（2017南通）在平面直角坐標系中點P（1，2）關于x軸的對稱點的坐標是（）A（1，2）B（1，2）C（1，2）D（2，1）【分析】根據關于x軸對稱點的坐標特點：橫坐標不變，縱坐標互為相反數可得答案【解答】解：點P（1，2）關于x軸的對稱點的坐標是（1，2），故選：A【點評】此題主要考查了關于x軸對稱點的坐標，關鍵是

12、掌握點的坐標的變化規(guī)律6（3分）（2017南通）如圖，圓錐的底面半徑為2，母線長為6，則側面積為（）A4B6C12D16【分析】根據圓錐的底面半徑為2，母線長為6，直接利用圓錐的側面積公式求出它的側面積【解答】解：根據圓錐的側面積公式：rl=26=12，故選C【點評】本題主要考查了圓錐側面積公式熟練地應用圓錐側面積公式求出是解決問題的關鍵7（3分）（2017南通）一組數據：1、2、2、3，若添加一個數據2，則發(fā)生變化的統(tǒng)計量是（）A平均數B中位數C眾數D方差【分析】依據平均數、中位數、眾數、方差的定義和公式求解即可【解答】解：A、原來數據的平均數是2，添加數字2后平均數扔為2，故A與要求不符；

13、B、原來數據的中位數是2，添加數字2后中位數扔為2，故B與要求不符；C、原來數據的眾數是2，添加數字2后眾數扔為2，故C與要求不符；D、原來數據的方差=，添加數字2后的方差=，故方差發(fā)生了變化故選：D【點評】本題主要考查的是眾數、中位數、方差、平均數，熟練掌握相關概念和公式是解題的關鍵8（3分）（2017南通）一個有進水管和出水管的容器，從某時刻開始4min內只進水不出水，在隨后的8min內即進水又出水，每分鐘的進水量和出水量是兩個常數，容器內的水量y（L）與時間x（min）之間的關系如圖所示，則每分鐘的出水量為（）A5LB3.75LC2.5LD1.25L【分析】觀察函數圖象找出數據，根據“每

14、分鐘進水量=總進水量放水時間”算出每分鐘的進水量，再根據“每分鐘的出水量=每分鐘的進水量每分鐘增加的水量”即可算出結論【解答】解：每分鐘的進水量為：204=5（升），每分鐘的出水量為：5（3020）（124）=3.75（升）故選：B【點評】本題考查了函數圖象，解題的關鍵是根據函數圖象找出數據結合數量關系列式計算9（3分）（2017南通）已知AOB，作圖步驟1：在OB上任取一點M，以點M為圓心，MO長為半徑畫半圓，分別交OA、OB于點P、Q；步驟2：過點M作PQ的垂線交于點C；步驟3：畫射線OC則下列判斷：=；MCOA；OP=PQ；OC平分AOB，其中正確的個數為（）A1B2C3D4【分析】由O

15、Q為直徑可得出OAPQ，結合MCPQ可得出OAMC，結論正確；根據平行線的性質可得出PAO=CMQ，結合圓周角定理可得出COQ=POQ=BOQ，進而可得出=，OC平分AOB，結論正確；由AOB的度數未知，不能得出OP=PQ，即結論錯誤綜上即可得出結論【解答】解：OQ為直徑，OPQ=90，OAPQMCPQ，OAMC，結論正確；OAMC，PAO=CMQCMQ=2COQ，COQ=POQ=BOQ，=，OC平分AOB，結論正確；AOB的度數未知，POQ和PQO互余，POQ不一定等于PQO，OP不一定等于PQ，結論錯誤綜上所述：正確的結論有故選C【點評】本題考查了作圖中的復雜作圖、角平分線的定義、圓周角定

16、理以及平行線的判定及性質，根據作圖的過程逐一分析四條結論的正誤是解題的關鍵10（3分）（2017南通）如圖，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，點E，F，G，H分別在矩形ABCD各邊上，且AE=CG，BF=DH，則四邊形EFGH周長的最小值為（）A5B10C10D15【分析】作點E關于BC的對稱點E，連接EG交BC于點F，此時四邊形EFGH周長取最小值，過點G作GGAB于點G，由對稱結合矩形的性質可知：EG=AB=10、GG=AD=5，利用勾股定理即可求出EG的長度，進而可得出四邊形EFGH周長的最小值【解答】解：作點E關于BC的對稱點E，連接EG交BC于點F，此時四邊形EFGH周長取最小值

17、，過點G作GGAB于點G，如圖所示AE=CG，BE=BE，EG=AB=10，GG=AD=5，EG=5，C四邊形EFGH=2EG=10故選B【點評】本題考查了軸對稱中的最短路線問題以及矩形的性質，找出四邊形EFGH周長取最小值時點E、F、G之間為位置關系是解題的關鍵二、填空題（每小題3分，共24分）11（3分）（2017南通）若在實數范圍內有意義，則x的取值范圍為x2【分析】根據二次根式有意義的條件可得x20，再解即可【解答】解：由題意得：x20，解得：x2，故答案為：x2【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，關鍵是掌握二次根式中的被開方數是非負數12（3分）（2017南通）如圖所示，DE

18、是ABC的中位線，BC=8，則DE=4【分析】易得DE是ABC的中位線，那么DE應等于BC長的一半【解答】解：根據三角形的中位線定理，得：DE=BC=4故答案為4【點評】考查了三角形的中位線定理的數量關系：三角形的中位線等于第三邊的一半13（3分）（2017南通）四邊形ABCD內接于圓，若A=110，則C=70度【分析】根據圓內接四邊形的性質計算即可【解答】解：四邊形ABCD內接于O，A+C=180，A=110，C=70，故答案為：70【點評】本題考查的是圓內接四邊形的性質，掌握圓內接四邊形的對角互補是解題的關鍵14（3分）（2017南通）若關于x的方程x26x+c=0有兩個相等的實數根，則c

19、的值為9【分析】根據判別式的意義得到=（6）24c=0，然后解關于c的一次方程即可【解答】解：根據題意得=（6）24c=0，解得c=9故答案為9【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根與=b24ac有如下關系：當0時，方程有兩個不相等的實數根；當=0時，方程有兩個相等的實數根；當0時，方程無實數根15（3分）（2017南通）如圖，將AOB繞點O按逆時針方向旋轉45后得到COD，若AOB=15，則AOD=30度【分析】根據旋轉的性質可得BOD，再根據AOD=BODAOB計算即可得解【解答】解：AOB繞點O按逆時針方向旋轉45后得到COD，BOD=45，AOD=B

20、ODAOB=4515=30故答案為：30【點評】本題考查了旋轉的性質，主要利用了旋轉角的概念，需熟記16（3分）（2017南通）甲、乙二人做某種機械零件已知甲每小時比乙多做4個，甲做60個所用的時間比乙做40個所用的時間相等，則乙每小時所做零件的個數為8【分析】設乙每小時做x個，則甲每小時做（x+4）個，甲做60個所用的時間為，乙做40個所用的時間為；根據甲做60個所用的時間比乙做40個所用的時間相等，列方程求解【解答】解：設乙每小時做x個，則甲每小時做（x+4）個，甲做60個所用的時間為，乙做40個所用的時間為，列方程為：=，解得：x=8，經檢驗：x=4是原分式方程的解，且符合題意，答：乙每

21、小時做8個故答案是：8【點評】本題考查了分式方程的應用，解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知數，找出合適的等量關系，列方程求解，注意檢驗17（3分）（2017南通）已知x=m時，多項式x2+2x+n2的值為1，則x=m時，該多項式的值為3【分析】根據非負數的性質，得出m=1，n=0，由此即可解決問題【解答】解：多項式x2+2x+n2=（x+1）2+n21，（x+1）20，n20，（x+1）2+n21的最小值為1，此時m=1，n=0，x=m時，多項式x2+2x+n2的值為m22m+n2=3故答案為3或解：多項式x2+2x+n2的值為1，x2+2x+1+n2=0，（x+1）2+n2=0，（x+1）2

22、0，n20，x=m=1，n=0，x=m時，多項式x2+2x+n2的值為m22m+n2=3故答案為3【點評】本題考查代數式求值，非負數的性質等知識、學會整體代入的思想解決問題是解題的關鍵18（3分）（2017南通）如圖，四邊形OABC是平行四邊形，點C在x軸上，反比例函數y=（x0）的圖象經過點A（5，12），且與邊BC交于點D若AB=BD，則點D的坐標為（8，）【分析】先根據點A（5，12），求得反比例函數的解析式為y=，可設D（m，），BC的解析式為y=x+b，把D（m，）代入，可得b=m，進而得到BC的解析式為y=x+m，據此可得OC=m=AB，過D作DEAB于E，過A作AFOC于F，根據

23、DEBAFO，可得DB=13，最后根據AB=BD，得到方程m=13，進而求得D的坐標【解答】解：反比例函數y=（x0）的圖象經過點A（5，12），k=125=60，反比例函數的解析式為y=，設D（m，），由題可得OA的解析式為y=x，AOBC，可設BC的解析式為y=x+b，把D（m，）代入，可得m+b=，b=m，BC的解析式為y=x+m，令y=0，則x=m，即OC=m，平行四邊形ABCO中，AB=m，如圖所示，過D作DEAB于E，過A作AFOC于F，則DEBAFO，=，而AF=12，DE=12，OA=13，DB=13，AB=DB，m=13，解得m1=5，m2=8，又D在A的右側，即m5，m=8

24、，D的坐標為（8，）故答案為：（8，）【點評】本題主要考查了反比例函數圖象上點的坐標特征以及平行四邊形的性質的運用，解決問題的關鍵是作輔助線構造相似三角形，依據平行四邊形的對邊相等以及相似三角形的對應邊成比例進行計算，解題時注意方程思想的運用三、解答題（本大題共10小題，共96分）19（10分）（2017南通）（1）計算：|4|（2）2+（）0（2）解不等式組【分析】（1）原式第一項利用絕對值的代數意義化簡，第二項利用乘方的意義計算，第三項化為最簡二次根式，最后一項利用零指數冪法則計算，即可得到結果（2）先求出兩個不等式的解集，再求其公共解【解答】解：（1）原式=44+31=2；（2）解不等式

25、得，x1，解不等式得，x4，所以不等式組的解集是1x4【點評】本題主要考查了一元一次不等式組解集的求法，其簡便求法就是用口訣求解求不等式組解集的口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）也考查了實數的運算20（8分）（2017南通）先化簡，再求值：（m+2），其中m=【分析】此題的運算順序：先括號里，經過通分，再約分化為最簡，最后代值計算【解答】解：（m+2），=，=，=2（m+3）把m=代入，得原式=2（+3）=5【點評】本題考查了分式的化簡求值分式混合運算要注意先去括號；分子、分母能因式分解的先因式分解21（9分）（2017南通）某學校為了解學生的課外閱讀情況，隨機抽

26、取了50名學生，并統(tǒng)計他們平均每天的課外閱讀時間t（單位：min），然后利用所得數據繪制成如下不完整的統(tǒng)計表 課外閱讀時間t頻數 百分比 10t30 4 8%30t50 8 16%50t70 a 40%70t90 16 b90t1102 4% 合計 50 100%請根據圖表中提供的信息回答下列問題：（1）a=20，b=32%；（2）將頻數分布直方圖補充完整；（3）若全校有900名學生，估計該校有多少學生平均每天的課外閱讀時間不少于50min？【分析】（1）利用百分比=，計算即可；（2）根據b的值計算即可；（3）用一般估計總體的思想思考問題即可；【解答】解：（1）總人數=50人，a=5040%=

27、20，b=100%=32%，故答案為20，32%（2）頻數分布直方圖，如圖所示（3）900=684，答：估計該校有684名學生平均每天的課外閱讀時間不少于50min【點評】本題考查表示頻數分布直方圖、頻數分布表、總體、個體、百分比之間的關系等知識，解題的關鍵是記住基本概念，屬于中考常考題型22（8分）（2017南通）不透明袋子中裝有2個紅球，1個白球和1個黑球，這些球除顏色外無其他差別，隨機摸出1個球不放回，再隨機摸出1個球，求兩次均摸到紅球的概率【分析】利用樹狀圖得出所有符合題意的情況，進而理概率公式求出即可【解答】解：如圖所示：，所有的可能有12種，符合題意的有2種，故兩次均摸到紅球的概率

28、為：=【點評】此題主要考查了樹狀圖法求概率，根據題意利用樹狀圖得出所有情況是解題關鍵23（8分）（2017南通）熱氣球的探測器顯示，從熱氣球A看一棟樓頂部B的仰角為45，看這棟樓底部C的俯角為60，熱氣球與樓的水平距離為100m，求這棟樓的高度（結果保留根號）【分析】根據正切的概念分別求出BD、DC，計算即可【解答】解：在RtADB中，BAD=45，BD=AD=100m，在RtADC中，CD=ADtanDAC=100mBC=（100+100）m，答：這棟樓的高度為（100+100）m【點評】本題考查的是解直角三角形的應用仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數的定義是解題的關鍵24（

29、8分）（2017南通）如圖，RtABC中，C=90，BC=3，點O在AB上，OB=2，以OB為半徑的O與AC相切于點D，交BC于點E，求弦BE的長【分析】連接OD，首先證明四邊形OFCD是矩形，從而得到BF的長，然后利用垂徑定理求得BE的長即可【解答】解：連接OD，作OFBE于點FBF=BE，AC是圓的切線，ODAC，ODC=C=OEC=90，四邊形ODCF是矩形，OD=OB=FC=2，BC=3，BF=BCFC=BCOD=32=1，BE=2BF=2【點評】本題考查了切線的性質、勾股定理及垂徑定理的知識，解題的關鍵是能夠利用切線的性質構造矩形形，難度不大25（9分）（2017南通）某學習小組在研

30、究函數y=x32x的圖象與性質時，已列表、描點并畫出了圖象的一部分 x 43.5321 0 1 2 3 3.5 4 y 0 （1）請補全函數圖象；（2）方程x32x=2實數根的個數為3；（3）觀察圖象，寫出該函數的兩條性質【分析】（1）用光滑的曲線連接即可得出結論；（2）根據函數y=x32x和直線y=2的交點的個數即可得出結論；（3）根據函數圖象即可得出結論【解答】解：（1）補全函數圖象如圖所示，（2）如圖1，作出直線y=2的圖象，由圖象知，函數y=x32x的圖象和直線y=2有三個交點，方程x32x=2實數根的個數為3，故答案為3；（3）由圖象知，1、此函數在實數范圍內既沒有最大值，也沒有最小

31、值，2、此函數在x2和x2，y隨x的增大而增大，3、此函數圖象過原點，4、此函數圖象關于原點對稱【點評】此題主要考查了函數圖象的畫法，利用函數圖象確定方程解的個數的方法，解本題的關鍵是補全函數圖象26（10分）（2017南通）如圖，在矩形ABCD中，E是AD上一點，PQ垂直平分BE，分別交AD、BE、BC于點P、O、Q，連接BP、EQ（1）求證：四邊形BPEQ是菱形；（2）若AB=6，F為AB的中點，OF+OB=9，求PQ的長【分析】（1）先根據線段垂直平分線的性質證明QB=QE，由ASA證明BOQEOP，得出PE=QB，證出四邊形ABGE是平行四邊形，再根據菱形的判定即可得出結論；（2）根據

32、三角形中位線的性質可得AE+BE=2OF+2OB=18，設AE=x，則BE=18x，在RtABE中，根據勾股定理可得62+x2=（18x）2，BE=10，得到OB=BE=5，設PE=y，則AP=8y，BP=PE=y，在RtABP中，根據勾股定理可得62+（8y）2=y2，解得y=，在RtBOP中，根據勾股定理可得PO=，由PQ=2PO即可求解【解答】（1）證明：PQ垂直平分BE，QB=QE，OB=OE，四邊形ABCD是矩形，ADBC，PEO=QBO，在BOQ與EOP中，BOQEOP（ASA），PE=QB，又ADBC，四邊形BPEQ是平行四邊形，又QB=QE，四邊形BPEQ是菱形；（2）解：O，

33、F分別為PQ，AB的中點，AE+BE=2OF+2OB=18，設AE=x，則BE=18x，在RtABE中，62+x2=（18x）2，解得x=8，BE=18x=10，OB=BE=5，設PE=y，則AP=8y，BP=PE=y，在RtABP中，62+（8y）2=y2，解得y=，在RtBOP中，PO=，PQ=2PO=【點評】本題考查了菱形的判定與性質、矩形的性質，平行四邊形的判定與性質、線段垂直平分線的性質、勾股定理等知識；本題綜合性強，有一定難度27（13分）（2017南通）我們知道，三角形的內心是三條角平分線的交點，過三角形內心的一條直線與兩邊相交，兩交點之間的線段把這個三角形分成兩個圖形若有一個圖

34、形與原三角形相似，則把這條線段叫做這個三角形的“內似線”（1）等邊三角形“內似線”的條數為3；（2）如圖，ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD，求證：BD是ABC的“內似線”；（3）在RtABC中，C=90，AC=4，BC=3，E、F分別在邊AC、BC上，且EF是ABC的“內似線”，求EF的長【分析】（1）過等邊三角形的內心分別作三邊的平行線，即可得出答案；（2）由等腰三角形的性質得出ABC=C=BDC，A=ABD，證出BCDABC，再由三角形的外角性質證出BD平分ABC即可；（3）分兩種情況：當=時，EFAB，由勾股定理求出AB=5，作DNBC于N，則DNAC，DN是RtA

35、BC的內切圓半徑，求出DN=（AC+BCAB）=1，由幾何平分線定理得出=，求出CE=，證明CEFCAB，得出對應邊成比例求出EF=；當=時，同理得：EF=即可【解答】（1）解：等邊三角形“內似線”的條數為3條；理由如下：過等邊三角形的內心分別作三邊的平行線，如圖1所示：則AMNABC，CEFCBA，BGHBAC，MN、EF、GH是等邊三角形ABC的內似線”；故答案為：3；（2）證明：AB=AC，BD=BC=AD，ABC=C=BDC，A=ABD，BCDABC，又BDC=A+ABD，ABD=CBD，BD平分ABC，即BD過ABC的內心，BD是ABC的“內似線”；（3）解：設D是ABC的內心，連接CD，則CD平分ACB，EF是ABC的“內似線”，CEF與ABC相似；分兩種情況：當=時，EFAB，ACB=90，AC=4，BC=3，AB=5，作DNBC于N，如圖2所示：則DNAC，DN